ODE av andra ordningen, och system av ODE

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "ODE av andra ordningen, och system av ODE"

Transkript

1 ODE av andra ordningen, och system av ODE Exempel på di erentialekvation av andra ordningen (innehåller andra derivata) Pendel beskrives av Newtons andra lag: Kraft = massa Acceleration Acceleration = d dt Hastighet Hastighet = l d dt Acceleration = l d dt ; Pendels ekvation: ml 00 (t) = mg sin((t)) = 0 Man kan alltid formulera om en ODE av andra ordninen för t.ex. y(t) som system av två ODE av första ordningen genom att införa en ny okänd variabel lika med y 0 (t): Vi gör detta för pendelns ekvation (Newtons lag) att införa beteckningar x 1 (t) = (t) and x (t) = 0 (t): x 0 1(t) = x (t) x 0 g (t) = l sin(x 1(t)) Begynnelsevillkor vid starttiden t 0 formuleras för båda komponenter i systemet, d.v.s. både för vinkeln x 1 (t 0 ) = (t 0 ) och för dess tidsderivatan x (t 0 ) = 0 (t 0 ). Den ekvationen är autonom, eftersom koe cienterna i högerledet är oberoende av tiden. 1

2 Fasplanet, banor och fasporträtt. Planet av variabler (x 1 ; x ) kallas fasplanet. Komponenter (x 1 (t); x (t)) av en lösning de nierar en kurva i (x 1 ; x ) planet som kallas lösningens bana. En sådan kurva kan ritas i Matlab med kommandot plot(x 1 ; x ). Losningsbanan (trajectory på engelska) visar inte hur stora derivator av x 0 1(t); x 0 (t) är i dess punkter. Den visar bara spåret i planet som lösningen går längs under någon tid. En bild med era banor i fasplanet av variabler (x 1 ; x ) kallas ODEs fasportrträtt. Punkter x 1 = = 0 + k, x = 0 = 0 och x 1 = = + k, x = 0 = 0 på bilden är systemets jämviktstillsånd. Man ser slutna banor som svarar mot periodiska lösningar, runt jämviktspunkter = k, 0 = 0. Punkter = + k, 0 = 0 svarar mot uppåt positionen för pendeln som är icke stabila. På övre och undre delar av fasporträttet observerar man oändliga banor från lösningar med stor vinkelhastighet 0. De svarar mot pendelns oändlig rotation runt pivot. Om man vill ta hänsyn till friktion mellan pendeln och lyften introduceras friktionskraften l 0 (t) i modellen. Friktion är proportionell mot hastigheten och verkar åt motsatt håll. ml 00 (t) = l 0 (t) mg sin((t)) = 0 Ekvationssystemet för x 1 (t) = (t) and x (t) = 0 (t) ändras lite: x 0 1(t) = x (t) x 0 (t) = m x (t) g l sin(x 1(t)) men fasporträtt för det systemet ändras drastiskt. Inga slutna banor observeras. Nästan alla lösningar (x 1 (t); x (t))går mot jämviktstillsåd = k, 0 = 0 då tiden t! 1.

3 Numeriska Euler metoden. Lösningskurvan approximeras med en bryten kurva som i varje brytningspunkt A n = (t n ; U n ) med U n = U(t n ) har lutningen f(t n ; U n ):På bilden under ser vi en lösningskurva och motsvarande brutna kurvan med markerade brutningspunkter A n. Raka sträckor är linjära approximationer till lösningskurvan mellan punkter t n och t n+1 och efter era steg avviker mera och mera från exakta lösningen. 3

4 Eulermetoden på vektor form För ett system ODE formuleras Euler metoden på samma sätt men alla beräkningar gör med vektorervariabler istället för skalära variabler. De ser exakt likadant ut i Matlab. Betrakta en vektorvärd funktion f(t; y) = (f 1 (t; y); f (t; y)) med två komponenter f 1 och f, där t R och y = (y 1 ; y ), med y 1 ; y R. Inför derivatabeteckning för vektorvärda funktioner: och vektorbeteckningar d dt (y) = d dt y 1; d dt y d (y) dt = f(t; y(t)) y(a) = y a = (y a;1 ; y a; ) för begynnelsevärdesproblem för ett system av ODE d dt (y 1) = f 1 (t; (y 1 (t); y (t))) d dt (y ) = f (t; (y 1 (t); y (t))) y 1 (a) = y a;1 ; y (a) = y a; Vi bildar indelningen [t 0 ; t 1 ; :::t N ] av intervall [a; b] i N intervall som ovan med h = (b a)=n ; t 0 = a; t i = a + ih och beräknar Euler approximationen till lösningen på samma sätt som ovan, men på vektorform y(t 0 ) = y a y(t i+1 ) = y(t i ) + hf(t i ; y(t i )); i = 0; :::; N 1 Endast ness vid programmering av Euler metoden för system av ODE i Matlab är att man måste komma ihåg att värdena av funktionen f är vektorer och att andra argumentet i f(t; y) är också en kolonnvektor. Man måste införa vektorvariabler och vektorvärda funktioner i Matlab och komma ihåg att beräkna alla komponenter av dessa funktioner. 4

5 Linjära ODE av andra ordningen med konstanta koe cienter. 3.7, 18.6 Adams Homogena linjära di erentialekvationer av andra ordningen med konstanta koef- cienter. 3.7 Adams Di erentialekvation på formen ax 00 + by 0 + cy = 0 (1) är linjär homogen di erentialekvation av andra ordningen med konstanta koe cienter. ODE av andra ordningen uppstor oftast i relation med Newtons andra lag, som vi såg på exemplet med pendel. Kom ihåg liknande ekvation av första ordningen där vi lyckades skriva ner analytisk lösning även i fall koe cienter var beroende av tiden t: För linjära ODE av andra ordningen bara i fallet med konstanta koe cienter är det möjligt att lösa ekvationen analytiskt. Man får också betrakta linjära ODE av högre ordningen n på formen a n (t)y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + ::: + a 1 (t)y 0 + a 0 y = 0 () Egenskaper hos linjära homogena ODE Alla linjära di erentialekvationer har följande viktiga egenskaper. 1. Om u(t) och w(t) är två lösningar till ekvationen () så är även linjära kombinationen cu(t) + dw(t) med godtyckliga konstanter c och d en lösning till samma ekvation ().. Konstanta funktionen y(t) = 0 är en lösning till den ekvationen. De nition. Allmän lösning till en ODE betyder ett uttryck med några godtyckliga konstanter som ger ALLA lösningar till den ekvationen. Vi bergänar oss här med fallet med linjära ODE med konstanta koe cienter av andra ordningen. I fall med ekvationen av första ordningen med konstant koe cient p; som var betraktat tidigare, ck vi lösning på formen Ce pt : Man söker lösningar till (1) på samma form: y(t) = e rt med okänd konstant r. Efter insättning i ekvationen får man en ekvatione för konstanten r. Insättningen ger ar rt + bre rt + ce rt = 0 e rt 6= 0, så ekvationen får delas med e rt som leder till karakteristiska ekvationen som svarar till ekvationen (1) ar + br + c = 0 Det är andgragadspolynom som alltid har två (i allmänhet komplexa rötter). b p b r = 4ac = b p D a a a D = b 4ac diskriminant 5

6 Beroende på om diskriminanten D är positiv, noll, eller negativ, får man tre kvalitativt olika framställningar av almän lösning till (1). Första fallet. D>0 Karakteristiska ekvationen har två olika reella rötter. r 1 = b + p D ; r = b p D a a I det fallet nns två oberoende lösningar y 1 (t) = e r 1t ; y (t) = e r t så att ingen av lösningar är multipel av annan. Allmän lösning till (1) har i det fallet formen y(t) = Ae r 1t + Be r t (3) med två godtyckliga konstanter A och B: En idee med bevis. (beviset krävs inte på tentan men exakt samma beräkning används för att lösa konkreta problem) Ett argument som kan användas för att bevisa att det är verkligen en allmän lösning, är att försöka visa att ALLA lösningar till (1) kan framställas av den formeln. Låt oss visa att en lösning y som uppfyller godtyckliga begynnelsevillkor y(t 0 ) = y 0 y 0 (t 0 ) = dy 0 kan framställas på det viset. Sätt framställningen (3) in i begynnelsevillkoret. A e r 1t 0 + B e r t 0 = y0 A r 1 e r 1t 0 + B r e r t 0 = dy0 Lägg märke till att för en godtycklig starttid t 0 gäller det att e r 1t 0 6= 0 och e r t 0 6= 0 och r 1 6= r Man kan genomföra Gauss elimination på detta systemekvationer och på grund av villkor på koe cienterna i systemet kan alltid hitta en entydig lösning (A; B till det för godtyckliga y 0 och dy 0: Exempel. Bestäm allmän lösning till ODE Karakteristisk ekvation är y 00 + y 0 y = 0 r + r = 0 1 p 1 r = 4 1( ) 1 r 1 = ; r = 1 y = Ae t + Be t = 1 3 Andra fallet. D=b 4ac =0 6

7 Karakteristiska ekvationen har två likadana rötter (med andra ord, en reell rot med multiplicitet ) r = b a I det fallet är funktioner på formen Ae r1t lösningar till (1). Man kan visa att funktionen på formen y(t) = Ae rt + B te rt med två godtyckliga konstanter A och B är en allmän lösning till (1). Det bevisas genom att söka allmän lösning på formen y(t) = u(t)e rt med en ny okänd funktion u(t). Insättning till ekvationen medför och uttrycket ovan för allmänna lösningen. Bevis. (krävs inte på tentan) u 00 (t) = 0 u(t) = A + Bt y 0 = e rt (u 0 (t) + ru(t)) y 00 = e rt u 00 (t) + ru 0 (t) + r u(t) 0 1 e 00 (t) + (ar + b) u 0 (t) + r ar + br + c A {z } {z } 0 0 u 00 (t) = 0; =) u(t) = A + Bt; =) y(t) = Ae rt + B te rt Tredje fallet. D=b 4ac<0 Karakteristiska ekvationen har två konjugata komplexa rötter. b p b r = 4ac = k i! a k = b=a p 4ac b! = a där i = p 1 är imaginera ettan, k och! är reella tal. Allmän lösning till (1) ges i det fallet av formeln y(t) = Ae kt cos(!t) + Be kt sin(!t) med två godtyckliga konstanter A och B: Bevis (krävs inte på tentan). På samma sätt som i första fallet har vi fått två oberoende lösningar: Problemet är att de är inte reella. y 1(t) = e (k+i!)t ; y (t) = e (k i!)t ; 7

8 Vi använder Eulers formel för exponenten av komplexa tal e iy = cos(y) + i sin(y); y R Den formeln kan fås från Taylors utveckling för exponentiella funktionen (ges här bara för en formell förklaring hur detta uppstår) e iy = 1 + (iy) + (iy) + (iy)3 + (iy)4 + (iy)5! 3! 4! 5! (y) = 1 + (y)4 (y) 6 + ::: + i y! 4! 6! = cos(y) + i sin(y) + (iy)6 ::: 6! (y) 3 + (y)5 3! 5! + ::: Detta medför också att e x+iy = e x e iy = e x (cos(y) + i sin(y)) Vi använder sista formeln på våra två komplexa lösningar y 1(t) = e kt (cos(!t) + i sin(!t)) y 1(t) = e kt (cos(!t) i sin(!t)) och kombinerar de så att de ger oss två oberoende reella lösningar: y 1 (t) = 1 (y 1(t) + y (t)) = e k cos(!t) y (t) = 1 (y 1(t) y (t)) = e k sin(!t) som bildar allmän lösning till ekvationen ovan. Exempel. y y y = 0 r + 4r + 13 = 0 4 p 4 r = 4 13 = 4 p i = 3i y(t) = Ae t cos(3t) + Be t sin(3t); = 8

9 Inhomogena linjära di erentialekvationer av andra ordningen med konstanta koe cienter i Adams. Inhomogena linjära di erentialekvationer med konstanta koe cienter är ekvationer på formen ay 00 + by 0 + cy = g(t) (4) med en given funktion g(t) i högerledet. Vi formulerar en sats om strukturen av allmän lösning till inhomogen linjär ODE (Th., sid. 100) i detta speciella fallet. Sats. Allmän lösning till inhomogen linjär ekvation (4) är alltid summa av allmän lösning y h (t) till homogena ekvationen ay 00 + by 0 + cy = 0 (5) och någon godtycklig partikulär lösning y p (t) till inhomogena ekvationen (4). y(t) = y h (t) + y p (t) (6) Man kan lätt observera detta med att subtrahera två olika lösningar y 1 (t) och y (t) till (4) och observera att y 1 (t) y (t) är en lösning till homogena ekvationen (5). Vi har en systematisk metod för att hitta y h (t) och behöver bara hitta någon partikulär lösning y p (t) för att kunna skriva ner allmän lösning till inhomogena ekvationen. Vi kommer att formulera ett recept för högerledet g(t) som har en av enklare former, nämligen ett polynom P n (t), ett polynom gånger exponent: P n (t)e rt, eller ombination av polynom, exponent och sin, cos: P n (t)e rt cos(kt); P n (t)e rt sin(kt): Valet av y p kan i dessa fall göras på följande form (sid. 108 i Adams) g(t) g(t) = P n (t) g(t) = P n (t)e rt g(t) = P n (t)e rt cos(kt) g(t) = P n (t)e rt cos(kt) y p (t) t m A n(t) t m e rt A n(t) t m e rt (A n (t)e rt cos(kt) + B n (t)e rt cos(kt)) t m e rt (A n (t)e rt cos(kt) + B n (t)e rt cos(kt)) där P n (t); A n (t), B n (t), är polynom av grad n med okända koe cienter. Graden m väljes minsta av talen 0;1; så att ingen term i y p (t) är lösning till homogena ekvationen (5). Exempel Resonance. sid 108 i Adams. Låt > 0; 6= 1, Sök lösningen till begynnelsevärdesproblemet som beskriver en mass som hänger på en fjäder och dessutom påverkas av en periodisk kraft. Karakteristiska ekvationen är y 00 + y = sin(t) (7) y(0) = 0 y 0 (0) = 1 r + 1 = 0 r = i 9

10 Dess allmänna lösning till homogena ODE är y h (t) = B cos(t) + C sin(t). Vi söker en partikulär lösning på formen y p (t) = A sin(t). Motivationen för att inte ta den på formen y p = A sin(t) + B cos(t) som "teorin säger" är att det saknas första derivatan y 0 i ekvationen. Detta gör att sin(t) satt i ekvationen ger bara sin(t) och cos(t) satt i ekvationen ger bara cos(t). Om vi sätter B cos(t) in i ekvationen så får vi ekvationen B + B cos(t) = 0 som i fall 6= 1 medför B = 0: Insättningen av y p (t) = A sin(t) i ekvationen y 00 +y = sin(t) ger en ekvation för konstanten A: A sin(t) + A sin(t) = sin(t) A + A = 1 1 A = 1 Allmän lösning till y 00 + y = sin(t) har formen 1 y(t) = 1 sin(t) + B cos(t) + C sin(t) Derivatan y 0 uttryckes av y 0 (t) = 1 cos(t) B sin(t) + C cos(t) Begynnelsevillkor medför att B = 0, C = (1 )=(1 ) y(0) = 0 = B y 0 (t) = 1 = 1 + C y(t) = sin(t) + (1 ) sin(t) (1 ) När! 1 kan uttrycket inte användas längre. I fall = 1 är högerledet i ekvationen en lösning till homogena ekvationen. I detta fall sökes partikulära lösningen på formen y p (t) = At cos(t) + Bt sin(t) Lösningen till begynnelsevärdesproblemet blir y(t) = 3 sin(t) t cos(t) Man kan faktiskt beräkna den med hjälp av l Hopitals s regel från tidigare formeln med att beräkna gränsvärdet då! 1. 10

11 Insättningen av y p (t) = At cos(t) + Bt sin(t) i ekvationen ger yp(t) 0 = d (At cos(t) + Bt sin(t)) = dt = A cos t + B sin t + Bt cos t At sin t = = (A + Bt) cos t + (B At) sin t yp(t) 00 = d (((A + Bt) cos t + (B At) sin t)) = dt = (B At) cos t (A + Bt) sin t (B At) cos t (A + Bt) sin t + At cos(t) + Bt sin(t) = sin(t) (B) cos t (A) sin t = sin(t) B = 0; A = 1= y p (t) = t cos(t) y(t) = y p (t) + y h (t) = t cos(t) + B cos(t) + C sin(t) y 0 cos(t) (t) = + t sin(t) B sin(t) + C cos(t) Begynnelsevillkoret y(0) = 0, y 0 (0) = 1 medför B = 0 C 1 = 1; C = 3 y(t) = t cos(t) + 3 sin(t) 11

Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.

Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på

Läs mer

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av

Läs mer

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:

Läs mer

ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål

ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska

Läs mer

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen: Differentialekvationer II Modellsvar: Räkneövning 6 1. Lös det icke-homogena linjära DE-systemet ( ( 0 e x t (t = x(t + 1 3 e t med elimineringsmetoden. Lösning: den explicita formen av DE-systemet är

Läs mer

Laboration 2 Ordinära differentialekvationer

Laboration 2 Ordinära differentialekvationer Matematisk analys i en variabel, AT1 TMV13-1/13 Matematiska vetenskaper Laboration Ordinära differentialekvationer Vi skall se på begynnelsevärdesproblem för första ordningens differentialekvation u =

Läs mer

dy dx = ex 2y 2x e y.

dy dx = ex 2y 2x e y. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 3 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, poäng 005-04-04 Skrivtid: 14 19. Hjälpmedel: Skrivdon,

Läs mer

Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter

Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016/2017 Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter 1. FÖRSTA ORDNINGEN Homogena fallet. En homogen linjär

Läs mer

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.:

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: MATEMATIK Datum: 0-0- Tid: förmiddag Chalmers Hjälmedel: inga A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 070-0880 Lösningar till tenta i TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats.

Läs mer

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som

Läs mer

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)

Läs mer

Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)

Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Linjär algebra består av tre grenar eller koncept: geometriska begreppet av vektorrum, analysbegreppet

Läs mer

(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.

(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Marko Djordjevic Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2006-03-06 Skrivtid: 9.00 1.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon,

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel. MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Vi skall här studera första ordningens homogena system av linjära dierentialekvationer

Vi skall här studera första ordningens homogena system av linjära dierentialekvationer Kapitel System av ordinära dierentialekvationer Vi skall här studera första ordningens homogena system av linjära dierentialekvationer med konstanta koecienter. Huvudvikten läggs vid fallet att systemets

Läs mer

Ordinära differentialekvationer (ODE) 1 1

Ordinära differentialekvationer (ODE) 1 1 TMV151/TMV181 Matematisk analys i en variabel M/TD 2009 Ordinära differentialekvationer (ODE) 1 1 I förra datorövningen löste vi begynnelsvärdesproblem av formen u (x) = f(x), x [0, b] (b > 0) u(0) = u

Läs mer

R LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.

R LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x. Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE ALLMÄN LÖSNING PARTIKULÄR LÖSNING SINGULÄR R LÖSNINGG BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM (BVP) Låt ( n) F(,,,, y ( )) vara en ordinär DE av

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys

SF1626 Flervariabelanalys 1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till

Läs mer

AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer

AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer Laplacetransformen som an analytisk funktion SATS 1 Om Laplaceintegralen F (s) = L (f) = e st f(t)dt är konvergent för s

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Laboration 1, M0039M, VT16

Laboration 1, M0039M, VT16 Laboration 1, M0039M, VT16 1 Förberedelser Ove Edlund, Staffan Lundberg LTU (1) Gör dig bekant med Matlab-manualen finns för nedladdning på Fronter. (2) Läs igenom laborationens teoridel, avsnitt 2 nedan.

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER

Läs mer

Veckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3

Veckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Veckans teman Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Ekvationstyper Första ordningen Separabla Högre ordning System Autonoma Linjära med konstanta koefficienter

Läs mer

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 9 Institutionen för matematik KTH 16 september 2016 Homogena injära ODE m konst koeff Sist: homogena linjära ODE med konstanta koefficienter. Första ordningens sådan ekvation kan skrivas y

Läs mer

Linjära differentialekvationer av andra ordningen

Linjära differentialekvationer av andra ordningen Linjära differentialekvationer av andra ordningen Matematik Breddning 3.2 Definition: En differentialekvation av typen y (x) + a(x)y (x) + b(x)y(x) = h(x) (1) där a(x), b(x) och h(x) är givna kontinuerliga

Läs mer

TI-89 / TI-92 Plus. en ny teknologi med

TI-89 / TI-92 Plus. en ny teknologi med TI-89 / TI-92 Plus en ny teknologi med När nya verktyg för matematik och naturvetenskapliga applikationer kommer på räknare behöver du nu inte köpa en ny. Om du har en Plus modul installerad i din TI-92

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi

Läs mer

= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x

= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x Uppsala Universitet Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Ordinära differentialekvationer F,Q,W,IT Civilingenjörsutbildningen 1996-6-7 Skrivtid: 15. 21.. Varje problem ger högst 5

Läs mer

TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning

TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1: Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a

Läs mer

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p) TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop

Läs mer

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel. MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2006-06-05 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

= = i K = 0, K =

= = i K = 0, K = ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1

= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1 Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet

Läs mer

Alltså är {e 3t, e t } en bas för lösningsrummet, och den allmänna lösningen kan därmed skrivas

Alltså är {e 3t, e t } en bas för lösningsrummet, och den allmänna lösningen kan därmed skrivas ektion 7, Envariabelanalys den 8 oktober 1999 Visa att funktionerna y 1 = e r 1t och y = e r t, där r 1 r, är linjärt oberoende. 17.7. Finn den allmänna lösningen till y 3y = 0. Vi ska visa implikationen

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.

ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet

Läs mer

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant. Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att

Läs mer

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I Tisdagen den 7 januari 14, kl 8-13 Del 1 Modul 1 Befolkningen i en liten stad växer med en hastighet som är proportionell mot befolkningsmängden

Läs mer

Matematik 5 svar. Kapitel Test Blandade uppgifter Kapitel a) dy

Matematik 5 svar. Kapitel Test Blandade uppgifter Kapitel a) dy Matematik 5 svar Kapitel 3... 1 Test 3... 26 Blandade uppgifter... 29 Kapitel 3 3101. a) y (x) = 2x y(x) = x 2 + C b) y (x) = x 2 x + 1 y(x) = x3 x2 + x + C 3 2 c) y x 2 + 2 = 0 y = x 2 2 y(x) = x3 2x

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer

Läs mer

3 differensekvationer med konstanta koefficienter.

3 differensekvationer med konstanta koefficienter. Matematiska institutionen Carl-Henrik Fant 17 november 2000 3 differensekvationer med konstanta koefficienter 31 T Med en menar vi en av rella eller komplexa tal varje heltal ges ett reellt eller komplext

Läs mer

Linjära system av differentialekvationer

Linjära system av differentialekvationer CTH/GU STUDIO TMV036c - 0/03 Matematiska vetenskaper Linjära system av differentialekvationer Analys och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt Inledning Vi har i tidigare studioövningar sett på allmäna system

Läs mer

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

6. Temperaturen u(x) i positionen x av en stav uppfyller värmeledningsekvationen. u (x) + u(x) = f(x), 0 x 2, u(0) = 0 u(2) = 1,

6. Temperaturen u(x) i positionen x av en stav uppfyller värmeledningsekvationen. u (x) + u(x) = f(x), 0 x 2, u(0) = 0 u(2) = 1, Institutionen för Matematik, KTH Tentamen del 2 Analytiska och numeriska metoder för differentialekvationer SF1523 8.-11. 18/8 217 Formelsamlingen BETA är tillåtet hjälpmedel men ej miniräknare. Råd för

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Inlämningsuppgift 4 NUM131

Inlämningsuppgift 4 NUM131 Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter

Läs mer

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n. ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och

Läs mer

FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum

FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Johan Helsing, 11 oktober 2018 FMNF15 HT18: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Inlämningsuppgift 3 Sista dag för inlämning: onsdag den 5 december. Syfte: att träna på att hitta lösningar

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13

Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13 Envariabel SF1625: Föreläsning 11 1 / 13 Att göra denna vecka 2 / 13 Översikt över modul 4 (seminarium nästa måndag) Förändringstakter (4.1) Newton-Raphson (4.2) L Hopitals regel (4.3) Analys av funktioner

Läs mer

Sammanfattning (Nummedelen)

Sammanfattning (Nummedelen) DN11 Numeriska metoder och grundläggande programmering Sammanfattning (Nummedelen Icke-linjära ekvationer Ex: y=x 0.5 Lösningsmetoder: Skriv på polynomform och använd roots(coeffs Fixpunkt x i+1 =G(x i,

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är

Läs mer

Laboration 2 M0039M, VT2016

Laboration 2 M0039M, VT2016 Laboration 2 M0039M, VT2016 Ove Edlund, Staffan Lundberg, TVM 24 februari 2016 1 Teoridel 1.1 Serielösningar till differentialekvationer Den grundläggande idén (se t.ex. utdelat material, Lektion 18) är

Läs mer

Viktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år 2013.

Viktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år 2013. Viktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år 2013. Reela tal. Rationella tal. Irrationella tal. Slutna intervall. Öppna interlvall. s.5 Koordinater i plan. a(b+c)=ab+ac; Bråkräkning:

Läs mer

Analys av jämviktslägen till differentialekvationer

Analys av jämviktslägen till differentialekvationer Analys 360 En webbaserad analyskurs Ordinära differentialekvationer Analys av jämviktslägen till differentialekvationer Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Analys av jämviktslägen

Läs mer

d dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning.

d dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning. Bestäm den lösning till differentialekvationen Ange även lösningens eistensintervall SF6 Differentialekvationer I MODULUPPGIFTER Första ordningens differentialekvationer med modeller d d y ( ) = y 2, som

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x. Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

Ordinära differentialekvationer

Ordinära differentialekvationer Elementärt om Ordinära differentialekvationer Anders Källström 2002 01 15 Innehåll 1 Introduktion 4 2 Första ordningens differentialekvationer 8 2.1 Separabla ekvationer....................................

Läs mer

System av ordinära differentialekvationer

System av ordinära differentialekvationer CTH/GU LABORATION 5 MVE16-1/13 Matematiska vetenskaper 1 Inledning System av ordinära differentialekvationer Vi skall se lite på system av ordinära differentialekvationer av typen u (t) = f(t, u(t)) och

Läs mer

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x), Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).

Läs mer

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup

KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) Tentamen i Numeriska Metoder gk II 2D1240 OPEN (& andra) Fredag 2006-04-21 kl. 13 16 Hjälpmedel: Del 1 inga, Del 2 rosa formelsamlingen som man får ta fram när man lämnar

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1 KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december 2017 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära betygsgränser:

Läs mer

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system

Läs mer

) + γy = 0, y(0) = 1,

) + γy = 0, y(0) = 1, Institutionen för Matematik, KTH Tentamen del Numeriska metoder SF545 8.00-.00 / 04 Inga hjälpmedel är tillåtna (ej heller miniräknare). Råd för att undvika poängavdrag: Skriv lösningar med fullständiga

Läs mer

Tenta i MVE465 Linjär algebra och analys fortsättning. K/Bt/Kf. (2p) Z 2 xdx b) Beräkna 0 (x + 1) (2x + 1). (3p)

Tenta i MVE465 Linjär algebra och analys fortsättning. K/Bt/Kf. (2p) Z 2 xdx b) Beräkna 0 (x + 1) (2x + 1). (3p) MATEMATIK Datum: 8-- Tid: eftermiddag (kl.-8.) Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. Kursansvarig: Aleei Heintz Telefonvakt: Carl Lundholm ankn. 9 Tenta i MVE Linjär algebra och anals

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim

Läs mer

Crash Course Envarre2- Differentialekvationer

Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till

Läs mer

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Tel.:

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Tel.: MATEMATIK Datum: 009-0- Ti: förmiag Chalmers Hjälpmeel: inga A.Heintz Telefonvakt: Tel.: 076-786 Lösningar till tenta TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, el A.. Sats Ange "geometriska" beviset

Läs mer

Ortogonal dekomposition. Minstakvadratmetoden.

Ortogonal dekomposition. Minstakvadratmetoden. Ortogonal dekomposition. Minstakvadratmetoden. Nästa sats är en utvidgning av begreppet ortogonal projektion av en vektor på en annan vektor. Ortogonal projektion på ett underrum. Satsen om ortogonal dekomposition

Läs mer

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Lennart Edsberg NADA 3 april 007 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 7 april 007 Efter den här laborationen

Läs mer