Vi skall här studera första ordningens homogena system av linjära dierentialekvationer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Vi skall här studera första ordningens homogena system av linjära dierentialekvationer"

Transkript

1 Kapitel System av ordinära dierentialekvationer Vi skall här studera första ordningens homogena system av linjära dierentialekvationer med konstanta koecienter. Huvudvikten läggs vid fallet att systemets matris är diagonaliserbar. Det generella fallet berörs endast översiktligt i sektion 4... Inledande eempel I detta kapitel skall vi studera ett allmänt system av ordinära dierentialekvationer av formen 8 >< > (t) =a (t) +a (t)++ a n n (t); (t) =a (t) +a (t)++ a n n (t); n (t) =a n (t) +a n (t)++ a nn n (t); (.) där a ij är konstanter och < t <. Vi kommer ofta att anta att funktionerna (t);; n (t) är givna vid (tiden) t =, så att () = c ; () = c ;; n () = c n (.) För att göra det lättare att beskriva den allmäna teorin inför vi några naturliga beteckningar. Vi avstår till en början från att skriva utvariabeln t. Skriver vi avser vi alltså (t). Vidare inför vi matrisbeteckningar

2 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER = 6 4. n 7 ; = 6 4. n 7 ; c = 6 4 c c. c n 7 ; 6 4 a a a n a a a n a n a n a nn 7 Systemet (.) kan då skrivas = A; medan begynnelsevillkoren (.) får formen () = c. Eempel (En tidskontinuerlig populationsmodell med två djurarter) Låt = (t) beskriva storleken vid tiden t av en djurart som är bytesdjur för en viss rovdjursart. Rovdjurspopulationens storlek beskrivs av funktionen y = y(t). Vi skall nu ställa upp en enkel matematisk modell för samspelet mellan dessa två djurarter. Vi antar att om rovdjursarten inte fanns så skulle bytesdjurens tillväthastighet vara proportionell mot storleken av populationen bytesdjur, d.v.s. = a. Närvaron av rovdjursarten minskar emellertid tillväten. Vi antar att tillvätminskningen är proportionell mot rovdjurspopulationens storlek så att = a, by. Utan bytesdjuren skulle rovdjursarten dö ut. Vi antar att y =,d y om =. Men eistensen av bytesdjur gör att rovdjursstamen kan väa till sig med en hastighet som är proportionell mot storleken av populationen bytesdjur. Vi antar således att y = c, dy. Samspelet mellan de två djurarterna beskrivs således i denna modell av systemet = a, by; y = c, dy; Eempel Betrakta tre tankar som innehåller saltlösningar i olika koncentrationer. Vattnet kan öda mellan tankarna. I följande diagram anger talen a jk andelen salt som

3 .. INLEDANDE EXEMPEL ödar från tank nr j till tank nr k (per tidsenhet). a a TANK a TANK TANK a a a Låt nu j (t) vara saltmängden i tank j vid tiden t. Vi antar att saltmängden vid tiden t =är känd i de tre tankarna, så att j () = c j. Tillväthastigheten för saltmängden i tank är då =,(a + a ) + a + a På samma sätt är =,(a +a ) +a +a och =,(a +a ) +a +a. Vi får alltså systemet 8 < =,(a + a ) +a +a ; a,(a + a ) +a ; a +a,(a + a ) ; där () = c ; () = c ; () = c Eempel Betrakta ett linjärt system av ordningen, d.v.s. = a + a ; = a + a Om man erar värdena vid tiden t =, så att () = c ; () = c ; så kommer ( (t); (t)) att beskriva en kurva i planet med början i (c ;c ). Denna kurva har tangentriktningen ( ; )=(a + a ;a + a ) i punkten ( ; ). Genom att rita ut dessa tangentriktningar kan man få en uppfattning om hur lösningskurvorna ser ut. I guren nedan har vi riktat ut riktningsfält och en lösningskurva för systemet

4 4 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER =, + ; =,, Eempel 4 En andra ordningens linjär dierentialekvation y + ay + by =kan skrivas som ett första ordningens system. Sätt nämligen = y; = y Då är = y = och = y =,ay, by d.v.s. =,a, a. Alltså är y + ay + by =() = ; =,b, a Övningar (avsnitt.). Följande gur beskriver utbytet av ett giftämne mellan tre sjöar. Vid tiden t = nns kg av giftämnet i den första sjön. Skriv upp ett system av ordinära dierentialekvationer som beskriver har utbytet av giftämnet går till. % % Sjö % % Sjö % Sjö %. Systemet = =, + är ekvivalent med en andra ordningens linjär homogen dierentialekvation. Utnyttja detta för att nna alla lösningar till systemet.

5 .. SYSTEMET X = AX, A DIAGONALISERBAR. Antag att n n-matrisen A har egenvärdet. Visa att systemet = A har minst en icke-trivial lösning som är konstant. 4. Skriv ekvationen y +y +y + ry =som ett system genom at införa de nya funktionerna = y; = y ; = y. Systemet = A, A diagonaliserbar Vi påminner läsaren om denitionen av egenvärden och egenvektorer till en matris A. Ett tal (reellt eller komplet) är ett egenvärde till A om det nns en vektor v sådan att Av = v; v 6= (.) Varje sådan vektor v kallas en egenvektor till egen värdet. Systemet (.) är ekvivalent med det homogena systemet (A, I)v =. Därför är ett egenvärde då och endast då detta homogena system har en icke-trivial lösning. Det innebär att är ett egenvärde då och endast då är en rot till ekvationen det(a, I) = (.4) (Läsaren har möjligen sett (.4) skriven på formen det(i, A) =, men det är bara en ekvivalent beskrivning ty det(i, A) =(,) n det(a, I). Eftersom det(a, I) är ett polynom av graden n så nns n rötter, d.v.s. n egenvärden, varav då vissa kan vara lika. Antag nu at ;; n är egenvärdena till A. Till varje egenvärde ordnar vi då en egenvektor. Om f j är en egenvektor till egenvärdet j så gäller alltså Af j = j f j ; f j 6= Vi säger att A är diagonaliserbar om vi kan välja egenvektorerna f ;;f n bildar en bas i R n kan då på ett entydigt sätt skrivas = d f + + d n f n. så att de Sats Antag att A är diagonaliserbar med egenvärdena ;; n och att f ;;f n är en bas av motsvarande egenvektorer till A. Då kan varje lösning till systemet = A skrivas = d e t f + d e t f + + d n e nt f n ;

6 6 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER där d ;d ;;d n är godtyckliga tal. Bevis Om = (t) är en godtycklig vektor i R så kan vi på ett entydigt sätt skriva = (t)f + (t)f + + n (t)f n Om nu Af j = j f j så är (t)af + (t)af + + n (t)af n = = (t)f + (t)f + + n n (t)f n Vidare är = (t)f + (t)f + + n (t)f n Därför är systemet = A ekvivalent med likheterna j (t) = j j (t); j =; ;;n Enligt Sats. har dessa ekvationer lösningarna j (t) =d j e jt ; j =; ;;n Detta ger satsen. Eempel Vi skall lösa systemet = A; () = c, om, 9 4, ; c = Den karakteristiska ekvationen är,,,9 4,, =( +), 6=

7 .. SYSTEMET X = AX, A DIAGONALISERBAR 7 Egenvärden är alltså =,7; =. För at nna motsvarande egenvektorer f och f löser vi systemen ( j I, A)f j =. Omj =är detta systems totalmatris Alltså kan vi välja t.e. f = (;,). Analogt får vi f = (; ). Enligt sats. är lösningarna till = A alltså = d e,7t f + d e t d e,7t +d e t f =,d e,7t +d e t Här kan d och d väljas fritt. Begynnelsevillkoret () = c ger emellertid att () = d +d =,d +d Detta ger d =,=;d ==. Den sökta lösningen är alltså (t) =, 4 e,7t + 4 et, 6 e,7t + 6 et d.v.s. (t) =, 4 e,7t + 4 et ; (t) =, 6 e,7t + 6 et Eempel Vi försöker lösa systemet = A, där 9 4 4, 4,,, Detta är en symmetrisk matris. Eftersom alla sådana matriser är diagonaliserbara kommer vi att lyckas när vi försöker använda Sats.. Vi beräknar först egenvärdena till 9A. Egenvärdena till A får vi sedan genom att dividera med 9., 4, 4,,,,, = 9, (9, ) 9, (9, ),,, =(9, ) (8, )

8 8 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER Matrisen A har alltså egenvärdena,,. Vi söker nu egenvektorerna. = = Egenvektorerna ligger alla i planet +, =. Som egenvektorer kan vi t.e. välja f =(;,; ); f =(; ; ) = Eftersom matrisen är symmetrisk måste varje egenvektor till egenvärdet vara orgogonal f och f d.v.s. mot planet +, =. Därför är f normal till detta plan. Vi kan alltså ta f =(; ;,). Vi har nu att lösningarna till systemet = A är = d e t f + d e t f + d e t f = 4 d e t +d e t (,d + d )e t +d e t d e t,d e at där d ;d ;d kan väljas godtyckligt. Eempel Även komplea egenvärden och egenvektorer kan förekomma. Här ett eempel på det. Vi sätter,,9 4, Vi har då att,, 9 4,, =( +) +6 Egenvärdena är därför =,,6i; =,+6i. För att beräkna motsvarande komplea egenvektorer skall vi lösa systemen ( j I, A)f j =. För j =får vi ett system med totalmatrisen 6i,9 4 6i En egenvektor är f = (; i). Som egenvektor till egenvärdet, +6i kan vi välja f =(,; i). Systemet = A har alltså lösningarna (t) =e,t (d e,6it f + d e 6it f )=e,t d e,6it, d e 6it id e,6it +id e 6it

9 .. SYSTEMET X = AX, A DIAGONALISERBAR 9 Om vi enbart är intresserade av reella lösning måste vi skriva om denna lösning. Observerar vi att får vi e 6it = cos(6t) +i sin(6t) e,6it = cos(6t), i sin(6t) ed e,6it, ed e bi = e((d, d ) cos(6t), i(d + d ) sin(6t)) id e,6it +id e 6it = (i(d + d ) cos(6t) +(d, d ) sin(6t)) Här kan vi välja d ;d godtyckligt, även med komplea värden. Sätt då d, d ; B = i(d + d ) dvs Det betyder att d = (A, ib); d =, (A + ib) varav d e,6it, d e 6it = (A cos(6t), B sin(6t)) id e,6it +id e,6it = (B cos(6t) +A sin(6t)) (t) =e,t (A cos(6t), B sin(6t)) (B cos(6t) +A sin(6t)) Även här kan vi välja A och B fritt. Tar vi då A och B reella blir lösningen (t) också reell. Övningar (avsnitt.). Lös följande två system a) b) =6 +y; () = ; y =, + y; y() = ; =, y; ()=; y =, y; y() =. Matrisen till följande system har egenvärden ; ;,. Finn alla lösningar!. Sätt 8 < = + =, =, + 4,,, ; C = 4 Visa att A har egenvärdena, och, p.använd detta för att lösa begynnelsevärdesproblemet = A; () = c

10 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 4 Betrakta systemet = A + b. Antag att A är diagonaliserbar med egenvärdena ;; n och motsvarande egenvektorer f ;f n. Visa att alla lösningar kan skrivas där (t) =d e t f + + d n e nt f n + p (t) p (t) = (t)f + + n (t)f n Bestäm sedan (t);; n (t) uttryckta med hjälp av b och egenvärdena ;; n. Antag att A är en diagonaliserbar n n-matris och att f ;;f n är en bas av egenvektorer med negativa egenvärden,! ;;,! n. Betrakta systemet = A. Visa att varje lösning kan skrivas (t) = nx j= (c j cos(! j t)+d j sin(! j t))f j ; där c j ;d j är godtyckliga konstanter.. Diskussion i det allmänna fallet I resten av detta kapitel skall vi diskutera systemet = A utan att göra några speciella antaganden om matrisen A. I denna sektion tänker vi beskriva i stora drag har teorin är uppbyggd. En huvudroll spelar här Cayley-Hamiltons sats. Betrakta begynnelsevärdesproblemet = A; () = c (.) Antag att är en lösning till (.). Då är funktionerna ;; n deriverbara på [; ). Därför ger (.4) dels att () = A() = Ac, dels att = A = A A Det följer att () = A c. Upprepad derivation ger sedan att (k) () = A k c; k =; ; ; Man kan här komma att tänka påtaylors formel. uppfyller vissa förutsättningar) så gäller Om y är en skalär funktion (som y(t) =y() + ty () + t! y () + t! y() () +

11 .. DISKUSSION I DET ALLMÄNNA FALLET Nu tillåter vi oss at utan vidare kommentar tillämpa denna formel på den vektorvärden funktionen. Vi får då (t) = () + t () + t! () + t! () () + = = c + tac + t! A c + t A c +! Sätter vi A = I = enhetsmatrisen av typ n n, kan vi skriva (t) =(I + ta + t! A + t! A + )c Med tanke på eponentialfunktionens Taylorserie e ta =+ta + t! a + t! a + = X k= t k k! ak ; är det naturligt att nu sätta e t+ta + t! A + t! A + = X k= t k k! Ak (.6) Lösningen till (.) skulle då helt enkelt skrivas (t) =e ta c. Man kan bevisa följande allmänna sats. Sats Låt A vara en n n-matris. Då har systemet (t) =A(t); t> () = c en entydigt bestämd lösning för varje c R n. Denna lösning kan skrivas (t) =e ta c = X k= t k k! Ak c Vi avstår från att genomföra beviset. Låt oss i stället diskutera hur satsen kan användas för att i praktiken beräkna (t). I princip måste man tydligen beräkna A k för varje naturligt tal k, för att därefter beräkna e ta. Detta verkar vara en övermänsklig uppgift.

12 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER Om A är diagonaliserbar kan vi emellertid enkelt beräkna (t) (och därmed indirekt även e ta ) med hjälp av sats.. Detta förhållande antyder att uppgiften att beräkna e ta trots allt inte behöver vara omöjlig. Om A är en godtycklig n n-matris denierar vi det karakteristiska polynomet P A (z) för A genom P A (z) = det(zi, A) Som bekant är nollställena till P A följande viktiga sats. lika med egenvärdena till matrisen A. Man kan visa Sats (Cayley-Hamiltons sats) Låt A vara engodtyacklig n n-matris och låt P A (z) =z n + a n, z n, + + a z + a vara dess karakteristiska polynom. Då är P A (A) =A n + a n, A n, + + a A + a I = Poängen med Cayley-Hamiltons sats är att man kan uttrycka alla potenser A k med hjälp av enbart I;A;;A n,. Satsen ger ju att A n =,a n, A n,,, a A, a I Det betyder att A n = q n (A) där q n är ett polynom av grad <n. Genom att multiplicera båda leden med A; A ;A ; osv. kan man visa at A n+ ;A n+ ; på liknande sätt kan skrivas som polynom i A av grad <n. Det följer att även e ta är ett polynom i A av grad <n. Vi nöjer oss här med att behandla -matriser. Proposition Låt A vara en godtycklig -matris med egenvärdena gäller och. Då 6= ) e t (e t (A, I), e t (A, I));, = ) e t e t (I + t(a, I)) Bevis av den andra formeln

13 .. DISKUSSION I DET ALLMÄNNA FALLET Sätt = = och (t) =e t (I + t(a, I))c Uppenbarligen gäller () =. Det räcker därför att visa att = A, ty då ger sats. att (t) =e ta c vilket ger resultatet. Först deriverar vi och får = e t ( + t(a, I))c + e t (A, I)c = = e t (A + t(a, I))c Vi jämför nu detta med e t (A + t(a, A))c Det karakteristiska polynomet för A är P A (z) = (z, ) = z, z +. Cayley- Hamiltons sats ger att A, A + I =dvs A, (A, I). Därför är e t (A + t(a, I))c dvs = A. Detta visar den andra formeln. Eempel Beräkna e ta och lös begynnelsevärdesproblemet = A; = c om 4 ; c = Lösning Det karakteristiska polynomet är z,,, z, 4 = z, z, 6=(z + )(z, 6) Vi har alltså två olika egenvärden =, och =6. Således är e t, 7 e,t (A, 6I) + 7 e6t (A + I) = = e,t +e 6t,e,t +e 6t 7,e,t +e 6t e,t + te 6t

14 4 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER Därför är den sökta lösningen = e t e,t +e 6t,e,t +e 6t 7,e,t +e 6t e,t +e 6t = e,t +4e 6t 7,e,t +e 6t = Lösningen till begynnelsevärdesproblemet = + ; ()=; = +4 ; ()= är alltså (t) = 7 e,t e6t (t) =, 7 e,t + 7 e6t Eempel Beräkna e ta om, Lösning Det karakteristiska polynomet är z, z, = z, z +=(z, ) Här nns bara ett egenvärde = =. Därför blir (, t)e t te e t e t (I + t(a, t I)) =,te t ( + t)e t Eempel Metoden att beräkna e ta fungerar även om egenvärdena är icke-reella. Här ett eempel på det. Sätt, då är z, z, =(z, ) +

15 .. DISKUSSION I DET ALLMÄNNA FALLET Egenvärdena är alltså =, i p ; =+i p. Därför är e t i p et [,e pt,i (A, ( + i p p )I) +e i t (A, (, i p )I] = p = p e t [sin( t) (A, I) + p p cos( t) I] Övningar (avsnitt.). Bestäm e ta för följande två matriser,,6 a) 6,8,6 b) 9 6. Sätt visa att Lös i vart och ett av fallen begynnelsevärdesproblemet = A; ()=; () =,. e t, cos(t) sin(t), sin(t) cos(t) Sätt sedan B =, och beräkna e tb på en eller två rader.. Sätt Visa at A =och beräkna sedan e ta. 4. Sätt Beräkna e ta p q r

16 6 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER.4 Asymptotiskt uppträdande Låt ((t);y(t)) vara en lösning till systemet = a + by; y = c + dy (.7) När t varierar kommer ((t);y(t)) att genomlöpa en viss kurva iy-planet. En sådan kurva kallas en bana till systemet (.7). Eftersom lösningarna eisterar för alla t så låter vi t variera över hela reella aeln, men vi är primärt intresserade av vad som händer då t! +. Till varje lösning till (.6) hör alltså en bana. Olika lösningar kan emellertid ge uphov till samma bana. Låt nämligen ((t);y(t)) beskriva en viss bana, och sätt = ();y = y(). Vi denierar nu ~ och ~y genom att sätta ~(t) =(t, t ); ~y(t) =y(t, t ) Då är (~; ~y) en lösning till (.6) sådan att (~; ~y(t)) också beskriver banan,. Skillnaden ligger i vid vilken tidpunkt som punkten ( ;y ) passeras. I den första beskrivningen av, passeras ( ;y ) vid tiden t =. I den andra passeras ( ;y ) vid tiden t = t, eftersom ~(t )=() = ; ~y(t )=y() = y. För varje val av punkt ( ;y ) nns det precis en bana, som passerar genom ( ;y ). Det nns nämligen precis en lösning ((t);y(t)) till (.7) sådan att (();y()) = ( ;y ). Vi skall nu studera hur banorna till systemet (.7) uppträder då t!för olika värden på koecienterna. Vi avstår från att presentera en heltäckande teori och nöjer oss med att ge några representativa eempel. I dessa eempel spelar naturligtvis egenvärdena till systemet en entral roll. Egenvärdena ges av ekvationen, + = där = a + d ; = ad, bc (.8) Egenvärden till (.7) är därför =, p, ; = + p, Eempel (Egenvärdena icke-reella) Vi betraktar systemet

17 .4. ASYMPTOTISKT UPPTRÄDANDE 7 = a + y y =, + ay Då är = a; = a +. Egenvärden blir alltså = a, i; = a + i. Eftersom egenvärdena är olika måste systemmatrisen A vara diagonaliserbar. Eftersom,i,i A, I = A, I =,,i i, i i kan vi som egenvektorer välja f = i ; f =,i Lösningarna till systemet kan alltså skrivas = d y e (a+i)t i + d e (a,i)t = e at d e it + d e,it id e it, id e,it =,i = e at (d + d ) cos(t) +i(d, d ) sin(t) i(d, d ) cos(t), (d, d ) sin(t) Sätter vi d + d och B = i(d, d ) får vi = e at (A cos(t) +B sin(t)) y = e at (B cos(t), A sin(t)) Tar vi här A och B reella blir lösningarn reella. För att studera lösningarna närmare sätter vi p R = A + B Eftersom nns det en vinkel ' så att ( A R ) +( B R ) = = Då blir cos(') = A R ; sin(') =B R A cos(t) +B sin(t) =R(cos ' cos A) + sin(') sin(t)) = R cos(', t) och B cos(t), A sin(t) =R(sin(') cos(t), cos(') sin(t)) = R sin(', t)

18 8 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER Det betyder att lösningarna är (t) =Re at cos(', t) y(t) =Re at sin(', t) I fallet a =blir (t) =R cos(', t); y(t) =R sin(', t) Det innebär att banorna för systemet är cirklar som genomlöps medurs. Phase plane of system lineard 4 y a<, stabil spiral (en bana) y Om a 6= blir banorna istället spiraler, innåtriktade om a < och utåtriktade om a >. (Se gurer!) Lösningarna kan alltså skrivas (t) =Re at cos(', t); y(t) =Re at sin(', t) Om a< är banorna spriraler som går in mot origo i negativ orientering. Om a> är banorna spiraler som går ut mot oändligheten. Phase plane of system lineard 4 y a =, centrum, (flera banor) y

19 .4. ASYMPTOTISKT UPPTRÄDANDE 9 Phase plane of system lineard 4 y a>, instabil spiral (en bana) y I följande gurer har vi dels ritat ut banor, dels också riktningsfältet för systemet. Vi har alltså valt ett rutnät av punkter och ivarje punkt i detta rutnät har vi ritat en pil som anger tangentriktningen ( ;y )=(a + y;, + ay). Eempel (Reella egenvärden) Betrakta systemet = a + y y = + ay Här är egenvärdena = a, ; = a +. Läsaren övertygar sig lätt om att lösnigarna har formen (t) =Ae (a,)t + Be (a+)t y(t) =,Ae (a,)t + Be (a+)t Om vi vill studera vad som händer då t!är det naturligt att skilja på tre huvudfall, nämligen a<,;, <a< och a>. Dessutom har vi gränsfallen a =, och a =. Om a<, har vi att (t)! och y(t)! då t!, oberoende av valet av A och B. Om a> kommer j(t)j!och jy(t)j!då t!(utom i fallet B =). Om, <a< blir uppträdandet beroende av A och B. I fallet B =komer (t)! och y(t)!. Annars kommer j(t)j!och jy(t)j!. Eempel Betrakta eemplet i övning till avsnitt., alltså systemet = A; () = c 4,,,4 ; c = 4 Genom att utnyttja att varje kolonn har summan noll kan man ganska lätt få fram matrisens egenvärder.,,,,,4, =,,,,,,4, =

20 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER =,, 4, =,,,,,6, =,(( +)( +6) + ) =, ( +4)( +) Egenvärdena är alltså ;,4 och,. Därför kan varje lösning skrivas (t) =d f + d e,4t f + d e,t f ; där f ; f ; f är egenvektorer till respektive egenvärden. Det följer att Läsaren övertyger sig lätt om att (t)! d f då t! f = 4 är en egenvektor till egenvärdet. Eftersom kolonnsumman i A är noll måste vi ha att (t) + (t) + (t) = för alla t = Därför är (t) + (t) + (t) =c + c + c = för alla t. Det följer att Eftersom (t)! d f följer det till slut att lim (t) + lim (t) + lim (t) = t! t! t! Således har vi att d (++)=4d = ; dvs d = (t)! 4 ; då t!

21 .4. ASYMPTOTISKT UPPTRÄDANDE. Betrakta systemet = + by; () = Övningar (avsnitt.4). Betrakta systemet =, +y; () = a Bestäm y =, y; y() = b lim (t) och lim y(t) t! t! där b>. Bestäm gränsvärdena y = b +y; y() = y lim t! e,(+b)t (t); lim t! e,(+b)t y(t). Betrakta systemet =, + y y =,, y Rita den bana som passerar genom (; ). 4. Matriser 4,,, har egenvärdena ;,;,. Finn lim (t) om t!, A; () = 4. I ett sjösystem med tre sjöar, Äckeln, Päckeln och Sliskeln sker ett kontinuerligt utbyte av giftämnet viskofrenol. Ämnet överförs enligt följande gur, där sirorna anger andelar av ämnet som överförs per tidsenhet. Äckeln. Sliskeln... Päckeln

22 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER Vid en viss tidpunkt har man upp följande mängder viskofrenol Äckeln, Päckeln, Sliskeln 8 Hur blir den långsiktiga fördelningen av viskofrenol mellan de tre sjöarna (dvs vad händer då t!). 6. Betrakt systemet 8 < =,, y + z; () = y =,, y + z; y() = z = + y, z; z() = Systemets matris har egenvärden ; ;,. Bestäm lim (t); lim y(t) och lim z(t) t! t! t! 7. Låt A vara en diagonaliserbar matris vars alla egenvärden är <. Visa att det för varje lösning till = A gäller lim (t) =. t! Svar. = A; () = c där 4,,,4 ; c = 4. (t) =(c t + c )e t (t) =(c t + c + c )e t. Om f är en egenvektor till egenvärdet så är (t) =f en konstant lösning < = =, =,4,, Svar (avsnitt.). (a) (t) =e t, e t ;y(t) =,e t +e t (b) (t) = cos(t) + sin(t); y(t) = sin(t).. 8 < =,d e,t +d e t= +d e t =d e,t +d e t=, d e t =d e,t, d e t= +d e t. (t) = e,t 6 4 et p + e,t p p p e t, p p e,t e t p + e,t p 7

23 .4. ASYMPTOTISKT UPPTRÄDANDE 4. Om b = f + + n f n är ( j t om j = j (t) = j e j t, j om j 6= Svar (avsnitt.) (t) =,e t +e 7t. (a) (t) =e t, e 7t (t) =e 4t (+4t) (b) (t) =e 4t (,, t) cos(t) sin(t). e tb = e t, sin(t) cos(t). e t 4. e t 4 t 4t + t = t 4 etp e tq e tr Svar (avsnitt.4). lim (t) = (a + b); lim t! y(t) = (a + b) t!. lim t! e,(+b)t (t) = lim t! e,(+b)t y(t) = ( + y ). Phase plane of system lineard 4 (,) y y

24 4 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 4. lim (t) = 4 t!. 8 < Äckeln (=7) 4 Päckeln (=7) 4 Sliskeln (=7) 4 6. lim (t) = t! 4 7. Använd sats..

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system

Läs mer

(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 =

(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 = Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I. Torsdagen den 3 maj, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och

Läs mer

dy dx = ex 2y 2x e y.

dy dx = ex 2y 2x e y. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 3 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, poäng 005-04-04 Skrivtid: 14 19. Hjälpmedel: Skrivdon,

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Grafer och grannmatriser

Grafer och grannmatriser Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på

Läs mer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant. Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter

Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016/2017 Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter 1. FÖRSTA ORDNINGEN Homogena fallet. En homogen linjär

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 20

Linjär Algebra, Föreläsning 20 Linjär Algebra, Föreläsning 20 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Symmetriska avbildningar, repetition F : E E sägs vara symmetrisk om (F (u) v) = (u F (v)) gäller för all u, v i det Euklidiksa rummet

Läs mer

Lineära system av differentialekvationer

Lineära system av differentialekvationer Föreläsning 8 Lineära system av differentialekvationer 8.1 Aktuella avsnitt i läroboken (5.1) Matrices and Linear Systems. (5.2) The Eigenvalue Method for Homogeneous Systems. (5.3) Second-Order Systems

Läs mer

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

Stabilitet m.a.p. begynnelsedata

Stabilitet m.a.p. begynnelsedata Stabilitet m.a.p. begynnelsedata Begreppet stabilitet används i flera olika sammanhang. I kap.9-14 tänker man på black-box system och insignal-utsignalstabilitet begränsad insignal = begränsad utsignal

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 =

MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen , kl och v 4 = MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 9--7, kl. 8.3 -.3 TMV36 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del B Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 73-8834 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Uppgifterna

Läs mer

= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x

= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x Uppsala Universitet Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Ordinära differentialekvationer F,Q,W,IT Civilingenjörsutbildningen 1996-6-7 Skrivtid: 15. 21.. Varje problem ger högst 5

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 --4 DAG: Måndag 4 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1. Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är

Läs mer

Linjära system av differentialekvationer

Linjära system av differentialekvationer CTH/GU STUDIO TMV036c - 0/03 Matematiska vetenskaper Linjära system av differentialekvationer Analys och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt Inledning Vi har i tidigare studioövningar sett på allmäna system

Läs mer

Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden

Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden Exponentialmatrisen Moment (kapitel i Spanne) Övningar Denna stencil i första hand! Def. med serie (5.2) 8,(2) diagonaliserbar A (5.) b,2 (utnyttja svartill 3.2&3.5) Lösn. av tillståndsekv. Cayley-Hamiltons

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

y(0) = e + C e 1 = 1

y(0) = e + C e 1 = 1 KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-11532 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet 2 december 21 G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-11532 Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 1 / 39 1 Ekvationssytem och matrisräkning

Läs mer

1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ).

1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ). . (3 poäng) Antag att en partikel rör sig i ett medium där friktionskraften är proportionell mot kvadraten av hastigheten v(t) R så att dv(t) = k ( v(t) ), t > för en konstant k >. Bestäm v(t) som funktion

Läs mer

Modeller för dynamiska förlopp

Modeller för dynamiska förlopp Föreläsning 3 Modeller för dynamiska förlopp 3.1 Aktuella avsnitt i läroboken (.1) Population Models. (.) Equilibrium Solutions and Stability. (.3) Acceleration-Velocity Models. 19 FÖRELÄSNING 3. MODELLER

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p) TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-53 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet december Ekvationssytem och matrisräkning 3 Gauss metod, LU-uppdelning 3 Egenvärden 4 Projektioner 9 Principalkomponenter Differentialekvationssystem

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

Dagens tema. Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg)

Dagens tema. Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg) Dagens tema Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg) Fasplan(-rum), trajektorier, fasporträtt ZC sid 340-1, ZC10.2 Definitioner: Lösningarna

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

Geometriska vektorer

Geometriska vektorer Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Existens och entydighet

Existens och entydighet Föreläsning 7 Eistens och entydighet 7.1 Aktuella avsnitt i läroboken Appendi Eistence and Uniqueness of Solutions. 47 48 FÖRELÄSNING 7. EXISTENS OCH ENTYDIGHET Som vi sett i flera eempel kan man ibland

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 009-08-7 DAG: Torsdag 7 augusti 009 TID: 8.30 -.30 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 0

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

= x 2 - x, x (0) = x dt. dx dt = 1. x 0 - (x 0-1)e t och för t 0 = ln x 0

= x 2 - x, x (0) = x dt. dx dt = 1. x 0 - (x 0-1)e t och för t 0 = ln x 0 Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B och Diff & Trans I, LV, 5B Tisdagen den 3 januari 4, kl 4-9 Hjälmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna å ett sådant sätt att

Läs mer

8.5 Minstakvadratmetoden

8.5 Minstakvadratmetoden 8.5 Minstakvadratmetoden 8.5. Ett exempel Man ville bestämma ett approximativt värde på tyngdaccelerationen g: En sten slängdes från en hög byggnad och man noterade med hjälp av fotoceller placerade på

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Gränsvärden Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Innehåll Introduktion 3 2 Gränsvärden 4 2. Gränsvärden då går mot.................... 4 2.2 Gränsvärden då går mot a.....................

Läs mer

AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer

AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer Laplacetransformen som an analytisk funktion SATS 1 Om Laplaceintegralen F (s) = L (f) = e st f(t)dt är konvergent för s

Läs mer

Dagens ämnen. Kvadratiska former. Andragradskurvor. Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär

Dagens ämnen. Kvadratiska former. Andragradskurvor. Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär Dagens ämnen Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna i rätt bas Kvadratiska former a 1 x 1 + a x +

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3. Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,

Läs mer

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet.

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Linja r algebra TATA (del) Allmänt Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Matrisekvationer och Gauss-elimination o Parameterform Allmänt om vektorer o Räknelagar

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67-8-5 DAG: Onsdag 5 augusti TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer