ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift
|
|
- Mikael Falk
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet 9. Uppgift Dynamiskt system 5. Uppgift Linjär algebra 7. Uppgift Uppgift David Heintz januari 6 ii
2 Vecka Vecka Linearization and Stability. Uppgift 9. a Skriv systemet (första ordningens ODE icke-linjärt konstanta koefficienter u (t u (t ( u (t u (t u (tu (t på formen u f(u. Finn stationära punkter ū. Vi utelämnar av bekvämlighet den oberoende variabeln t. Får därvid ( u u u u u f (u f(u ( u u f (u på angiven form. Vidare ges stationära punkter av u u u f(u o u u dvs. här som lösningen av ett homogent icke-linjärt ekvationssystem. Identifierar att första ekvationen är noll för u eller u ± men eftersom den andra är nollskild för u fås stationära punkter när u u alt. u u dvs. ū ±(. b Beräkna Jacobimatrisen Df(u. Linjärisera systemet ( kring varje stationär punkt dvs. skriv ner det linjäriserade systemet v Df(ūv. Jacobimatrisen samlar f:s partiella derivator ( f f u u så att Df(u f u f u ( u u u u u Df(ū Df(ū. Låt sedan u(t ū + v(t (där v(t kan betraktas som en perturbation av ett jämviktsläge ū. Det följer att vars linjärisering kring ū blir v u ū v (u ū u f(u f(ū + v f(ū + v f(ū + Df(ūv Df(ūv eftersom ū var en stationär punkt. Alltså är de sökta linjäriserade systemen v v v v Df(ū v v ( v v v v Df(ū v v. ( c Lös det linjäriserade problemet analytiskt. Är de stationära punkterna stabila? Vi vet att ett linjärt första ordningens system av ODE med konstanta koefficienter v Df(ūv har den allmänna lösningen v( v v(t n c i e λit g i ( i där λ i och g i är egenvärden resp. egenvektorer till Df(ū (se t.ex. [Dynamiskt system S. Larsson] eller [Egenvärdesproblemet S. Larsson]. Koefficienterna c i kan bestämmas via begynnelsevillkoret för specifik lösning. Vi lärde oss också hur systemets stabilitet beror av egenvärdena. För att besvara frågorna måste vi först lösa egenvärdesproblemet (se Uppgift 97. för närmare beskrivning. i ū ( bestäm egenvärden (lös karakteristiska ekvationen det(df(ū λi λ λ ( + λ( + λ dvs. λ λ. bestäm motsvarande egenvektorer (lös homogent linjärt ekvationssystem λ : g (Df(ū λ Ig o g dvs. g +g. Med g s R som fri parameter fås g s. Alltså blir tillhörande egenvektor λ : ( g s s }. g (Df(ū λ Ig o g dvs. g g g. Med g t R som fri parameter fås motsvarande egenvektor g t t }.
3 Vecka Vecka Den allmänna lösningen till det linjära systemet ( fås från ( till att vara v(t c e t e t och med negativa egenvärden drar vi slutsatsen att ū är en stabil stationär punkt. ii ū ( bestäm egenvärden (lös karakteristiska ekvationen det(df(ū λi λ λ ( + λ(λ dvs. λ λ. bestäm motsvarande egenvektorer (lös homogent linjärt ekvationssystem λ : g (Df(ū λ Ig o 5 g dvs. g + 5g. Med g s R som fri parameter fås g 5 s. Med andra ord blir motsvarande egenvektor 5 g s 5 s }. λ : 5 g (Df(ū λ Ig o g dvs. 5g g g. Med g t R som fri parameter fås motsvarande egenvektor g t t }. Den allmänna lösningen till det linjära systemet ( är alltså v(t c e t 5 e t och med ett positivt egenvärde visar sig ū vara en instabil stationär punkt.. Uppgift 9.5 Uppgiften är väsentligen densamma som föregående. Vi lämnar därför beräkningarna utan ytterligare kommentarer. 5 a Skriv systemet (första ordningens ODE icke-linjärt konstanta koefficienter u (t u (t ( u (t u (t u (t ( u (t på formen u f(u. Finn stationära punkter ū. På efterfrågad form fås ( u u u u f (u u f(u. (5 u ( u f (u Stationära punkter ges av u f(u o dvs. ū ( samt ū ( efter identifiering. u ( u u ( u b Beräkna Jacobimatrisen Df(u. Linjärisera systemet (5 kring varje stationär punkt dvs. skriv ner det linjäriserade systemet v Df(ūv. Jacobimatrisen blir så att Df(u Df(ū ( f f u u f f u u I Df(ū u u u u. De sökta linjäriserade systemen är v v v v v Df(ū v v v (6 v v v v v Df(ū v v v. (7 c Lös det linjäriserade problemet analytiskt. Är de stationära punkterna stabila? Vi löser egenvärdesproblemet: i ū ( Med reell symmetrisk systemmatris förväntar vi oss reella egenvärden samt möjlighet att välja ortonormala egenvektorer. bestäm egenvärden (lös karakteristiska ekvationen det(df(ū λi λ λ ( λ dvs. λ (egenvärde med algebraisk multiplicitet. 6
4 Vecka Vecka Anmärkning. För triangulära och då särskilt diagonala systemmatriser återfinns egenvärdena på huvuddiagonalen (inses av att alla termer utom en i VL av karakterisktiska ekvationen blir noll. Vi hade här alltså inte behövt ställa upp karakteristiska ekvationen för att bestämma λ. bestäm motsvarande egenvektorer (lös homogent linjärt ekvationssystem λ : g (Df(ū λ Ig o g dvs. att g s g t s t R båda måste vara fria parametrar. Därmed kan motsvarande egenvektorer väljas godtyckligt från planet g s + t. Med (s t ( resp. (s t ( fås exempelvis ortonormalt g g. Anmärkning. När systemmatrisen är enhetsmatrisen ges egenvektorerna av enhetsvektorerna (detsamma är inte nödvändigt sant för triangulära systemmatriser. Vi hade här alltså inte behövt lösa ekvationssystem för att bestämma egenvektorerna g e ( T och g e ( T. Den allmänna lösningen till det linjära systemet (6 är v(t c e t e t e t c c och med positiva egenvärden måste ū vara en instabil stationär punkt. där Gausselimination leder till g g g g dvs. g g. Med g s R som fri parameter fås g s. Alltså blir tillhörande egenvektor g s s }. λ : g (Df(ū λ Ig o g där Gausselimination leder till g g g g dvs. g g. Med g t R som fri parameter fås g t. Med andra ord blir motsvarande egenvektor g t t }. Den allmänna lösningen till det linjära systemet (7 är alltså v(t c e t e t och med ett positivt egenvärde är ū en instabil stationär punkt. ii ū ( bestäm egenvärden (lös karakteristiska ekvationen det(df(ū λi λ λ λ dvs. λ ±. bestäm motsvarande egenvektorer (lös homogent linjärt ekvationssystem λ : g (Df(ū λ Ig o g 7 8
5 Vecka Vecka Egenvärdesproblemet. Uppgift 97. Lös egenvärdesproblemet för matrisen A i följande fall. Bestäm om möjligt en ortogonal egenvektormatris P. Lös systemet x Ax (8 x( x och avgör dess stabilitet. a A Vi formulerar egenvärdesproblemet: Finn icke-triviala lösningar (g o till det linjära ekvationssystmet Ag λg (9 där λ kallas egenvärde med g som motsvarande egenvektor till A. Anmärkning. Geometriskt betyder (9 att vi söker riktningar utmed vilka transformationen från A reduceras till en skalning (mer allmänt kan matris-vektor-multiplikationer utöver skalning inkludera t.ex. rotation reflektion i hyperplan permutationer av komponenter... riktningar och skalningsfaktorer ges av g resp. λ. För att lösa (9 skriver vi om systemet på den ekvivalenta homogena formen (A λig o. ( Kom ihåg att icke-triviala lösningar fås endast om koefficientmatris är singulär. Alltså måste p(λ det(a λi ( där ( kallas karakteristiska ekvationen. Det är en polynomekvation det(a λi λ λ ( λ( λ λ λ med rötter λ ± 9 + ± 7 5 samma som A:s egenvärden. För varje egenvärde (med A R n n är grad p n och p har lika många nollställen löses sedan ( för tillhörande egenvektor g k. Vanligen numreras egenvärden efter största magnitud: λ λ λ n. Vi får då λ 5 : g (A λ Ig o g 9 där Gausselimination ger (här representerad via multiplikation med elementära eliminationsmatriser g g g g dvs. g + g. Vi låter g s R vara fri parameter så att g s. Alltså är g s välj godtyckligt s } g. ( λ : g (A λ Ig o g där Gausselimination leder till g g g g dvs. g + g. Vi låter g t R vara fri parameter så att g t. Då blir g t välj godtyckligt t } g. Anmärkning. Notera följande: Givet Ag λg fås efter multiplikation med α R att (αag (αλg A(αg λ(αg där den vänstra likheten säger att om A har egenvärdet λ så har αa egenvärdet αλ medan den högra säger att egenvektorer endast är bestämda upp till en skalär dvs. till sin riktning medan längden kan variera. Egenvärdesmatrisen ges av med motsvarande egenvektormatris 5 D diag(λ λ P ( g g (.
6 Vecka Vecka Anmärkning. Notera att en ortogonal egenvektormatris inte kan bildas (för en ortogonal matris Q gäller att Q T Q : (g g ( + dvs. g och g är inte ortogonala. Nödvändigt för en ortogonal matris är att kolonnvektorerna är ortonormala (utöver vinkelräta alltså även normerade. Anmärkning. Med distinkta egenvärden kan man visa att egenvektorerna blir linjärt oberoende. Då är också P inverterbar och det gäller att AP ( Ag... Ag n ( λ g... λ n g n PD P AP D och man säger att A är diagonaliserbar. Egenvektorerna kan vara linjärt oberoende även om egenvärden sammanfaller (algebraisk multiplicitet > men det är inte säkert. Den allmänna lösningen till det linjära systemet (8 fås nu via ( som x(t c e 5t e t så att systemet är instabilt med ett positivt egenvärde. 5 c A 5 8 Vi har att A är en reell symmetrisk matris. Man kan då visa att alla egenvärden är reella samt egenvektorerna kan väljas ortonormala. Alltså kommer vi att kunna bilda en ortogonal egenvektormatris så småningom. Men först: bestäm egenvärden (lös karakteristiska ekvationen så att 5 λ det(a λi 5 λ utveckla efter rad } 8 λ (5 λ 5 λ 8 λ 8 λ + ( 5 λ (5 λ [ (5 λ(8 λ ] [ (8 λ ( ] [ (5 λ( ] (5 λ [ λ λ + 6 ] [ 6 λ ] [ 8 λ ] λ + 8λ 8λ p(λ λ(λ 8λ + 8 λ λ 9 ± Vi har med andra ord reella egenvärden. Dessutom har ett av dem algebraisk multiplicitet men eftersom A var reell och symmetrisk ska fortfarande g och g kunna väljas linjärt oberoende (t.o.m. ortonormala. bestäm motsvarande egenvektorer (lös homogent linjärt ekvationssystem λ 9: g (A λ Ig o g g där Gausselimination ger g g g g g g dvs. g + g g. Inför två fria parametrar g s g t s t R så att g s t. Alltså är g s +t }}}} r vilket motsvarar ett plan genom origo med riktningsvektorer r och r. Alla vektorer i planet satisfierar (9 och är egenvektorer till A. Kan godtyckligt välja två stycken. Särskilt via t.ex. Gram-Schmidt-ortogonalisering två ortonormala sådana: där q s t } q r s t } g q q g q ( g T q g + g g g
7 Vecka Vecka motsvarande direkta men kanske inte uppenbara val av (s t ( (s t för g. för g samt Anmärkning. q och g är också giltiga egenvektorer. Gram-Schmidt-ortogonaliseringen ger dock ortonormala sådana som spänner upp samma rum dvs. spang g } spanq q } (man kan bilda endera vektorparet som en linjärkombination av det andra. Den allmänna lösningen till det linjära systemet (8 fås till x(t c e 9t e 9t så att systemet är instabilt med två positiva egenvärden. λ : 5 g (A λ Ig o 5 g 8 g där Gausselimination ger 5 g 5 5 g g 5 5 g g 8 6 g g g g g g g dvs. att g + g. Inför fri parameter g s R så att g s. Då blir från första ekvationen g 5 (8s + s s. Därmed g s välj s för normerad egenvektor}. sätt upp egenvärdes- och egenvektormatris Egenvärdesmatrisen ges av 9 D diag(λ λ λ 9 medan den ortogonala egenvektormatrisen är g g g.
8 Vecka Vecka Dynamiskt system X ( T. Uppgift 5 Bestäm stationära punkter och avgör deras stabilitet för följande system. c Vi har X X + X X + X X ( X X + X X X + X X X ( X X + X X ( eller X F(X på vektorform. Stationära punkter ges av F(X O. För ( identifieras X X + X X + X X ( X + X + X }} > om X. För ( följer Har att F ( X är nedåt triangulär så att egenvärdena återfinns på huvuddiagonalen: λ λ λ (algebraisk multiplicitet. Positiva egenvärden medför instabilt system. X ( T Får karakteristiska ekvationen det ( F ( X λi λ λ utveckla efter rad } λ ( λ λ λ ( λ (λ(λ ( λ ( λ λ dvs. λ samt λ ± + ± 5. Med två positiva egenvärden blir m.a.o. systemet instabilt. X X + X X X + X X X X } X X X X ( X om X eller X. Sist för ( X X + X X X om X X X + om X X dvs. att vi får två stationära punkter: X ( T samt X ( T. Vidare ges linjäriseringen av F och därigenom av systemet kring en stationär punkt X som F(X F( } X +F ( } X(X X F ( X(X X där så att F X F ( X F X F X F X F X F X F + X X F + X X X X X + X X X X + X X X + X X F X X F ( X F ( X. De linjäriserade systemen är X F ( X(X X att lösa för X X. Här ska emellertid endast deras stabilitet avgöras (räcker att bestämma egenvektorer för motsvarande systemoch Jacobimatriser. 5 6
9 Vecka Vecka Linjär algebra PQ Q P ändrar inte på vektorer redan i spanq}}. Uppgift 5 Låt V vara ett underrum till R m av dimension n < m som spänns upp av kolonnvektorerna i matrisen Q R m n. Projektionsmatrisen P för ortogonal projektion på V ges av P Q ( Q T Q Q T. Visa att P QQ T om kolonnerna i Q är ortonormala. Avancerat: Bevisa formeln för P. Med ortonormala kolonnvektorer q i gäller att element ij i n n-produkten Q T Q är Q T Q } ij (q om i j i q j annars dvs. Q T Q I och det följer att vilket skulle visas. P Q ( Q T Q Q T QI Q T QIQ T QQ T För att P ska vara en ortogonal projektion på spanq} måste P P P T P Minns räknereglerna P är idempotent} P är symmetrisk} (A PA T Q O Vi kontrollerar ytterligare en gång: skillnadsvektorn är ortogonal mot alla vektorer i spanq}} PQ Q ( Q T Q Q T Q Q }} I (A PA T Q A T Q A T P T Q A T Q A T PQ A T Q A T Q O och känner oss tillfreds med resultatet.. Uppgift Visa att om λ är egenvärde till A så är λ egenvärde till A. Givet att A är inverterbar förlänger vi (9 med λ A : och förenklar ledvis λ A Ag λ A λg VL: λ A Ag λ Ig λ g HL: λ A λg A λ λg A g A g så att λ g A g. Men detta är ju på formen (9 med λ som egenvärde till A vilket skulle visas. (i (AB T B T A T (ii (A T (A T. Vi kontrollerar: P Q ( Q T Q Q T ( Q Q T Q Q T Q ( Q T Q Q T P } } I P T ( Q ( Q T Q Q T T Q ( (Q T Q T Q T (ii Q (i Q ( Q T Q Q T P ( (Q T Q T Q T dvs. att den givna formeln överensstämmer med definitionen (är m.a.o. en ortogonal projektion. För att vidare (egentligen inte del av uppgiften motivera definitionen kan vi pröva 7 8
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merA = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)
SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v04, 7 augusti 05 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 05-08-7 kl 080-0 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs mer3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t
SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs merVi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att
Egensystem Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner Potens av matris 2 6 Ex Givet matrisen A =, vad är A 2? Det är komplicerat att beräkna högre
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merA = x
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,
Läs merEgenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle
Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs merMVE022 Urval av bevis (på svenska)
MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.
TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på
Läs merLÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A
Läs merK 4-1. Introduktion till Egenvärden och SVD. Egenvärdesproblemet. Egenvektorn. Egenskaper
Introduktion till Egenvärden och SVD Har detta något egenvärde? Egenvärdesproblemet Lösning till system av ODE s Egenvärdena är den viktigaste egenskapen i praktiskt taget alla dynamiska system, ofta med
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merkvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =
MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 9-- kl 8 Tentamen Telefonvakt: Aron Lagerberg tel 76-786 Linjär Algebra Z (tmv4) Skriv tentamenskod tydligt på samtliga
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merLinjär algebra på 2 45 minuter
Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016
SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 202-2-3 DEL A Betrakta punkterna A = (2, 2) och B = (6, 4) och linjen (, 3) + t(2, ) i planet (a) Det finns exakt en punkt P på linjen så att triangeln
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Tjugofemte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 10 december, 2009 Tentamens struktur Tentamen består av tio uppgifter uppdelade på två delar, Del A och Del
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merM = c c M = 1 3 1
N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara
Läs mer3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 734-433 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer ma3a 5 4 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och
Läs merx 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t)
Differentialekvationer II Modellsvar till räkneövning 4 16.4. 218 (kl 12-14 B222) 1. Lös det linjära homogena DE-systemet x 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t) med matrismetoden. Påminnelse: egenvärden och
Läs mer1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merx(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:
Differentialekvationer II Modellsvar: Räkneövning 6 1. Lös det icke-homogena linjära DE-systemet ( ( 0 e x t (t = x(t + 1 3 e t med elimineringsmetoden. Lösning: den explicita formen av DE-systemet är
Läs mer1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).
N-institutionen Mikael Forsberg 06-64 89 6 Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mk06a Testtenta. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, 5),
Läs merEgenvärden, egenvektorer
Egenvärden, egenvektorer Om en matris är kvadratisk (dvs n n) kan vi beräkna egenvärden och egenvektorer till matrisen. Polynomet p(λ) = det(a λi) kallas det karakterisktiska polynomet för A. Ett nollställe
Läs merLite Linjär Algebra 2017
Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF64 Algebra och geometri Sjätte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 5 januari, 07 Repetition Ett delrum i R n är slutet under addition x + y V om x, y V multiplikation med skalär a
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merDagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:
Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a
Läs merLinjär algebra på några minuter
Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017
SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig
Läs merLinjär algebra Föreläsning 10
Linjär algebra Föreläsning 10 IT-programmet, Chalmers 2006 Samuel Bengmark Repetition Handlade om kvadratiska matriser. Kvadratiska ekvationssystem har: Unik lösning omm Det(A) 0. Har oändligt antal lösningar
Läs merDel 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E
Var god vänd! MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 26083 kl 0830 230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV4 Linjär algebra
Läs merExempelsamling :: Diagonalisering
Exempelsamling :: Diagonalisering Mikael Forsberg :: 8 oktober Uppgifter om diagonalisering. Hitta en matris som diagonaliserar matrisen A = ( Vad blir diagonalmatrisen D? Vad betder D geometriskt? Vad
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merdenna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) (a) Beräkna u (v 2u) om v = u och u har längd 3. Motivera ert svar.
Kursen edöms med etyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta etyg För godkänt etyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt 3 poäng För var och en av
Läs merA = v 2 B = = (λ 1) 2 16 = λ 2 2λ 15 = (λ 5)(λ+3). E 5 = Span C =
KTH Matematik Lösningar till Kapitel 7 A a Karakteristiska polynomet av detλi A det A λ λ λ b Egenvdena av A nollställen till karakteristiska polynomet alltså har A egenvdet λ c Motsvarande egenrum E lösningsrummet
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2013-10-28 DEL A 1. Vi har matriserna 1 1 1 1 1 0 3 0 A = 1 1 1 1 1 1 1 1 och E = 0 0 0 1 0 0 1 0. 1 0 0 1 0 1 0 0 (a) Bestäm vilka elementära
Läs mer1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen.
Akademin för teknik och miljö Rolf Källström telefonkontakt med examinator via tentamensvakten Matematiktentamen Ingenjörer, lärare, m fl Linjär algebra maa. 5 6 Skrivtid: 9... Inga hjälpmedel. Lösningarna
Läs merx 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3)
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 74-4 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer maa 8 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merCrash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016
Crash Course Algebra och geometri Ambjörn Karlsson c januari 2016 ambjkarlsson@gmail.com 1 Contents 1 Projektion och minsta avstånd 4 2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser 5 3 Kärnan 6 3.1
Läs merProv i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:
Läs mer19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN
9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar
Läs mer6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet
Läs mery z 3 = 0 z 5 16 1 i )
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna
Läs merFöreläsn. anteckn. TMV206-VT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Kap. 8-9
Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 1 Föreläsn. anteckn. TMV206-VT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Kap. 8-9 Det tredje huvuda momentet av kursen är egenvektorer/egenvärden
Läs mer3x + y z = 0 4x + y 2z = 0 2x + y = Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x = 1 x + y = 1 x + 2y = 2
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 734-433 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer ma3a 3 7 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och
Läs mer1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet
1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:
Läs mern = v 1 v 2 = (4, 4, 2). 4 ( 1) + 4 ( 1) 2 ( 1) + d = 0 d = t = 4 + 2s 5 t = 6 + 4s 1 + t = 4 s
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 7-8-4 kl 4 9 a) Triangelns sidor ges av vektorerna v OP OP (,, ) och v OP 3 OP (,, 4) som även blir riktningsvektorer till planet En normal
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera
Läs merDagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer
Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 9 6, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merDiagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.
Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på
Läs merSF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009
SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två
Läs merLösningar till MVE021 Linjär algebra för I
Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs mer1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser
Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merProv i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Bo Styf Prov i matematik F, X, ES, KandFys, Lärare, Frist, W, KandMat1, Q LINJÄR ALGEBRA II 010 08 4 Skrivtid: 1400 1900 Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 7 8 9, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs mer2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1
ATM-Matematik Sören Hector 7 46686 Mikael Forsberg 734 433 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 3 5 Skrivtid: :-5:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa.
Läs mer