ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift"

Transkript

1 Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet 9. Uppgift Dynamiskt system 5. Uppgift Linjär algebra 7. Uppgift Uppgift David Heintz januari 6 ii

2 Vecka Vecka Linearization and Stability. Uppgift 9. a Skriv systemet (första ordningens ODE icke-linjärt konstanta koefficienter u (t u (t ( u (t u (t u (tu (t på formen u f(u. Finn stationära punkter ū. Vi utelämnar av bekvämlighet den oberoende variabeln t. Får därvid ( u u u u u f (u f(u ( u u f (u på angiven form. Vidare ges stationära punkter av u u u f(u o u u dvs. här som lösningen av ett homogent icke-linjärt ekvationssystem. Identifierar att första ekvationen är noll för u eller u ± men eftersom den andra är nollskild för u fås stationära punkter när u u alt. u u dvs. ū ±(. b Beräkna Jacobimatrisen Df(u. Linjärisera systemet ( kring varje stationär punkt dvs. skriv ner det linjäriserade systemet v Df(ūv. Jacobimatrisen samlar f:s partiella derivator ( f f u u så att Df(u f u f u ( u u u u u Df(ū Df(ū. Låt sedan u(t ū + v(t (där v(t kan betraktas som en perturbation av ett jämviktsläge ū. Det följer att vars linjärisering kring ū blir v u ū v (u ū u f(u f(ū + v f(ū + v f(ū + Df(ūv Df(ūv eftersom ū var en stationär punkt. Alltså är de sökta linjäriserade systemen v v v v Df(ū v v ( v v v v Df(ū v v. ( c Lös det linjäriserade problemet analytiskt. Är de stationära punkterna stabila? Vi vet att ett linjärt första ordningens system av ODE med konstanta koefficienter v Df(ūv har den allmänna lösningen v( v v(t n c i e λit g i ( i där λ i och g i är egenvärden resp. egenvektorer till Df(ū (se t.ex. [Dynamiskt system S. Larsson] eller [Egenvärdesproblemet S. Larsson]. Koefficienterna c i kan bestämmas via begynnelsevillkoret för specifik lösning. Vi lärde oss också hur systemets stabilitet beror av egenvärdena. För att besvara frågorna måste vi först lösa egenvärdesproblemet (se Uppgift 97. för närmare beskrivning. i ū ( bestäm egenvärden (lös karakteristiska ekvationen det(df(ū λi λ λ ( + λ( + λ dvs. λ λ. bestäm motsvarande egenvektorer (lös homogent linjärt ekvationssystem λ : g (Df(ū λ Ig o g dvs. g +g. Med g s R som fri parameter fås g s. Alltså blir tillhörande egenvektor λ : ( g s s }. g (Df(ū λ Ig o g dvs. g g g. Med g t R som fri parameter fås motsvarande egenvektor g t t }.

3 Vecka Vecka Den allmänna lösningen till det linjära systemet ( fås från ( till att vara v(t c e t e t och med negativa egenvärden drar vi slutsatsen att ū är en stabil stationär punkt. ii ū ( bestäm egenvärden (lös karakteristiska ekvationen det(df(ū λi λ λ ( + λ(λ dvs. λ λ. bestäm motsvarande egenvektorer (lös homogent linjärt ekvationssystem λ : g (Df(ū λ Ig o 5 g dvs. g + 5g. Med g s R som fri parameter fås g 5 s. Med andra ord blir motsvarande egenvektor 5 g s 5 s }. λ : 5 g (Df(ū λ Ig o g dvs. 5g g g. Med g t R som fri parameter fås motsvarande egenvektor g t t }. Den allmänna lösningen till det linjära systemet ( är alltså v(t c e t 5 e t och med ett positivt egenvärde visar sig ū vara en instabil stationär punkt.. Uppgift 9.5 Uppgiften är väsentligen densamma som föregående. Vi lämnar därför beräkningarna utan ytterligare kommentarer. 5 a Skriv systemet (första ordningens ODE icke-linjärt konstanta koefficienter u (t u (t ( u (t u (t u (t ( u (t på formen u f(u. Finn stationära punkter ū. På efterfrågad form fås ( u u u u f (u u f(u. (5 u ( u f (u Stationära punkter ges av u f(u o dvs. ū ( samt ū ( efter identifiering. u ( u u ( u b Beräkna Jacobimatrisen Df(u. Linjärisera systemet (5 kring varje stationär punkt dvs. skriv ner det linjäriserade systemet v Df(ūv. Jacobimatrisen blir så att Df(u Df(ū ( f f u u f f u u I Df(ū u u u u. De sökta linjäriserade systemen är v v v v v Df(ū v v v (6 v v v v v Df(ū v v v. (7 c Lös det linjäriserade problemet analytiskt. Är de stationära punkterna stabila? Vi löser egenvärdesproblemet: i ū ( Med reell symmetrisk systemmatris förväntar vi oss reella egenvärden samt möjlighet att välja ortonormala egenvektorer. bestäm egenvärden (lös karakteristiska ekvationen det(df(ū λi λ λ ( λ dvs. λ (egenvärde med algebraisk multiplicitet. 6

4 Vecka Vecka Anmärkning. För triangulära och då särskilt diagonala systemmatriser återfinns egenvärdena på huvuddiagonalen (inses av att alla termer utom en i VL av karakterisktiska ekvationen blir noll. Vi hade här alltså inte behövt ställa upp karakteristiska ekvationen för att bestämma λ. bestäm motsvarande egenvektorer (lös homogent linjärt ekvationssystem λ : g (Df(ū λ Ig o g dvs. att g s g t s t R båda måste vara fria parametrar. Därmed kan motsvarande egenvektorer väljas godtyckligt från planet g s + t. Med (s t ( resp. (s t ( fås exempelvis ortonormalt g g. Anmärkning. När systemmatrisen är enhetsmatrisen ges egenvektorerna av enhetsvektorerna (detsamma är inte nödvändigt sant för triangulära systemmatriser. Vi hade här alltså inte behövt lösa ekvationssystem för att bestämma egenvektorerna g e ( T och g e ( T. Den allmänna lösningen till det linjära systemet (6 är v(t c e t e t e t c c och med positiva egenvärden måste ū vara en instabil stationär punkt. där Gausselimination leder till g g g g dvs. g g. Med g s R som fri parameter fås g s. Alltså blir tillhörande egenvektor g s s }. λ : g (Df(ū λ Ig o g där Gausselimination leder till g g g g dvs. g g. Med g t R som fri parameter fås g t. Med andra ord blir motsvarande egenvektor g t t }. Den allmänna lösningen till det linjära systemet (7 är alltså v(t c e t e t och med ett positivt egenvärde är ū en instabil stationär punkt. ii ū ( bestäm egenvärden (lös karakteristiska ekvationen det(df(ū λi λ λ λ dvs. λ ±. bestäm motsvarande egenvektorer (lös homogent linjärt ekvationssystem λ : g (Df(ū λ Ig o g 7 8

5 Vecka Vecka Egenvärdesproblemet. Uppgift 97. Lös egenvärdesproblemet för matrisen A i följande fall. Bestäm om möjligt en ortogonal egenvektormatris P. Lös systemet x Ax (8 x( x och avgör dess stabilitet. a A Vi formulerar egenvärdesproblemet: Finn icke-triviala lösningar (g o till det linjära ekvationssystmet Ag λg (9 där λ kallas egenvärde med g som motsvarande egenvektor till A. Anmärkning. Geometriskt betyder (9 att vi söker riktningar utmed vilka transformationen från A reduceras till en skalning (mer allmänt kan matris-vektor-multiplikationer utöver skalning inkludera t.ex. rotation reflektion i hyperplan permutationer av komponenter... riktningar och skalningsfaktorer ges av g resp. λ. För att lösa (9 skriver vi om systemet på den ekvivalenta homogena formen (A λig o. ( Kom ihåg att icke-triviala lösningar fås endast om koefficientmatris är singulär. Alltså måste p(λ det(a λi ( där ( kallas karakteristiska ekvationen. Det är en polynomekvation det(a λi λ λ ( λ( λ λ λ med rötter λ ± 9 + ± 7 5 samma som A:s egenvärden. För varje egenvärde (med A R n n är grad p n och p har lika många nollställen löses sedan ( för tillhörande egenvektor g k. Vanligen numreras egenvärden efter största magnitud: λ λ λ n. Vi får då λ 5 : g (A λ Ig o g 9 där Gausselimination ger (här representerad via multiplikation med elementära eliminationsmatriser g g g g dvs. g + g. Vi låter g s R vara fri parameter så att g s. Alltså är g s välj godtyckligt s } g. ( λ : g (A λ Ig o g där Gausselimination leder till g g g g dvs. g + g. Vi låter g t R vara fri parameter så att g t. Då blir g t välj godtyckligt t } g. Anmärkning. Notera följande: Givet Ag λg fås efter multiplikation med α R att (αag (αλg A(αg λ(αg där den vänstra likheten säger att om A har egenvärdet λ så har αa egenvärdet αλ medan den högra säger att egenvektorer endast är bestämda upp till en skalär dvs. till sin riktning medan längden kan variera. Egenvärdesmatrisen ges av med motsvarande egenvektormatris 5 D diag(λ λ P ( g g (.

6 Vecka Vecka Anmärkning. Notera att en ortogonal egenvektormatris inte kan bildas (för en ortogonal matris Q gäller att Q T Q : (g g ( + dvs. g och g är inte ortogonala. Nödvändigt för en ortogonal matris är att kolonnvektorerna är ortonormala (utöver vinkelräta alltså även normerade. Anmärkning. Med distinkta egenvärden kan man visa att egenvektorerna blir linjärt oberoende. Då är också P inverterbar och det gäller att AP ( Ag... Ag n ( λ g... λ n g n PD P AP D och man säger att A är diagonaliserbar. Egenvektorerna kan vara linjärt oberoende även om egenvärden sammanfaller (algebraisk multiplicitet > men det är inte säkert. Den allmänna lösningen till det linjära systemet (8 fås nu via ( som x(t c e 5t e t så att systemet är instabilt med ett positivt egenvärde. 5 c A 5 8 Vi har att A är en reell symmetrisk matris. Man kan då visa att alla egenvärden är reella samt egenvektorerna kan väljas ortonormala. Alltså kommer vi att kunna bilda en ortogonal egenvektormatris så småningom. Men först: bestäm egenvärden (lös karakteristiska ekvationen så att 5 λ det(a λi 5 λ utveckla efter rad } 8 λ (5 λ 5 λ 8 λ 8 λ + ( 5 λ (5 λ [ (5 λ(8 λ ] [ (8 λ ( ] [ (5 λ( ] (5 λ [ λ λ + 6 ] [ 6 λ ] [ 8 λ ] λ + 8λ 8λ p(λ λ(λ 8λ + 8 λ λ 9 ± Vi har med andra ord reella egenvärden. Dessutom har ett av dem algebraisk multiplicitet men eftersom A var reell och symmetrisk ska fortfarande g och g kunna väljas linjärt oberoende (t.o.m. ortonormala. bestäm motsvarande egenvektorer (lös homogent linjärt ekvationssystem λ 9: g (A λ Ig o g g där Gausselimination ger g g g g g g dvs. g + g g. Inför två fria parametrar g s g t s t R så att g s t. Alltså är g s +t }}}} r vilket motsvarar ett plan genom origo med riktningsvektorer r och r. Alla vektorer i planet satisfierar (9 och är egenvektorer till A. Kan godtyckligt välja två stycken. Särskilt via t.ex. Gram-Schmidt-ortogonalisering två ortonormala sådana: där q s t } q r s t } g q q g q ( g T q g + g g g

7 Vecka Vecka motsvarande direkta men kanske inte uppenbara val av (s t ( (s t för g. för g samt Anmärkning. q och g är också giltiga egenvektorer. Gram-Schmidt-ortogonaliseringen ger dock ortonormala sådana som spänner upp samma rum dvs. spang g } spanq q } (man kan bilda endera vektorparet som en linjärkombination av det andra. Den allmänna lösningen till det linjära systemet (8 fås till x(t c e 9t e 9t så att systemet är instabilt med två positiva egenvärden. λ : 5 g (A λ Ig o 5 g 8 g där Gausselimination ger 5 g 5 5 g g 5 5 g g 8 6 g g g g g g g dvs. att g + g. Inför fri parameter g s R så att g s. Då blir från första ekvationen g 5 (8s + s s. Därmed g s välj s för normerad egenvektor}. sätt upp egenvärdes- och egenvektormatris Egenvärdesmatrisen ges av 9 D diag(λ λ λ 9 medan den ortogonala egenvektormatrisen är g g g.

8 Vecka Vecka Dynamiskt system X ( T. Uppgift 5 Bestäm stationära punkter och avgör deras stabilitet för följande system. c Vi har X X + X X + X X ( X X + X X X + X X X ( X X + X X ( eller X F(X på vektorform. Stationära punkter ges av F(X O. För ( identifieras X X + X X + X X ( X + X + X }} > om X. För ( följer Har att F ( X är nedåt triangulär så att egenvärdena återfinns på huvuddiagonalen: λ λ λ (algebraisk multiplicitet. Positiva egenvärden medför instabilt system. X ( T Får karakteristiska ekvationen det ( F ( X λi λ λ utveckla efter rad } λ ( λ λ λ ( λ (λ(λ ( λ ( λ λ dvs. λ samt λ ± + ± 5. Med två positiva egenvärden blir m.a.o. systemet instabilt. X X + X X X + X X X X } X X X X ( X om X eller X. Sist för ( X X + X X X om X X X + om X X dvs. att vi får två stationära punkter: X ( T samt X ( T. Vidare ges linjäriseringen av F och därigenom av systemet kring en stationär punkt X som F(X F( } X +F ( } X(X X F ( X(X X där så att F X F ( X F X F X F X F X F X F + X X F + X X X X X + X X X X + X X X + X X F X X F ( X F ( X. De linjäriserade systemen är X F ( X(X X att lösa för X X. Här ska emellertid endast deras stabilitet avgöras (räcker att bestämma egenvektorer för motsvarande systemoch Jacobimatriser. 5 6

9 Vecka Vecka Linjär algebra PQ Q P ändrar inte på vektorer redan i spanq}}. Uppgift 5 Låt V vara ett underrum till R m av dimension n < m som spänns upp av kolonnvektorerna i matrisen Q R m n. Projektionsmatrisen P för ortogonal projektion på V ges av P Q ( Q T Q Q T. Visa att P QQ T om kolonnerna i Q är ortonormala. Avancerat: Bevisa formeln för P. Med ortonormala kolonnvektorer q i gäller att element ij i n n-produkten Q T Q är Q T Q } ij (q om i j i q j annars dvs. Q T Q I och det följer att vilket skulle visas. P Q ( Q T Q Q T QI Q T QIQ T QQ T För att P ska vara en ortogonal projektion på spanq} måste P P P T P Minns räknereglerna P är idempotent} P är symmetrisk} (A PA T Q O Vi kontrollerar ytterligare en gång: skillnadsvektorn är ortogonal mot alla vektorer i spanq}} PQ Q ( Q T Q Q T Q Q }} I (A PA T Q A T Q A T P T Q A T Q A T PQ A T Q A T Q O och känner oss tillfreds med resultatet.. Uppgift Visa att om λ är egenvärde till A så är λ egenvärde till A. Givet att A är inverterbar förlänger vi (9 med λ A : och förenklar ledvis λ A Ag λ A λg VL: λ A Ag λ Ig λ g HL: λ A λg A λ λg A g A g så att λ g A g. Men detta är ju på formen (9 med λ som egenvärde till A vilket skulle visas. (i (AB T B T A T (ii (A T (A T. Vi kontrollerar: P Q ( Q T Q Q T ( Q Q T Q Q T Q ( Q T Q Q T P } } I P T ( Q ( Q T Q Q T T Q ( (Q T Q T Q T (ii Q (i Q ( Q T Q Q T P ( (Q T Q T Q T dvs. att den givna formeln överensstämmer med definitionen (är m.a.o. en ortogonal projektion. För att vidare (egentligen inte del av uppgiften motivera definitionen kan vi pröva 7 8

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

K 4-1. Introduktion till Egenvärden och SVD. Egenvärdesproblemet. Egenvektorn. Egenskaper

K 4-1. Introduktion till Egenvärden och SVD. Egenvärdesproblemet. Egenvektorn. Egenskaper Introduktion till Egenvärden och SVD Har detta något egenvärde? Egenvärdesproblemet Lösning till system av ODE s Egenvärdena är den viktigaste egenskapen i praktiskt taget alla dynamiska system, ofta med

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1: Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system

Läs mer

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet.

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Linja r algebra TATA (del) Allmänt Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Matrisekvationer och Gauss-elimination o Parameterform Allmänt om vektorer o Räknelagar

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 =

(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 = Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I. Torsdagen den 3 maj, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar. TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8) 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamen på kursen SF1604 (och B1109, för D1, Mars 9, 008, kl: 9:00-14:00 Inga hjälpmedel ät tillåtna 1 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 1 poäng totalt eller

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

5.7. Ortogonaliseringsmetoder

5.7. Ortogonaliseringsmetoder 5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Lösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 2004.

Lösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 2004. Institutionen för matematik. KTH Lösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 24. 1. Gausselimination ger: 2 3 5 2 1 5 6 b 1 2 3 3 1 2 3 1 1 1 1 3 b/3 1 8 1

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-53 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet december Ekvationssytem och matrisräkning 3 Gauss metod, LU-uppdelning 3 Egenvärden 4 Projektioner 9 Principalkomponenter Differentialekvationssystem

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Kapitel 1 och 11.2 alt. 11.9 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.)

Läs mer

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0 DEFINITIONEN AV LINJÄRT BEROENDE MED EXEMPEL Objective:: Linjärt beroende och oberoende version. Definitionen av linjärt beroende med exempel Vi börjar med ett inledande exempel för att motivera definitionen

Läs mer

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003. Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-11532 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet 2 december 21 G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-11532 Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 1 / 39 1 Ekvationssytem och matrisräkning

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI

LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI Seriöst, de här e fan allting. DE HÄR ÄR ALLT SKIT DU BEHÖVER, SKIT I ALLT ANNAT. STÅR DE INTE HÄR ÄR DE ONÖDIGT Contents Räkneregler för Vektorer... 2 Multiplikation mellan skalär

Läs mer

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Per Alexandersson February 27, 2013 Abstract Här är läsanvisningar samt några kompletterande uppgifter till materialet i kursboken

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 --4 DAG: Måndag 4 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67-8-5 DAG: Onsdag 5 augusti TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant. Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Egenvektorer och egenvärden

Egenvektorer och egenvärden Egenvektorer och egenvärden Diagonalmatriser Tidigare (Sparr, kap.8) har vi bestämt avbildningsmatriser för givna linjära avbildningar. Ofta förekommer det omvända problemet (om än i diverse förklädnader):

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på

Läs mer