ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

Transkript

1 Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet 9. Uppgift Dynamiskt system 5. Uppgift Linjär algebra 7. Uppgift Uppgift David Heintz januari 6 ii

2 Vecka Vecka Linearization and Stability. Uppgift 9. a Skriv systemet (första ordningens ODE icke-linjärt konstanta koefficienter u (t u (t ( u (t u (t u (tu (t på formen u f(u. Finn stationära punkter ū. Vi utelämnar av bekvämlighet den oberoende variabeln t. Får därvid ( u u u u u f (u f(u ( u u f (u på angiven form. Vidare ges stationära punkter av u u u f(u o u u dvs. här som lösningen av ett homogent icke-linjärt ekvationssystem. Identifierar att första ekvationen är noll för u eller u ± men eftersom den andra är nollskild för u fås stationära punkter när u u alt. u u dvs. ū ±(. b Beräkna Jacobimatrisen Df(u. Linjärisera systemet ( kring varje stationär punkt dvs. skriv ner det linjäriserade systemet v Df(ūv. Jacobimatrisen samlar f:s partiella derivator ( f f u u så att Df(u f u f u ( u u u u u Df(ū Df(ū. Låt sedan u(t ū + v(t (där v(t kan betraktas som en perturbation av ett jämviktsläge ū. Det följer att vars linjärisering kring ū blir v u ū v (u ū u f(u f(ū + v f(ū + v f(ū + Df(ūv Df(ūv eftersom ū var en stationär punkt. Alltså är de sökta linjäriserade systemen v v v v Df(ū v v ( v v v v Df(ū v v. ( c Lös det linjäriserade problemet analytiskt. Är de stationära punkterna stabila? Vi vet att ett linjärt första ordningens system av ODE med konstanta koefficienter v Df(ūv har den allmänna lösningen v( v v(t n c i e λit g i ( i där λ i och g i är egenvärden resp. egenvektorer till Df(ū (se t.ex. [Dynamiskt system S. Larsson] eller [Egenvärdesproblemet S. Larsson]. Koefficienterna c i kan bestämmas via begynnelsevillkoret för specifik lösning. Vi lärde oss också hur systemets stabilitet beror av egenvärdena. För att besvara frågorna måste vi först lösa egenvärdesproblemet (se Uppgift 97. för närmare beskrivning. i ū ( bestäm egenvärden (lös karakteristiska ekvationen det(df(ū λi λ λ ( + λ( + λ dvs. λ λ. bestäm motsvarande egenvektorer (lös homogent linjärt ekvationssystem λ : g (Df(ū λ Ig o g dvs. g +g. Med g s R som fri parameter fås g s. Alltså blir tillhörande egenvektor λ : ( g s s }. g (Df(ū λ Ig o g dvs. g g g. Med g t R som fri parameter fås motsvarande egenvektor g t t }.

3 Vecka Vecka Den allmänna lösningen till det linjära systemet ( fås från ( till att vara v(t c e t e t och med negativa egenvärden drar vi slutsatsen att ū är en stabil stationär punkt. ii ū ( bestäm egenvärden (lös karakteristiska ekvationen det(df(ū λi λ λ ( + λ(λ dvs. λ λ. bestäm motsvarande egenvektorer (lös homogent linjärt ekvationssystem λ : g (Df(ū λ Ig o 5 g dvs. g + 5g. Med g s R som fri parameter fås g 5 s. Med andra ord blir motsvarande egenvektor 5 g s 5 s }. λ : 5 g (Df(ū λ Ig o g dvs. 5g g g. Med g t R som fri parameter fås motsvarande egenvektor g t t }. Den allmänna lösningen till det linjära systemet ( är alltså v(t c e t 5 e t och med ett positivt egenvärde visar sig ū vara en instabil stationär punkt.. Uppgift 9.5 Uppgiften är väsentligen densamma som föregående. Vi lämnar därför beräkningarna utan ytterligare kommentarer. 5 a Skriv systemet (första ordningens ODE icke-linjärt konstanta koefficienter u (t u (t ( u (t u (t u (t ( u (t på formen u f(u. Finn stationära punkter ū. På efterfrågad form fås ( u u u u f (u u f(u. (5 u ( u f (u Stationära punkter ges av u f(u o dvs. ū ( samt ū ( efter identifiering. u ( u u ( u b Beräkna Jacobimatrisen Df(u. Linjärisera systemet (5 kring varje stationär punkt dvs. skriv ner det linjäriserade systemet v Df(ūv. Jacobimatrisen blir så att Df(u Df(ū ( f f u u f f u u I Df(ū u u u u. De sökta linjäriserade systemen är v v v v v Df(ū v v v (6 v v v v v Df(ū v v v. (7 c Lös det linjäriserade problemet analytiskt. Är de stationära punkterna stabila? Vi löser egenvärdesproblemet: i ū ( Med reell symmetrisk systemmatris förväntar vi oss reella egenvärden samt möjlighet att välja ortonormala egenvektorer. bestäm egenvärden (lös karakteristiska ekvationen det(df(ū λi λ λ ( λ dvs. λ (egenvärde med algebraisk multiplicitet. 6

4 Vecka Vecka Anmärkning. För triangulära och då särskilt diagonala systemmatriser återfinns egenvärdena på huvuddiagonalen (inses av att alla termer utom en i VL av karakterisktiska ekvationen blir noll. Vi hade här alltså inte behövt ställa upp karakteristiska ekvationen för att bestämma λ. bestäm motsvarande egenvektorer (lös homogent linjärt ekvationssystem λ : g (Df(ū λ Ig o g dvs. att g s g t s t R båda måste vara fria parametrar. Därmed kan motsvarande egenvektorer väljas godtyckligt från planet g s + t. Med (s t ( resp. (s t ( fås exempelvis ortonormalt g g. Anmärkning. När systemmatrisen är enhetsmatrisen ges egenvektorerna av enhetsvektorerna (detsamma är inte nödvändigt sant för triangulära systemmatriser. Vi hade här alltså inte behövt lösa ekvationssystem för att bestämma egenvektorerna g e ( T och g e ( T. Den allmänna lösningen till det linjära systemet (6 är v(t c e t e t e t c c och med positiva egenvärden måste ū vara en instabil stationär punkt. där Gausselimination leder till g g g g dvs. g g. Med g s R som fri parameter fås g s. Alltså blir tillhörande egenvektor g s s }. λ : g (Df(ū λ Ig o g där Gausselimination leder till g g g g dvs. g g. Med g t R som fri parameter fås g t. Med andra ord blir motsvarande egenvektor g t t }. Den allmänna lösningen till det linjära systemet (7 är alltså v(t c e t e t och med ett positivt egenvärde är ū en instabil stationär punkt. ii ū ( bestäm egenvärden (lös karakteristiska ekvationen det(df(ū λi λ λ λ dvs. λ ±. bestäm motsvarande egenvektorer (lös homogent linjärt ekvationssystem λ : g (Df(ū λ Ig o g 7 8

5 Vecka Vecka Egenvärdesproblemet. Uppgift 97. Lös egenvärdesproblemet för matrisen A i följande fall. Bestäm om möjligt en ortogonal egenvektormatris P. Lös systemet x Ax (8 x( x och avgör dess stabilitet. a A Vi formulerar egenvärdesproblemet: Finn icke-triviala lösningar (g o till det linjära ekvationssystmet Ag λg (9 där λ kallas egenvärde med g som motsvarande egenvektor till A. Anmärkning. Geometriskt betyder (9 att vi söker riktningar utmed vilka transformationen från A reduceras till en skalning (mer allmänt kan matris-vektor-multiplikationer utöver skalning inkludera t.ex. rotation reflektion i hyperplan permutationer av komponenter... riktningar och skalningsfaktorer ges av g resp. λ. För att lösa (9 skriver vi om systemet på den ekvivalenta homogena formen (A λig o. ( Kom ihåg att icke-triviala lösningar fås endast om koefficientmatris är singulär. Alltså måste p(λ det(a λi ( där ( kallas karakteristiska ekvationen. Det är en polynomekvation det(a λi λ λ ( λ( λ λ λ med rötter λ ± 9 + ± 7 5 samma som A:s egenvärden. För varje egenvärde (med A R n n är grad p n och p har lika många nollställen löses sedan ( för tillhörande egenvektor g k. Vanligen numreras egenvärden efter största magnitud: λ λ λ n. Vi får då λ 5 : g (A λ Ig o g 9 där Gausselimination ger (här representerad via multiplikation med elementära eliminationsmatriser g g g g dvs. g + g. Vi låter g s R vara fri parameter så att g s. Alltså är g s välj godtyckligt s } g. ( λ : g (A λ Ig o g där Gausselimination leder till g g g g dvs. g + g. Vi låter g t R vara fri parameter så att g t. Då blir g t välj godtyckligt t } g. Anmärkning. Notera följande: Givet Ag λg fås efter multiplikation med α R att (αag (αλg A(αg λ(αg där den vänstra likheten säger att om A har egenvärdet λ så har αa egenvärdet αλ medan den högra säger att egenvektorer endast är bestämda upp till en skalär dvs. till sin riktning medan längden kan variera. Egenvärdesmatrisen ges av med motsvarande egenvektormatris 5 D diag(λ λ P ( g g (.

6 Vecka Vecka Anmärkning. Notera att en ortogonal egenvektormatris inte kan bildas (för en ortogonal matris Q gäller att Q T Q : (g g ( + dvs. g och g är inte ortogonala. Nödvändigt för en ortogonal matris är att kolonnvektorerna är ortonormala (utöver vinkelräta alltså även normerade. Anmärkning. Med distinkta egenvärden kan man visa att egenvektorerna blir linjärt oberoende. Då är också P inverterbar och det gäller att AP ( Ag... Ag n ( λ g... λ n g n PD P AP D och man säger att A är diagonaliserbar. Egenvektorerna kan vara linjärt oberoende även om egenvärden sammanfaller (algebraisk multiplicitet > men det är inte säkert. Den allmänna lösningen till det linjära systemet (8 fås nu via ( som x(t c e 5t e t så att systemet är instabilt med ett positivt egenvärde. 5 c A 5 8 Vi har att A är en reell symmetrisk matris. Man kan då visa att alla egenvärden är reella samt egenvektorerna kan väljas ortonormala. Alltså kommer vi att kunna bilda en ortogonal egenvektormatris så småningom. Men först: bestäm egenvärden (lös karakteristiska ekvationen så att 5 λ det(a λi 5 λ utveckla efter rad } 8 λ (5 λ 5 λ 8 λ 8 λ + ( 5 λ (5 λ [ (5 λ(8 λ ] [ (8 λ ( ] [ (5 λ( ] (5 λ [ λ λ + 6 ] [ 6 λ ] [ 8 λ ] λ + 8λ 8λ p(λ λ(λ 8λ + 8 λ λ 9 ± Vi har med andra ord reella egenvärden. Dessutom har ett av dem algebraisk multiplicitet men eftersom A var reell och symmetrisk ska fortfarande g och g kunna väljas linjärt oberoende (t.o.m. ortonormala. bestäm motsvarande egenvektorer (lös homogent linjärt ekvationssystem λ 9: g (A λ Ig o g g där Gausselimination ger g g g g g g dvs. g + g g. Inför två fria parametrar g s g t s t R så att g s t. Alltså är g s +t }}}} r vilket motsvarar ett plan genom origo med riktningsvektorer r och r. Alla vektorer i planet satisfierar (9 och är egenvektorer till A. Kan godtyckligt välja två stycken. Särskilt via t.ex. Gram-Schmidt-ortogonalisering två ortonormala sådana: där q s t } q r s t } g q q g q ( g T q g + g g g

7 Vecka Vecka motsvarande direkta men kanske inte uppenbara val av (s t ( (s t för g. för g samt Anmärkning. q och g är också giltiga egenvektorer. Gram-Schmidt-ortogonaliseringen ger dock ortonormala sådana som spänner upp samma rum dvs. spang g } spanq q } (man kan bilda endera vektorparet som en linjärkombination av det andra. Den allmänna lösningen till det linjära systemet (8 fås till x(t c e 9t e 9t så att systemet är instabilt med två positiva egenvärden. λ : 5 g (A λ Ig o 5 g 8 g där Gausselimination ger 5 g 5 5 g g 5 5 g g 8 6 g g g g g g g dvs. att g + g. Inför fri parameter g s R så att g s. Då blir från första ekvationen g 5 (8s + s s. Därmed g s välj s för normerad egenvektor}. sätt upp egenvärdes- och egenvektormatris Egenvärdesmatrisen ges av 9 D diag(λ λ λ 9 medan den ortogonala egenvektormatrisen är g g g.

8 Vecka Vecka Dynamiskt system X ( T. Uppgift 5 Bestäm stationära punkter och avgör deras stabilitet för följande system. c Vi har X X + X X + X X ( X X + X X X + X X X ( X X + X X ( eller X F(X på vektorform. Stationära punkter ges av F(X O. För ( identifieras X X + X X + X X ( X + X + X }} > om X. För ( följer Har att F ( X är nedåt triangulär så att egenvärdena återfinns på huvuddiagonalen: λ λ λ (algebraisk multiplicitet. Positiva egenvärden medför instabilt system. X ( T Får karakteristiska ekvationen det ( F ( X λi λ λ utveckla efter rad } λ ( λ λ λ ( λ (λ(λ ( λ ( λ λ dvs. λ samt λ ± + ± 5. Med två positiva egenvärden blir m.a.o. systemet instabilt. X X + X X X + X X X X } X X X X ( X om X eller X. Sist för ( X X + X X X om X X X + om X X dvs. att vi får två stationära punkter: X ( T samt X ( T. Vidare ges linjäriseringen av F och därigenom av systemet kring en stationär punkt X som F(X F( } X +F ( } X(X X F ( X(X X där så att F X F ( X F X F X F X F X F X F + X X F + X X X X X + X X X X + X X X + X X F X X F ( X F ( X. De linjäriserade systemen är X F ( X(X X att lösa för X X. Här ska emellertid endast deras stabilitet avgöras (räcker att bestämma egenvektorer för motsvarande systemoch Jacobimatriser. 5 6

9 Vecka Vecka Linjär algebra PQ Q P ändrar inte på vektorer redan i spanq}}. Uppgift 5 Låt V vara ett underrum till R m av dimension n < m som spänns upp av kolonnvektorerna i matrisen Q R m n. Projektionsmatrisen P för ortogonal projektion på V ges av P Q ( Q T Q Q T. Visa att P QQ T om kolonnerna i Q är ortonormala. Avancerat: Bevisa formeln för P. Med ortonormala kolonnvektorer q i gäller att element ij i n n-produkten Q T Q är Q T Q } ij (q om i j i q j annars dvs. Q T Q I och det följer att vilket skulle visas. P Q ( Q T Q Q T QI Q T QIQ T QQ T För att P ska vara en ortogonal projektion på spanq} måste P P P T P Minns räknereglerna P är idempotent} P är symmetrisk} (A PA T Q O Vi kontrollerar ytterligare en gång: skillnadsvektorn är ortogonal mot alla vektorer i spanq}} PQ Q ( Q T Q Q T Q Q }} I (A PA T Q A T Q A T P T Q A T Q A T PQ A T Q A T Q O och känner oss tillfreds med resultatet.. Uppgift Visa att om λ är egenvärde till A så är λ egenvärde till A. Givet att A är inverterbar förlänger vi (9 med λ A : och förenklar ledvis λ A Ag λ A λg VL: λ A Ag λ Ig λ g HL: λ A λg A λ λg A g A g så att λ g A g. Men detta är ju på formen (9 med λ som egenvärde till A vilket skulle visas. (i (AB T B T A T (ii (A T (A T. Vi kontrollerar: P Q ( Q T Q Q T ( Q Q T Q Q T Q ( Q T Q Q T P } } I P T ( Q ( Q T Q Q T T Q ( (Q T Q T Q T (ii Q (i Q ( Q T Q Q T P ( (Q T Q T Q T dvs. att den givna formeln överensstämmer med definitionen (är m.a.o. en ortogonal projektion. För att vidare (egentligen inte del av uppgiften motivera definitionen kan vi pröva 7 8