Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Transkript

1 Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv tydligt på varje papper vilket prov du avlägger, Tentamensuppgifterna är uppgifter av uppgifterna 2, 3, 6, 8, 9 och. Mellanförhörsomtagningsuppgifterna är: Mf : Uppgifterna, 2, 3 och 4 Mf 2: Uppgifterna, 6, 7 och 8 Mf 3: Uppgifterna 9,, och 2. (a) Skriv det komplexa talet 4 + 7i i formen a + bi där a, b R. 2 + i (b) Vad är det komplexa konjugatet av e 2 πi? Lösning: (a) Genom att förlänga med nämnarens konjugat får vi 4 + 7i 2 + i = (4 + 7i)(2 i) = 8 4i + 4i + 7 = + i = 3 + 2i. (b) Eftersom e 2 πi = cos( π) + i sin( π) = cos(2π + π) + i sin(2π + π) = cos( π) i sin( π) = i är konjugatet i Skär normalen till planet x + 2y + 3z = 2 i punkten (3, 2, ) x-axeln och om den gör det i vilken punkt? Lösning: Planets normal är i+2j+3k och linjens ekvation blir därför 3i 2j+k+t(i+2j+3k). Om denna linje skär x-axeln så finns det ett tal t så att 3i 2j + k + t(i + 2j + 3k) = xi. Detta betyder att 3 + t = x 2 + 2t = + 3t =. Den andra ekvationen ger t = men då kan inte den tredje ekvationen gälla vilket betyder att linjen ifråga inte skär x-axeln. 3. Bestäm alla lösningar till följande ekvationssystem med hjälp av Gauss algoritm: 2x +4x 2 +6x 4 = 8 4x 7x 2 +2x 3 2x 4 = 8 2x +7x 2 +6x 3 +8x 4 = 3 4x 9x 2 2x 3 8x 4 = 28

2 Lösning: Med hjälp av Gauss algoritm får vi r 2 r 2 + 2r r 3 r 3 r r 4 r 4 + 2r r 3 r 3 3r 2 r 4 r 4 + r 2 r 4 r 4 2r 3 Eftersom den sista raden endast består av nollor kan den lämnas bort. Den tredje raden ger ekvationen 2x 4 = 2 vilket innebär att x 4 =. Eftersom det inte finns något pivot-element i den tredje kolumnen kan x 3 väljas fritt och vi skriver x 3 = s. Den andra raden ger ekvationen x 2 + 2x 3 = 8 vilket ger x 2 = 8 2s. Den första raden ger ekvationen 2x + 4x 2 + 6x 4 = 8 vilket ger x = 4 2x 2 3x 4 = s + 3 = 9 + 4s. Lösningen kan alltså skrivas i formen x x 2 x 3 x = 8 + s Antag att A och B är n n matriser så att ingendera av dem är nollmatriser men AB =. Förklara varför det följer av detta att det(a) = det(b) =. Lösning: Om det(a) så är A inverterbar och = A = A AB = IB = B vilket är en motsägelse eftersom vi antog att B. På motsvarande sätt får vi om det(b) att B är inverterbar och därför = B = ABB = A vilket är en motsägelse eftersom A. Detta innebär att det(a) = det(b) =.. Bestäm matrisens A = [ 6 8 ] egenvärden och egenvektorer. Lösning: Först löser vi den karakteristiska ekvationen () ( λ) 6 det(a λi) = det = λ 8 ( λ) 2 λ 2 =.

3 Som lösningar får vi, λ = 2 ± = { 2,, av vilket vi ser att egenvärdena är λ = 2 och λ 2 =. I nästa steg räknar vi ut en egenvektor som hör till egenvärdet λ = 2 dvs. vi löser ekvationen (A 2I)X =. Med Gauss metod får vi, r 2 r 2 + 3r Av detta ser vi att om vi väljer x 2 = så får [ vi] ur ekvationen 2x [ 6x ] 2 = lösningen x =. Som egenvektor kan vi alltså välja 2, eller lika väl X 2 =. 2 En egenvektor som hör till egenvärdet λ 2 = kan vi räkna ut på samma sätt, dvs. vi löser ekvationen (A + I)X =. Med Gauss metod får vi, r 2 r 2 + 2r 9 6 Av detta ser vi att om vi väljer x 2 = så får [ vi] ur ekvationen 9x [ 6x] 2 = lösningen x = 2. Som egenvektor kan vi alltså välja 2 3 2, eller lika väl X 3 2 = Antag att punkterna (x j, y j ) R 2, j =, 2,..., n är givna (och att x j x k då j k) och man skall bestämma konstanterna c, c 2 och c 3 så att summan n j= c e x j + c 2 + c 3 e x j y j 2 är så liten som möjligt. Bestäm en matris A så att lösningen är c = (A T A) A T Y där y Y =.. y n Lösning: Om c e x j + c 2 + c 3 e x j y j = då j =, 2,..., n så är X = c en lösning till ekvationssystemet AX = Y där e x e x e A = x 2 e x e xn e xn Nu kan man inte vänta sig att det finns en lösning till detta ekvationssystem men man kan minimera längden av vektorn AX Y 2 och det är precis vad som sägs i uppgiften att man c 2 c 3 c 2 c 3

4 gör. Om man gör detta kommer minimivärdet att uppnås då X = (A T A) A T Y (eftersom A(A T A) A T Y är projektionen av Y på A:s bildrum). 7. Utnyttja resultatet 3 3 = 27 för att med linjär approximation uppskatta 3 3. Lösning: Om f(x) = 3 x = x 3 så är f (x) = 2 x 2 3 och linjär approximation innebär att f(x + h) f(x) + f (x)h. I detta fall väljer vi x = 27 och h = 3 så att 3 3 f(27) + f (27) 3 = ( 3 27) = = Om man löser ekvationen f(x) =, där f är en viss två gånger deriverbar funktion, med hjälp av Newton-Raphsons metod så får man som resultat följande värden för punkterna x n, n =,,..., 7: Det ser alltså ut som om lim n x n = 2. Vad kan du säga om f( 2), f ( 2) och f ( 2)? Motivera dina svar! Lösning: Om lim n x n existerar så är lim n f(x n ) = om inte lim n f (x n ) = vilket inte kan vara fallet här. Därför kan vi dra slutsatsen att f(2) =. Om nu f (2) så skulle talen x n konvergera väldigt snabbt mot 2 (eftersom f är två gånger kontinuerligt deriverbar). Eftersom det inte ser så ut kan vi dra slutsatsen att f (2) = eller åtmintone mycket nära. Beträffande f ( 2) kan man inte säga någonting med stöd av de givna uppgifterna. 9. Använd partiell integrering för att räkna ut integralen Lösning: Med partiell integrering får vi te t dt = / 2 t ( e t) = 2e 2 + ( e t) dt e t dt = 2e 2 / 2 te t dt. e t = 2e 2 e 2 + = 3e 2.

5 . Beträffande funktionen f känner man till följande värden: x f(x) Bestäm, på något förnuftigt sätt, en uppskattning av 3 f(x) dx. Observera att avstånden mellan de givna x-värdena inte alla är lika stora! Lösning: Om vi använder trapetsmetoden approximerar vi funktionen med en funktion som är bitvis linjär och som går genom de givna punkterna och sedan räknar vi ut integralen av denna funktion. Resultatet blir b n f(x) dffx (x j x j ) (f(x 2 j) + f(x j )), så att i detta fall får vi 3 a j= f(x) dx (.4 ) (.4 +.6) + (.6.4) (.6 +.6)+ 2 2 (2.6) (.6 +.) + (2.4 2) (. +.8) + (3 2.4) (.8 +.6) = =.42.. (a) Lös ekvationen y (t) + 2y(t) = 6, y() = 2. (b) Lös ekvationen y (t) 6y(t) + 9y(t) =, y() = 3, y () = 4. Lösning: (a) Man kan lösa ekvationen på olika sätt, ett är att skriva lösningen i formen y(t) = e 2t y() + t e 2(t s) 6 ds = e 2t 2 + e 2t / t 3e 2s = e 2t 2 + e 2t( 3e 2t 3 ) = 3 e 2t. (b) Den karakteristiska ekvationen (som man erhåller genom att sätta in y(t) = ce rt ) är 3 2 6r + 9 =, och lösningarna är r = 3 ± 9 9 = 3. Eftersom r = r 2 är den allmänna lösningen till differentialekvationen y(t) = c e 3t + c 2 te 3t. Av villkoret y() = 3 följer att 3 = c + c 2 vilket betyder att c = 3. Eftersom y (t) = 3c e 3t + c 2 e 3t + 3c 2 te 3t så betyder villkoret y () = 4 att 4 = 3c + c 2 vilket ger c 2 = 4 9 =. Lösningen är alltså y(t) = 3e 3t te 3t.

6 2. Behållaren A innehåller 2 liter och behållaren B 4 liter saltvatten. Vid tidpunkten t = är salthalten i behållaren A 2 g och i behållaren B 4 g salt per liter vätska. Till behållaren A pumpas med hastigheten 3 liter per minut vatten som innehåller 4 g salt per liter och liter per minut från behållaren B. Vätskan i behållaren A blandas och 4 liter vätska pumpas per minut över till behållaren B. Till behållaren B pumpas också liter rent vatten per minut, och av den väl blandade vätskan pumpas liter per minut tillbaka till behållaren A och 4 liter per minut pumpas ut. (a) Ge ett differentialekvationssytem ur vilket man kan lösa saltmängderna i behållarna, (men du behöver inte lösa systemet). (b) Bestäm gränsvärdena av saltmängderna då t (men du kan anta att saltmängderna har gränsvärden). Lösning: Låt x(t) vara saltmängden i behållaren A och y(t) saltmängden i behållaren B vid tidpunkten t. Eftersom vätskemängderna hela tiden förblir oförändrade så är salthalterna x(t)/2 och y(t)/4 (g/l). Differentialekvationssystemet blir därför x (t) = x(t) y(t) + 3 4, x() = 4, 4 y (t) = x(t) 2 4 y(t) ( + 4), y() = 6. 4 Om vi skriver ekvationen i formen Y (t) + AY (t) = F (t) så blir koefficentmatrisen [ ] A = 4, och F (t) = 8 [ 4 ]. Om lösningarna har gränsvärden (vilket de har om A:s egenvärden har positiv reell del vilket är fallet här) så gäller [ x(t) 4 lim = A t y(t) ] [ = ] = =