Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 16 januari 2009 TID:

Transkript

1 Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA DAG: Fredag 6 januari 9 TID: SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: Förfrågningar: Ivar Gustafsson Lösningar: Anslås vid sal MVF Resultat: Anslås vid sal MVF senast februari, resultat tillsänds dig. Tentan kan hämtas i mottagningsrummet dagligen mellan.- Betygsgränser:, 4, 54 av maximalt 6 poäng Bonus (högst poäng) från inlämningsuppgifter får tillgodoräknas. Hjälpmedel: Inga Iakttag följande: - Skriv tydligt och disponera papperet på lämpligt sätt - Börja varje ny uppgift på nytt blad - Alla svar skall väl motiveras LYCKA TILL! Uppgift. a) Låt {v i } m i= vara linjärt oberoende vektorer i det linjära rummet V och antag att u / Span{v i } m i=. Visa att då är mängden {v, v,,... v m, u} linjärt oberoende. (4p) b) Visa att polynomen t + t, t + t och + 4t 7t är linjärt beroende i P, mängden av polynom av grad. (p) Uppgift. Låt A = a) Bestäm ortogonala projektionen av x = [ ] T på nollrummet Nul(A). (p) b) Bestäm ortogonala projektionen av y = [ ] T på kolonnrummet Col(A). (4p)

2 Uppgift. Betrakta den kvadratiska formen Q(x) = x + x + x + 4x x + 8x x. a) Karakterisera den kvadratiska formen - är den positivt definit, negativt definit eller indefinit? (p) b) Bestäm största och minsta värde på Q(x) då x =. Bestäm alla vektorer u med u = sådana att Q(u) blir maximal resp. minimal. (4p) c) Låt u vara en vektor sådan att u T u = 4 och Q(u ) är maximal. Bestäm största värdet på Q(x) under villkoren x = och x T u =. (p) Uppgift 4. Låt A vara en m n-matris med m > n, rang(a) = r och singulära värden σ σ... σ r. a) Definiera en full SVD-faktorisering (singulärvärdesfaktorisering) av A. (p) b) Ange bästa approximation A k av rang k, k < r till matrisen A. (p) c) Visa att A A k = σ k+ då A k är approximationen enligt b). (4p) Uppgift 5. En funktion f(x) är beräknad i fyra punkter enligt tabellen: x - f a) Bestäm, som approximation till f, det polynom av grad som ansluter till punkterna (x, f(x)) i minsta-kvadrat-mening. (p) b) Bestäm, som approximation till f, interpolationspolynomet genom punkterna. (p) c) Bestäm, som approximation till f, en kvadratisk spline s genom punkterna, med noder i de inre punkterna (, ) och (, ) och som uppfyller s () =. (4p) Uppgift 6. a) Vi vill bestämma b så att b {sin(t) + t } dt = approximativt med Newtons metod. Teckna en iterationsformel som inte innehåller integralberäkning. (p) b) Anta att du har ett litet fel δb i en approximation b till b i a)-uppgiften. Ange hur stort felet i integralens värde ungefär blir på grund av felet δb. Din formel får innehålla approximationen b. (p) Uppgift 7. a) Ange sökriktning och optimal steglängd vid steepest descent-metoden på ett kvadratiskt optimeringsproblem i flera variabler utan bivillkor. (p) b) Gör en iteration med steepest descent-metoden på problemet min x + x + x x + x x för x R med start i origo. (p) Uppgift 8. Betrakta begynnelsevärdesproblemet y + y + cy = t, y() =, y () = för t och där c är en positiv parameter. a) Skriv om problemet till ett system av första ordningens differentialekvationer. (p) b) Undersök för vilka värden på c som problemet är stabilt. (p) c) Välj c = och gör ett steg med Eulers framåtmetod med steglängd h =. på systemet i a)-uppgiften. (p) d) Anta att vi vill bestämma c så att y () =.5. Skriv upp den ekvation som ska lösas samt formulera en lämplig iterativ numerisk metod för att lösa ekvationen. Vari består det tyngsta arbetet under en iteration av metoden? (p)

3 Institutionen för Matematik Göteborg F - Linjär algebra och numerisk analys, TMA67 Lösningar till tentamen 6 januari 9 a) Undersök en linjärkombination som ger nollvektorn: m i= c iv i + du =. Vi ska visa att alla c i, i =,..., m = och d =. Om d så gäller u = m d i= c iv i Span{v i } m i= vilket motsäger antagandet. Alltså är u =. Men då är m i= c iv i =. Antagandet att {v i } m i= är linjärt oberoende ger nu c i =, i =,..., m. b) Koordinatvektorerna i standardbasen för P, dvs {, t, t }, sätts som kolonner i matrisen A = 4. Radreduktion på denna matris ger att kolonnerna är 7 linjärt beroende, rangen är, dvs de aktuella polynomen är linjärt beroende. a) Lös homogena systemet Ax =, ger Nul(A) = Span U =. En bas blir alltså Projektionen blir ˆx = U(U T U) U T x = UUT x = U = b) Dimensionen på Col(A) blir enligt dimensionssatsen =. Exempelvis är, som man lätt ser, kolonnerna och linjärt oberoende så vi kan ta dem som bas för Col(A) och sätta dem som kolonner i matrisen V = Det gäller att V T y = så projektionen blir V (V T V ) V T y =. ) Den kvadratiska formen kan skrivas Q(x) = x T Ax med A = Egenvärden och egenvektorer bestäms. Karakteristiska ekvationen ( λ)[( λ)( λ) ] har lösningarna λ = 6,, med motsvarande egenvektorer a) Egenvärden med olika tecken ger att den kvadratriska formen är indefinit. b) Enligt sats i Lay gäller Q(x) x T x och undre gränsen antas för x = ± 9 [ ] T. 6, där övre gränsen antas för x = ± 45 [ 5 4] T

4 c) Enligt sats i Lay blir max Q(x) under givna villkor det näst största egenvärdet dvs x T x och antas för motsvarande egenvektor, normerad, dvs för x = ± 5 [ ] T. 4a) A = UΣV T där U och V är ortogonala och Σ är en m n kvasi-diagonal med de singulära värdena på diagonalen, Σ ii = σ i, i =,.., r, Σ ii =, i = r +,..., n. 4b) A k = UΣ k V T där Σ k är kvasi-diagonal med de singulära värdena (Σ k ) ii = σ i, i =,.., k, (Σ k ) ii =, i = k +,..., n. 4c) Från a) och b) får vi A A k = U(Σ Σ k )V T. Tvånormen är invariant under ortogonal transformation så A A k = Σ Σ k. Normen för en kvasidiagonal matris är maximala diagonalelementet till belopp. De är alla ickenegativa, de positiva är σ k+,..., σ r och det största är σ k+, vsv. 5a) Låt p(x) = a + a x + a x. Villkoret p(x) = f(x) i givna punkter ger ekvationssystemet a a Normalekvationerna motsvarande detta system blir a a a = 4. Lösningen till detta system är a 6 a =., a =.9, a =.5 så polynomet är p(x) =..9x +.5x. 5b) Sätt p = a + b(x + ) + c(x + )x + d(x + )x(x ) (Newtons form). Bestäm koefficienterna en efter en: p ( ) = ger a = p () = ger + b =, dvs b = p () = ger + c = dvs c = p () = ger + 6d = dvs d = /. Interpolationspolynomet blir: p = (x + ) + (x + )x(x ) 5c) Det blir tre spline-delar: s = + ax + bx mellan - och : s = a + bx. Villkor s () = ger a = och villkor s ( ) = ger b =. s = + cx + dx mellan och : s = c + dx. Villkor s () = s () = ger c = och villkor s () = ger d =. s = +e(x )+f(x ) mellan och : s = e+f(x ). Villkor s () = s () = ger e = och villkor s () = ger f =. Vi får alltså spline-delarna: s = + x, s = x, s = (x ) + (x ). 6a) Betrakta ekvationen f(b) = b {sin(t) + t } dt =. Newtons metod är: b i+ = b i f(b i), i =,,... med startapproximation b f (b i ). Beräkna integralen analytiskt f(b) = cos(b) + b och derivatan f (b) = sin(b) + b. Iterationsformeln blir alltså b i+ = b i b i cos(b i ) b i +sin(b i). 6b) Felfortplantningsformeln ger δf f ( b)δb = (sin( b) + b )δb.

5 7a) Vi minimerar f(x). Sökmetoden är x k+ = x k + α k d k. I steepest descent är d k = f(x k ). Optimal steglängd vid kvadratisk f är α k = f(x k) T d k. Här är f d T k Hd k gradienten och H är Hessianen. [ ] [ ] [ ] x + x 7b) Vi har f(x) = + och H =. Med x x + 4x 4 = blir [ ] [ ] [ ] f(x ) = och d =. Vidare blir α = = och x = x + d =. 8a) Sätt [ y = y] och y[ = y så] blir systemet [ på] matrisform y = y + c t, y() =. 8b) Egenvärdena till matrisen i a)-uppgiften är.5( ± 4c) och det gäller att realdelen för egenvärdena är icke-positiva då c >, alltså är problemet alltid stabilt. 8c) Euler [ framåt ] på system [ ] y (t) = Ay(t) + b(t) ser ut: y k+ = y k + h(ay k + b k ). Här får vi y =, b =. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Med h =. och c = får vi: y = +.{ + } =.. 8d) Ekvationen att lösa blir y (, c) =.5 eller q(c) y (, c) +.5 =. Sekantmetoden är lämplig: c k+ = c k (y (,c k )+.5)(c k c k ) y (,c k ) y (,c k, k =,,..., med två startapproximationer ) c och c. Det tyngsta arbetet i en iteration är all lösa ode-systemet.