(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 =

Transkript

1 Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I. Torsdagen den 3 maj, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att följa. Svaren skall ges på reell form. Del Modul. En tank, på 3 liter, innehåller liter vatten och 5 gram salt. En saltlösning med gram per liter pumpas in med hastigheten av 4 liter per sekund. Den välblandade lösningen pumpas ut med en hastighet av liter per sekund. Bestäm när tanken är full samt ange saltmängden i tanken vid detta tillfälle. Låt S(t) vara saltmängden i tanken vid tiden t. i ställer upp begynnelsevärdesproblemet för tanken. ds(t) S(t) 4, S() 5 + t(4 ) i har en linjär differentialekvation av första ordningen och vi bestämmer dess lösning med hjälp av integrerande faktor. Om forma först differentialekvationen ds(t) t S(t) t En integrerande faktor är e e ln(5 +t ) 5 + t. Multiplicera differentialekvationen med 5 + t. i får (5 + t) ds(t) + S(t) 8(5 + t) ((5 + t)s(t )) 8(5 + t). och det nya vänstra ledet är en derivata d Integrera med avseende på t: (5 + t)s(t) 4(5 + t) + C. illkoret S() 5 ger C 5 5 4(5) Saltmängden i tanken vid tiden t är S(t) 4(5 + t) 75 4(5 + t) t 5 + t. i skall bestämma tidpunkten, t f, då tanken är full. Den erhålles ur ekvationen 3 + t f (4 ) vilket ger t f. Saltmängden vid full tank är S() 4(5 + ) SAR: Tanken är full efter t f sekunder och då är saltmängden 55 gram. Modul. dx Betrakta det linjära systemet X AX, där X dy och X x y. Den konstanta matrisen A uppfyller följande ekvationer: A och A 4. Bestäm X(t) då X() 4 3. i börjar med att bestämma matrisens egenvärden och egenvektorer. Egenvärdena kan erhållas ur ekvationen det(a I) och egenvektorerna ur (A I)K. Nu är inte matrisen A given direkt utan med hjälp av två ekvationer. Om man betänker att ekvationen (A I)K kan skrivas AK K så behöver A ej bestämmas.

2 i får direkt att, K och, K Två linjärt oberoende lösningar till systemet är X e t och X et Systemets allmänna lösning kan skrivas X c e t + c e t Bestäm konstanterna så att villkoret X() 4 blir uppfyllt. 3 i får X() 4 3 c + c vilket ger c, c och X(t) et + e t SAR: Den sökta lösningen till systemet är X(t) e t + e t Modul 3. t Bestäm f (t) då f (t) f(u)cos( t u)du+ 3sin t, t. s Laplacetransformera ekvationen: F(s) F(s) s s + 4. Lös ut F(s). F(s) s 6 ( + 4 s) 6, F(s) (s ) + 3, F(s) 3 3 (s ) + ( 3 ) Återtransformera: f (t) 3e t sin 3t. SAR: Ekvationen har lösningen f (t) 3e t sin 3t. Del. Lösningar till differentialekvationen x y x y + y, x> är på formen y x a, a R. Bestäm a. ad menas med en bas för lösningsrummet till en linjär differentialekvationen? Ange en bas för lösningsrummet till differentialekvationen x y x y + y, x>. Ange även differentialekvationens allmänna lösning. Insättning av y x a i x y x y + y ger x a(a )x a xax a + x a. i får (a(a ) a + )x a, a(a ) (a ), (a )(a ). a, a. i har två lösningar a och a. En bas för lösningsrummet till en linjär differentialekvationen av ordning n består av de n linjärt oberoende lösningarna till differentialekvationen. En bas för lösningsrummet till differentialekvationen x y x y + y ges av { x, x }. Differentialekvationens allmänna lösning är en linjärkombination av baselementen. i får y c x + c x där c och c är goyckliga reella konstanter. SAR: Konstanterna är a och a. En bas för lösningsrummet är x, x { }. Den allmänna lösningen är y c x + c x.

3 dx. a) Ge en tolkning av systemet X g(x) där X dy, X x och g är vektorvärd. y b) Bestäm de stationära lösningarna till systemet X x + y 8. x y c) Bestäm de stationära lösningarnas typ och avgör stabilitet/instabilitet. a) En tolkning är att systemet ger hastighetsvektorn X i varje punkt där g är definierad. b) De stationära lösningarna till systemet är där hastighetsvektorn är lika med nollvektorn. x + y 8 x 8 x ±,, x y x y xy De stationära lösningarna är (,) och (, ). c) För att undersöka de stationära lösningarnas karaktär användes linjarisering. i bestämmer Jacobimatrisen i respektive kritisk punkt. Jacobimatrisen är J(x, y) x y. Insättning ger J(,) 4 4 A respektive J(, ) 4 4 B. i bestämmer matrisernas egenvärden. Dessa fås ur ekvationerna det(a I) respektive det(b I). i får (,) ( 3 ) ( 3 ) 4 4, 3 ± 4. Egenvärdena är reella och med skilda tecken. (,) är sadelpunkt och därmed instabil. (, ) ( + 5 ) ( + 5 ) + 7 4, 5 ± i 7. Egenvärdena är komplexa och med negativ realdel. (, ) är en stabil spiral. SAR: a) Systemet kan representera ett hastighetsfält. b) De stationära lösningarna är (,) och (, ). c) (,) är sadelpunkt och därmed instabil. (, ) är en stabil spiral 3. a) y x är en lösning till differentialekvationen y + y. Är y c x, c, c en lösning? b) Begynnelsevärdesproblemet y y + 4, y() har en entydig lösning. Motivera varför lösningen är entydig. Går lösningen genom punkten (,-5)? c) Betrakta differentialekvationen dy f f (x, y), där f och är kontinuerliga i dx y ett rektangulärt område R i xy-planet. Två skilda lösningskurvor kan skära varandra i en punkt, i området R. Är påståendet sant eller falskt? Motivera! a) Nej. ty med y c, c, c blir x y + y lika med y + y c x + c x c c x och c c då c, c b) Med de kontinuerliga funktionerna f (x, y) y f + 4 och (x,y) y har differentialekvationen y en entydig lösning genom punkten (,) enligt entydighetssatsen. En lösning genom punkten (,) kan ej gå genom punkten (,-5) y är en växande funktion.

4 c) Påståendet är falskt, ty enligt entydighetssatsen existera en entydig lösning genom en punkt i området R. SAR: a) Nej, se ovan. b) Nej, se ovan. c) Falskt påstående. [ ]? 4. a) ad menas med att funktionerna f och g är ortogonala på intervallet a,b b) isa att { sin nx }, n,, 3, utgör en mängd av ortogonala funktioner på intervallet [, ]. c) Skriv funktionen f (x) sin 3 x på intervallet [, ] som en linjärkombination av lämpliga ortogonala funktioner i b).. d) Antag att funktionen f (x) x +, <x<3 är utvecklad i följande tre serier: en Fourierserie, en cosinusserie och en sinusserie. Ange det värde mot vilket respektive serie konvergerar för x. a) Två funktioner, f och g, är ortogonala på intervallet a,b b. [ ] då f (x)g(x)dx b) i visar att den inre produkten mellan två goyckliga funktioner i den givna mängden är lika med noll på det givna intervallet. sinnx, sin mx sin nx sinmxdx sin(n m)x sin(n + m)x [ ]. n m n + m ( cos(nx mx) cos(nx + mx) )dx c) Här gäller det att beskriva f (x) sin 3 x med hjälp av den givna funktionsföljden. En väg att göra detta är att ansätta sin 3 x n a n sin nx och beräkna koefficienterna. a { n m} En betydligt kortare väg är att utnyttja formeln sin3x 3sin x 4sin 3 x, sin 3 x 3 4 sin x 4 sin3x. d) Respektive serie kommer att konvergera mot f (+)+f( ). I fallet med Fourierserien blir detta: I fallet med cosinusserien blir detta: I fallet med sinusserien blir detta: + ( +)... SAR: a) Se ovan. b) sin 3 x 3 4 sin x 4 sin3x. c), respektive. Nedan följer plottar på de tre fallen.

5 SAR: a) Se ovan. b) Se ovan. c) sin 3 x 3 4 sin x 4 sin3x. d), respektive. 5. Det har ösregnat under en längre tid. atten har helt fyllt ett m långt och m brett dike. Dikets vertikala genomskärningsprofil har -form, i form av en halv kvadrat, delad längs en horisontell diagonal, m lång. Regnet har upphört vid tidpunkten t. a) Antag att diket neill är helt tätt så att vattnet endast kan försvinna genom avdunstning uppåt. Låt (t) vara vattenvolymen vid tiden t >, med t mätt i dagar. isa att (t) uppfyller en differentialekvation på formen d k, k positiv konstant, om avdunstningshastigheten(i m 3 /dag) är proportionell mot den fria vattenytans area. b) Bestäm (t) om () m 3 (helt fyllt dike) och () 99 m 3. c) När är diket torrlagt? ( 99 9,95 ). a) Låt h vara vattenståndet i det triangulära diket. Då är tvärsnittets area A h attenvolymen är: (t) A h, h Avdunstningshastigheten d k h k b) Differentialekvationen d h.. Den fria vattenytans area är h. k. S k är separabel. Den triviala lösningen saknar intresse. För att få icke-triviala lösningar omformas differentialekvationen till: Integration ger: kt + C. illkoret () ger C. illkoret () 99 och C ger 99 k +, k 99. d k. { }. Insättning av konstanterna ger: ( 99)t +, ( 99)t c) Diket är tomt då vilket inträffar för t SAR: a) Se ovan. b) ( 99)t 99 ( + 99) 99 { }. c) Diket är torrlagt efter 99,5 dagar ( + 99) 99,5