ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål
|
|
- Anders Ivarsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t), y 2 (t) Wronskideterminanten W (y 1, y 2 ) Det är bra om du (M1) vet att initialvärdesproblemet (IVP) Inofficiella mål Konstanta koefficienter och karaktäristiska ekvationen. Euler-ekvationer och index-ekvationen Reduktion av ordning Variation av parameterar y + p(t)y + q(t)y = g(t), t I, y(t 0 ) = y 0, y (t 0 ) = y 0 (1) garanterat har en unik lösning i hela I om p, q och g är kontinuerliga funktioner i detta intervall. (M2) vet att Wronskianen (wronskideterminanten) för en uppsättning funktioner ges av y 1 y 2 y n y 1 y 2 y n W (y 1, y 2,..., y n )(t) = det... (2). y (n) 1 y (n) 2 y n (n) och om denna är nollskild ( 0) för alla t i något intervall I så säger vi att funktionerna y 1, y 2,..., y n är linjärt oberoende på I. För två funktioner så blir W (y 1, y 2 )(t) = y 1 (t)y 2(t) y 1(t)y 2 (t). (M3) vet att om y 1 och y 2 är lösningar till den homogena ekvationen y + p(t)y + q(t)y = 0 så uppfyller Wronskianen W (y 1, y 2 ) differentialekvationen W + p(t)w = 0 och därför gäller det att W (t) = c exp( p(t) dt). Då gäller alltså att Wronskianen antingen är 0 i hela I eller 0 i hela I. Detta innebär att om p och q är kontinuerliga på I så byter Wronskianen aldrig tecken på lösningsintervallet I. (M4) vet att givet y 1 och y 2 till den homogena ekvationen y + p(t)y + q(t)y = 0 då gäller att: Wronskianen för dessa funktioner W (y 1, y 2 ) y 1 y 2 y 1y 2 är nollskild för någon punkt t i I, (3) är ekvivalent med att godtycklig lösning y(t) till y + p(t)y + q(t)y = 0 kan representeras som y(t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) (4) för några konstanter c 1 och c 2. Lösningarna y 1 och y 2 utgör då en fundamental lösningsmängd. (M5) vet att allmänna lösningen till inhomogena linjära ekvationen y + p(t)y + q(t)y = g(t) kan skrivas y allmänna (t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) + Y p (t), (5) där y 1, y 2 är en fundamental lösningsmängd till den homogena ekvationen y + p(t)y + q(t)y = 0 och Y p (t) är någon lösning till ekvationen y + p(t)y + q(t)y = g(t). Institutionen för matematik, KTH, SE , Stockholm, Sweden address: karljo@kth.se. Date: 7 september
2 2 ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 (M6) kan använda ansatsen y(t) = e rt för homogena ekvationer med konstanta koefficienter y + ay + by = 0 vilket ger den karaktäristiska ekvationen r 2 + ar + b = 0. (M7) kan använda ansatsen y(t) = t r för Euler-ekvationer t 2 y + aty + by = 0 vilket ger index-ekvationen r(r 1) + ar + b = 0. (M8) vet att om en funktion y(t) är komplexvärd och lösning till y + p(t)y + q(t)y = 0 så är realdelen och imaginärdelen av y också lösningar till samma ekvation (t.ex. om y(t) = e (1+2i)t = e t e 2it så är realdelen = e t cos(2t) och imaginärdelen = e t sin(2t)). (M9) kan använda metoden med obestämda koefficienter för att finna en partikulärlösning Y p. (M10) kan använda (a) reduktion av ordning: givet y 1 ansätter y(t) = v(t)y 1 (t) för att kunna finna y 2 med hjälp av y 1 (där y 1 löser en homogen andra ordningens ekvation). Får en första ordningens differentialekvation för v enligt insatt i ekvationen y = v y 1 + vy 1, (6) y = v y 1 + 2v y 1 + vy 1. (7) v y 1 + 2v y 1 + vy 1 + p(t)(v y 1 + vy 1) + q(t)vy 1 = 0 (8) vilket är ekvivalent med alltså y 1 v + (2y 1 + p(t)y 1 )v + (y 1 + p(t)y 1 + q(t)y 1 )v = 0 (9) y 1 v + (2y 1 + p(t)y 1 )v = 0. (10) Finner vi v så får vi y 2. (b) variation av parametrar: ansätt y = u 1 y 1 +u 2 y 2 där y 1 och y 2 löser ekvationen y +p(t)y+ q(t)y = 0 för att finna Y p till y + p(t)y + q(t)y = g(t). Får att och gör valet u 1 y 1 + u 2 y 2 = 0. Alltså får vi y = u 1y 1 + u 1 y 1 + u 2y 2 + u 2 y 2 (11) y = u 1 y 1 + u 2 y 2 (12) y = u 1y 1 + u 1 y 1 + u 2y 2 + u 2 y 2, (13) vilket insatt i ekvationen y + p(t)y + q(t)y = g(t) ger (efter förenkling) Alltså vilket kan skrivas som u 1y 1 + u 2y 2 = g. (14) u 1y 1 + u 2y 2 = 0, (15) u 1y 1 + u 2y 2 = g. (16) ( ) ( ) y1 y 2 u 1 y 1 y 2 u = 2 ( 0 g). (17) ett linjärt ekvationssystem för u 1 och u 2. Finn u 1 och u 2 vilket kommer att ge Y p. (c) förstår följande lösningsgång för 2 a ordningens ekvationer: y 1 (t) y 2 (t) W (y 1, y 2 )(t ) 0 Y p (t) y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + Y p c 1 och c 2, Obs! Detta är ett försök att bryta ned kursmålen i mindre och mer konkreta bitar. Målen ovan är inte officiella för kursen, utan ett förslag till hur man kan tänka.
3 ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Exempel och uppgifter (U1) Finn generella lösningen till ekvationerna. Gör lämplig ansats. Kolla Wronskianen. (a) y 5y + 4y = 0 (olika rötter) (b) y + 5y + 6y = 0 (olika rötter) (c) y + 16y = 0 (olika komplexa rötter) (d) 2y + 4y + 34y = 0 (olika komplexa rötter) (e) 2y 12y + 18y = 0 (dubbelrot) (f) 9y 36y + 36y = 0 (dubbelrot) (g) my + cy + ky = 0 där m, c, k alla > 0. Ekvationer med konstanta koefficienter. Ansätt y(t) = e rt och ta reda på r genom att derivera och sätta in i ekvationen. Blir det dubbelrot så använd gärna metoden med reduktion av ordning, y 2 (t) = v(t)y 1 (t) för att ta reda på en annan oberoende lösning y 2 (t). Kommer alltid bli så att v(t) = t i dessa fall. (U2) Finn allmänna lösningen till differentialekvationerna, där vi antar att t > 0. Gör lämplig ansats. Kolla Wronskianen. (a) t 2 y 4ty + 4y = 0 (olika rötter) (b) t 2 y + 6ty + 6y = 0 (olika rötter) (c) t 2 y + 16y = 0 (olika komplexa rötter) (d) t 2 y + 3ty + 17y = 0 (olika komplexa rötter) (e) t 2 y 5ty + 9y = 0 (dubbelrot) (f) 9t 2 y 27ty + 36y = 0 (dubbelrot) (g) t 2 y + ty + 4y = 0 (h) 2t 2 y 5ty + 5y = 0 Detta är Eulerekvationer. Ansätt y(t) = t r. Vid dubbelrot så använd metoden med reduktion av ordning, dvs ansätt y 2 (t) = v(t)y 1 (t). I dessa fall bör det alltid bli så att v(t) = ln(t) (efter lämpligt val av koefficienter). (U3) Betrakta t 2 y 5ty + 9y = 0, t > 0. Använd substitutionen x = ln(t) och lös. Detta är ett alternativt sätt att lösa Euler-ekvationer. Blir lite omständigt att göra med denna substitution, måste använda kedjeregeln. Borde få att Samt alltså Insatt i ekvationen ger att d 2 y dt 2 = d dy dt 1 t 2 dy dx + 1 t dy dt = dy dx dx dt = 1 dy t dx. (18) dy dx ) = 1 dy t 2 dx + d dy dt dx (19) d dx ( dy dx )dx dt = 1 dy t 2 dx + 1 d 2 y t 2 dx 2 (20) dt = d dt (1 t t dy dt = dy dx (21) t 2 d2 y dt 2 = dy dx + d2 y dx 2 (22) y y 5y + 9y = 0. (23) där derivatorna nu är med avseende på variabeln x. Ekvivalent med Ansätter att y(x) = e rx, får karaktäristisk ekvation r 2 6r + 9 = 0 med dubbelrot r = 3 vilket ger lösningarna y 1 (x) = e 3x
4 4 ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 och y 2 (x) = xe 3x. Återgår vi till t-variablerna så får vi att y 1 (t) = e 3 ln t = t 3 (24) y 2 (t) = ln te 3 ln t = ln(t)t 3. (25) Ett annat sätt är att göra ansatsen y = t r och försöka ta reda på vad r är genom att sätta in denna ansats i ekvationen. Borde få ekvationen r(r 1) 5r + 9 = 0 (kallas för indexekvationen) med dubbelrot = 3. Alltså samma ekvation som dök upp med metoden ovan. Ger y 1 (t) = t 3. Hur får du fram en andra oberoende lösning? Reduktion av ordning, ansätt y 2 (t) = v(t)t 3. Du borde komma fram till att v(t) = ln(t). Det blir alltid så för fallet då indexekvationen för Eulerekvationer har en dubbelrot. Det kan du försöka visa allmänt, skoj. (U4) Låt y y 2y = 0 så att y(0) = α, y (0) = 2. Bestäm α så att y 0 då t. Karaktäristisk ekvation blir r 2 r 2 = 0 med lösningar r = 2 och r = 1 så allmänna lösningen är y = c 1 e 2t + c 2 e t. Om lösningen ska gå mot 0 då t så måste c 1 = 0. Så y = c 2 e t. Vidare om y (0) = 2 så måste c 2 = 2 så y = 2e t. Alltså måste α = 2. (U5) Bevisa att om m, c, k är positiva så kommer alla lösningar till my + cy + ky = 0 gå mot 0 då t. Hur ändras slutsatsen om c = 0 och m, k > 0? Vad för reell del har lösningarna till den karaktäristiska ekvationen? (U6) Den homogena ekvationen (a) t 2 y + ty 4y = 0, t > 0 har en lösning y 1 (t) = t 2. (b) xy y + 4x 3 y = 0, x > 0 har en lösning y 1 (x) = sin(x 2 ). (c) t 2 y 4ty + 6y = 0, t > 0 har en lösning y 1 (t) = t 3. (d) t 2 y t(t + 2)y + (t + 2)y = 0, t > 0 har en lösning y 1 (t) = t. Finn med hjälp av denna lösning en annan oberoende lösning y 2, och skriv upp allmänna lösningen till ekvationen. Kolla vad W (y 1, y 2 ) blir. Ansätt y 2 (t) = v(t)y 1 (t). Derivera och sätt in i ekvationen. Det som måste hända är att alla termer som har med v att göra ska försvinna när vi har satt in allt i ekvationen och förenklat, annars har det blivit fel i räkningarna. Det som blir kvar är en ekvation med v och v. Detta ser ut som en andra ordningens ekvation, men det går att tolka som en första ordningens ekvation om vi tänker på u = v för då blir u = v. Lös ekvationen som dyker upp med metoder som fungerar för första ordningens ekvationer, får då fram uttryck för v. Integrera och få uttryck för v, och vips så får vi y 2. Vi kan göra b). Ansätt y = v sin(x 2 ), derivera: insatt i ekvationen y = v sin(x 2 ) (26) y = v sin(x 2 ) + 2xv cos(x 2 ) (27) y = v sin(x 2 ) + 4xv cos(x 2 ) + v(2 cos(x 2 ) 4x 2 sin(x 2 )) (28) x(v sin(x 2 ) + 4xv cos(x 2 ) + v(2 cos(x 2 ) 4x 2 sin(x 2 ))) (v sin(x 2 ) + 2xv cos(x 2 )) + 4x 3 v sin(x 2 ) = 0, (29) Allt som har med v att göra ska försvinna (vilket det gör) samma sak som, om vi skriver u = v, xv sin(x 2 ) + 4x 2 v cos(x 2 ) v sin(x 2 ) = 0, (30) xu sin(x 2 ) + (4x 2 cos(x 2 ) sin(x 2 ))u = 0, (31)
5 samma som separerar variabler ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF u + (4x cos(x2 ) sin(x 2 ) 1 )u = 0, (32) x du u = ) (4xcos(x2 sin(x 2 ) 1 x )dx = (4x cot(x2 ) 1 )dx. (33) x Där cot x = cos(x)/ sin(x). Vi ser att en primitiv av cot måste vara ln sin(x). Vi integrerar ekvationen och får att Alltså får vi ln u = 2 ln sin(x 2 ) + ln x + c (34) u = e c e 2 ln sin(x2 ) e ln x = A sin(x 2 ) 2 x (35) och om vi antar att x > 0 och att vi kan baka in ± i A et så får vi Alltså har vi att u = Ax sin(x 2 ) 2. (36) v 1 = Ax sin 2 (x 2 ). (37) Detta måste man kunna sen innan, men primitiven till 1/ sin(x 2 ) är cot(x) på samma sätt som att primitiv till 1/ cos 2 (x) är tan(x). Alltså om vi integrerar uttrycket innan så får vi att där B är en ny konstant. Alltså får vi att v = B cot(x 2 ), (38) y 2 (x) = v(x)y 1 (x) = B cot(x 2 ) sin(x 2 ) = B cos(x2 ) sin(x 2 ) sin(x2 ) = B cos(x 2 ), (39) där vi kan ta att B = 1. Alltså en fundamental lösningsmängd i detta fall blir y 1 = sin(x 2 ) och y 2 = cos(x 2 ). (U7) Finn allmänna lösningen till följande inhomogena ekvationer (a) ty (1 + t)y + y = t 2 e t, t > 0, där y 1 (t) = 1 + t och y 2 (t) = e t är två oberoende lösningar till den homogena ekvationen. (b) t 2 y 2y = 4t 2 3, t > 0, där y 1 (t) = t 2 är en lösning till den homogena ekvationen. (c) t 2 y 2ty + 2y = 8t 2, t > 0, där y 1 (t) = t är en lösning till den homogena ekvationen. Först kan vi göra (a). Vi använder oss direkt av formeln som härleddes i (M10)b. Vi skriver om ekvationen på standardform y + p(t)y + q(t)y = 0 alltså y (1/t + 1)y + (1/t)y = te t. Dvs vi har gjort ansatsen y = u 1 y 1 + u 2 y 2 och fått att ( ) ( ) ( ) y1 y 2 u 1 0 y 1 y 2 u = (40) 2 g(t) Lösningen till detta system kan vi finna med Cramer s regel enligt ( ) 0 y2 det u g y 2 gy 1 = ( ) 2 = y1 y det 2 y 1 y y 1 y 2 2 y 1 y 2 (41)
6 6 ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 samt ( ) y1 y det 2 u y 1 g gy 2 = ( ) 1 = y1 y det 2 y 1 y y 1 y 2 2 y 1 y 2 Vi ser att det är Wronskianen som står i nämnaren. Denna är W (1 + t, e t ) = (1 + t)e t e t = te t. Alltså får vi u gy 2 1 = y 1 y 2 y 1 y = tet e t 2 te t = e t (43) samt u gy 1 2 = y 1 y 2 y 1 y 2 (42) = tet (1 + t) te t = (1 + t). (44) Alltså måste u 1 = e t +c och u 2 = t 1 2 t2 +d. Vi väljer c = d = 0 och får att EN partikulärlösning blir Y p (t) = e t (1 + t) + ( t 1 2 t2 )e t = ( 1 2t 1 2 t2 )e t. (45) Den allmänna lösningen blir således där c 1 och c 2 är godtyckliga. y(t) = c 1 (1 + t) + c 2 e t + ( 1 2t 1 2 t2 )e t, (46) Vi kan göra (b) också. Här kan man antingen tänka sig att första använda reduktion av ordning för att få fram y 2 och sedan variation av parametrar för att få fram en partikulärlösning. ELLER så kan man freestyla och baka ihop dessa två metoder till en metod. Wow. Vi ansätter Derivera insatt i ekvationen samma sak som vilken vi skriver om som y(t) = v(t)t 2. (47) y (t) = t 2 v + 2tv (48) y (t) = t 2 v + 4tv + 2v. (49) t 4 v + 4t 3 v + 2t 2 v 2t 2 v = 4t 2 3 (50) t 4 v + 4t 3 v = 4t 2 3 (51) v t v = 4t 2 3t 4 (52) integrerande faktor är e 4/t dt = t 4. Så multiplicera hela ekvationen med t 4 igen (tihi) som då kan skrivas som integrera och få t 4 v + 4t 3 v = 4t 2 3 (53) d dt (t4 v ) = 4t 2 3 (54) t 4 v = 4 3 t3 3t + c (55)
7 ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF alltså v = 4 3 t 1 3t 3 + ct 4 (56) integrera v(t) = 4 3 ln(t) t 2 + bt 3 (57) alltså y(t) = v(t)t 2 = 4 3 ln(t)t bt 1 (58) där b är en godtycklig konstant. Vi vet att vi kan addera c 1 y 1 (t) till detta uttryck eftersom y 1 är en lösning till den homogena ekvationen, alltså om y ovan är en lösning så är även y(t) = v(t)t 2 = 4 3 ln(t)t bt 1 + c 1 t 2 (59) en lösning. Delen av uttrycket ovan som står efter b, dvs t 1 är en lösning till den homogena ekvationen, alltså kan vi ta detta som y 2. Wronskianen för y 1 och y 2 blir W (t 2, t 1 ) = t 2 t 2 2t t 2 = 1 2 = 3 0 för alla t, alltså oberoende lösningar. Klart. (U8) Finn allmänna lösningen till följande ekvationer (a) y + y = 2 tan(t), 0 < t < π/2. (b) y 7y + 10y = g(t). (U9) Ekvationen ty +2y +te t y = 0 har fundamental lösningsmängd bestående av y 1, y 2 med W (y 1, y 2 )(1) = 3, vad är W (y 1, y 2 )(5)? Vi vet att Wronskianen, betraktad som en funktion av en variabel t, uppfyller en viss ekvation, W +p(t)w = 0, i detta fall är p(t) = 2/t, eller hur? Ta reda W (t) i detta fall när du vet W (1) = 3. (U10) Bestäm, utan att lösa ekvationen, det längsta intervall i vilken följande ekvationer garanterat har en lösning: (a) (t 1)y 3ty + 5y = sin(t) där y( 3) = 2, y ( 3) = 1. (b) t(t 1)y + 3ty + 5y = 2, y(3) = 0, y (3) = 1. (c) (x 3)y + x 3 y + (ln x )y = 0 där y(2) = 0, y (2) = 1, Skriv om ekvationerna på formen y + p(t)y + q(t)y = 0 och studera p och q och var dessa funktioner är kontinuerliga. I (a) så blir det p = 3t/(t 1) och q = 5/(t 1) dessa funktioner är singulära i t = 1. Vi har ett IVP som startar i t = 3 detta betyder att lösning garanterat finns i intervallet (, 1). (U11) Bevisa att om y 1 och y 2 båda är 0 vid samma punkt i I så kan funktionerna inte utgöra en fundamental lösningsmängd till differentialekvationen y + p(t)y + q(t)y = 0 för t I. Antag att så är fallet, dvs y 1 (t 0 ) = y 2 (t 0 ) = 0. Vi vet att Wronskianen W (y 1, y 2 )(t) = y 1 y 2 y 1 y 2, alltså kommer W (t 0 ) = 0. Men Wronskianen uppfyller differentialekvationen W + p(t)w = 0. (60) Om vi nu antar p(t) är en kontinuerlig funktion så vet vi att IVP W + p(t)w = 0, W (t 0 ) = 0 har en unik lösning i hela intervallet där p(t) är kontinuerlig. Men vi ser att W (t) 0 är en lösning på detta problem (homogena linjär differentialekvationer har alltid noll-lösningen som en lösning och i detta fall så uppfyller noll-lösningen även IVP), alltså måste detta vara den unika lösningen på problemet. Men då betyder det att Wronskianen är identiskt noll. Alltså måste y 1 och y 2 vara linjärt beroende och kan således inte utgöra en fundamental lösningsmängd.
8 8 ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 (U12) Bevisa att om y 1 och y 2 båda har maxima eller minima vid samma punkt så kan dessa inte utgöra en fundamental lösningsmängd. (U13) Bevisa att y(t) = t 3 omöjligt kan vara en lösning till ekvationen y + p(t)y + q(t)y = 0 på intervallet [ 1, 1]. (U14) Antag att p, q är kontinuerliga på hela R och att y 1 och y 2 utgör en fundamental lösningsmängd till y + p(t)y + q(t)y = 0. Antag att y 2 (t 1 ) = y 2 (t 2 ) = 0 för några t 1 < t 2 samt y 2 (t) 0 för alla t (t 1, t 2 ). Bevisa att y 1 måste ha precis ett nollställe i [t 1, t 2 ].
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
Läs merTeori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016/2017 Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter 1. FÖRSTA ORDNINGEN Homogena fallet. En homogen linjär
Läs merKTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl Version: A Namn:... Personnr:...
KTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl. 8.00-10.00 Version: A Namn:... Personnr:... Inga hjälpmedel är tillåtna. Kontrollskrivningen har
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december 2017 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära betygsgränser:
Läs merLösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus
Läs merTATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4
Läs merSammanfattning av ordinära differentialekvationer
Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer
Läs mer= = i K = 0, K =
ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merMatematik 5 svar. Kapitel Test Blandade uppgifter Kapitel a) dy
Matematik 5 svar Kapitel 3... 1 Test 3... 26 Blandade uppgifter... 29 Kapitel 3 3101. a) y (x) = 2x y(x) = x 2 + C b) y (x) = x 2 x + 1 y(x) = x3 x2 + x + C 3 2 c) y x 2 + 2 = 0 y = x 2 2 y(x) = x3 2x
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 9 Institutionen för matematik KTH 16 september 2016 Homogena injära ODE m konst koeff Sist: homogena linjära ODE med konstanta koefficienter. Första ordningens sådan ekvation kan skrivas y
Läs merCrash Course Envarre2- Differentialekvationer
Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs meru(x) + xv(x) = 0 2u(x) + 3xv(x) = sin(x) xxx egentliga uppgifter xxx 1. Sök alla lösningar till den homogena differentialekvationen
Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 6 Den frivilliga uppgiften U1 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Lös funktionerna u(x) och v(x) från
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merSVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs mer(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:
Läs merLinjära differentialekvationer av andra ordningen
Linjära differentialekvationer av andra ordningen Matematik Breddning 3.2 Definition: En differentialekvation av typen y (x) + a(x)y (x) + b(x)y(x) = h(x) (1) där a(x), b(x) och h(x) är givna kontinuerliga
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1)
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 1 a). Lös ekvationen 3p. 3y 2 y +16x = 2xy 3. b). Finn en lösning som är begränsad
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs mer1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y
1 Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 18 december 2017 kl 08.00-13.00. Examinator: Pär Kurlberg. Betygsgränser: A: 85%. B: 75%. C: 65%. D: 55%. E: 45%. Fx: 42%.
Läs mery + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook
Läs merLösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.
Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 oktober 20, kl. 8:00 3:00 av 8 3 poäng. Svar: i. sant, ii. falskt, iii. sant, iv. sant, v.
Läs merSF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska
Läs mery(0) = e + C e 1 = 1
KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013
SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merDel I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 24 oktober 2016 kl 8:00-13:00 För godkänt (betyg E) krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merLösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I Tisdagen den 7 januari 14, kl 8-13 Del 1 Modul 1 Befolkningen i en liten stad växer med en hastighet som är proportionell mot befolkningsmängden
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem
Läs mer4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),
Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska
Läs merLösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl
KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.
Läs merPreliminärt lösningsförslag till del I, v1.0
Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet
Läs merEnvariabelanalys 2, Föreläsning 8
Envariabelanalys 2, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Differentialoperatorer D: Dy = y, D 2 y = D(Dy) = D(y ) = y och så vidare. Även uttryck som (D β)(d α) = D 2 (α + β)d + αβ tolkas formellt
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merKap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter.
Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. 401. (A) Bestäm de allmänna lösningarna till följande differentialekvationer: a. y 3y = 0 b. y 2y 3y = 0 c. y 2y = 0 d. y 4y +
Läs merVeckans teman. Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3
Veckans teman Repetition av ordinära differentialekvationer ZC 1, 2.1-3, 4.1-6, 7.4-6, 8.1-3 Ekvationstyper Första ordningen Separabla Högre ordning System Autonoma Linjära med konstanta koefficienter
Läs merx 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)
Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merLösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.
Lösningar till MVE6 Matematisk analys i en variabel för I 7-4-. a Division ger yy + y x. Ekvationen är alltså separabel. Integration av vänstra ledet ger y + y dy ln + y Efter integration blir det alltså
Läs merProv i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Läs merTentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl
Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 27 kl 8.- 3.. Examinator: Pär Kurlberg OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. För full poäng krävs
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:
Läs merBEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM
BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med
Läs mer= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merODE av andra ordningen, och system av ODE
ODE av andra ordningen, och system av ODE Exempel på di erentialekvation av andra ordningen (innehåller andra derivata) Pendel beskrives av Newtons andra lag: Kraft = massa Acceleration Acceleration =
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656.
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206) Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656 Torsdagen den 8 januari 2009, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merDagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:
Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a
Läs mer(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Marko Djordjevic Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2006-03-06 Skrivtid: 9.00 1.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon,
Läs mer1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop
Läs mer10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer
10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer Här ska vi studera linjära första ordningens differentialekvationer som kan skrivas y (x) + g(x)y(x) = h(x) Om g(x) har en primitiv funktion G(x) så
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merIV, SF1636(5B1210,5B1230).
Lösningar till tentamensskrivning i Matematik I, F636(5B,5B3) Tisdagen den 9 augusti 8, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs merAlltså är {e 3t, e t } en bas för lösningsrummet, och den allmänna lösningen kan därmed skrivas
ektion 7, Envariabelanalys den 8 oktober 1999 Visa att funktionerna y 1 = e r 1t och y = e r t, där r 1 r, är linjärt oberoende. 17.7. Finn den allmänna lösningen till y 3y = 0. Vi ska visa implikationen
Läs merFöreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
Läs mer} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),
Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B110 Måndagen den 1 oktober 005, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta
Läs merdt = x 2 + 4y 1 typ(nod, sadelpunkt, spiral, centrum) och avgöra huruvida de är stabila eller instabila. Lösning.
Lösningsförslag till tentamenssrivning i SF633 Differentialevationer I Måndagen den 5 otober 0, l 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handboo Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräningar och
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merHögre ordnings ekvationer och system av 1:a ordningen
Institutionen för matematik, KTH 05020 Tillägg för 5B209/HT05/E.P. Högre ordnings ekvationer och system av :a ordningen Vi har hittills lärt oss lösa linjära ekvationer med konstanta koefficienter och
Läs merA dt = 5 2 da dt + A 100 =
Tentamensskrivning i Matematik IV, F1636(5B11,5B13) Tisdagen den 13 november 7, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs merNotera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal.
OLIKHETER Egenskaper:.Om a < b då gäller a+ c < b +c. Om a < b < c då gäller a+d < b+d < c+d. Om a < b och k > 0 då gäller ka < kb. 4. Om a < b och k < 0 då gäller ka > kb. Notera att tecknet < ändras
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merLineära system av differentialekvationer
Föreläsning 8 Lineära system av differentialekvationer 8.1 Aktuella avsnitt i läroboken (5.1) Matrices and Linear Systems. (5.2) The Eigenvalue Method for Homogeneous Systems. (5.3) Second-Order Systems
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merdy dx = ex 2y 2x e y.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 3 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, poäng 005-04-04 Skrivtid: 14 19. Hjälpmedel: Skrivdon,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merSF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009
KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B2 26 3 7 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna a) x+4 x 3 +4x dx.5)
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs mer, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är
Läs merÖVN 1 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll.
ÖVN - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelor och innehåll Orinära ifferenitalekvationer (ODEer) y = f(t, y) Lösning y(t) och efinitionsmäng
Läs merTNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser
TNA004 Analys II Tentamen 20-06-0 Lösningsskisser. a) De båda kurvorna skär varandra i x 0 och x. På intervallet 0 x är x x. Området D är då det skuggade i figuren nedan, där även en tunn rektangel är
Läs merTMV225 Kapitel 3. Övning 3.1
TMV225 Kapitel 3 Övning 3. Bestäm gränsvärdet och bestäm δ som funktion av ε. a) lim 3 [ 2 3 + 5] Vi har givet att 3, och då funktionen är kontinuerlig får vi gränsvärdet ȳ 5 genom att stoppa in. Per definition
Läs merÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål
ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF1683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Komplexa vektorrum U och underrum V U. Linjära höljet: V = span(v 1, v 2,..., v N
Läs mer2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2
. Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6
Läs merDifferentialekvationer av första ordningen
Föreläsning 1 Differentialekvationer av första ordningen 1.1 Aktuella avsnitt i läroboken 1.1) Differential Equations and Mathematical Models. Speciellt exemplen 3, 4 och 5.) 1.2) Integrals as General
Läs merAB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer
AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer Laplacetransformen som an analytisk funktion SATS 1 Om Laplaceintegralen F (s) = L (f) = e st f(t)dt är konvergent för s
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merFöreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018
Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1,
Läs mer