= x 2 - x, x (0) = x dt. dx dt = 1. x 0 - (x 0-1)e t och för t 0 = ln x 0

Transkript

1 Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B och Diff & Trans I, LV, 5B Tisdagen den 3 januari 4, kl 4-9 Hjälmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna å ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att följa SVAR: en skall ges å reell form Del är avsedd för betyg 3 och omfattar 8 treoängsugifter För godkänt krävs minst 6 oäng Del är avsedd för högre betyg, 4 och 5, och omfattar oäng Poängfördelning å del : -4 ger 5 oäng vardera För betyg 4 krävs förutom godkänt å del även minst 9 oäng å del För betyg 5 krävs förutom godkänt å del även minst 5 oäng å del DEL: x - x, x () x dt Bestäm därefter t så att x(t) Æ då t Æ t för x > Bestäm lösningen till begynnelsevärdesroblemet dx Differentialekvationen är searabel Konstantösningarna ges av x och x Med x dx - x erhålles x(x -) dt Partialbråksudelning ger - x + x - Integrera med avseende å t - ln x + ln x - t + ln C, x - x Begynnelsevillkoret x() x ger C x - x vilket insättes x Denna lösning inkluderar även konstantlösningarna x(t) Æ för ändligt t då x - (x -)e t, t ln x x - SVAR: Begynnelsevärdesroblemets lösning är x Ce t, x - x - x e t - Ce t dx dt x x - (x -)e t och för t ln x x - Antag att en cell laceras i en lösning med konstant koncentration C S x x - (x -)e t gäller x(t) Æ Antag vidare att cellen har konstant volym V och att arean för det genomsläliga membranet är konstanten A Lösningsmolekyler diffunderar genom cellmembranet Enligt Fick s lag är förändringshastigheten hos cellens massa direkt roortionell mot rodukten av arean A och differensen C S - C(t), där C(t) är lösningskoncentrationen inuti cellen vid tiden t Bestäm C(t) då m VC(t) och C() C Vi erhåller differentialekvationen dm dc(t) dt ka V (C S - C(t)) Omformning ger: dc(t) dt dt + ka V C(t) ka V C S ka (C S - C(t)) vilken med m VC(t) ger Differentialekvationens lösning erhålles som allmän homogen lösning lus en artikulär lösning Vi erhåller C(t) Be - ka V t + C S Begynnelsevillkoret ger B C - C S

2 Lösningskoncentrationen C(t) C S + (C - C S )e - ka V t SVAR: Den sökta koncentrationen C(t) C S + (C - C S )e - ka V t 3 Lösningar till den homogena differentialekvationen svarande mot den inhomogena differentialekvationen x y - x y + y x4 x +, x > är å formen y x n, n ŒN Bestäm den inhomogena differentialekvationens allmänna lösning Vi bestämmer först två linjärt oberoende lösningar till den homogen differentialekvationen Vi ansätter y x n, vilket insättes i den homogena differentialekvationen x n(n -)x n- - xnx n- + x n, x n (n(n -) - n + ) Detta skall gälla för alla x >, vilket leder till att (n -)(n - ) Vi har således följande homogena lösningar: y x och y x Dessa är linjärt oberoende Den allmänna homogena lösningen är y h C x + C x Nu över till en artikulärlösning till den inhomogena differentialekvationen Först skriver vi differentialekvationen å standardform: y - x y + x y x x + Variation av arametrar leder oss till ansatsen y xu(x ) + x v (x) x x u Vi erhåller då följande system: x v x x + Ï u x x x Cramers regel ger: x + x - x x + -+ Ô x + Ì v x Ô x x x Ó Ô x + x + Ï u -x + arctan x Integrera med avseende å x : Ì v ln(x +) Ó Vår artikulärlösning är y x(-x + arctan x ) + x ln(x +) Den allmänna lösningen är y y h + y C x + C x + x (-x + arctan x) + x ln(x +) SVAR: Den sökta lösningen är y C x + C 3 x + x arctan x + x ln(x +) 4 Lös differentialekvationen y + y + 5y d (t - ), då y() och y () d(t) är Diracs deltafunktion Lalacetransformera differentialekvationen Vi erhåller följande ekvation: s Y(s) + sy(s) + 5Y(s) e - s Bestäm Y(s)

3 s Y(s) s + s + 5 e- s (s +) + 4 e- s (s +) + e- Återtransformera: y(t) U(t - )e-( t - ) sin(t - ) SVAR: Differentialekvationens lösning ges av y(t) U(t - )e-( t - ) sin(t - ) 5 Lös systemet av differentialekvationer X X Avgör vad som händer efter lång tid med en artikel som laceras i unkten (5, 6) Vi börjar med att bestämma egenvärden och egenvektorer till matrisen A det(a - li) 3 - l l l - l + 5 (l -) + 4 Egenvärdena är komlexa och lika med l, ± i Det räcker att bestämma egenvektorn till ett av egenvärdena Vi väljer l + i Insättning i systemet (A - li)k ger: 3 -- i i K - i -, - -i K, K r - i Vi har nu en komlex lösning till systemet Z e (+ i) t - i Ï et (cos t + i sint) + i Ì Ó - Genom att ta realdel resektive imaginärdel av den komlexa lösningen erhåller vi två reella linjärt oberoende lösningar till systemet cost X e t cost + sin t och X sin t et sin t - cos t e t cos t e t sin t Systemets allmänna lösning är X c X + c X c + c e t (cost + sint) e t (sin t - cost) En artikel som laceras i unkten (5, 6) kommer att avlägsna sig obegränsat från origo e t cos t e t sin t SVAR: Systemets allmänna lösning ärx c + c e t (cost + sint) e t (sin t - cost) Partikeln avlägsnar sig obegränsat från origo 6 Bestäm alla kritiska unkter till systemet x y x(5 - x - y ) y(- + x) Klassificera de eventuella kritiska unkterna med avseende å ty och stabilitet I de kritiska unkterna är tangentvektorn lika med nollvektorn Vi erhåller följande system x(5 - x - y) y(- + x) f(x,y) Detta har lösningarna (, ), (5, ) och (, 3) För att klassificera dessa unkter använder vi oss av Jacobimatrisen i den aktuella unkten Jacobimatrisen är lika med f (x, y) 5 - x - y -x y - + x Vi sätter in de tre kritiska unkterna och erhåller därvid följande matriser

4 (, ) A 5 - Egenvärdena är reella och med olika tecken Den kritiska unkten är en sadelunkt och därmed instabil (5, ) -5-5 B 3 Egenvärdena är reella och med olika tecken Den kritiska unkten är en sadelunkt och därmed instabil (, 3) - - C 3 Vi tecknar egenvärdena: det(c - li) - - l - 3 -l l + l + 6 (l +) + 5 Egenvärdena är komlexa och lika med l, - ± i 5 Den kritiska unkten är en stabil siralunkt SVAR: De kritiska unkterna är: (, ) och (5, ) är sadelunkter och instabila, (, 3) är en stabil siralunkt 7 Bestäm den funktion, u(x,t), som ufyller differentialekvationen u t u x + u och villkoret u(x,) 5e -3x + 4e x Vi löser differentialekvationen med variabelsearationsmetoden Ansats: u(x,t ) X(x)T(t) Insättning i differentialekvationen ger X(x) T (t) X (x)t(t) + X(x)T(t) T (t) Division med X(x)T(t) ger T(t) X (x) + konstant l X(x) Den artiella differentialekvationen övergår i ett system av ordinära differentialekvationer Ï T (t) - lt(t) Ì Ó X (x) -(l -)X(x) Ï T(t) Ae lt Systemet har lösningen Ì (l -)x Ó X(x) Be differentialekvationen formen u(x,t ) C l e lt +( l -) x och därmed har lösningarna till den artiella Villkoret u(x,) 5e -3x + 4e x ger den sökta lösningen u(x,t ) 5e -t - 3x + 4e 3t + x SVAR: Den sökta funktionen är u(x,t ) 5e -t - 3x + 4e 3t + x 8 Är följande åståenden sanna eller falska? Motivera! a) Låt y F(x ) vara en lösning till differentialekvationen y y + 4 Lösningskurvan har lokala extremunkter b) Begynnelsevärdesroblemet y 3y 3, y() har entydig lösning c) Betrakta differentialekvationen dy dx f (x,y), där f och f y är kontinuerliga i ett rektangulärt område R i xy-lanet Två skilda lösningskurvor kan skära varandra i en unkt a) Falskt åstående, ty för att en deriverbar funktion skall ha ett lokalt extremvärde krävs att det finns en kritisk unkt Men då skall derivatan y vara lika med noll Dock är y y > Kritisk unkt saknas

5 b) Falskt åstående, ty y och y x 3 ufyller det givna begynnelsevärdesroblemet c) Falskt åstående, ty under de givna förutsättningarna är lösningen entydig och således kan två skilda lösningskurvor ej skära varandra i en unkt SVAR: Alla tre åståendena är falska DEL: Ï Bestäm fourierserien till funktionen f som ges av f (t), - < t < Ì Ó cost, t < (-) Bestäm därefter  n+ och  4n - 4n - Den givna funktionen är varken jämn eller udda Fourierserien är å formen: a a a n Ú f (t)dt Ú costdt sint - Ú f (t)cos ntdt - + a nt n cos + b n sin nt  n [ ] sin( + n)t sin( - n)t + + n - n cosn + n + - n cosn Ú [ ], f (t + ) f (t), där fourierkoefficienterna ges av cost cos ntdt cos( + n)t + cos( - n)t) Ú ( )dt sin( + n) + n - 4n (-)n+ (4n - ) + sin( - n) - n cosn cos n + + n - n b n Ú f (t)sinntdt - Ú cost sinntdt ( sin(n +)t + sin(n -)t) )dt Ú [ - cos(n +)t cos(n -)t ] - n + n - - cos(n + ) + - cos(n - ) n + n - n + + n - 4n (4n -) Den givna funktionen f tilldelas fourierserien: f (t) ~ + (-) n+ (4n -) cosnt + 4n  sin nt (4n -) Vid beräkning av de sökta seriesummorna sätter vi in ett lämligt värde å t Vi börjar med den första summan En studie av den sökta seriesumman och den uträknade fourierserien ger att ett lämligt värde är t Vänster- och högergränsvärdena blir lika med noll Vi erhåller följande likhet: + (-) n+ 4n  cos n + sin n (4n -) (4n -) Förenkling ger:  4n - Vi får att  4n - Anmärkning Denna seriesumma kan även bestämmas genom att en artialsumma beräknas och en därå följande gränsvärdesbestämning

6 N N Partialsumman S N   N - 4n - n (n +)(n -) n + +  n N + + N - Efter förenkling blir artialsumman S N - N + æ æ N Æ æ Æ Â 4n - Vi har en teleskoerande serie Nu över till den andra summan En studie av den sökta seriesumman och den uträknade fourierserien ger att ett lämligt värde är t För detta värde har funktionen ett srång och fourierserien konvergerar mot medelvärdet Medelvärdet blir lika med Vi erhåller följande likhet: + (-) n+,  (4n -) (-)  n+ 4n SVAR: Fourierserien ges av f (t) ~ + (-) n+ (4n -) cosnt + 4n sin nt (4n -) Seriesummorna är  (-) n+ 4n - och  4n  Visa att {, e t, e -t } kan bilda en fundamentalmängd av lösningar till en homogen linjär differentialekvation med konstanta koefficienter Bestäm även en sådan differentialekvation samt ange dess allmänna lösning Vi undersöker om de givna funktionerna är linjärt oberoende, å något intervall Bilda Wronskideterminanten W (, e t, e -t ) e t e -t e t -e -t 4e -t + e -t 6e -t, - < t < e t 4e -t Den givna funktionsmängden kan vara en fundamentalmängd av lösningar till en homogen linjär differentialekvation med konstanta koefficienter Vi bestämmer en sådan differentialekvation En homogen linjär differentialekvation med konstanta koefficienter av tredje ordningen kan skrivas som (D - a)(d - b)(d - c)y där konstanterna är rötter till den karaktäristiska ekvationen Dessa rötter är i vårt fall:, och - Det innebär att differentialekvationen har formen D(D -)(D + )y, (D 3 + D - D)y eller y + y - y Differentialekvationens allmänna lösning ges av en linjärkombination av de fundamentala lösningarna y C + C e t + C 3 e -t SVAR: Den sökta differentialekvationen är y + y - y och dess allmänna lösning är y C + C e t + C 3 e -t 3 Klassificera med avseende å stabilitet den kritiska unkten (, ) till det lana autonoma system som svarar mot differentialekvationen x + m(x -) x + x för alla reella värden å m Skriv den givna differentialekvationen som ett system Inför en ny variabel y enligt y x Vi erhåller systemet: x y y x y -m(x -)y - x Vi gör en lokal undersökning av systemet varvid systemets linjära del undersökes Linjariseringen kan ske med hjäl av Jacobimatrisen(funktionalmatrisen) eller med en direkt udelning av den aktuella matrisen i två delar

7 Vi skriver : x y y y -m(x -)y - x my - x + -mx y y my - x x - m y Endast den linjära delen betraktas: Observera att den erhållna matrisen är Jacobimatrisen i origo Bestäm matrisens egenvärden Då kan den karakteristiska ekvationen det(a - li) - l - m - l lösas Vi erhållerl - ml + Egenvärdena l, m ± m - 4 Då m 4 erhålles reella egenvärden och då m < 4 erhålles komlexa egenvärden Då m < är den kritiska unkten asymtotiskt stabil Då m > är den kritiska unkten instabil För m kan ingen slutsats dras från det linjariserade systemet x Men för m blir det icke-linjära systemet y y -m(x linjärt -)y - x x Vi erhåller i detta fall y y -x x - y Denna matris har egenvärdena l, ±i Den kritiska unkten är ett centrum och därmed stabil SVAR: Då m 4 erhålles reella egenvärden och då m < 4 erhålles komlexa egenvärden Då m < är den kritiska unkten asymtotiskt stabil Då m > är den kritiska unkten instabil För m är den kritiska unkten stabil 4 Kreatinin är en restrodukt vid ämnesomsättningen i muskelvävnader Kroen gör sig av med rodukten genom utsöndring i urinen Redan vid en liten nedsättning av njurfunktionen höjs halten av kreatinin atologiskt Man lanerar att göra försök med hundar å vilka man tänker injicera en större dos kreatinin Dosen väljs så stor att vävnadernas nyroduktion av ämnet kan försummas jämfört med den injicerade dosen För att få en bild av hur utsöndringen beror av njurfunktionen tänker man sig nu, att blod och muskelvävnader är två kärl, mellan vilka kreatininet kan diffundera Från blodet diffunderar ämnet dessutom ut i urinen via njurarna med en hastighet som är roortionell mot koncentrationen av kreatinin i blodet Antag att diffusionshastigheten är roortionell mot skillnaden i koncentrationen av kreatininet i resektive kärl Låt c b (t) och c m (t) vara koncentrationerna i blod resektive muskler som funktioner av tiden samt låt k och l vara diffusionskoefficienterna mellan blod/muskler resektive blod/urin Ställ u motsvarande matematiska modell c m Visa att denna har lösningen c b A v el t + A v e l t, där A, A, v, v, l och l är reella Ange också l och l som funktioner av k och l samt visa att de är olika och negativa ( ) Ï c m k c b - c m Vi erhåller följande matematiska modell: Ì Ó c b -k( c b - c m ) - lc b d c m Vi skriver om systemet å matrisform: dt -k k k -k - l Vi bestämmer matrisens egenvärden Dessa erhålles ur ekvationen det(a - li), där A -k k k -k -l c b c m c b

8 -k - l k k -k - l - l l + (k + l)l + kl (l + k + l ) - k - ( l ) l, -k - l ± k +( l ) Vi har erhållit två reella och skilda egenvärden Då kan två reella egenvektorer erhållas Detta innebär att lösningen har den sökta formen Det återstår att visa att bägge egenvärdena är negativa Fallet l -k - l + k +( l ) är klart enligt triangelolikheten, l -k - l + k + ( l ) -k - l + k + l med likhet endast om k l Fallet l -k - l - k +( l ) är trivialklart SVAR: Den matematiska modellen är ( ) ( ) - lc b Ï c m k c b - c m Ì Ó c b -k c b - c m Egenvärdena är l, -k - l ± k +( l )