= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1

Transkript

1 Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att följa Svaren skall ges på reell form Fordringar: 3: 5-9p; 4: 0-4p; 5: 5p-, inklusive bonus Uppgifterna:,, 5 och 6 ger 4 poäng, 3, 7 och 8 ger 3 poäng, 4 ger 5 poäng Bestäm den lösning till differentialekvationen x y + y + xy = 0 som uppfyller villkoret y() = Bestäm även lösningens existensintervall Lösning: Omforma den givna differentialekvationen(bernoulli-typ) Multiplicera med y : xy y + y + x = 0 Sätt z = y, z = y y : x( z ) + z + x = 0, x z z = x, z z x Multiplicera med en integrerande faktor: e dx x = linjär av första ordningen =, fallet x > 0 behandlas pga villkoret x x z z x = d x, z dx x = z y x Integrera: = ln x + C, x x = ln x + C Villkoret y() = ger C = Den sökta lösningen blir: y = x(ln x +) med x(ln x +) 0, x > 0 x e Vi söker även lösningens existensintervall Enligt ovan skall gälla att x > 0 och x e Detta innebär att det finns två delintervall varav ett är det sökta Villkoret innebär att vi söker det intervall som innehåller x = vilket ges av x:x > e = e SVAR: y = x(ln x +) och existensintervallet är x:x > e Betrakta det autonoma systemet X = AX, där A = degenererad nod Avgör om noden är stabil eller instabil Lösning: Vi bestämmer matrsens egenvärden Dessa kan erhållas ur ekvationen 0 = det(a I) = 4 4 Bestäm så att systemet får en = ( )( ) + 4 Egenvärdena kan även bestämmas med hjälp av spåret = + och determinanten = + 4 Egenvärdena är: = ± 4 + ± ( +) 4( + 4), = Degenererad nod inträffar då egenvärdena är sammanfallande, dvs då ( +) 4( + 4) = 0 ( ) =6, =± 4 För = 5 är = 3 > 0; instabil degenererad nod För = 3 är = <0; stabil degenererad nod SVAR: Instabil degenererad nod för = 5 och stabil degenererad nod för = 3 3 Bestäm y(t) för t > 0 om y (t ) t u y (t u)du = t, y (0) = Lösning: Laplacetransformera: sy (s) y(0) s Y (s) = s 0

2 s + Sätt in villkoret, multiplicera med s och lös ut Y (s): Y (s) = s s 3 = s + s + s + = s Återtransformera: y(t) = e t (cos t sin t 3 ) SVAR: Den sökta lösningen är y(t) = e t (cos t sin t 3 ) 4 Det har ösregnat under en längre tid Vatten har helt fyllt ett 00 m långt och m brett dike Dikets vertikala genomskärningsprofil har V-form, i form av en halv kvadrat, delad längs en horisontell diagonal, m lång Regnet har upphört vid tidpunkten t = 0 a) Antag att diket nedtill är helt tät så att vattnet endast kan försvinna genom avdunstning uppåt Låt V (t) vara vattenvolymen vid tiden t > 0, med t mätt i dagar Visa att V (t) uppfyller en differentialekvation på formen dv dt = k den fria vattenytans area V, k =positiv konstant, om avdunstningshastigheten(i m3 /dag) är proportionell mot b) Bestäm V (t) om V (0) =00 m 3 (=helt fyllt dike) och V () = 99 m 3 c) När är diket torrlagt? ( 99 9,95 ) Lösning: a) Låt h vara vattenståndet i det triangulära diket Då är tvärsnittsytans area A = h = h Dikets volym är: V(t) = 00 h =00h, h = V 0 Avdunstningshastigheten dv dt = k 00 h = k 00 b) dv dt Den fria vattenytans area är 00 h V 0 = k V VSV = k V är separabel Den triviala lösningen saknar intresse För att få icke-triviala lösningar omformas differentialekvationen till: Integration ger: V = kt + C Villkoret V(0) =00 ger C = 0 Villkoret och C = 0 ger 99 = k +0, k = 0 99 V dv dt = k { } Insättning av konstanterna ger: V = (0 99)t + 0, V = 0 (0 99)t Diket är tomt då V = 0 vilket inträffar för t = SVAR: a) Se ovan b) V = 0 (0 99)t = { } c) Diket torrlagt efter 99,5 dagar = 0(0 + 99) 99,5 5 Definiera begreppet fundamentalmatris Bestäm en fundamentalmatris hörande till systemet 0 X = 3 X + et Bestäm även en partikulärlösning Lösning: En fundamentalmatris är en kvadratisk matris där kolonnerna består av linjärt oberoende lösningar till det homogena systemet av ordinära differentialekvationer X = AX Vi bestämmer en fundamentalmatris till systemet X = 0 3 X

3 Börja med matrisens egenvärden: 0 = det(a I) = = 3 + = ( )( ) 3 Egenvärdena är = och = Bestäm tillhörande egenvektorer Dessa erhålles ur ekvationssystemet (A I)K = 0 Insättning av = ger: 3 K = 0 där K = r, r är ett godtyckligt reellt tal Insättning av = ger: 3 K = 0 där K = r, r är ett godtyckligt reellt tal Två linjärt oberoende lösningar är X = et och X = et, ty det(x,x ) = et e t = e 3t e t e t En fundamentalmatris är Φ(t) = et e t e t e t 0 Nu över till en partikulärlösning till det inhomogena systemet X = 3 X + et Här utyttjar vi att allmänna lösningen till det homogena systemet kan skrivas X h =Φ(t)C, C är en konstant vektor Ansatsen X p =Φ(t)U(t) ger att X p =Φ(t) Φ (t) F(t)dt där F(t) = e t e t Beräkna först fundamnetalmatrisens imvers: Φ (t) = e 3t = e t e t e t e t Φ (t) F(t)dt = e t dt = e t e t e t dt = t 3e t 3e t Vi har då erhållit en partikulärlösning: X p = et e t t = 4tet + 3e t e t e t 3e t te t + 3e t SVAR: Fundamentalmatrisens definition se ovan En fundamentalmatris är Φ(t) = et e t e t e t En partikulärlösning är X p = 4te t + 3e t te t + 3e t et e t e t, e t e t 0 6 Betrakta randvärdesproblemet y + y = 0, y(0) = 0, y ( / ) = 0 Undersök om det är möjligt att bestämma värden på så att problemet får a) triviala lösningar b) icke-triviala lösningar Lösning: Vi undersöker lösningarna till den homogena differentialekvationen för alla reella värden på > 0, =, R y + y = 0 har lösningen y = A cos x + B sin x 0 = y(0) = A 0 = A Villkoren ger: 0 = y( ) = A cos + B sin 0 = B sin Icke-trivial lösning då Trivial lösning då 4n = 0 = n, = n dvs = (n) = 4n där n Z

4 y = 0 har lösningen y = A x + B 0 = y(0) = B Villkoren ger: 0 = y( ) = A + B Endast den triviala lösningen erhålles för = 0 < 0, =, R y y = 0 har lösningen y = A 3 e x + B 3 e x 0 = y(0) = A 3 + B 3 Villkoren ger: 0 = y( ) = A 3 e + B 3 e Endast den triviala lösningen erhålles för < 0 0 = B 0 = A B 3 = A 3 0 = A 3 (e e ) SVAR: a) Triviala lösningar erhålles för < 0, = 0 och 4n där n Z b) Icke-triviala lösningar erhålles för = 4n där n Z (y = B sin nx ) 7 För den -periodiska funktionen f gäller att: f(t) = t, < t < Bestäm f :s (-) n+ fourierserie Använd sedan den erhållna serien för att beräkna summorna n och n= n= n Lösning: Enligt BETA 33 sid 30(4:e upplagan) har g(t) = t, < t <, g(t + ) = g(t) fourierserien : ( ) n n cos n t = n = ( )n n cosnt n= Den sökta fourierserien blir då: ( ( )n cos nt) n= n f tilldelas fourierserien: f(t) ~ ( )n+ n cosnt n = (OBS! cosinusserie pga jämn funktion) För beräkning av de sökta seriernas summa insättes lämpliga värden Vi väljer t = 0 respektive t = f är kontinuerlig och f är styckvis kontinuerlig Fouriersrien konvergerar mot funktionsvärde i dessa punkter För t = 0 erhålles: = ( ) n+ ( ) n+ n, = n= n n= För t = erhålles: 0 = ( ) n+ cosn n, = n= n n= 6 SVAR: f tilldelas fourierserien: f(t) ~ ( )n+ n cosnt n = De sökta seriesummorna är: = n n= ( ) n+ 6 respektive = n n= u 8 Bestäm den lösning till x = u + u, u(x,0) = 6e 3x som är begränsad då x > 0 och t > 0 t Lösning: Vi använder variabelseparationsmetoden Sätt: u(x,t) = X(x)T(t) Insättning i den partiella differentialekvationen ger: X (x )T(t) = X (x) T (t) + X (x)t(t)

5 Utför division med X(x)T(t) : X (x ) X (x ) = T (t) T(t) + = separationskonstant = Observera att vänstra ledet endast beror av x och högra ledet endast beror av t Den partiella differentialekvationen övergår i ett okopplat system av ordinära differentialekvationer X (x ) X (x) = 0 X (x) = Ae x T (t) T(t) = 0 T(t) = Be t Insättning i separationsansatsen ger: u(x,t) = Ae x Be Det återstår att bestämma C och Villkoret ger: 6e 3x = u(x,0) = Ce x, t = Ce x + t C = 6 3x t u(x,t) = 6e = 3 Den erhållna lösningen är begränsad f då x > 0 och t > 0 SVAR: Den sökta lösningen är u(x,t) = 6e 3x t