SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) =

Transkript

1 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = xe x2 /4. Lösningsförslag. Standardgränsvärdet xe x, då x ger att lim f(x) = lim x x ± x ± e = lim x 2 /4 x2 /4 x ± e 4 x2 /4 x =. Dessa gränsvärden tillsammans med att f är kontinuerlig och deriverbar för alla x R ger att funktionens maximala och minimala värde återfinns i de stationära punkterna för f. Vi har att f (x) = ( 2 x ) ( + 2 x ) e x2 /4 och att f (x) = om och endast om x = ± 2. Vi får att f( 2 2) = e och f( 2 2) = e. Alltså ges värdemängden av [ ] 2 2 V f = e,. e Svar. [ ] 2 2 V f = e,. e

2 2 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Beräkna integralen 2 π(x 3) + 5x x 2 x 6 dx. Lösningsförslag. Låt oss partialbråksuppdela. Ansätt π(x 3) + 5x x 2 x 6 Högerledet kan skrivas om så att π(x 3) + 5x x 2 x 6 = A x 3 + = B, A, B R. x + 2 Ax + 2A + Bx 3B. (x 3)(x + 2) Vi får ekvationerna A + B = π + 5 och 2A 3B = 3π som har lösningen A = 3 och B = 2 + π. Alltså kan integralen nu beräknas enligt följande 2 π(x 3) + 5x 2 ( 3 x 2 x 6 dx = x π ) dx x + 2 = [ 3 ln x 3 + (2 + π) ln x + 2 ] 2 = 3 ln + (2 + π) ln 4 3 ln 3 (2 + π) ln 2 = (2 + π) ln 2 3 ln 3. Svar. (2 + π) ln 2 3 ln 3

3 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen En vattenreservoar har förorenats av ett giftigt ämne. En naturlig rening sker genom att rent vatten rinner in i reservoaren samtidigt som förorenat vatten rinner ut i samma takt. I en modell över förloppet antas att koncentrationen K(t) av det giftiga ämnet vid tiden t s uppfyller differentialekvationen dk K(t) (t) = dt 5. Hur lång tid tar det enligt denna modell för koncentrationen av det giftiga ämnet att halveras? Lösningsförslag. Lösningen till den karakteristiska ekvationen r + /5 = är r = /5. Alltså har differentialekvationen lösningen K(t) = Ce t/5. Vid tiden t s har vi koncentrationen K(t). Vi vill beräkna halveringstiden, dvs tiden T så att K(t + T ) = K(t)/2 vilket är detsamma som att eller ekvivalent Ce (t+t )/5 = Ce t/5 2 e T/5 = 2. Löser vi ut T så får vi T = 5 ln(2 ) = 5 ln 2. Svar. Halveringstiden är 5 ln 2.

4 4 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL B 4. Låt f(x) = e x cos x. (a) Bestäm MacLaurinpolynomet (Taylorpolynomet vid x = ) av grad till f. (b) Visa att (2 p) (2 p) då x. f(x) x < 3, Lösningsförslag. (a) MacLaurinpolynomet p av grad till f ges av p (x) = f() + f ()x. Vi har att f() =, f (x) = e x cos x e x sin x och f () =. Alltså får vi att (b) Resttermen ges av p (x) = + x. f(x) = p (x) + f (θx)x 2 = + x + f (θx)x 2, θ. 2! 2! Vi får f (x) = e x cos x e x sin x e x sin x e x cos x = 2e x sin x. Alltså gäller för x att f(x) x = 2e θx sin(θx)x 2 2 e θx x 2 e < 3. Svar. (a) + x (b) se lösning.

5 5. Visa att olikheten gäller för x >. SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen ln x 2 < x x, Lösningsförslag. Låt oss bilda funktionen f(x) = x /x ln(x 2 ) för x >. Låt oss studera funktionsgrafen till f. Vi har att lim f(x) = x + och att f (x) = + x 2 2 x = x2 2x + (x )2 = >, x 2 x 2 då x >. Eftersom f uppfyller att lim x + f(x) = och är strängt växande så följer att f(x) > och således att gäller för x >. Svar. Se lösningen. ln x 2 < x x,

6 6 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Låt a vara ett reellt tal. Kurvan y = x a, x < roterar ett varv kring x-axeln. För vilka värden på parametern a har den erhållna rotationskroppen en ändlig volym? Bestäm volymen för sådana a. Lösningsförslag. Rotationen kring x-axeln ges av V a = = π lim R R π dx = lim x2a R [ ( 2a)x 2a ] R π dx x2a = π lim R ( ( 2a)R 2a ( 2a) = π 2a om och endast om 2a >, dvs då a > /2. Då a < /2 så är integralen divergent eftersom +, då R. ( 2a)R2a När a = /2 så är också integralen divergent ty R V /2 = π dx = lim π x R x dx [ ] R = π lim ln x = π lim ln R =. R R ) Svar. Volymen är ändlig om och endast om a > /2 och volymen är då π. 2a

7 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL C 7. (a) Definiera vad som menas med att serien (2 p) j= a j är konvergent. (b) Antag att f : [, ) R är positiv, kontinuerlig, avtagande och sådan att f(j) = a j för varje j =, 2, 3,... (2 p) Visa att om f(x) dx är konvergent så är även serien i (a) konvergent. Lösningsförslag. (a) Serien är konvergent om gränsvärdet existerar. (b) Låt oss studera följden j= lim N a N := a j N j= a j N a j. j= Vi vill visa att denna följd konvergerar. Detta kan göras genom att visa att följden är växande och uppåt begränsad. Eftersom termerna är positiva växer följden. Det återstår att visa att följden är uppåt begränsad. Vi kan använda jämförelsesatsen med integraler eftersom f är avtagande, positiv och kontinuerlig. Vi har att N N a j f(x) dx f(x) dx. j= Eftersom integralen är konvergent så är följden a N uppåt begränsad och därmed konvergent. Svar. se lösning.

8 8 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Låt I : [, ] R vara definierad som Bestäm gränsvärdet I(x) = x ( + sin(t 2 )) dt. I(x) lim x 2x. Lösningsförslag. Vi använder MacLaurinutveckling av I. Alltså I(x) = I() + I ()x + x 2 B(x), där B är en begränsad funktion i en omgivning av x =. Vi har att I() = och att I (x) = + sin(x 2 ), vilket ger att I () =. Gränsvärdet ges därför av ( I(x) lim x 2x = lim x + x 2 B(x) = lim x 2x x 2 + xb(x) ) = 2 2. Svar. /2

9 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Låt a vara en reell konstant. För vilka värden på a är funktionen f(x) = (x + a) x deriverbar i punkten x =? Lösningsförslag. Funktionen f är deriverbar i x = om och endast om existerar. Låt först h >, f(h) f() h då h. Låt nu h <, f(h) f() h f(h) f() lim h h = (h + a)h h a, (h + a)h = a, h då h. För att dessa gränsvärden ska vara lika så måste a =. Alltså är f deriverbar i x = om och endast om a =. Svar. f är deriverbar i x = om och endast om a =.