MVE500, TKSAM Avgör om talserierna är konvergenta eller divergenta (fullständig motivering krävs). (6p) 2 n. n n (a) n 2.

Transkript

1 MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: kl Tentamen MVE500, TKSAM- Telefonvakt: Anders Hildeman Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper. Fyll i omslaget ordentligt. För godkänt krävs 5 poäng på del. För betyget 4 krävs 35 poäng totalt, varav minst 6 poäng på del. För betyget 5 krävs 45 poäng totalt, varav minst 8 poäng på del. Varje godkänd dugga ger bonuspoäng till del. ösningar läggs ut på kursens hemsida. Resultat meddelas via adok. Del (godkäntnivå). Avgör om talserierna är konvergenta eller divergenta (fullständig motivering krävs). (6p) n n n (a) n (b) n 4 (c) + 3 n Svar: (a) Kvottestet ger a n+ a n = Alltså divergent. (b) Divergent, eftersom (c) Divergent, eftersom n= n n= n (n + ) när n är divergent (jämförelsesatsen). är divergent (jämförelsesatsen).. (a) Hitta Taylorserien till funktionen f(x) = e x i punkten x =. (3p) (b) Bestäm konvergensradien för Taylorserien ovan. Svar: (a) f (n) () n e f(x) = = n! n! n=0 n=0 (b) Konvergensradien är eftersom a n+ a n 0 oberoende av värdet på x. 3. Positionen av en partikel som funktion av tiden beskrivs av r(t) = a cos(kt), b sin(kt) där a och b är positiva konstanter och k är ett positivt heltal. (a) Bestäm partikelns hastighetsvektor vid tiden t = π. (b) Skissa partikelns rörelsebana i fallet a = och b =.

2 (c) Markera var i rörelsebanan partikelns fart 3 är som lägst i fallet a = och b =. Svar: (a) r (t) = ak sin(kt), bk cos(kt). Alltså, r (π) = 0, bk. (b) (c) åt f(x, y) = x y. (a) Skissa nivåkurvor till f för x, y. (b) Bestäm tangentplanet till f i punkten (/, 0). Svar: (a).0 (3p) (3p) (b) f x (/, 0) = och f y (/, 0) = 0. Dessutom f(/, 0) = /4. Planet ges därmed av Eng. velocity vector Eng. trajectory 3 Eng. speed z = (x /) + /4 z = x /4

3 5. Hitta och karaktärisera de stationära punkterna till f(x, y) = x + x + y. (5p) Svar: Det finns en stationär punkt: ( /, 0). Denna är ett minimum. 6. ös värmeledningsekvationen (6p) u t = u xx 0 x, t 0 u(0, t) = u(, t) = 0 sin(nπx) u(x, 0) = n Svar: Detta är en homogen värmeledningsekvation med homogena Dirichlet-villkor. Variabelseparationsansatsen ger att lösningen måste vara på formen u(x, t) = b n e n π t sin nπx. Begynnelsevillkoren ger därmed direkt lösningen b n = /n. Var god vänd blad!

4 Del (överbetygsnivå) 7. Serien (5p) definieras av a = a n a n+ = + cos n a n n Avgör om serien är konvergent eller divergent (fullständig motivering krävs). Svar: Kvottestet ger lim a n+ n a n = lim n + cos n n + lim = 0 <. n n Serien är alltså absolutkonvergent och därmed även konvergent. 8. Bestäm största arean en likbent triangel kan ha under förutsättning att den ryms inom (5p) enhetscirkeln (se figur). y x Svar: Detta är optimering av funktionen f(x, y) = x( y) (triangelns area) under bivillkoret g(x, y) = x + y = 0 (triangelns hörn ligger på enhetscirkeln). Maximum av f under detta bivillkoret ges då x = 3/ och y = /, vilket ger arean 3 3/4. 9. ös med hjälp av variabelseparation den dämpade vågekvationen (6p) u tt + u t u xx = 0, 0 < x <, t > 0 u(0, t) = u(, t) = 0, t > 0 u(x, 0) =, 0 < x < u t (x, 0) = 0, 0 < x <

5 Svar: e t (cos(ω k t) + 4 sin(ω k t)) sin((k + )πx) ω k (k + )π där ω k = (k + ) π ycka till! Klas M

6 Formelblad MVE500, HT-06 Trigonometri cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y tan(x + y) = Integraler x a dx sin x dx cos x dx e x dx tan x + tan y tan x tan y = xa+ a + + C, = cos x + C = tan x + C = e x + C a x + a dx = a arctan x a + C, a 0 a x dx = arcsin x a + C, a > 0 a + x dx = ln x + x + a + C, a 0 cos x cos y = (cos(x y) + cos(x + y)) sin x sin y = (cos(x y) cos(x + y)) sin x cos y = (sin(x y) + sin(x + y)) x dx = ln x + C cos x dx = sin x + C sin x dx = cot x + C a x dx = ax ln a + C f (x) f(x) dx = ln f(x) + C a x dx = x a x + a arcsin x + C, a > 0 a a + x dx = ( x a + x + a ln x + ) x + a + C Maclaurinutvecklingar e x = sin x = cos x = ( + x) α = ln( + x) = arctan x = x k k! ( ) k x k (k )! k= ( ) k xk = + x + x! + x3 3! +... = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... = x! + x4 4! x6 6! +... (k)! ( ) α x k α(α ) = + αx x <, k! ( ) k= ( ) k= k xk k k xk k = x x + x3 3 x < x = x x3 3 + x5 5 x x ( ) α α(α )... (α k + ) = k k(k )...

7 Fourierserier Jämn funktion f(x) = f( x) Udda funktion f(x) = f( x) Fourierserien av en -periodisk funktion f(x) ges av a 0 + där Fourierkoefficienterna ges av a n = a n cos nπx + b n sin nπx f(x) cos nπx dx b n = f(x) sin nπx dx Den komplex Fourierserien av en -periodisk funktion f(x) ges av n= c n e inπx/ där de komplexa Fourierkoefficienterna ges av c n = f(x)e inπx/ dx Sinusserien av f(x) definierad på intervallet x [0, ] ges av b n sin nπx, b n = 0 f(x) sin nπx dx Cosinusserien av f(x) definierad på intervallet x [0, ] ges av a 0 + a n cos nπx, a n = 0 f(x) cos nπx dx Parsevals identitet för en -periodisk funktion f(x) f(x) dx = a 0 + a n + b n