MVE500, TKSAM Avgör om följande serier är divergenta eller konvergenta. Om konvergent, beräkna summan. (6p) ( 1) n x 2n+1 (a)

Transkript

1 Chalmers tekniska högskola Datum: 7--9 kl Tentamen Telefonvakt: Milo Viviani MVE5, TKSAM- Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper. Fyll i omslaget ordentligt. För godkänt krävs 5 poäng på del. För betyget 4 krävs 35 poäng totalt, varav minst 6 poäng på del. För betyget 5 krävs 45 poäng totalt, varav minst 8 poäng på del. Varje godkänd dugga ger.5 bonuspoäng till del. ösningar läggs ut på kursens hemsida. Resultat meddelas via adok. Part (godkäntnivå). Avgör om följande serier är divergenta eller konvergenta. Om konvergent, beräkna summan. (6p) ( ) n x n+ (a), för x R [Tips: bifogat formelblad kan vara till hjälp] (n)! n= 5 n (b) (c) 6 n n n= Solution: (a) It is enough to see that it is convergent because ( ) n x n+ n= (n)! x cos(x), for all x R. (b) The series is a p-series n with p = 76 p 77, therefore is divergent. (c) The series is a geometric series, therefore convergent. Moreover : n= 5 n 6 n = 5 n 6 n 5 6 = 5 6 n= 5 6 = 5 6. =. (a) Bestäm Maclaurinserie till f(x) = arctan x. (3p) (b) Bestäm konvergensradien för Maclaurinserien till f. (p) Solution: (a) Using the known formula for the Maclaurin series of arctan x, we can substitute x with x to get: arctan x = x k ( ( ) )k k k= = ( ) k x 4k k (k ). (b) The radius of convergence of the Maclaurin series of arctan x is. Therefore in our case it has to be: x x. Therefore the radius of convergence is R =. k= 3. Betrakta kurvan r(t) = t cos(t), t sin(t), för t > : (a) Bestäm hastighetvektorn v(t) vid t = π. (p)

2 (b) Skriv formeln för längden av r(t) för t [, π] i den mest förenklade formen. (du behöver inte beräkna integralen) (c) Skissa kurvan för t [, π]. Solution: (a) We have that v(t) = r (t) = cos t t sin t, sin t + t cos t, and so v(π) =, π. (b) We have to calculate: r (t) = + t. Therefore we get: (p) (p) (c) (, π) = π + t dt åt f(x, y) = x y, för x, y R: (a) Hitta den tangentplanet av f i punkten (x, y ) = (, ). (b) Skissa några av nivåkurvorna till f för x, y. Solution: (a)when both x, y, we have that: (3p) (3p) f(x, y) = x y. Hence we have that f(x, y ) =. Therefore the tangent plane to the graphic of f (x, y ) = (, ) is z = x y.

3 (b) (a) Visa att ( π, ), ( π, ), ( π, ) är stationära punkterna till f(x, y) = cos(xy) + sin(x) (4p) och använd andraderivatatestet för bestämma deras karaktär. (b) Hitta de andra stationära punkterna till f inuti cirkeln x + y < π och använd andraderivatatestet för att om möjligt bestämma deras karaktär. Solution: Stationary point means f(x, y) = [ y sin(xy) + cos x, x sin(xy)] =. This gives the system of equations: { y sin(xy) + cos x = x sin(xy) = (p) From there we get six possible solutions in x + y < π : (± π, ), (± π, ±), (± π, ). To classify them we calculate the Hessian matrix: [ y H(x, y) = ] cos(xy) sin x sin(xy) xy cos(xy) sin(xy) xy cos(xy) x. cos(xy) From there we find ( π, ) maximum, ( π, ) saddle, ( π, ) saddle, ( π, ) minimum, ( π, ) saddle, ( π, ) minimum.

4 Hitta sinusserier till f(x) = och g(x) = x och sen använda dem för att lösa vågekvationen: (6p) u tt (x, t) = 3u xx (x, t) for < x <, t > u(, t) = u(, t) = for t u(x, ) = for x u t (x, ) = x for x Solution: The sine series of f and g in [, ] are, respectively: and f(x) = g(x) = (( ) n+ + ) nπ sin nπx ( ) n sin nπx. nπ The wave equation is homogeneous with Dirichlet boundary conditions. From the theory we know that the solution has the following expression: u(x, t) = ( a n cos nπ 3t + b n sin nπ ) 3t sin nπx. It is a perfectly fine solution if considered a general interval [, ], instead of [, ].

5 From the sine-series of f and g we get: and a n = (( )n+ + ) nπ b n = ( )n 3n π. Var god vänd blad!

6 Part (överbetygsnivå) 7. Bestäm summan till följande serier, med hjälp av Parseval identitet till funktionen f(x) = x (6p) för x [ π, π]: (a) n (b) (n) (c) (n + ) Solution: (a) The Parseval identity for f(x) = x, with x [ π, π], says that: π x = π π where b n are the Fourier coefficients of f, which are b n = ( )n n. The integral on the HS is equal to π 3. Therefore we get (b) It is enough to notice that: (n) = 4 (c) Putting (a) and (b) together we have: (n + ) = n = π 6. b n n n = π 4. (n) = π I en butik säljs tre olika föremål. Deras kvantiteter anges med x, x, x 3 och deras priser (5p) med p, p respektive p 3. Med en fast budget x p + x p + x 3 p 3 = C, hitta maximivärdet för verktygsfunktionen U(x, x, x 3 ) = x x x 3, för x, x, x 3 och p, p, p 3 > fast. Solution: Using the agrange multipliers we get: x U(x, x, x 3 ) = x x 3 = λp x U(x, x, x 3 ) = x x 3 = λp x3 U(x, x, x 3 ) = x x = λp 3 x p + x p + x 3 p 3 C = We get then x x x 3 = λp x = λp x = λp 3 x 3. We can exclude λ = (otherwise all the quantities would be ) and taking λ, which gives p x = p x = p 3 x 3 = C/3. Therefore the maximum of the utility is U(x, x, x 3 ) =. C3 7p p p ös med hjälp av variabelseparation den modifierad homogen värmekvation: (5p) u t + u = 4u xx, < x <, t > u(, t) = u(, t) = u(x, ) = x.

7 Solution: The separation of variables gives us the ansatz u(x, t) = X(x)T (t). Substituting this expression in the heat equation we get: T (t) = (4k )T (t) t > X (x) + kx(x) = < x < X() = X() = The homogeneous conditions give us as possible solutions X n (x) = b n sin(nπx) and T n (t) = exp(( 4(nπ) + )t), for n =,, 3... Therefore the general formula for the solution is: u(x, t) = b n exp(( 4(nπ) + )t) sin nπx. Finally we have to calculate the coefficients b n. b n = x sin nπxdx = πn ( )n+. ycka till! Milo

8 Formelblad MVE5, HT-6 Trigonometri cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y tan(x + y) = Integraler x a dx sin x dx cos x dx e x dx tan x + tan y tan x tan y = xa+ a + + C, = cos x + C = tan x + C = e x + C a x + a dx = a arctan x a + C, a a x dx = arcsin x a + C, a > a + x dx = ln x + x + a + C, a cos x cos y = (cos(x y) + cos(x + y)) sin x sin y = (cos(x y) cos(x + y)) sin x cos y = (sin(x y) + sin(x + y)) x dx = ln x + C cos x dx = sin x + C sin x dx = cot x + C a x dx = ax ln a + C f (x) f(x) dx = ln f(x) + C a x dx = x a x + a arcsin x + C, a > a a + x dx = ( x a + x + a ln x + ) x + a + C Maclaurinutvecklingar e x = sin x = cos x = ( + x) α = ln( + x) = arctan x = k= x k k! ( ) k x k (k )! k= k= k= ( ) k xk = + x + x! + x3 3! +... = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... = x! + x4 4! x6 6! +... (k)! ( ) α x k α(α ) = + αx x <, k! ( ) k= ( ) k= k xk k k xk k = x x + x3 3 x < x = x x3 3 + x5 5 x x ( ) α α(α )... (α k + ) = k k(k )...

9 Fourierserier Jämn funktion f(x) = f( x) Udda funktion f(x) = f( x) Fourierserien av en -periodisk funktion f(x) ges av a + där Fourierkoefficienterna ges av a n = a n cos nπx + b n sin nπx f(x) cos nπx dx b n = f(x) sin nπx dx Den komplex Fourierserien av en -periodisk funktion f(x) ges av n= c n e inπx/ där de komplexa Fourierkoefficienterna ges av c n = f(x)e inπx/ dx Sinusserien av f(x) definierad på intervallet x [, ] ges av b n sin nπx, b n = f(x) sin nπx dx Cosinusserien av f(x) definierad på intervallet x [, ] ges av a + a n cos nπx, a n = f(x) cos nπx dx Parsevals identitet för en -periodisk funktion f(x) f(x) dx = a + a n + b n