Serier. egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: s n, där s n =

Transkript

1 Serier Serier eller oändliga summor har flyktigt behandlats redan i tidigare kurser. Vi ska nu gå igenom teorin på ett lite mer systematiskt sätt. I många fall spelar det ingen roll om termerna a k är reella eller komplexa tal. Först en repetition av de grundläggande definitionerna. Låt oss först konstatera att en serie a k = a + a 2 + a egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: Definition. a k = lim n s n, där s n = n a k. s n kallas för partialsumman av ordning n. Beroende på om gränsvärdet existerar eller ej kallas serien konvergent eller divergent. Ex. 2 k, Ex 2. 2 k, Ex 3. k(k+).

2 Ex 4. Även serien k2 kan beräknas, men detta är betydligt svårare än i ovanstående exempel. En metod bygger på att använda Fourierserier: Funktionerna { 2π sin kx} kan betraktas som en ON-bas på C[0, π]. Pythagoras sats tillämpad på vektorn f(x) = x ger att seriens summa är π 2 /6. Att beräkna serier exakt är inte möjligt annat än i specialfall. Det viktigaste problemet i teorin är därför i stället att avgöra om en serie konvergerar eller inte. Ett första nödvändigt villkor för konvergens fås ur följande SATS. a k konvergent lim k a k = 0. Ex 5. Serien (2k)! 2 k är divergent. (k!) 2 Å andra sidan finns det gott om serier där termerna går mot 0 men som divergerar, varför vi behöver effektivare hjälpmedel. De bästa kriterierna gäller för positiva serier.

3 SATS (Jämförelsekriterium I.). Låt 0 a k b k.. b k konvergent a k konvergent. 2. a k divergent b k divergent. SATS (Jämförelsekriterium II.). Låt 0 a k, b k. Antag att lim k a k /b k = A, där 0 < A <. Då är a k konvergent b k konvergent. Ex 6. k+ln k, Ex 8. k+ln k k 2 +, Ex 7. ln k k 2. Ex 9. ( 2 sin k sin 2 k ). En tredje mycket användbar sats, som bygger på att integraler är lättare att beräkna än summor, är SATS (Cauchys integralkriterium). Låt f(x) vara positiv och avtagande på [, [. Då gäller f(k) konvergent f(x) dx konvergent. Ex 0. k=2 k ln k. Ex. k 2 +.

4 Ex 2. k α är konvergent α >. Observera att grundidén i alla tre satserna är densamma: För en positiv serie är följden av partialsummor en växande följd. För att visa att den konvergerar räcker det därför (enligt monotona konvergenssatsen) att visa att den är uppåt begränsad. Vad gör vi då om den serie som vi studerar inte är positiv? I många fall kan frågan om konvergens återföras på det positiva fallet: SATS. (Även för komplexa serier.) a k konvergent a k konvergent. Ex 3. ( ) k k 2. Ex 4. e ik +k 2. En serie med egenskapen att a k konvergerar kallas absolutkonvergent. En serie som konvergerar utan att vara absolutkonvergent kallas betingat konvergent. För sådana serier kan de märkligaste ting inträffa:

5 SATS. Givet ett tal c R (eller c = ± ) och en betingat konvergent serie, så finns en omordning av serien som konvergerar mot c. Exempel på betingad konvergens fås m h a Leibniz kriterium för alternerande serier: Låt {a k } vara en positiv avtagande följd som går mot 0. Då är ( ) k a k konvergent. Ex 5. Serien ( ) k k är betingat konvergent. Vi avslutar med ytterligare två kriterier som bygger på jämförelse med geometriska serier: Cauchys rotkriterium. Antag A < a k absolutkonvergent. A > a k divergent. lim a k /k =A: k a d Alemberts kvotkriterium. Om lim k+ =A: k a k A < a k absolutkonvergent, A > a k divergent. Ex 6. ( k ) k 2. Ex 7. (k!) 2 (2k)!.