Fourieranalys. Anders Holst

Transkript

1 Fourieranalys Anders Holst Mars 24

2

3 Förord Detta kompendium bygger i stor utsträckning på tidigare material som behandlat motsvarande stoff då kursorganisationen var annorlunda. Kapitel ett, om serier, följer i stort sett framställningen i Böiers Claesson Analys för funktioner av flera variabler men ett avsnitt om den komplexa exponentialfunktionen har lagts till. Kapitlen två och tre är huvudsakligen hämtade ur Andersson Källén Wanby Lineär analys medan kapitlet om Fouriertransformen bygger på Claesson Wanby Lineär analys med tillämpningar. Förutom att ge en första bekantskap med metoder som är viktiga inom teknik och fysik är ett av kursens syften att tydliggöra hur enkla fysikaliska modeller på ett naturligt sätt leder till en utvidgning av metoder från lineär algebra till oändligdimensionella vektorrum. Dessutom ges tillfälle till en grundlig repetition av begrepp och resultat från (endimensionell) differential- och integralkalkyl. Ett mål har också varit att så långt som möjligt ge fullständiga bevis, och därvid klargöra betydelsen av de olika, ibland onödigt starka, förutsättningarna snarare än att ge de mest allmänna resultaten. En preliminär version användes som kursbok under våren 999. Utgående från erfarenheterna då har jag försökt lägga till lite fler förklaringar och exempel. Avsnitt och anmärkningar markerade med stjärna (*) är utvikningar och kommentarer för den särskilt intresserade, men även tänkta att användas som referens efter genomgången kurs. Jag vill tacka Jan Gustavsson för utmärkt handledning i hur man man ritar figurer med LaTex, Lena Eriksson för hjälp med omslaget samt Sigmundur Gudmundsson och Per-Anders Ivert som läst och kommenterat delar av materialet. De skrivfel och andra konstigheter som återstår är naturligtvis mitt eget ansvar. Inför denna tryckning har jag rättat ett flertal tryckfel som påtalats av studenter under vårterminen 2. I synnerhet vill jag tacka Ullrika Söderström som lämnat in en lista med tjugoen stycken.

4 ii Påpekanden om eventuella ytterligare felaktigheter mottages tacksamt. Lund, den 23 februari 2. Författaren. Inför 22 års tryckning har ett flertal smärre korrigeringar gjorts. En stor del av dem tack vare påpekanden från Kjell Elfström. Lund, den 6 oktober 22. Författaren.

5 Fördjupningslitteratur Andra framställningar om Fourieranalys (serier och transformer) med tillämpningar finns t ex i:. Serier och transformer, Studentlitteratur 999, av H. Lennerstad & C. Jogréus. En mer resonerande framställning utan så många bevis, främst avsedd för ingenjörsstuderande. 2. Fourier Analysis, Oxford University Press 988, av J.S. Walker. Ungefär på samma nivå som detta kompendium. 3. Fourier Analysis and its applications, Wadsworth & Brooks/Cole 992, av G.B. Folland. Något mer avancerad än detta kompendium. Främst inriktad på tillämpningar inom teorin för differentialekvationer. 4. Fourier Analysis, Cambridge University Press 988, av T.W. Körner. En mer avancerad framställning. Underhållande, med många historiska kommentarer. 5. Mathematical Methods for Physicists, fjärde upplagan, Academic Press 995, av G.B Arfken & H.J Weber. Innehåller avsnitt om Fourierserier och transformer. 6. Inom civilingenjörsprogrammen vid LTH behandlas motsvarande stoff bl a i Föreläsningar i funktionsteori, Lund 997, och Lineära system, Lund 995, båda av Sven Spanne. Mera om lösning av partiella differentialekvationer med hjälp av egenfunktionsutvecklingar kan man läsa bl a i:. K. E. Gustafson Introduction to Partial Differential Equations and Hilbert Space Methods, Dover 999.

6 iv 2. I. Stakgold Green s Functions and Boundary Value Problems, Wiley G. Sparr Kontinuerliga system, Studentlitteratur 998.

7 Innehåll Serier 3. Inledande definitioner och exempel Positiva serier Absolutkonvergenta serier Betingat konvergenta serier Likformig konvergens Den komplexa exponentialfunktionen Fourierserier Inledning Fourierserien för en funktion Pytagoras sats och Bessels olikhet Några egenskaper hos Fourierkoefficienterna Fouriers inversionsformel Minstakvadratmetoden och Parsevals formel Cosinus- och sinusserier Gibbs fenomen Ytterligare kommentarer och anmärkningar Om värmeledning och musik 5 3. Värmeledningsekvationen Några klassiska värmeledningsproblem Den svängande strängen Övertonsserien för en svängande sträng D Alemberts formel Tema med variationer

8 2 Innehåll 4 Fouriertransformen 5 4. Formell härledning genom gränsövergång Definition och inversionsformel Räkneregler för Fouriertransformen Faltningssatsen. Plancherels formel Värmeledning på den reella linjen *Inversionsformeln och betingad konvergens *Poissons summationsformel och värmeledning *Ytterligare anmärkningar A Approximation av funktioner 93 B Integraler innehållande en parameter 97 B. Kompakt integrationsområde B.2 Generaliserade integraler på R B.2. Repetition av grundläggande begrepp B.2.2 Generaliserade integraler som beror på en parameter. 22 B.2.3 Omkastning av integrationsordning

9 Kapitel Serier. Inledande definitioner och exempel I både ren och tillämpad matematik stöter man ofta på storheter som bäst representeras som en serie, dvs som summan av oändligt många termer. I det här kapitlet skall vi diskutera hur man får handskas med sådana summor. Vi påminner om definitionen. En serie u k, k= med termerna u k, kallas konvergent med summan s om följden av delsummor n S n = u k, n =,2,3,..., k= har det ändliga gränsvärdet s då n. En serie som inte är konvergent kallas divergent. Vi kommer till att börja med att syssla mest med serier vilkas termer u k är (positiva) reella tal, men observera att definitionen är meningsfull även om termerna är komplexa tal av formen u k = x k +iy k där x k,y k R betecknar real- och imaginärdelarna av u k. Eftersom ( n n ) n ReS n = Re (x k +iy k ) = Re x k + i y k = n k= k= x k k= k=

10 4 Kapitel. Serier och (på samma sätt) ImS n = n y k, ser vi att en serie med komplexa k= termer u k är konvergent om och endast om de reella serierna Reu k k= och Imu k är konvergenta. k= För att avgöra konvergens med utgångspunkt från definitionen behöver man ett explicit uttryck för delsumman S n. Vi ger två exempel. Exempel.. En serie av formen k= +x+x 2 + = x k, k= där x är ett givet komplext tal kallas en geometrisk serie. För att räkna ut den n:te delsumman, S n = n x k, kan man observera att S n xs n = x n. Om x är detta en ekvation för S n som vi kan lösa. I fallet x = är S n summan av n stycken ettor, så sammanfattningvis gäller S n = +x+x 2 + +x n = k= { x n x om x n om x =. Om x < gäller S n då n, eftersom x x n då n, så att serien är konvergent med summan. För övriga x saknar S x n gränsvärde. Den geometriska serien är alltså konvergent då och endast då x <. Detta resultat kommer att utnyttjas många gånger i fortsättningen. Anmärkning. Den geometriska serien kan användas för att belysa den klassiske grekiske filosofen Zenons paradox om Achilles och sköldpaddan. Zenon försökte visa att det är omöjligt för den snabbe löparen Achilles (fart v a m/s) att hinna ikapp en sköldpadda (fart v s m/s.). Om sköldpaddan får ett försprång på l meter så måste Achilles för att hinna ikapp först avverka denna sträcka (vilket tar t = l v a sekunder). Medan detta sker hinner sköldpaddan röra sig v s t = vs v a l meter till. Under tiden (t 2 = vsl v 2 a s) som det tar för Achilles ( ) v 2l s v a m, som det att springa denna sträcka hinner sköldpaddan ytterligare ( ) 2 v tart 3 = s l v a v a sekunder för Achilles att springa, osv. Zenon argumenterade

11 .. Inledande definitioner och exempel 5 nu att det är omöjligt att springa oändligt många sträckor på ändlig tid, eller ekvivalent, att summan av tidsintervallen t,t 2,t 3,... måste vara oändlig, vilket skulle medföra att Achilles aldrig hinner ikapp. Som vi sett i definitionen av konvergent serie är det emellertid möjligt att summan av oändligt ( ) k v många positiva termer blir ändlig. Det är lätt att se att t k = s l v a v a så att k= t k = l v a k= ( ) k vs är en geometrisk serie med kvot q = vs v a >. Om v a > v s är q <, och serien konvergerar med summan T = l v a vs v a = v a l v a v s. Achilles hinner alltså ifatt på denna tid. (Man kan naturligtvis också erhålla detta resultat genom att notera att Achilles under varje sekund vinner v a v s l meter på sköldpaddan och alltså tjänar in försprånget på v a v s sekunder.) Om q är sköldpaddan minst lika snabb som Achilles och den senare hinner inte ikapp på ändlig tid. Exempel.2. Antag att seriens termer kan skrivas på formen för någon följd (t k ) k=. Då blir u k = t k t k, k =,2,.... S n = (t n t n )+(t n t n 2 )+ +(t 2 t )+(t t ) = t n t. (En summa av detta slag brukar kallas en teleskopsumma.) Om t n t då n är serien konvergent med summa t t, annars divergent. En serie av detta slag, med t k = /k, är k(k +) = ( k ). k + k= Här blir S n =, så att serien är konvergent med summan. n+ k= Anmärkning. Omskrivningen i exemplet kan alltid åstadkommas som u k = S k S k. Detta innebär dock ingen förenkling eftersom vi fortfarande behöver avgöra om S k har ett gränsvärde då k.

12 6 Kapitel. Serier Det är enbart i undantagsfall som man kan finna explicita formler för delsummorna S n så att man direkt kan använda definitionen för att avgöra om en serie konvergerar. I de följande avsnitten kommer vi att ge några metoder för att avgöra om en serie konvergerar genom att jämföra med enklare serier. Innan dess bevisar vi emellertid några enkla men viktiga konsekvenser av definitionen av konvergens. För det första gäller att termerna i en konvergent serie går mot. Detta följer från u k = S k S k s s =, då k. Observera att omvändningen inte är sann, dvs det finns serier k= u k sådana att u k då k men serien trots detta divergerar (se exempel.5 nedan). För det andra får konvergenta serier adderas termvis, dvs om u k och v k är konvergenta så är också (u k +v k ) konvergent och (u k +v k ) = u k + v k. k= Detta följer omedelbart från motsvarande formel för de n:te delsummorna (och den räkneregel för gränsvärden som säger om följderna (A n ) och (B n ) har gränsvärden så gäller att lim n (A n +B n ) = lim n A n +lim n B n ). Om den ena serien är divergent och den andra konvergent är den summerade serien divergent, men om båda de givna serierna är divergenta kan man inte dra någon slutsats om summan, vilket illustreras av exemplet v k = u k. För det tredje är cu k = c k= om u k är konvergent och c en konstant. Omvänt, om k= cu k är konvergent och c är k= u k konvergent. Detta senare behöver inte vara sant om c =..2 Positiva serier Vi utgår från att läsaren redan tidigare träffat på positiva serier (dvs serier med termera k ), och ger bara en kortfattad repetition av jämförelsesatserna. Därefter visar vi att egenskaperna hos en positiv serie är helt oberoende av i vilken ordning man väljer att summera termerna. k= k= u k k=

13 .2. Positiva serier 7 Grundläggande egenskaper Vi börjar med att erinra om en av de fundamentala egenskaperna hos de reella talen, axiomet om övre gräns, som säger: Varje icke tom uppåt begränsad delmängd M av de reella talen R har en minsta majorant s. Denna kallas supremum av M och man skriver s = supm eller s = sup x. x M OmM inte är uppåt begränsad är det bekvämt att skriva supm =. Denna konvention används i formuleringen av följande välkända sats. Sats.3. Om (s n ) är en växande följd av reella tal och s är supremum av {s n ;n =,2,...} så gäller att s n s då n. Bevis: Detta är en direkt konsekvens av axiomet om övre gräns. Definitionen av s innebär för det första att s n s för alla n (s är en majorant). För det andra, om a < s så är s N > a för något N eftersom a inte är en majorant. Som följden är växande, kan vi av detta sluta att s n > a, för alla n N. Detta bevisar satsen, ty om s < kan vi välja a godtyckligt nära s, och om s = kan vi välja a godtyckligt stort. För en positiv serie bildar delsummorna S n = n k= a k en växande talföljd. Använder vi sats. på denna får vi direkt följande resultat. Följdsats.4. Om delsummorna till en positiv serie inte går mot så är serien konvergent.

14 8 Kapitel. Serier Då delsummorna går mot är serien divergent, men man definierar ändå summan, i detta fall som. En positiv serie har med denna konvention alltid en väldefinierad (ändlig eller oändlig) summa. Den geometriska serien (se exempel.) är positiv då x. Då x < gäller att s n x då n, medan s n om x. Exempel.5. Serien k a (.) k= konvergerar om a >. För att inse detta räcker det enligt följdsats.4 att visa att delsummorna inte kan gå mot. Betrakta därför den n:te delsumman s n = n k= k a. Eftersom funktionen f(x) = x a är avtagande då x > har vi då k >. Följaktligen gäller s n = + k a = f(k) = n f(k) + k=2 2 k k f(x)dx+ f(k)dx 3 2 k k Genom att upprepade gånger använda räkneregeln b a f(x)dx+ c b f(x)dx = f(x)dx, f(x)dx+ + c a f(x)dx på summan i högerledet ser vi att (då a > ) n [ s n + x a dx = + a x a för alla n. Alltså är serien konvergent. För a = blir serien i (.) = a (n a ) + a = k= k ] n n n f(x)dx.

15 .2. Positiva serier 9 (den så kallade harmoniska serien). Denna är divergent. För att se det noterar vi att k+ dx k x k, och följaktligen n 2 s n = k 3 x dx+ n+ 2 x dx+ + n+ n x dx = dx = ln(n+), x där högerledet går mot då n. Om a < är den n:te delsumman till (.) större än motsvarande delsumma för den harmoniska serien. Alltså divergerar serien även för a <. Anmärkning. Den harmoniska serien är ett exempel på att en serie kan vara divergent trots att termerna går mot noll. Anmärkning. Exemplet visar att om vi låter ζ(a) beteckna k a, så får vi en väldefinierad funktion av a > genom att låta a avbildas på ζ(a). Denna funktion brukar kallas Riemanns ζ-funktion. Jämförelsesatser Det är ofta möjligt att avgöra om en positiv serie är konvergent eller divergent genom att använda exemplen ovan och följande jämförelsesats. Sats.6. Antag att serien b k är konvergent, och att det finns positiva tal C och N sådana att a k Cb k, då k N. (.2) Då är även a k konvergent. Bevis: Enligt följdsats.4 räcker det att visa att delsummorna är uppåt begränsade. Detta följer av att för n N gäller n a k = k= N k= a k + n a k k=n N k= a k +C k= b k <. k=n

16 Kapitel. Serier Observera att om b k är divergent så räcker inte (.2) för att vi skall kunna avgöra om a k konvergerar. Betrakta t ex fallen a k = /(2k) och a k = /k 2 som båda satisfierar (.2) med C = om b k =. I det förra fallet divergerar k a k men inte i det senare. Följdsats.7. Låt a k och b k vara positiva serier med b k > och antag att a k b k A då k, där < A <. Då är a k konvergent om och endast om b k är konvergent. Bevis: Till varje ε > finns ett N så att A ε < a k b k < A+ε då k N. (.3) Välj ε så litet att A ε >. Då gäller a k (A+ε)b k, då k N enligt den högra olikheten i (.3). Det följer alltså från sats.6 att om är konvergent så är a k konvergent. Omvändningen följer av den vänstra olikheten i (.3), som implicerar att b k (A ε) a k, då k N. b k Exempel.8. Sätt b k = klnk, k = 2,3,... Då är b k om k är tillräckligt stort, eftersom k då k. Vi vet k lnk att är divergent. Alltså följer av sats.6 att b k k är divergent. 2

17 .2. Positiva serier Exempel.9. Undersök om serien a k, där är konvergent eller divergent. a k = 3k 2 2, Lösning: Serien är positiv, och med b k = /k 2 får vi a k b k = k2 3k då k. Eftersom k 2 är konvergent ger följdsats.7 att a k är konvergent. Genom jämförelse med den geometriska serien får vi följande konvergenskriterium, det så kallade kvotkriteriet. Sats.. Antag att a k > och att gränsvärdet a k+ lim = q k a k existerar (ändligt eller oändligt). Då är serien a k konvergent om q < och divergent om q >. Anmärkning. Satsen säger ingenting om konvergensen då q =. I själva verket visar exemplen a k = /k, a k = /k 2 att man inte kan dra några slutsatser i detta fall. Bevis: Antag först att q < och välj r så att q < r <. För N tillräckligt stort är då enligt gränsvärdesdefinitionen För k > N är alltså a k+ a k < r, om k N. a k ra k r 2 a k 2 r k N a N = Cr k,

18 2 Kapitel. Serier där C = r N a N är en konstant. Eftersom r < konvergerar den geometriska serien r k. Därmed konvergerar a k enligt jämförelsesatsen.6. Om q > väljer vi i stället r så att < r < q. För stora k får vi då på motsvarande sätt att a k Cr k. Eftersom den geometriska serien divergerar då r >, är även a k divergent. Exempel.. Betrakta serien k x 3 k x k, k= där x >. Vi har att a k+ = (k +)x 3 (k+) x k+ = a k k x 3 k x k ( + ) x x k 3 x 3 då k. Serien är alltså konvergent då x <, dvs då x < 3, och divergent då x > 3. 3 Sats. ger ingen information i fallet x = 3. I det fallet blir emellertid serien k 3, vilken divergerar eftersom termerna ej går mot noll. Exempel.2. Undersök konvergensen av serien x k k!. Lösning: Här är k= a k+ a k = x(k+) (k +)! k! x k = x k + då k. Serien är följaktligen konvergent för alla positiva x. (Speciellt måste termerna gå mot noll, varför vi på ett bekvämt sätt visat att lim k x k /k! =.) Vi vill slutligen erinra om att man ibland kan avgöra konvergens av en positiv serie genom att i stället undersöka en generaliserad integral. Vi har nämligen: Om funktionen f(x) är kontinuerlig, positiv och avtagande då x N så är serien k=f(k) konvergent då och endast då den generaliserade integralen f(x)dx är konvergent. (Cauchys integralkriterium.) N Detta bevisas genom att man uppskattar seriens delsummor med integraler. (Jfr exempel.5.)

19 .2. Positiva serier 3 Olika summationsordning Vid addition av reella tal är följande räknelagar fundamentala: a +a 2 = a 2 +a, (a +a 2 )+a 3 = a +(a 2 +a 3 ). De innebär bland annat att man i uttryck som ((a +(a 2 +a 3 ))+a 4 ) kan ta bort parenteserna och byta ordning mellan termerna utan risk för att betydelsen förändras. För varje ändlig mängd F av index är alltså summan a k = a k F k F väldefinierad utan att man behöver ange i vilken ordning summationen ska ske. Då man i stället för ändliga summor betraktar serier, för vilka indexmängden har oändligt många element, kommer en gränsprocess in i bilden, och det är inte längre uppenbart att ordningsföljden av termerna är betydelselös. Som vi skall se längre fram är så inte heller alltid fallet då både positiva och negativa termer förekommer. Vår definition av konvergens bygger på att vi bildar summan av termerna med index,2,...,n och därefter låter n gå mot. En annan tänkbar regel vore att först ta två termer med udda index, därefter en med jämnt index, sedan ånyo två med udda index, en med jämnt index, osv. Vi formaliserar beskrivningen av en godtycklig summationsordning genom att införa en svit (F n ) av delmängder till indexmängden I = {,2,...} med följande egenskaper:. F n är en ändlig mängd för varje n, 2. F n F n+ för varje n, 3. n= F n = I. En sådan svit av delmängder kallar vi uttömmande för I. Genom att bilda summan s(f n ) = k F n a k

20 4 Kapitel. Serier och låta n beskriver vi ett sätt att summera serien a k. Hittills har vi valt F n = {,2,...,n} (och ibland har vi inkluderat ). Vid den ovan antydda alternativa summationsordningen är F = {,3}, F 2 = {,3,2}, F 3 = {,3,2,5,7}, F 4 = {,3,2,5,7,4} osv. Eftersom delsummorna s(f n ) bildar en växande följd är det klart att gränsvärdet lim n s(f n ) existerar (möjligtvis lika med + ). Vi skall nu visa att för positiva serier är summationsordningen betydelselös. Sats.3. För en positiv serie är a k = lim s(f n ) (.4) n k= för varje uttömmande svit (F n ) av I = {,2,3,...}. Bevis: Sätt s = a k = lim m m a k och beteckna gränsvärdet till höger i (.4) med s. Håll först m fixt. Om n är tillräckligt stort innehåller F n alla talen,2,...,m så att m s m = a k a k = s(f n ) s. k F n k= Det gäller alltså att s m s för varje m. Härav får vi genom att låta m att s s. Omvänt, om vi håller n fixt och låter m vara det största talet i mängden F n så är s(f n ) s m s, vilket ger att s(f n ) s. Då n får vi s s, och satsen är visad. Godtyckliga indexmängder Hittills har vi använt positiva heltal (ibland även ) som index. Det förekommer emellertid även storheter som lämpligen indiceras på annat sätt. Ett enkelt exempel är om man också vill tillåta negativa heltal som index. Man får då serier som skrives eller a k. k= a k k Z k=

21 .2. Positiva serier 5 Elementen i en matris (a jk ) beskrivs enklast med två index som båda är (oftast positiva) heltal. Vi kan uppfatta detta som ett index som är ett par av heltal. Indexmängden är då en mängd av talpar. Det finns andra situationer då talpar utgör en naturlig indexmängd. Om man formellt multiplicerar två serier b j och c k får man serien (Jämför med räkningen j= k= b j c k. (.5) j,k= (b +b 2 )(c +c 2 ) =b (c +c 2 )+b 2 (c +c 2 ) =b c +b c 2 +b 2 c +b 2 c 2 = 2 b j c k.) j,k= Termerna i serien (.5) kan också uppfattas som indicerade med par (j,k) av heltal. Vi skall nu utsträcka begreppet konvergens till (positiva) serier med en godtycklig uppräknelig mängd I av index. (Vi påminner om att en mängd I kallas uppräknelig om det går att numrera alla elementen i I med hjälp av naturliga tal, eller, annorlunda uttryckt, om det finns en regel som till varje naturligt tal n ordnar ett element x n I på ett sådant sätt att varje element x I är bilden av något n N. Den tyske matematikern Georg Cantor visade 874 att mängden av de reella talen inte är uppräknelig.) Sats.3 antyder hur man kan definiera summan av en sådan serie på ett sätt som överensstämmer med den gamla definitionen då indexmängden är de positiva heltalen. Vi kallar fortfarande en svit (F n ) av delmängder till I för uttömmande om den uppfyller villkoren ) 3) ovan. Definition. Om I är en uppräknelig indexmängd och a i då i I så definierar vi summan av serien a i som I I a i = lim a i, n i F n där (F n ) är en uttömmande svit för I.

22 6 Kapitel. Serier Som i beviset för sats.3 visar man att summan är oberoende av sviten (F n ). I själva verket kan man undvara kravet att mängderna F n är ändliga. Detta visar vi i följande lemma. Lemma.4. Låt I vara en uppräknelig indexmängd och a i, i I. Antag att (G j ) är en svit av delmängder av I sådan att G j G j+ för alla j och j= G j = I. Då är a i = lim a i. j i I i G j Bevis: Låt (F n ) vara en svit som är uttömmande för I. (Speciellt är mängderna F n ändliga.) Om n är fixt och j är tillräckligt stort är F n G j I. Då är a i a i a i. F n G j I Eftersom den vänstra summan går mot I a i då n är lemmat visat. Ibland har man anledning att dela upp indexmängden i två (eller flera) delar. Följande lemma visar att detta inte påverkar summan. Lemma.5. Antag att I = I I 2, där I I 2 =. Om a i, i I, gäller a i = a i + a i. I I 2 I Bevis: Låt (F n ) vara en uttömmande svit för I. Då är sviterna (F n I ) och (F n I 2 ) utömmande för I respektive I 2. Vidare är uppenbarligen a i = a i + a i F n F n I F n I 2 för varje fixt n, så påståendet följer om vi låter n. Exempel.6. Då indexmängden är de positiva heltalen kan lemma.5 användas för dela upp i udda och jämna index. Således följer av lemmat att k= k 2 = k= k udda k 2 + k= k jämnt k = 2 p= (2p ) + 2 p= (2p) 2.

23 .2. Positiva serier 7 Eftersom följer av detta att p= (2p) 2 = 4 k= k udda p= k 2 = 3 4 p 2 = 4 k= k 2. Lemma.5 kan naturligtvis direkt generaliseras till det fall då indexmängden I är en union av ändligt många parvis disjunkta mängder. Att det till och med gäller för uppräkneligt många mängder visas i följande sats. Sats.7. Antag att I = j= I j, där I j I k = då j k. Om a i, i I, gäller a i =. I j= Ij Bevis: Vi vet redan att satsen gäller för ändligt många mängder I j. Sätter vi G n = n j= I j har vi alltså n a i = a i. G n j= Ij Mängderna G n uppfyller förutsättningarna i sats.3, och satsen följer nu om vi låter n. Exempel.8. Antag att vi har en oändlig matris (a jk ) j,k=, med ickenegativa element. Indexmängden N N kan skrivas som unionen av mängderna {j} N, j =,,2,..., och sats.7 ger att ( ) a jk = a jk. N N j= Här beräknas i högerledet summan av alla radsummor i matrisen. På motsvarande sätt får vi att summan av alla matriselementen är lika med summan av kolonnsummorna. Alltså är ( ) ( ) a jk = a jk. (.6) j= k= k= k= a i j= k= k 2

24 8 Kapitel. Serier Radvis och kolonnvis summation i schemat ger sålunda samma resultat. (Observera att detta inte behöver vara sant om matriselementen tillåts ha godtyckliga tecken, se exempel.9 nedan.) I specialfallet då a jk = b j c k, där b j, c k, följer att ( ) ( ) b j c k = b j c k. j,k= j= k= (Eventuellt förekommande skall här tolkas som.) Exempel.9. Låt a jk ges av a jk = då j = k, a jk = då j = k+ samt a jk = annars. Då blir alla kolonnsummor j= a jk lika med noll, eftersom en av termerna är +, en, och de övriga noll. På samma sätt inses att radsumman k= a jk är noll om j >. Däremot gäller a k =, k= eftersom den första termen är ett och de övriga noll. Detta visar att likheten (.6) inte behöver gälla om vi släpper på kravet a jk..3 Absolutkonvergenta serier Absolutkonvergens Definition. Serien u k kallas absolutkonvergent om serien är konvergent. u k (.7) k= Eftersom serien (.7) är positiv, kan absolutkonvergens undersökas med hjälp av jämförelsesatserna i avsnitt.2. Till exempel är serien ( ) k absolutkonvergent. k 2 + Sats.2. Varje absolutkonvergent serie är konvergent.

25 .3. Absolutkonvergenta serier 9 Vi kommer att se i avsnitt.4 att det finns serier som är konvergenta utan att vara absolutkonvergenta. Sådana serier kallas betingat konvergenta. Bevis: Vi konstaterar först att det räcker att visa satsen i fallet då alla termerna är reella. Ty, som påpekades i början av avsnitt., så är serien konvergent om och endast om de reella serierna Reu k och Imu k är konvergenta. Nu gäller emellertid Reu k (Reu k ) 2 +(Imu k ) 2 = u k, så det följer av jämförelsesatsen.6 att k= Reu k är absolutkonvergent. På samma sätt ses att k= Imu k är absolutkonvergent. Antag alltså att alla u k är reella, och sätt för k =,2,... u + k = { uk om u k > om u k, u k = { om uk > u k om u k. Detta kan kortfattat skrivas u + k = max(u k,) respektive u k = max( u k,). Talen u + k och u k är positiva och u k = u + k +u k (.8) u k = u + k u k. (.9) Om serien (.7) är konvergent följer av (.8) att de positiva serierna u + k och u k är konvergenta. Av (.9) får vi då att serien u k själv är konvergent. Olika summationsordning Sats.2. Låt (F n ) vara en uttömmande svit i indexmängden{,2,3,...}. Om serien u k är absolutkonvergent gäller k= u k = lim n k F n u k.

26 2 Kapitel. Serier Bevis: Av (.9) och definitionen av summan av en konvergent serie följer att u k = u + k u k. k= Satsen följer därför av att den är sann för positiva serier (sats.3). k= Summan av en absolutkonvergent serie är enligt denna sats oberoende av summationsordningen. Som vi kommer att se gäller detta inte för betingat konvergenta serier. Godtyckliga indexmängder Sats.2 gör det naturligt att betrakta absolutkonvergenta serier med godtycklig indexmängd I. Om u i < i I inför vi u + i och u i som innan. Då är de positiva serierna I u+ i och I u i konvergenta och vi definierar u i = u + i u i. I I I k= Vi kan nu utvidga sats.7 till absolutkonvergenta serier. Sats.22. Antag att I = j= I j, där I j I k = då j k. Om serien I u i är konvergent så gäller u i =. i I j= i Ij u i Bevis: Med u i = u + i u i, som ovan, gäller u i = u + i u i j= i Ij j= i Ij i I j = u + i j= i Ij j= i Ij = u + i u i = u i. i I i I i I u i

27 .3. Absolutkonvergenta serier 2 Den första och sista likheten är definitionen ovan. Den andra likheten är trivial (eftersom alla serierna är konvergenta) och den tredje utnyttjar att vi redan känner satsen för positiva serier. Exempel.23. Betrakta dubbelserien j,k= a jk = ( ) j k k + k + k a jk där ( ) j k. k Vi beräknar först a jk för fixt j. I de ändliga delsummorna tar de flesta k= termerna ut varandra (teleskopsumma), så att n k= a jk = ( ) j n då n. n+ n+ Det gäller alltså a jk = för alla j så att k= ( ) a jk =. j= k= Betrakta nu serien a jk för fixt k. Vi får två konvergenta geometriska serier så att k= j= j= j= a jk = k k + k k. Detta ger upphov till en ny teleskopsumma: ( ) n ( k a jk = lim n k + k ) k k= = lim n n n+ =. De olika sätten att summera dubbelserien ger som synes olika resultat. Serien är alltså ej absolutkonvergent. (Speciellt kan inte alla talen a jk ha samma tecken.)

28 22 Kapitel. Serier Anmärkning och Varning. Beträffande den sist beräknade summan kan det vara på sin plats att varna för följande vårdslösa sätt att räkna. k= ( k k + k ) k?? =?? = k= k= k k + k= k k = k= k k + i i+ =. i= k k + i i+ Felet har uppstått redan vid det första likhetstecknet; det är endast konvergenta serier som får adderas och subtraheras termvis på detta sätt. (Den sista likheten är också fel, emedan inte blir noll.) Exempel.24. I serien n= i= x n är indexmängden alla heltal. Skriv denna mängd som unionen av {n Z;n } och {n Z;n < }. Med användning av satsen får vi två geometriska serier. För x < är alltså n=x n = n x n + n< x n = x + x x = +x x. Exempel.25. Den geometriska serien x k konvergent om x <, med summan /( x). Då x < är termerna icke-negativa, och den sista formeln i exempel.8 ger att ( x) 2 = ( ) 2 x k = k= j,k=x j+k = N N x j+k. (.) Speciellt betyder detta att x j+k = N N ( x ) 2, x <. Följaktligen är den sista serien i (.) absolutkonvergent. Genom att resonera på samma sätt som i exempel.8, men med användning av sats.22 i stället för sats.7, kan vi nu dra slutsatsen att (.) gäller för alla tal x sådana att x <. Indexmängden N N kan skrivas p= I p där

29 .4. Betingat konvergenta serier 23 I p = {(j,k) N N;j + k = p}. (Rita en figur!) Ytterligare en användning av sats.22 ger x j+k = x j+k = = (p+)x p, x <, N N p= Ip p= x p Ip där den sista likheten är en följd av att I p innehåller p+ element. Vi har därmed visat att (p+)x p = ( x) 2, x <. p=.4 Betingat konvergenta serier Alternerande serier En serie där varannan term är positiv och varannan är negativ kallas alternerande. En sådan serie kan skrivas som plus eller minus ( ) k a k, k= där a k. Serien är absolutkonvergent om a k är konvergent. Oavsett om detta kan verifieras eller inte så kan man ofta använda följande sats för att visa att en alternerande serie är konvergent. Sats.26. (Leibniz (646 76)) Antag att termerna i den alternerande serien ( ) k a k uppfyller villkoren. a k då k, 2. följden (a k ) är positiv och avtagande. Då är serien konvergent. Bevis: Betrakta först delsummor med jämnt index 2m. Vi har att s 2m = (a a )+(a 2 a 3 )+ +(a 2m 2 a 2m )+a 2m, (.) p=

30 24 Kapitel. Serier där vi satt ut parenteser för att klargöra det fortsatta resonemanget. Förutsättningen att följden (a k ) är positiv och avtagande visar att alla parenteserna är positiva, liksom den sista termen a 2m. Alltså är s 2m. Vidare är s 2m = s 2m 2 a 2m +a 2m s 2m 2. Följden (s 2m ) är alltså avtagande och nedåt begränsad, vilket medför att den har ett gränsvärde s. För en delsumma med udda index 2m+ har vi nu s 2m+ = s 2m a 2m+ s = s, då m, där vi använt det första villkoret i förutsättningen. Det följer att s n s då n, dvs serien är konvergent. Exempel.27. Serien ( ) j j uppfyller, som man lätt ser, förutsättningarna i Leibniz sats (med a k = /(k+)). Följaktligen är den konvergent. Att den inte är absolutkonvergent vet vi redan. I anslutning till beviset för sats.26 gör vi några observationer. Samma metod som i (.) (att sätta in parenteser) visar att (s 2m ) m= är en växande följd. Alltså har vi för alla m. Speciellt gäller s 2m s 2m+ s s 2m s 2m 2 s s 2m s 2m s 2m = a 2m s 2m s s 2m s 2m+ = a 2m+. Dessa olikheter kan sammanfattas till s s n a n+ och visar att för en alternerande serie är felet då dess summa ersätts med den n:te delsumman mindre än beloppet av den första utelämnade termen. Ibland förekommer missuppfattningen att denna regel skulle gälla generellt för alla serier. Så är inte fallet. Detta illustreras till exempel av den geometriska serien ( 99 )k. Här är s s n = k=n+ ( 99 )k = ( 99 )n+, som är gånger större än den första utelämnade termen.

31 .4. Betingat konvergenta serier 25 Riemanns omordningssats Vi skall nu med ett exempel visa att för betingat konvergenta serier kan seriens summa vara beroende av summationsordningen. Sats.29 nedan visar att man kan få vilken summa som helst om man väljer summationsordningen lämpligt. Detta betyder att summan av en betingat konvergent serie är betingad av summationsordningen, vilket motiverar namnet betingad konvergens. Exempel.28. Betrakta den betingat konvergenta serien ( ) k k = k= Beteckna dessn:te delsumma meds n och dess summa meds. Vi summerar nu denna serie enligt regeln en positiv term, två negativa termer, en positiv, två negativa etc. Om vi kallar den n:te delsumman vid denna summationsordning för s n är s 3p = ( 2 4 )+( )+ +( 2p 2(2p ) 4p ), en summa med p positiva termer och 2p negativa termer. För att förtydliga de fortsatta räkningarna har vi satt ut parenteser. Slår vi ihop de två första termerna i varje parentes får vi s 3p = ( 2 4 )+( 6 8 )+ +( 2(2p ) 4p ) = 2 ( p 2p ) = 2 s 2p. Det följer att s 3p s då p. Eftersom termerna i serien går mot noll 2 får vi av detta att s n s då n. Med denna summationsordning är 2 alltså seriens summa s. 2 För en betingat konvergent serie u k kan man i själva verket genom omordning ändra summan till vilket värde som helst. För att inse detta delar vi upp serien i positiva och negativa termer som i (.8) och (.9). Då är u + k = 2 ( u k +u k ) u k = 2 ( u k u k ).

32 26 Kapitel. Serier Om u k är divergent och u k är konvergent är följaktligen de positiva serierna u + k och u k båda divergenta. För deras delsummor s+ n och s n gäller alltså att s + n, s n, då n. (.2) Antag att vi vill åstadkomma en omordning av serien så att den får summan σ. Vi ska då beskriva en uttömmande svit, (F n ), av indexmängder sådan att s(f n ) = u i σ då n. Vi gör detta genom att ange i F n en uppräkning av termerna u k och låta F n bestå av index för de första n termerna i denna uppräkning. Välj först positiva termer (i ordning av växande index k) till dess att deras summa första gången överstiger σ. Tag därefter negativa termer tills den ackumulerade summan blir mindre än σ. Välj därefter ånyo positiva termer tills dess att summan överstiger σ, sedan negativa termer, osv. Att det går att välja termer på detta sätt följer av (.2). Den på detta sätt omordnade serien konvergerar mot σ, eftersom u k då k, jfr figur Figur.: Delsummorna vid summering mot summan 7,777 Vi kan också åstadkomma en omordnad serie som divergerar mot. Då väljer vi först positiva termer tills dess summan överstiger, sedan en negativ term, därefter positiva termer tills summan överstiger 2, åter en negativ term, positiva termer tills summan överstiger 3, osv. Detta är möjligt på grund av

33 .5. Likformig konvergens 27 (.2), och det är klart att delsummorna till den på detta sätt omordnade serien går mot. På motsvarande sätt kan vi omordna serien på så sätt att den divergerar till. Det ovanstående är en del av innehållet i följande sats, som vi inte bevisar. Sats.29. (Riemanns omordningssats) Antag att serien u k (med reella termer) är betingat konvergent och låt a och b vara reella tal sådana att a b. Då finns en omordning (u σk ) k= av termerna så att k= lim inf N N u σk = a och k= limsup N N u σk = b. k= Anmärkning. Den som tycker att resonemanget ovan är för abstrakt kan fundera på följande recept för hur man kan balansera sin hushållsekonomi. Inkomster och räkningar behandlas som följer: Alla inkomster accepteras omedelbart. En inkommande räkning betalas omedelbart om det återstående kapitalet då räkningen är betald är minst 25 kronor, annars ber man en bank att låna en pengar till nästa månad; då krav på återbetalning och ränta anländer behandlas de som övriga räkningar. Om man lyckas hitta en bank som ställer upp på dessa villkor har man ganska snart ett sparkapital på 25 kronor. På liknande sätt skjuter man i resonemanget ovan upp skulderna (dvs de negativa termerna) tills man kan ta med dem utan att summan blir allt för liten..5 Likformig konvergens Inledning En serie i vilken termerna är funktioner av en eller flera variabler kallas en funktionsserie. I allmänhet beror svaret på frågan om serien konvergerar eller ej, liksom i förekommande fall seriens summa, på vilket värde vi ger variabeln eller vilka värden vi ger variablerna. Exempel.3. Den geometriska serien x k konvergerar om x <, med summan ( x). Annars divergerar den. Jfr exempel. på sidan 4.

34 28 Kapitel. Serier Derivatan av summan av två deriverbara funktioner är summan av de två funktionernas derivator. Genom att upprepa denna observation ser man lätt att om s n (x) = n f k (x) är summan av n deriverbara funktioner så är s n deriverbar och n s n (x) = f k (x). k= Det verkar nu naturligt att gissa att om s(x) = f k (x) är en konvergent serie med deriverbara termer så borde s vara deriverbar med derivata given av funktionsserien som fås genom att derivera termerna i s. Tyvärr är f k detta förmodande felaktigt som illustreras av följande motexempel. (Det kan till och med inträffa att seriens summa är en diskontinuerlig funktion.) Betrakta identiteten x = x 3 (+x 2 ) k, x R. (.3) k= Denna är trivial då x = och då x är högra ledet en konvergent geometrisk serie. (Kontrollera själv.) Deriverar vi termvis får vi = (3x 2 (+x 2 ) k 2kx 4 (+x 2 ) k ), k= och sätter vi nu x = får vi =! Betrakta nu i stället serien x 2 (+x 2 ) k, som, för ögat, endast obetydligt skiljer sig från den i (.3); endast ett siffra har ändrats. För x = har serien summan, och då x är den en konvergent geometrisk serie med summan x 2 +x 2 =. +x 2 Seriens summa är inte ens kontinuerlig i x =! I det här avsnittet skall vi formulera villkor på funktionsserier som garanterar att sådana här fenomen inte inträffar. För att få en smidigare framställning börjar vi med att betrakta funktionsföljder i stället för serier. (Till en funktionsserie f k (x) kan vi alltid associera en funktionsföljd (s n ) n= med s n (x) = n f k (x).) k=

35 .5. Likformig konvergens 29 Likformig konvergens av funktionsföljder Definition. Funktionsföljden (f n ) säges konvergera punktvis mot funktionen f på en mängd E om f n (x) f(x) då n för varje x E. Exempel.3. Funktionsföljden (f n ) definieras av f n (x) =,x R, n =,2,3,.... +nx2 Figur.2 visar de tre första funktionerna f,f 2,f 3 samt f 6. Om x = har vi f n (x) = då n, medan om x så gäller f n (x) då n. Följden konvergerar alltså punktvis mot funktionen { då x f(x) = då x = x Figur.2: Punktvis konvergens kan förefalla vara ett naturligt begrepp. Exempel.3 visar emellertid att det punktvisa gränsvärdet av en följd av kontinuerliga funktioner kan vara en diskontinuerlig funktion. Vi skall nu införa ett starkare konvergensbegrepp som utesluter denna möjlighet. För att formulera definitionen är det praktiskt att ha beteckningen f E = sup f(x), x E

36 3 Kapitel. Serier x Figur.3: Funktionen g:s graf håller sig mellan graferna för f ε och f +ε. där f är en funktion definierad på E. När det är uppenbart från sammanhanget vilken mängd E som avses skriver vi bara f (utläses normen av f) eller f (supremumnormen av f). Definition. Låt f och f n, n =,2,3,..., vara funktioner definierade på en mängd E. Funktionsföljden (f n ) säges konvergera likformigt mot f på E om f n f E, då n. Olikheten f n (x) f(x) f n f E, för alla x E, visar att om f n konvergerar likformigt mot f så konvergerar f n punktvis mot f. Omvändningen gäller inte. Detta illustreras av exempel.32 nedan. Vi har också att f n f E ε f n (x) f(x) ε för alla x E. Att f n konvergerar likformigt mot f betyder alltså att för varje ε > ligger kurvan y = f n (x) i bandet mellan graferna för f ε och f + ε, bara n är tillräckligt stort, jämför figur.3. Exempel.32. Sätt f n (x) = n +(x n) 2, x R.

37 .5. Likformig konvergens 3 För fixt x går f n (x) (punktvis) mot då n, så att gränsfunktionen är f(x) =. Vi har att f n f = supf n (x) = f n (n) = n. R Konvergensen är inte likformig eftersom f n f då n. Betraktar vi däremot dessa funktioner på ett godtyckligt uppåt begränsat intervall E a : x a så är konvergensen likformig på detta. Om n a är nämligen f n (positiv och) växande på E a så att f n f Ea = f n (a) = n då n. +(a n) x Figur.4: Funktionerna f, f 2, f 3 och f 7. Notera att den likformiga konvergensen beror på vilket intervall som betraktas. Exempel.33. Bestäm gränsfunktionen till f n (x) = nx+n2 x 3, x, n =,2,3,..., +n 2 x2 och undersök om konvergensen är likformig.

38 32 Kapitel. Serier Lösning: Det är klart att f n (x) = x n+n2 x 2 x, då n. +n 2 x2 För att avgöra om konvergensen är likformig behöver vi undersöka huruvida g n E då n, där g n (x) = f n (x) f(x) = nx+n2 x 3 (n )x x = +n 2 x2 +n 2 x, 2 och E = {x R : x }. Det är lätt att se att g n är kontinuerlig och uppfyller g n (x) då x. Alltså antas sup x E g n (x), och eftersom g n () = måste det ske i en inre punkt där g n (x) har maximum eller minimum, dvs i en stationär punkt (där derivatan är noll). Derivatan är D (n )x +n 2 x = (n )( n2 x 2 ), 2 (+n 2 x 2 ) 2 som är noll precis då x =. Ett teckenstudium visar att det är frågan om n ett maximum. Eftersom differensen f n (x) f(x) då x får vi f n f E = sup n (x) f(x)) = f n ( x E(f n ) f( n ) = n 2 n 2, då n. Konvergensen är alltså inte likformig. Omkastning av gränsprocesser Uttalandet att gränsfunktionen f till följden (f n ) (av kontinuerliga funktioner) är kontinuerlig i en punkt a innebär att lim x a f(x) = f(a), dvs att lim ( lim f n(x)) = lim(limf n (x)). x a n n x a Vi ser att det handlar om att byta ordning mellan två gränsövergångar. Att detta inte är allmänt tillåtet framgår av exempel.3 ovan. Vi skall strax se att det går bra då följden är likformigt konvergent. På liknande sätt kan vi formulera påståendena att integralen och derivatan av gränsfunktionen är gränsvärdena av följden av integralerna E f n(x)dx respektive följden

39 .5. Likformig konvergens 33 (f n (x)) som följande omkastningar av gränsprocesser: lim f n(x)dx = lim f n (x)dx E n n E D(lim f n (x)) = lim(df n )(x). n n f(x) f(a) (Att derivation Df(a) = lim x a är en gränsprocess är uppenbart, x a och integralen f(x)dx kan uppfattas som ett gränsvärde av Riemannsummor.) E Sats.34. Låt (f n ) vara en följd av kontinuerliga funktioner på intervallet E. Om följden konvergerar likformigt mot f på E är också gränsfunktionen f kontinuerlig på E. Bevis: Låt a E. Vi ska visa att det till ett givet ε > finns ett δ > sådant att f(x) f(a) < ε om x a < δ, x E. (.4) Enligt triangelolikheten är f(x) f(a) = (f(x) f n (x))+(f n (x) f n (a))+(f n (a) f(a)) f(x) f n (x) + f n (x) f n (a) + f n (a) f(a) f f n + f n (x) f n (a) + f n f. På grund av den likformiga konvergensen kan vi väljanså att f f n < ε/3. För detta val av n finns, eftersom f n är kontinuerlig, ett tal δ > sådant att För detta δ gäller (.4). f n (x) f n (a) < ε/3 om x a < δ, x E. Satsen visar att konvergensen i exempel.3 ovan inte kan vara likformig. (Detta kan man naturligtvis också se direkt från definitionen.) Exempel.33 visar att omvändningen av satsen är falsk. Där är gränsfunktionen kontinuerlig trots att konvergensen inte är likformig. Praktiskt taget direkt ur definitionen får vi följande sats om gränsövergång under integraltecken. Med hjälp av den, och analysens huvudsats, kan vi sedan visa sats.36, om gränsövergång och derivation.

40 34 Kapitel. Serier Sats.35. Antag att (f n ) är en följd av kontinuerliga funktioner på det kompakta intervallet E, och att följden konvergerar likformigt mot f på E. Då gäller att f n (x)dx f(x)dx då n. E E Bevis: Enligt sats.34 är f kontinuerlig, och därmed integrerbar på E. Vi har att f n (x)dx f(x)dx = (f n (x) f(x))dx E E E f n (x) f(x) dx f n f dx = f n f l(e), E där l(e) är längden av intervallet E. Satsen följer därför av definitionen av likformig konvergens. Anmärkning. För generaliserade integraler gäller satsen inte utan ytterligare villkor (se bilaga B). Sats.36. Låt (f n ) vara en följd av kontinuerligt deriverbara funktioner på intervallet E. Antag att följden konvergerar punktvis mot funktionen f och att den deriverade följden (f n ) konvergerar likformigt mot funktionen g på E. Då är f kontinuerligt deriverbar på E och f = g. Anmärkning. Observera att det (bara) är för den deriverade följden som vi fordrar likformig konvergens. E Bevis: Låt a vara en punkt i E. Vi har att x a f n (t)dt = f n(x) f n (a), x E, för n =, 2,.... Låter vi nu n (varvid vi använder föregående sats för att göra gränsövergången under integraltecknet i vänsterledet) så får vi x a g(t)dt = f(x) f(a), x E. Eftersom g är kontinuerlig enligt sats.34 följer härav att funktionen f är deriverbar i E med f (x) = g(x).

41 .5. Likformig konvergens 35 Anmärkning. I beviset används den likformiga konvergensen bara på intervallet [a,x]. Om man tänker efter innebär det att slutsatsen i satsen är sann även under den försvagade förutsättningen För varje x E finns ett öppet intervall E x x sådant att (f n ) konvergerar likformigt på E x. Vi kommer främst att tillämpa de ovanstående satserna på funktionsserier. Därför väntar vi med att ge exempel tills vi har formulerat om dem för serier. Likformig konvergens av serier Då vi har en funktionsserie u k (x), (.5) k= där termerna beror på x, kan den föregående diskussionen tillämpas på följden av delsummor (s n ), där s n (x) = n u k (x). k= Serien säges alltså vara punktvis konvergent och likformigt konvergent på en mängd E om följden (s n ) av delsummor är punktvis konvergent respektive likformigt konvergent på E. (Vi skall snart ge metoder för att undersöka om så är fallet.) Exempel.37. För den geometriska serien x k, som ju konvergerar punktvis då x <, är s(x) s n (x) = k=n+ x k = x n+ x. I ett intervall E d : x d, där d <, är s s n Ed d n+ då n. d Serien är alltså likformigt konvergent på varje sådant intervall E d. För intervallet E : x <, är däremot s n s E =, varför serien inte konvergerar likformigt på E.

42 36 Kapitel. Serier Följande motsvarigheter för serier till satserna.34,.35 och.36 bevisas direkt ur dessa genom att man betraktar följden av delsummor. Sats.38. Låt (u k ) k= vara en följd av kontinuerliga funktioner på ett intervall E. Om serien (.5) konvergerar likformigt på E, så är dess summa en kontinuerlig funktion på E. Sats.39. Låt (u k ) k= vara en följd av kontinuerliga funktioner på det kompakta intervallet E, sådan att serien (.5) konvergerar likformigt på E. Då är ( ) u k (x) dx = u k (x)dx. E k= Sats.4. Låt (u k ) k= vara en följd av kontinuerligt deriverbara funktioner på intervallet E. Antag att serien (.5) konvergerar punktvis med summan s(x) och att den deriverade serien u k (x) konvergerar likformigt med summan g(x). Då är s(x) kontinuerligt deriverbar på E och s (x) = g(x). Den sista satsen innebär att man får derivera en serie termvis om den deriverade serien är likformigt konvergent. Som tidigare påpekats är det oftast svårt att beräkna delsummorna explicit, varför det ofta är omöjligt att direkt använda definitionen för att avgöra om en funktionsserie är likformigt konvergent. Följande sats (som kan betraktas som en jämförelsesats) kan emellertid ofta användas för att verifiera att en given serie är likformigt konvergent. Sats.4. (Weierstrass majorantsats). Låt u k, k =,2,..., vara funktioner definierade på intervallet E. Antag att det finns konstanter M k, k =,2,..., oberoende av x, sådana att u k (x) M k då x E, k =,2,..., och M k <. k= Då är funktionsserien u k (x) likformigt konvergent på E. Bevis: Enligt jämförelsesatsen är serien absolutkonvergent för varje x E. Beteckna dess summa med s(x) och dess n:te delsumma med s n (x). Då är s(x) s n (x) = u k (x) u k (x) M k, x E. k=n+ k=n+ E k=n+ k=

43 .5. Likformig konvergens 37 Alltså är s s n k=n+ M k, och eftersom M k är konvergent får vi att s n s då n. Därmed är den likformiga konvergensen bevisad. Exempel.42. Serien k= sin(k 2 x) k 2 är likformigt konvergent på hela reella axeln enligt Weierstrass majorantsats, ty sin(k 2 x) k 2 k, x R, 2 och k 2 är konvergent. Av sats.38 följer att seriens summa är en kontinuerlig funktion av x. Exempel.43. Sätt f(x) = 2 k cos(k 2 x), x R. k= Denna funktion är kontinuerlig, eftersom konvergensen är likformig (vilket lätt kan verifieras med hjälp av Weierstrass majorantsats på samma sätt som i föregående exempel). Betrakta nu den deriverade serien 2 k k 2 sin(k 2 x). k= För alla k och alla x är 2 k k 2 sin(k 2 x) 2 k k 2. Serien 2 k k 2 är konvergent enligt kvotkriteriet (sats.), vilket visar att den deriverade serien är likformigt konvergent (Weierstrass majorantsats igen). Sats.4 ger att funktionen f är kontinuerligt deriverbar och att f (x) = 2 k k 2 sin(k 2 x), x R. (.6) k=

44 38 Kapitel. Serier Resonemanget kan upprepas; deriverar vi serien (.6) termvis får vi serien 2 k k 4 cos(k 2 x). (.7) k= Förnyad användning av Weierstrass majorantsats visar att (.7) är likformigt konvergent. Följaktligen är f deriverbar med derivatan (.7). Detta kan upprepas hur många gånger som helst. Funktionen f är alltså obegränsat (många gånger) deriverbar, och f (n) (x) = ± k= 2 k k 2n { sin(k 2 x) cos(k 2 x), med sinustermer om n är udda och cosinustermer om n är jämnt. Anmärkning. Sätter vi x = i den sista formeln finner vi att f (n) () = då n är udda, medan f (2p) () = ± 2 k k 4p. Termerna i den senare serien k= är positiva, och behåller vi bara termen med k = 4p får vi uppskattningen f (2p) () C p 2 4p (4p) 4p = (2p) 4p (2p) 2p (2p)!. Av detta följer att potenserien n= f (n) () x n n! divergerar då x, ty olikheten ovan ger att absolutbeloppet av termen med n = 2p uppfyller f (2p) () x n (2p) 2p x 2p, (2p)! där högerledet inte går mot noll då p. Maclaurinserien för funktionen f divergerar alltså utanför trots att f är obegränsat deriverbar. Kontinuitet och deriverbarhet hos en funktion är lokala egenskaper, dvs de beror bara på funktionens uppförande i en (liten) omgivning av varje enskild punkt. Mer precist: en funktion är kontinuerlig i ett intervall om den är