Mer om Fourierserier. Fouriertransform LCB vt 2012

Transkript

1 Mer om Fourierserier. Fouriertransform LCB vt 22. Exponentiella Fourierserier Vi ska i detta avsnitt se hur periodiska funktioner kan framställas i serieform med användning av den komplexa exponentialfunktionen. Sådana serier är att föredra framför de trigonometriska Fourierserierna i många tillämpningar, exempelvis signalanalys. Vår utgångspunkt är formlerna e ix = cosx+isinx, e ix = cosx isinx. (Här är x ett reellt tal och i är den imaginära enheten.) Den första formeln är definitionen av e ix, den andra följer ur den första genom att byta x mot x. Genom addition respektive subtraktion av dessa formler får vi Eulers formler () cosx = eix +e ix 2, sinx = eix e ix. 2i Låt f vara en funktion med perioden T, och sätt som vanligt Ω = T (vinkelfrekvensen). Med f förknippar vi den trigonometriska Fourierserien a 2 + a k coskωx+ k= b k sinkωx. Om vi i denna ersätter alla cosinus- och sinusfunktioner med deras uttryck i Eulers formler () får vi en serie på formen k= (2) k= c k e ikωx. Observera att i (2) förekommer såväl positiva som negativa index k. Naturligtvis är c = a. Räkningarna är formella; vi diskuterar inte frågan om konvergens av 2 serierna just nu. Koefficienterna c k i (2) kan naturligtvis uttryckas i a k och b k, men vi avstår från att ge formlerna. I stället ska vi finna ett uttryck för c k direkt från funktionen f. Vi erinrar om att en komplexvärd funktion deriveras genom att man deriverar real- och imaginärdelarna var för sig. I envariabelanalysen visas att d dx eiαx = iαe iαx. Vi kan också integrera komplexvärda funktioner. Följande integral är viktig längre fram. Om l är ett heltal, l, är (3) [ e e ilωx ilωx dx = ilω ] T/2 = eilπ e ilπ ilω = eilωt/2 e ilωt/2 ilω = ( )l ( ) l ilω =. =

2 Då l = får vi e ix dx = dx = T. Antag nu att f är en periodisk funktion med period T, sådan att f(x) = k= c k e ikωx. Multiplicera denna likhet med e inωx och integrera över en hel period. Då får vi f(x)e inωx dx = k= c k e i(k n)ωx dx. (Det är inte alls säkert att man får integrera en serie term för term, men vi antar att det går bra här.) Med användning av integralen (3) finner vi att alla termer utom den där k = n blir noll. Termen då k = n återstår och ger varav (4) c n = T f(x)e inωx dx = c n T, f(x)e inωx dx, n =,±,±2,.... Oavsett om ovanstående formella räkningar är legitima eller inte kan vi göra följande definition. Definition. För en periodisk funktion f kallar vi talen c n i (4) för Fourierkoefficienterna för f, och serien (2), med c k definierade av (4), för (den exponentiella) Fourierserien för f. Anmärkning. Integranden i (4) har perioden T. Man kan därför välja att integrera över vilket som helst annat intervall av längd T, exempelvis mellan och T. Lägg märke till att definitionen inte säger något alls om huruvida Fourierserien konvergerar, eller om vad dess summa blir om den konvergerar. I själva verket har vi inte ens preciserat vad som menas med att en serie som (2), från till, är konvergent. Vi börjar med att göra det: serien (2) kallas konvergent om gränsvärdet lim N N k= N c k e ikωx existerar. Observera symmetrin i summationsgränserna. Gränsvärdet kallar vi seriens summa. Nu kan vi formulera Fouriers sats för exponentiella Fourierserier. Sats. Antag att f är en styckvis glatt funktion med period T. Då gäller att Fourierserien (2) är konvergent för varje punkt x i vilken f är kontinuerlig, och att dess summa är f(x). 2

3 Till skillnad mot trigonometriska Fourierserier gör vi inget uttalande för punkter där f är diskontinuerlig. Vi avstår från att bevisa satsen. Exempel. Låt f vara den -periodiska funktion som definieras av att { då π < x f(x) = x då < x π. I detta fall är T = och Ω =. π π π 3π 4π 5π x Vi beräknar Fourierkoefficienterna för denna funktion enligt formel (4). För n får vi genom partialintegration c n = π xe inx dx = [ x ] π in e inx π in e inx dx = Då n = får vi = 2in e inπ [ ] π (in) 2 e inx Fourierserien för f är således c = π xdx = [ x 2 2 π 4 + n = i 2n ( )n + n 2 (( )n ). ] π = π 4. ( ) i 2n ( )n + ( )n e inx. n 2 Funktionen f är kontinuerlig för alla x som inte är av formen π+m, m heltal. Därför är Fourierserien enligt sats konvergent för dessa x med summan f(x). Sätter vi speciellt x = får vi = f() = π 4 +i n ( ) n 2n + n ( ) n n 2. Delar vi upp den första serien här i två delar med positiva respektive negativa index ser vi att termerna parvis tar ut varandra, så att summan är. I den andra serien är termer med positiva och negativa index parvis lika; dessutom är termer med jämna index lika med noll. Vi har alltså att = π 4 +2 n udda, n> 2 n 2. Detta följer också av att denna term innehåller i och måste försvinna; slutresultatet måste ju bli reellt. 3

4 Detta resultat kan omformas till j= (2j ) 2 = π2 8. Vi erinrar om att vi i annat sammanhang har funnit att Exempel 2. Funktionen f(x) = sin x har Fourierserien k= k 2 = π2 6. f(x) = 2i eix 2i e ix enligt en av Eulers formler (). Denna funktion f har alltså Fourierkoefficienterna c = 2i, c = 2i och c n = för övrigt. (En konsekvens av härledningen av formel (4) är ju att Fourierkoefficienterna för en funktion är entydigt bestämda.) För funktionen sin 3 x gäller enligt binomialsatsen sin 3 x = 8i ei3x + 3 8i eix 3 8i e ix + 8i e i3x, som tydligen är Fourierserien för denna funktion. Som vi ser av exemplen är Fourierkoefficienterna c n normalt inte reella tal. Men för en reellvärd funktion f följer av definitionen (4) att de är parvis komplexkonjugerade: c n = c n. Fourierkoefficienterna kan ges tolkning av amplituden för de enskilda harmoniska svängningarna i f. Vi vill inte undanhålla läsaren följande vackra sats, känd som Parsevals formel. Vi bevisar den inte. Sats 2. För Fourierkoefficienterna till funktionen f gäller (5) n= c n 2 = T f(x) 2 dx. Integralen i högerledet har i en del tillämpningar en tolkning som energi eller effekt. I summan i vänsterledet har denna alltså delats upp på de enskilda frekvenserna. 2. Orientering om Fouriertransform Fourierserien uttrycker en periodisk funktion som en serie där termerna är komplexa exponentialfunktioner. Vi ska nu se att det för många icke-periodiska funktioner finns en motsvarighet, där serien ( summan ) ersätts av en integral. De räkningar vi gör är formella, och syftar bara till att göra de erhållna formlerna nedan plausibla. 4

5 Låt f beteckna en funktion definierad på hela reella axeln. Beteckna med f T den funktion som överensstämmer med f i intervallet från till T/2, och som för övrigt fortsättes periodiskt. Så småningom ska vi låta T. Fourierkoefficienterna för f T ges av (4). Vi sätter in dessa i Fourierserien för f T och får ( ) T/2 f T (x) = c n e inωx = f T (y)e inωy dy e inωx. T n= n= Här är T = Ω. Sätt ξ n = nω. Då är differensen ξ mellan två konsekutiva ξ lika med Ω. Vi har alltså f T (x) = n= ( ) T/2 f(y)e iξny dy e iξnx ξ. För fixt x är f T (x) = f(x) bara T är tillräckligt stort. I högerledet står en summa svarande mot en indelning av reella axeln, vars finhet ξ går mot då T. 2 Det är alltså inte orimligt att vi vid gränsövergång får resultatet (6) (7) f(x) = Mot denna bakgrund sätter vi f(ξ) = ( f(y)e iξy dy f(x)e iξx dx, ) e iξx dξ. ξ R (vi har bytt integrationsvariabeln y mot x). Då får (6) utseendet (8) f(x) = Notera de formella likheterna mellan (7) och (8). f(ξ)e ixξ dξ, x R. Definition 2. Funktionen f i (7) kallas för Fouriertransformen av f. En vanlig beteckning för f är Ff. Formel (8) är känd under namnet Fouriers inversionsformel. Det förekommer varianter av definitionen där uppenbarar sig på andra ställen än här. Exempel 3. Sätt f(x) = Denna funktion har Fouriertransformen med f() = 2L. f(ξ) = L L { då L < x < L då x > L. e iξx dx = e ilξ e ilξ iξ = 2sinLξ, ξ, ξ 2 Vi kunde tänkt på den som en Riemannsumma om det hade rört sig om en ändlig summa och ett ändligt intervall. 5

6 Exempel 4. Låt a vara ett positivt reellt tal och sätt { e ax då x > f(x) = då x <. Då är f(ξ) = e ax e iξx dx = [ e e (iξ+a)x (iξ+a)x dx = (iξ +a) Att vi får i den övre integrationsgränsen beror på att e (iξ+a)x = e iξx e ax = e ax då X. ] x= = a+iξ, ξ R. Som framgår av exempel 4 kan f(ξ) vara komplexvärd även om f själv är reellvärd. Så är det normalt. I inversionsformeln (8) får man vara beredd att integrera komplexvärda funktioner. Det faktum att integralerna i (7) och (8) är generaliserade gör att konvergensfrågor måste beaktas. Det är en delikat fråga, som vi inte går in på här, vilka funktioner som har en Fouriertransform. Vi går heller inte närmare in på egenskaperna hos f, men vi kan konstatera att den har en Fouriertransform (som är mycket lik f) enligt inversionsformeln. För användning i tillämpningarna finns det omfattande tabeller över Fouriertransformer av diverse funktioner. Vi har gett två exempel på transformer ovan. Fouriertransform kan också hanteras av formelmanipulerande språk som Maple. Det finns också räkneregler för Fouriertransform. Vi illustrerar två i nästa sats. De visar hur Fouriertransform påverkas av derivation. För övrigt hänvisas till annan litteratur. Sats 3. Följande räkneregler gäller: : Fouriertransformen av f (x) är iξ f(ξ). 2 : d dξ f(ξ) är lika med Fouriertransformen av ixf(x). Bevis. Den första regeln bevisas genom att man partialintegrerar i definitionen (7). [ ] f (x)e iξx dx = f(x)e iξx f(x)( iξ)e iξx dx = iξ f(x)e iξx dx. Vi antar att f avtar så pass snabbt i ± att de utintegrerade termerna blir noll. (Som vanligt är det fråga om formella räkningar; vi diskuterar inte konvergensfrågor.) Den andra regeln får man genom att derivera under integraltecknet i (7). För en periodisk funktion tolkar vi ju Fourierkoefficienterna som amplituden av de harmoniska svängningar som funktionen är uppbyggd av. De frekvenser som förekommer är alla multiplar av en viss minsta frekvens. Man brukar säga att en periodisk funktion innehåller ett diskret spektrum av frekvenser. Ibland, som i exempel 2, är det ändligt många. 6

7 I det icke-periodiska fallet tolkar man på samma sätt f(ξ) som amplituden av frekvensen ξ. Inversionsformeln (8) visar, i analogi med Fourierserier, hur f byggs upp av harmoniska svängningar med olika frekvenser. Men nu har vi ett kontinuerligt spektrum av frekvenser. Dessa tolkningar är viktiga när Fouriertransformen förekommer i signalanalys, optik, akustik,.... Men Fouriertransform förekommer i många andra tillämpningar. Vi ska strax ge ett exempel på hur den kan användas för att lösa en partiell differentialekvation. Motsvarigheten till Parsevals formel (5) i det icke-periodiska fallet är f(ξ) 2 dξ = f(x) 2 dx. Till sist vill vi nämna en för tillämpningarna viktig sak. Det finns en mycket effektiv algoritm för numerisk beräkning av Fouriertransform, den snabba Fouriertransformen (FFT, Fast Fourier Transform). 3. Fouriertransform och PDE; ett exempel Fouriertransform är bland annat ett hjälpmedel för att lösa differentialekvationer. Som exempel studerar vi ett endimensionellt diffusionsproblem. Ett (oändligt) långt rör längs x-axeln är fyllt med rent vatten. Vid tiden t = injiceras ett diffunderande giftigt ämne i punkten x =. Bestäm det fortsatta diffusionsförloppet. Låt u(x, t) beteckna koncentrationen av det diffunderande ämnet i punkten x vid tiden t. Den matematiska modell som används för att beskriva diffusionen ges av den partiella differentialekvationen (9) u u t D 2 2 x =, där D är en materialkonstant. Begynnelsevillkoret modelleras bäst med en deltafunktion 3 : () u(x,) = δ(x), x R. (Med lämpliga enheter kan vi välja koefficienten framför δ(x) till.) Funktionen u är definierad för alla reella x, och vi har inga randvillkor i vanlig mening. Men vi lägger på u kravet att funktionen ska uppföra sig så i ± att den har en Fouriertransform med avseende på x (för alla t > ). Vi betecknar denna med U(ξ,t). Med andra ord har vi satt () U(ξ,t) = u(x,t)e iξx dx, ξ R, t >. Vi tar nu Fouriertransformen på alla termer i (9). Transformen av u U blir t t, ty vi kan derivera med avseende på t under integraltecknet i (). För andraderivatan 3 Deltafunktioner förklaras i annat sammanhang. 7

8 med avseende på x använder vi den första regeln i sats 3 två gånger, varvid resultatet blir (iξ) 2 U(ξ,t). Den transformerade ekvation (9) blir alltså U (2) t (ξ,t)+dξ2 U(ξ,t) =, ξ R, t >. Vi transformerar också begynnelsevillkoret (): (3) U(ξ,) = δ(ξ) = δ(x)e iξx dx = δ(x) dx = för alla ξ. Ekvationerna (2) och (3) utgör ett begynnelsevärdesproblem för funktionen U(ξ,t), där bara derivator med avseende på t förekommer. Det kan lösas med metoder för ordinära differentialekvationer. En integrerande faktor i (2) är e Dξ2t. Vi multiplicerar med denna och får ( U(ξ,t)e Dξ2 t ) = U(ξ,t)e Dξ2t = C(ξ). t Observera att integrationskonstanten beror på ξ. Det följer nu att U(ξ,t) = C(ξ)e Dξ2t, ξ R, t >. Vi sätter t =, använder (3) och finner att C(ξ) = för alla ξ. Därmed är (4) U(ξ,t) = e Dξ2t, ξ R, t >. Nu återstår problemet att finna den funktion u(x, t) vars Fouriertransform vi beräknat i (4) (inverstransformering). Vi går till en tabell över Fouriertransformer (eller Maple) och finner u(x,t) = 4πDt e x2 /4Dt, x R, t >. Figuren visar funktionen u(x, t) som funktion av x för t =.5,.5,,.5, 2. t =.5 t =.5 t = 2 8 x