Transformer och differentialekvationer (MVE100)

Transkript

1 Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik 25 januari 2011 Transformer och differentialekvationer (MVE100 Inledning Fouriertransformen Fouriertransform är en motsvarighet till Fourierserier för icke-periodiska förlopp. Trots detta är den användbar även i samband med periodiska svängningar, till exempel om en periodisk signal störs av brus, eller om frekvensen är okänd. Fouriertransform hänger också nära samman med Laplacetransform, och kan sägas utvidga denna från funktioner på t 0 till funktioner på hela tallinjen. Fourierintegral som gränsfall av Fourierserie Ett sätt att införa Fouriertransform är som gränsfallet av Fourierserie då perioden går mot oändligheten. Låt f vara en funktion. Resonemanget blir tydligast om vi låter f ha kompakt stöd, vilket betyder att f(t = 0 utanför något intervall t C. För T/2 C, låt f T (t vara den T -periodiska funktion som är lika med f(t på intervallet t T/2 (rita bild!. Grafen till f T består alltså av en massa kopior av grafen till f, som ligger uppradade periodiskt. Vi vill nu utveckla f T i Fourierserie och sedan låta T. Vi skriver alltså f T (t = = e inωt 1 T e inωt 1 T T/2 T/2 f T (se inωs ds f(se inωs ds, (1 där Ω = 2π/T. Detta kan betraktas som en Riemannsumma. Vi påminner om att under svaga villkor på ϕ gäller Ω ϕ(nω ϕ(ω dω, Ω 0. Vi observerar att (1 kan skrivas f T (t = Ω ϕ(nω, där ϕ(ω = 1 2π eiωt f(se iωs ds.

2 Transformer och differentialekvationer M3, 2009/2010 sid. 2 av 6 Låter vi T (dvs Ω 0 får vi alltså f(t = lim T f T (t = ϕ(ω dω = 1 2π e iωt ( f(se iωs ds dω. Observera likheten med Fourierserier. Vi framställer f(t som en överlagring av elementära svängningar e iωt, men ω varierar över alla reella tal och inte bara nω med n heltal. Fouriertransform Formeln f(t = 1 ( e iωt f(se iωs ds dω (2 2π kallas Fouriers inversionsformel. Ovanstående resonemang ger en motivering till denna, men utgör inget strikt bevis. Vi behöver någon sats som ger villkor för att (2 verkligen gäller. Det finns en mängd olika varianter som är tillräckliga för våra syften. Tyvärr är den version som står i läroboken felaktig. Ett sätt att rätta till det är att införa begreppet principalvärde av integral. Detta definieras som R PV f(t dt = lim f(t dt. R R Observera att detta inte är samma sak som f(t dt = S lim R, S R f(t dt. Om till exempel f(t = t så är alla integraler från R till R lika med 0, så principalvärdet är 0. Däremot är integralen över hela reella axeln divergent. Om integralen över hela axeln existerar, så är den dock alltid lika med principlalvärdet. En svagare variant av (2 är alltså f(t = PV 1 2π e iωt ( f(se iωs ds dω, (3 där PV enbart syftar på integrationen i ω. Sats: Om f har ändligt många lokala maxima, lokala minima och diskontinuiteter i varje ändligt intervall, och dessutom f(t dt <, (4 så gäller (2 i alla punkter t där f är deriverbar, och (3 i alla punkter där f är kontinuerlig. I övriga punkter gäller PV 1 ( e iωt f(se iωs f(t + ε + f(t ε ds dω = lim. 2π ε 0 2

3 Transformer och differentialekvationer M3, 2009/2010 sid. 3 av 6 Observera att (4 är en ganska stark inskränkning; många enkla funktioner som f(t = cos(t och f(t = t uppfyller inte detta. Som vi skall antyda nedan går det att utvidga satsen till sådana funktioner (mer allmänt funktioner med polynomiell tillväxt, men detta kräver distributionsteori. Om f är en funktion som uppfyller villkoren i satsen skriver vi F (iω = f(te iωt dt. Detta kallas Fouriertransformen av f och betecknas ofta ˆf(ω eller Ff(ω. Inversionsformeln (2 säger att f(t = 1 F (iωe iωt dt. 2π Observera likheten med Laplacetransform. Om f(t = 0 för t < 0, så är de två transformerna väsentligen samma sak (sätt s = iω. För att Fouriers inversionsformel skall gälla måste dock Fouriertransformen vara definierad för alla reella ω. Detta villkor är alltför restriktivt för många tillämpningar av Laplacetransformen. Fouriertransformen har egenskaper liknande Laplacetransformen, vilka kan visas på samma sätt. Vi har till exempel f(t f (n (t f(t t 0 e iω 0t f(t F (it F (iω (iω n F (iω e iωt 0 F (iω F (i(ω ω 0 2πf( ω. Den sista egenskapen, transformens symmetri eller självdualitet, är ytterst elegant. Den säger att Fouriertransform och invers Fouriertransform väsentligen är samma sak. Exempel: Låt { 1, 1 t 1, f(t = 0, t > 1. Fouriertransformen är, för ω 0, F (iω = 1 1 [ ] e e iωt iωt dt = = eiω e iω iω iω = 2 sin ω ω. Detta gäller även för ω = 0, om man tolkar sin ω/ω som 1. Fouriertransformens symmetri ger att Fouriertransformen av 2sin t/t är 2πf( ω = 2πf(ω. Detta måste tolkas försiktigt. Dels kan man visa att funktionen sin t/t inte uppfyller villkoret (4, så den hör strängt taget inte till de funktioner för vilka vi definierat Fouriertransformen. Dessutom bör man vara försiktig med språngpunkterna. Stoppar man in f i satsen ovan får man det mer precisa påståendet { sin t 2 e iωt 2π, 1 < ω < 1, dt = t 0, ω > 1

4 Transformer och differentialekvationer M3, 2009/2010 sid. 4 av 6 samt för ω = ±1 Man kan visa att sin t 2 PV e iωt dt = π. t sin t t e iωt dt är divergent för ω = ±1, så det är verkligen nödvändigt att blanda in principalvärdet. Fouriertransform av distributioner Det går att skapa en mycket elegant teori för Fouriertransform av distributioner. Vi nöjer oss här med att ge ett par nyttiga formler. Om f(t = δ(t a ger en formell räkning F (iω = δ(t ae iωt dt = e iaω. Fouriertransformens symmetri ger att f(t = e iat har Fouriertransformen 2πδ( ω a = 2πδ(ω + a. Kallar vi a för t 0 respektive ω 0 får vi f(t δ(t t 0 e iω 0t F (iω e it 0ω 2πδ(ω ω 0.. Vi har härlett detta med rent formella räkningar, men resultaten stämmer med den allmänna teorin som vi inte går in på. I anknytning till detta gör vi en anmärkning om Fouriertransform av periodiska funktioner. Antag att f ges av en Fourierserie, Dess Fouriertransform bör då vara f(t = F (iω = c n e inωt. c n δ(ω nω. Detta befäster bilden av Fouriertransform som en kontinuerlig motsvarighet till Fourierserier. Om en signal består av en periodisk svängning plus brus, så bör Fouriertransformen uppvisa tydliga toppar i motsvarande frekvenser. Ändlig Fouriertransform och sampling Den ändliga Fouriertransformen är en motsvarighet till Fourierserie och Fouriertransform för ändliga talföljder. Den kan användas till att uppskatta Fouriertransformen F (iω när bara ändligt många värden av funktionen f är givna. Detta svarar mot att bestämma

5 Transformer och differentialekvationer M3, 2009/2010 sid. 5 av 6 frekvenser och amplituder för en signal utifrån ett begränsat antal mätningar. Det är också användbart för numerisk beräkning av Fouriertransform. Den snabba Fouriertransformen (FFT är en listig metod att snabbt räkna ut den ändliga Fouriertransformen (och därmed uppskatta den vanliga Fouriertransformen. Den skall vi dock inte gå in på. Tag en ändlig följd av tal, som vi skriver som g 0, g 1,..., g. Den ändliga Fouriertransformen är en ny följd, som vi skriver Den definieras av G 0, G 1,..., G. G k = l=0 g l e 2πikl/N. Den ursprungliga följden kan återskapas från sin Fouriertransform genom formeln g l = 1 N G k e 2πikl/N. (5 Notera att detta har samma struktur som motsvarande formler för Fourierserie och Fouriertransform, med oändliga summor och integraler ersatta av ändliga summor. För att visa (5 noterar vi först att e 2πikn/N = { N, N n, 0, N n. Beteckningen N n betyder att N delar n, dvs att n = kn för något heltal k. Detta är ett specialfall av formeln för geometrisk summa, N, x = 1, x k = 1 x N 1 x, x 1. Med x = e 2πin/N har man nämligen x N = 1. Vi kan nu verifiera (5 genom direkt uträkning: 1 G k e 2πikl/N = 1 N N e 2πikl/N m=0 g m e 2πikm/N = 1 N m=0 g m Antag nu att vi har en signal f, som vi mäter (samplar i N punkter f(k t, k = 0, 1,..., N 1. e 2πik(l m/n = g l.

6 Transformer och differentialekvationer M3, 2009/2010 sid. 6 av 6 Utifrån dessa data approximerar vi signalen med f s (t = Approximationens Fouriertransform är F s (iω = f(k tδ(t k t. På samma sätt beskriver vi denna med ett antal mätvärden F S (il ω = f(k te ik t ω. (6 f(k te ikl t ω, l = 0, 1,..., M 1. Detta verkar ha att göra med diskret Fouriertransform! Väljer vi nämligen M = N och t ω = 2π/N, får vi att följden (F S (il ω l=0 är den diskreta Fouriertransformen av vår samplade följd (f(k t. Eftersom transformen kan inverteras innehåller de samplade värdena av F s samma information som våra ursprungliga mätvärden. Vi frågar oss nu under vilka förutsättningar F s är en bra uppskattning av den riktiga Fouriertransformen F. Vi skall inte utreda detta så noga, men kan ge ett viktigt nödvändigt villkor. Vi observerar att (6 är periodisk i ω med period 2π/ t = N ω. Däremot är F normalt inte periodisk. Om vi istället förutsätter att F (iω är noll utanför ett intervall ω ω max (f kallas då bandbegränsad, så är det rimligt att inuti intervallet approximera F med en periodisk funktion, förutsatt att perioden är större än 2ω max. Vi får alltså villkoret 2π/ t 2ω max, dvs t π = T min, ω max 2 där T min = 2π/ω max. Detta kallas Nyquist Shannons villkor. Om det inte är uppfyllt kan man bara förvänta sig att F S (iω är en god approximation till F (iω i ett intervall som är mindre än ω ω max.