1 Att läsa matematik.
|
|
- Sven Lindberg
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer som framträder i texten. Att luta sig tillbaka i fåtöljen, sluta ögonen och fundera över konsekvenserna av givna påståenden. För en del betyder det att läsa med papper och penna vid sin sida. Så fort man når ett påstående lämnar man texten och försöker föreställa sig vilka konsekvenser det har. Är det en sats som ges, så försöker man att bevisa den själv innan man tittar på författarens bevis. Även om man misslyckas med att bevisa ett påstående, så lär man sig mycket av att försöka. Man är tvungen att tänka igenom givna definitioner och man kan få en uppfattning om vilka typer av problem man stöter på i ett bevisförsök. Läser man en definition så bör man så fort som möjligt försöka att konstruera en egen exempelsamling som anknyter till denna definition. Konstruera objekt som uppfyller villkoren i definitionen och försök att konstruera objekt som inte uppfyller de givna kriterierna. Detta gör att man förhoppningsvis kan bilda sig en uppfattning om var definitionens gränser går. Det är också nyttigt att försöka finna ekvivalenta formuleringar av givna påståenden. Detta innebär ju att man är tvungen att tänka igenom alla givna förutsättningar. Det är också ibland så att vissa formuleringar lämpar sig bättre än andra då man exempelvis vill generalisera ett påstående till mer allmänna, eller kanske helt andra, situationer. Underlåtenhet att bygga upp en lämplig exempelsamling har ibland lett till fullständigt absurda konsekvenser. Det har faktiskt, i enstaka fall, skrivits forskningsartiklar om objekt, vilka har varit så restriktivt definierade att man senare upptäckt att man faktiskt inte har kunnat konstruera ett enda exempel på något sådant objekt. I sådana artiklar har man alltså, utan att ha varit medveten om det, helt enkelt studerat den tomma mängden. Detta är självfallet inte speciellt smickrande för vare sig författaren eller övriga inblandade. För att illustrera råden givna ovan skall vi diskutera ett antal exempel i grundläggande analys. 1.1 Kontinuitet Den grundegenskap man vill åt vid definitionen av kontinuerlig funktion, är en funktion vilken lokalt är väsentligen konstant, eller med andra ord, en funktion vilken inte drastiskt ändrar värde då vi bara flyttar oss lite i definitionsmängden. Det har under årens lopp givits en mängd olika definitioner som har försökt att fånga denna grundidé, och den vi idag använder kan formuleras på följande sätt. Definition 1. Låt D vara en öppen mängd i R n och låt f : D R m vara en given funktion. Vi säger att f är kontinuerlig i en punkt a D omm det till varje ε 0 existerar ett δ 0 så att 1
2 f f x f a ε (1) x D x a δ Slutligen säger vi att en funktion är kontinuerlig om den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd. Vi noterar först att vi i definitionen ovan först väljer ε och sedan δ, och att δ tydligen i allmänhet sålunda beror av funktionen f med dess definitionsmängd D, punkten a och ε. Vi noterar sedan att kontinuitet är en lokal egenskap, i den mening att egenskapen att en funktion är kontinuerlig eller ej i en given punkt a D endast beror av funktionens värden nära a. Mer precist observerar vi att det inte är någon restriktion i definitionen ovan att anta att vi, givet ε 0, alltid söker δ 0 bland tal vilka är mindre än en på förhand bestämd positiv konstant. Vi ser omedelbart, till vår lättnad, att alla konstanta funktioner är kontinuerliga (kontrollera detta!). För att bygga upp en bank av exempel kan det vara lämpligt att börja med fallet m n 1 ovan. Vi börjar alltså att studera funktioner för vilka både definitionsmängd och värdemängd är delmängder av R. Eftersom både addition och multiplikation av reellvärda funktioner är definierade, börjar vi med att observera att om f och g båda är kontinuerliga, så gäller att f g, f g och f g är kontinuerliga där de är definierade. Vi noterar sedan att funktionen R x x R är kontinuerlig, vilket med hjälp av reglerna ovan medför att alla polynom är kontinuerliga. Ett enkelt exempel på en ickekontinuerlig funktion är Heavisides stegfunktion, R x H x, där H x 0 om x 0 och H x 1 om x 0. Om m n 1 ovan, det vill säga om funktionen f är reellvärd och definierad för en öppen delmängd av de reella talen, så kommer f s graf att vara en delmängd av R 2 och vi kan rita den. Intuitivt vill vi då att en funktion skall vara kontinuerlig omm vi kan rita dess graf utan att lyfta pennan. Detta formuleras lite mer exakt i satsen om mellanliggande värden. Sats 1. Om f : D R är kontinuerlig, a b D och om ξ är ett tal mellan f a och f b, så existerar det ett x a b sådant att f x ξ. Kommentar. Notera att denna sats inte är lätt att bevisa ens för allmänna polynom med heltalskoefficienter eftersom vi saknar generella algebraiska formler vilka ger rötter till dylika ekvationer och existensen av rötter i allmänhet är nära förknippad med de reella talens natur. Även för relativt enkla polynom är vi tvungna att hänvisa till topologiska egenskaper hos de reella talen för att bevisa påståendet i satsen. Vi kan anta att f a ξ f b, ty om f a f b är påståendet klart, och om f a b så kan vi istället betrakta funktionen f (eftersom f är kontinuerlig omm f är det). 2
3 Vi skall nu visa att ekvationen f x ξ har (minst) en lösning x a b. Genom intervallhalvering kan vi skaffa oss en svit av inkapslade intervall a k b k a k 1 b k 1 då k 1 2 3, med a 0 a, och b 0 b, med egenskapen att f a k ξ f b k ; k N och så att b k a k 0 då k. Sviten a k k 1 är sålunda växande och uppåt begränsad och sviten b k k 1 är avtagande och nedåt begränsad. Det verkar naturligt att sviten a k k 1 och sviten b k båda konvergerar mot ett gemensamt gränsvärde. Detta följer också i själva verket ifrån axiomet om övre gräns (se Persson Böiers), vilket beskriver en fundamental topologisk egenskap hos de reella talen. (Det fås också direkt ifrån fullständigheten hos R (se nedan) genom att verifiera att följden a k k 1 och följden b k k 1 bildar (ekvivalenta) Cauchyföljder.) Då Richard Dedekind i slutet av 1800 talet höll föreläsningar i grundläggande analys stördes han mycket av just axiomet om övre gräns. Han ansåg att det var ytterst otillfredställande att vara tvungen att hänvisa till oprecisa geometriska argument för att bevisa att varje uppåt begränsad och växande följd av reella tal konvergerar mot ett bestämt gränsvärde. Detta ledde honom till att fundera över de reella talens natur och slutligen till en precis definition av vad reella tal kan vara. Dedekind utgick väsentligen ifrån de naturliga talen och egenskaper för dessa. Från de naturliga talen är det lätt att logiskt precist konstruera de rationella talen. Dedekind konstruerade sedan utifrån de rationella talen de reella talen med hjälp av sina numera berömda Dedekindsnitt. En god vän till Dedekind, nämligen Georg Cantor, konstruerade mer eller mindre samtidigt med Dedekind ett annat, men ekvivalent, sätt att definiera de reella talen utifrån de rationella. Vi skall kort skissera Cantors metod och antyda hur axiomet om övre gräns följer som en konsekvens av Cantors defintioner. 1.2 De reella talen. q 2 2. p Det är ett klassiskt resultat att det inte finns heltal p och q sådana att Mer allmänt är det lätt att visa den så kallade Gissningssatsen. Sats 2. Låt P vara ett polynom med heltalskoefficienter, P x a n n x a n 1x n 1 a 1 x a 0. p Om P q 0, där p q Z är relativt prima (och q 0 så klart), så gäller att q delar a n och p delar a 0. q 0 med q n och titta efter. p Multiplicera ekvationen P Det är nu lätt att ge exempel på mängder av polynomekvationer (för polynom med heltalskoefficienter) vilka saknar rationella rötter. 3
4 Exempel 1. Ekvationen x saknar rationella rötter. Detta följer av gissningssatsen genom att räkna upp de, enligt satsen, enda möjliga rationella rötterna och sedan medelst direkt insättning i ekvationen verifiera att dessa ej löser den. Sagt och gjort, för en möjlig rationell rot p q, med p och q relativt prima, måste enligt satsen p dela 2 och q dela 1. Detta ger följande lista av de fyra enligt satsen tänkbara rötterna : 1 2. Ingen av dessa duger, vilket alltså medför att ekvationen saknar rationella lösningar. Tal vilka, likt 2, är lösningar till polynomekvationer med heltalskoefficienter kallas för algebraiska tal. Exempelvis är alla rationella tal algebraiska (ett rationellt tal p q löser ju polynomekvationen qx p 0), men som vi sett med hjälp av gissninssatsen så finns det mängder av algebraiska tal vilka är irrationella. Icke algebraiska reella tal kallas för transcendenta tal. Exempel på transcendenta tal är π och e. Transcendensen av π bevisades först 1882 av den tyske matematikern Lindemann. Frågan kvarstår dock, vad är ett reellt tal egentligen? Om vi försöker lösa exempelvis ekvationen x med någon numerisk metod med hjälp av dator, så skapar vi en följd av rationella tal, vilka försöker konvergera mot en lösning till ekvationen. Frågan är alltså om följden lyckas konvergera, eller snarare, mer precist, om det existerar något tal att konvergera mot. Cantors lösning var att ta själva följden som definition av just detta gränsvärde, eller mer precist, ta samtliga föjder vilka försöker konvergera mot ett tänkt gränsvärde som definition av just detta gränsvärde. För att klargöra detta något behöver vi införa ett par nya begrepp. Vi tänker oss nu ett litet tag att världen endast består av rationella tal. Definition 2. Följden a n n 1, där N k a k Q, konvergerar mot a Q omm till varje ε 0 (med ε Q så klart) existerar ett N N så att a n a ε om n N Problemet är, som vi sett ovan, att varje följd av rationella tal som försöker konvergera (i Q) inte säkert lyckas med detta. Vi inför nu ett namn på de följder av rationella tal vilka försöker konvergera. Definition 3. Följden N k a k Q kallas en Cauchyföljd omm till varje ε 0 (med ε Q så klart) existerar ett N N så att a n a m ε om n m N Följder vilka lyckas konvergera är naturligtvis Cauchyföljder. Detta följer direkt ur definitionerna och triangelolikheten. 4
5 Sats 3. Om Q a n a Q då n, så gäller att a n a n a m a n a a m a n 1 är en Cauchyföljd. Vi måste också tala om vad vi menar med att två Cauchyföljder försöker konvergera mot samma tal. Vi kallar sådana följder för ekvivalenta. Definition 4. Cauchyföljderna a n n 1 och b n n 1 kallas ekvivalenta omm till varje ε 0 (med ε Q så klart) existerar ett N N så att a n b n ε om n N Cantor tog nu familjer av ekvivalenta Cauchyföljder (i Q) som definition av reella tal och visade sedan att alla de vanliga räknereglerna och operationerna gäller för dessa nya objekt. Han kunde också visa att vi i någon mening nått vägs ände topologiskt genom att visa att varje Cauchyföljd av reella tal (med lämplig justering av definitionen) verkligen alltid lyckas konvergera (i R). Den topologiska egenskapen att varje Cauchyföljd är konvergent kallas för fullständighet. Mängden av reella tal är alltså till skillnad från mängden av rationella tal fullständig. Cantor kunde nu enkelt visa axiomet om övre gräns som en sats genom att visa att varje uppåt begränsad följd av reella tal faktiskt bildar en Cauchyföljd och därför, på grund av fullständigheten hos R, konvergerar. 1.3 Åter till kontinuitet. Medelvärdesegenskapen hos reellvärda kontinuerliga funktioner på R följer som sagt enkelt ifrån definitionerna och fullständigheten hos R. Ett mått på hur väsentlig medelvärdesegenskapen är inom analys, fås genom det faktum att medelvärdesegenskapen faktiskt till relativt nyligen (fram till förra sekelskiftet) ibland togs som definition av kontinuitet. Att detta var mindre lyckat inses t. ex. genom följande (kanoniska) exempel på en funktion vilken uppfyller medelvärdesegenskapen i varje intervall, men vilken vi helst skulle vilja slippa kalla kontinuerlig i origo. Exempel 2. Låt 1 sin x om x 0 f x : 0 om x 0 (2) Vi skall nu kort beröra en viktig topologisk egenskap hos mängder, vilken i analys ofta samspelar fruktbart med begreppet kontinuitet. Egenskapen är kompakthet. 5
6 Definition 5. En mängd M i R är sluten omm M a k a R n a M. Definition 6. En mängd M i R är kompakt omm den är sluten och begränsad. Vi har då följande användbara karaktärisering av kompakta mängder, uppkallad efter två av den rigorösa matematiska analysens grundare. Sats 4. En mängd i R är kompakt omm den har Bolzano Weierstrass egenskapen. Definition 7. En mängd M i R har Bolzano Weierstrass egenskapen omm varje följd a k k 1 i M har en delföljd a k j k j 1 vilken konvergerar mot ett element i M. Bevisskiss. Att en kompakt mängd har Bolzano Weierstrass egenskapen följer genom att notera att egenskapen att mängden är begränsad ger att den är innehållen i ett intervall. Sedan görs intervallhalvering varvid man noterar att vid varje halvering kommer något av delintervallen att fortfarande innehålla oändligt många element ur följden. Detta ger en mängd inkapslade intervall vars snitt med M är icketomt och vars längd krymper mot noll. Fullständigheten hos R tillsammans med det faktum att M är sluten avslutar beviset. Omvändningen är enklare och görs exempelvis med motsägelseargument. Det väsentliga sambandet mellan kontinuitet och kompakthet är följande resultat. Sats 5. Låt f C R och låt M R vara en kompakt mängd. Då följer att bilden f M av M under avbildningen f är kompakt. Bevisskiss. Vi visar att f bildmängden M f M har Bolzano Weierstrass egenskapen. Tag en j 1 i. Då finns det punkter m j 1 2 M, j så att f m j n j. följd n j Eftersom m j m jk j 1 är en följd i M och M är kompakt kan vi finna en delföljd k 1 vilken konvergerar i M. På grund av kontinuiteten hos f följer att f m j k konvergerar i f M. Denna sats tillsammans med medelvärdesegenskapen ger direkt följande korollarium. Korollarium 1. Låt f C R och låt I R vara ett kompakt intervall. Då följer att bilden f I av I under avbildningen f är ett kompakt intervall. Bland annat gäller alltså att f har såväl ett största som ett minsta värde i intervallet. I själva verket är det faktum att en kontinuerlig funktion avbildar kompakta mängder på kompakta mängder, fundamental vid lösandet av de flesta optimeringsproblem. Vi avslutar med att visa en mängd så kallade medelvärdessatser. Vi börjar med den klassiska integralkalkylens medelvärdessats. 6 k 1
7 Sats 6. Låt f C R och I a b R. Då existerar det ett ξ I så att 1 b f ξ b a f x dx a Det är klart att medelvärdet, f I : 1 I I f dx, av f över intervallet I ligger emellan f s största och minsta värde i intervallet. Enligt medelvärdesegenskapen finns alltså ett ξ I så att f ξ f I. Använder vi denna sats tillsammans med analysens huvudsats (vilken kopplar ihop integration och derivation och vilken för övrigt lätt visas med hjälp av just medelvärdessatsen) på derivatan av en funktion så får vi differentialkalkylens medelvärdessats. 1 Sats 7. Låt f C R och I a b R. Då existerar det ett ξ I så att f ξ f b f a b a Ett annat användbart resultat, som följer direkt av integralkalkylens medelvärdessats och huvudsats, är den så kallade Cauchys medelvärdessats. Sats 8. Låt f 1 g C R och I a b R. Då existerar det ett ξ I så att f ξ g b g a g ξ f b f a Använd integralkalkylens medelvärdessats på funktionen a b x g a g x f b f a f x g b. 7
1 Att läsa matematik.
1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer
Läs merMer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns
Kapitel K Mer om kontinuitet I detta kapitel bevisar vi Sats 3.1, som säger att en kontinuerlig funktion av typen R 2 R på ett kompakt område antar ett största och ett minsta värde. Vi studerar dessutom
Läs merMer om reella tal och kontinuitet
Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer
Läs merKontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet
Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet är följande: SATS. (Intervallinkapslingssatsen) Låt I k = [a k, b k ], k = 1, 2,... vara en avtagande följd av slutna
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. Om de reella talen. MatematikCentrum LTH
Analys 60 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Om de reella talen Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om de reella talen () Introduktion Den matematiska analysen är intimt förenad
Läs merBisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2
Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man
Läs merOm kontinuerliga funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens Grunder Om kontinuerliga funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om kontinuerliga funktioner 1 (12) 1 Introduktion Vi ska nu diskutera
Läs merÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4
VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merMER TOPOLOGI OCH KONVERGENS
MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS SVANTE JANSON 1. Kompakta mängder Definition. En delmängd av R n kallas kompakt om den är sluten och begränsad. Sats 1. Om K är en kompakt mängd i R n och {x i } är en följd
Läs merMatematiska strukturer - Satser
Matematiska strukturer - Satser April 2, 2018 I detta dokument har jag samlat och översatt de flesta satser som ingår i kursen Matematiksa Strukturer (FMAN65) från kursboken Set Theory and Metric Spaces
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merOm konvergens av serier
Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie
Läs merExempel. Komplexkonjugerade rotpar
TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck
Läs merTATM79: Föreläsning 4 Funktioner
TATM79: Föreläsning 4 Funktioner Johan Thim augusti 08 Funktioner Vad är egentligen en funktion? Definition. En funktion f är en regel som till varje punkt i en definitionsmängd D f tilldelar precis ett
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs meravbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.
Ordlista 1 1 Analysens grunder avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M i ett metriskt rum har Bolzano- Weierstrass-egenskapen
Läs merTATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Läs mer1 Analysens grunder. Ordlista för Funktionalanalys 1. avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.
Ordlista för Funktionalanalys 1 (28 augusti 2002) 1 Analysens grunder avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M
Läs mer2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)
De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 31 augusti 2016 Att göra denna vecka Översikt över modul 1 Funktion Definitionsmängd Värdemängd Udda, jämn Begränsad Absolutbelopp, Trigonometri, Polynom Gränsvärde
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merMängder och kardinalitet
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 28 september 2007 Mängder och kardinalitet Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen
Läs merPolynomekvationer (Algebraiska ekvationer)
Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs mer2 Matematisk grammatik
MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik.1 Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk
Läs merALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...
ALA-a 2005 Innehåll 1 Lite teori 3 RÄKNEÖVNING VECKA 7 1.1 Kapitel 7....................................... 3 1.2 Kapitel 12....................................... 3 1.3 Kapitel 13.......................................
Läs merANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29
Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs mer1.1. Fördjupning: Jämförelse av oändliga mängder
Kapitel 1 Kardinalitet Den här texten är tagen från boken Diskret matematik av Asratian Björn Turesson (och delvis modifierad) Av den anledningen finns det visa hänvisningar på en del ställen som är ersatta
Läs merFöreläsning 5. Deduktion
Föreläsning 5 Deduktion Hur ett deduktivt system fungerar Komponenter - Vokabulär Ett deduktivt system använder ett visst slags språk som kan kallas för systemets vokabulär. I mindre formella fall är kanske
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merTal och polynom. Johan Wild
Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................
Läs merFULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE
FULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE JAN-FREDRIK OLSEN I detta dokumentet ämnar vi bevisa följande två satser: Sats 1 (Satsen om mellanliggande
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merÖvningshäfte 3: Funktioner och relationer
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har
Läs merLite Kommentarer om Gränsvärden
Lite Kommentarer om Gränsvärden På föreläsningen (Föreläsning 2 för att vara eakt) så introducerade vi denitionen Denition. Vi säger att f() går mot a då går mot oändligheten, uttryckt i symboler som f()
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 5 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merExistens och entydighet för ordinära differentialekvationer
Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer Michael Björklund, f-mib@f.kth.se Grundläggande begrepp Definition 1 Ett begynnelsevärdesproblem för ordinära differentialekvationer har följande
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b
Lösningsförslag till Tentamen i Inledande matematik för E, (TMV57), 203-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) För vilka tal gäller 2 + > cos2 ()? Lösning:
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merSvar till vissa uppgifter från första veckan.
Svar till vissa uppgifter från första veckan. Svar till kortuppgifter F:. Ja! Förhoppningsvis så ser man direkt att g fx) är ett polynom. Vidare så gäller det att g fα) = gfα)) = gβ) = 0. Använd faktorsatsen!
Läs merTMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.
TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella
Läs mer3 differensekvationer med konstanta koefficienter.
Matematiska institutionen Carl-Henrik Fant 17 november 2000 3 differensekvationer med konstanta koefficienter 31 T Med en menar vi en av rella eller komplexa tal varje heltal ges ett reellt eller komplext
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon
Läs merFunktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =
Funktionsserier och potensserier Viktiga exempel på funktionsföljder är funktionsserier. Summan s(x) av f k (x) definieras som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) = n f k (x) för varje fixt x I. Serien
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs merLösningsskisser för TATA
Lösningsskisser för TATA 26-3-3. Funktionen f() = + 3 2 ln( + 3 2 ) är definierad för alla R oc ar derivatan f () = 3 vilket ger följande teckentabell: 2 6 + 3 2 = 92 2 + 3 + 3 2 = 9( )( 3 ) + 3 2, 3 +
Läs merLösningsförslag till tentan i 5B1115 Matematik 1 för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T,
Institutionen för Matematik, KTH. Lösningsförslag till tentan i 5B5 Matematik för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T, 8.. Visa att påståendet P n : n + n < 4 n är sant för n =,, 4.... (a) P : + = 4 +
Läs merGrundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är tal Z och α 0.
5B2710, lekt 4, HT07 Konstruktion av de rationella talen Q (AEE 2.3) Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs merOm ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum
Analys 360 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella
Läs merIckestandardanalys ett didaktiskt knep?
Fredrik fredrikengstrom@gmailcom Mittuniversitetet Matematikbiennalen 2006, Malmö fredrikengstrom@gmailcom Mittuniversitetet 1 Introduktion Vad är ickestandardanalys? 2 Historisk bakgrund Newton vs Robinson
Läs merPOLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER
Explorativ övning 8 POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom.
Läs merOm existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer
Om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer Anders Källén 11 maj 2016 1 Introduktion I det här kapitlet ska vi diskutera vad vi allmänt kan säga om lösningar till ett system
Läs merTisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar
1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merSAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merTATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 24 mars 29 Entydighet Om vi har ett polynom som approimerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna i
Läs merEnvariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6
Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merdär x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.
Lektion 4, Envariabelanals den 30 september 1999 där 0 < ξ 0 är högerledet alltid större än 2.6.2 Åskådliggör medelvärdessatsen genom att finna en punkt i det öppna intervallet (1, 2) där
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merLMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013
LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning
Läs merKap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.
Kap. 2. 2.2. Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. 20. Skissera definitionsmängden till följande funktioner: A a. f(,) = ln ( 2 2 ) A b.
Läs merÖvningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer
LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med
Läs merPeanos axiomsystem för de naturliga talen
5B1493, lekt 3, HT06 P1. Det finns ett naturligt tal 0. Peanos axiomsystem för de naturliga talen P2. Varje natutligt tal n har en s.k. efterföljare n +. P3. Om n + = m + så är n = m. P4. Inget naturligt
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merLäsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 28 oktober 2001 1 Heltalen Det första kapitlet handlar om heltalen och deras aritmetik, dvs deras egenskaper som
Läs merUpphämtningskurs i matematik
Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna
Läs merTATA42: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form
TATA4: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form Johan Thim 9 mars 9 Lagranges form för resttermen Vi har tidigare använt resttermen på ordo-form med goda resultat. Oftast i samband med gränsvärden, extrempunktsundersökningar
Läs merTeorifrå gor kåp
Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför
Läs merNågot om medelvärden
350 Något om medelvärden Pepe Winkler Uppsala Universitet Om a och a är två reella, positiva tal så kallas talet A = a + a för det aritmetiska medelvärdet och talet G = a a för det geometriska medelvärdet
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. L Hôspitals regel. MatematikCentrum LTH
Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Gränsvärden och L Hôspitals regel Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Gränsvärden och L Hôspitals regel 1 (11) Introduktion Gränsvärdesöverläggningar
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar egreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs merTillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor
Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merMetriska rum, R och p-adiska tal
Metriska rum, R och p-adiska tal Tony Johansson 1MA239: Specialkurs i Matematik II Uppsala Universitet VT 2018 När vi säger avståndet mellan punkt X och punkt Y där X och Y är punkter i planet (säg) är
Läs merKapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner
Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet
Läs mer