TNA003 Analys I för ED, MT, KTS
|
|
- Rebecka Sundström
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TNA003 Analys I för ED, MT, KTS Litteraturkommentarer till föreläsningarna VT Sixten Nilsson
2 TNA003 FÖ 1: Kap Litteraturkommentarer 3.1 Gränsvärdesidén Skilj på de två typerna av gränsvärden. 0 Ex 3.1. Gränsvärde av typen x a. Exemplet visar att gränsvärden på formen 0 måste skrivas om innan själva gränsövergången (och därmed gränsvärdesberäkningen) kan göras. Någon formell beräkning görs dock inte i detta exempel, man utför endast ett resonemang av intuitiv karaktär då uttryckets gränsvärde tas fram. Ex 3.2. Gränsvärde av typen x. Observera att man i detta exempel inte gör en beräkning med en metod, snarare görs ett resonemang för att visa på vad som avses med ett gränsvärde av denna typ. Def Preliminära gränsvärdesdefinitioner. Lägg märke till de olika skrivsätten vid notationen av gränsvärdet. Läs dessa definitioner noggrant och jämför med illustrationerna i fig. 3.2 resp. fig. 3.3 samt texten sid Ex 3.3. Viktigt exempel som utgör grund för gränsvärden där nämnaren går mot (eller ) medan täljaren är konstant. Ex 3.4. Gränsvärdet är på formen, och ett sådant måste skrivas om före gränsövergången. Exemplet visar en generell metod som används då x eller x. Lägg märke till att man bryter ut den dominerande termen i täljare resp. nämnare. Efter förkortning görs till sist gränsövergången. Ex 3.5. Exempel där täljaren är begränsad medan nämnaren. Vi kan i detta fall göra en jämförelse med beräkningen i Ex 3.3. Ex 3.6. Tillämpning insvängningsförlopp. 3.2 Definitioner och räknelagar Def. 3.2 Gränsvärde då x a (både då gränsvärdet är ett ändligt tal A resp. gränsvärdet är ). Läs dessa definitioner med de preliminära definitionerna i kap 3.1 som bakgrund och ta figurerna 3.5 och 3.6 till hjälp för att få en bild av vad som menas. Ex 3.7. Visar hur man med gränsvärdesdefinitionen visar att lim x 2 4. OBSERVERA att vi i nästan alltid kommer att använda RÄKNEREGLER snarare än x2
3 att använda den teoretiska definitionen varje gång ett gränsvärde skall beräknas. Observera dock att man bevisar räknereglerna för gränsvärden så måste gränsvärdesdefinitionen användas (se t.ex. sid ). Def. 3.3 Gränsvärde då x (både då gränsvärdet är ett ändligt tal A resp. gränsvärdet är ). Def 3.3a illustreras i fig (Illustrationen av definition 3.3b motsvarar testövning 3.3). x Ex 3.9. Formellt bevis av att lim e 0. x Sats 3.1. Om f ( x) 0 då x a och g är begränsad, så är lim f ( x) g( x) 0. Observera även påpekandet på sid (Bevis sid. 134) Ex Visar en tillämpning av sats 3.1. xa Sats 3.2. Gränsvärdesberäkningar av summa, produkt och kvot. Dessa är självklart viktiga och kommer i princip att användas intuitivt. Observera den viktiga kommentaren kring villkoret att B 0 i sats 3.2c. (Satsen bevisas på sid. 134) f ( x) Ex Gränsvärden av typen lim och som visar vad som kan hända om både xa g ( x ) f (x) och g (x) går mot 0 då x a. Om B 0 i sats 3.2c så måste uttrycket skrivas om innan man drar slutsatser.
4 TNA003 FÖ 2: Kap 3.2 (forts) Litteraturkommentarer Sats 3.3. Instängningssatsen. Rita gärna en figur för att illustrera satsens innehåll. Observera även kommentaren direkt efter satsen. (Bevis sid. 135) Sats 3.4. Sammansättning. Ännu en naturlig sats. Under de givna förutsättningarna har vi att f ( g( x)) A då x a om den inre funktionen g( x) b då x a och den yttre funktionen f ( y) A då y b. Se även kommentaren efter satsen. (Satsen bevisas på sid. 135) 0 Ex Gränsvärde på formen 0. Efter faktorisering av täljare och nämnare kan vi förkorta och därefter göra gränsövergången. Försök att avgöra vilka räkneregler som används? Ex Gränsvärde på formen. Ett sådant kan inte bestämmas via en direkt gränsövergång utan behöver skrivas om först. I detta fall förlänger vi med konjugatuttrycket och bryter sedan ut det som dominerar i täljare resp. nämnare. Observera att vi här använder att försöka beräkna gränsvärdet då x 2 x x (ty x 0 här). Som övning kan du x istället (jfr testövning 3.9). Ex Visar hur man först kan göra ett VARIABELBYTE för att förenkla beräkningarna. Sedan använder vi en logaritmlag och bryter ut dominerande term och slutar med att använda en variant på Sats 3.4. Def. 3.4 Höger- och vänstergränsvärden. Försök att skapa dig en bild av vad som menas med dessa definitioner genom att t.ex. formulera preliminära definitioner ungefär som det gjordes i Def Observera kommentaren efter definitionen att lim f ( x) existerar om och endast om både höger- och vänstergränsvärde båda xa existerar och är lika. Ex Visar ett fall där både höger- och vänstergränsvärde existerar men är OLIKA. Alltså saknar funktionen gränsvärde då x 0. Studera punktlistan på sid. 133 och den efterföljande texten noggrant. Det kommer att ge dig en bra bild av vilka gränsvärden som är problematiska och varför de är det.
5 TNA003 FÖ 3: Kap 3.3 Litteraturkommentarer 3.3 Kontinuerliga funktioner Läs inledningen den ger en bra bild av varför det är väsentligt att i modeller använda kontinuerliga funktioner respektive funktioner som har diskontinuiteter. Def. 3.5 Vad menas med att en funktion är kontinuerlig i en punkt a? Var uppmärksam på andra notationssätt. Vad menas med att en funktion är diskontinuerlig i en punkt a? Vad menas med höger- respektive vänsterkontinuitet. Ex 3.16 Visar hur man kan definiera en funktion f i en viss punkt, a, så att f blir kontinuerlig där, genom att definiera f ( a) lim f ( x). Ex 3.17 Visar en intervallfunktion som är diskontinuerlig som är diskontinuerlig i en punkt. xa Ex 3.18 Visar att sin x är en kontinuerlig funktion. Ex 3.19 Visar att ln x är kontinuerlig Def 3.6 Definierar vad som menas med en kontinuerlig funktion. Sats 3.5 Inversen f 1 till en kontinuerlig funktion f är kontinuerlig förutsatt att f är strängt monoton och kontinuerlig på ett intervall. Ex 3.20, 3.21 Diskuterar kontinuitet hos elementära funktioner Sats 3.6 Alla elementära funktioner och kombinationer av dessa är kontinuerliga. Sats 3.7 Gränsvärde för sammansatt funktion Ex 3.23 och 3.24 visar hur sats 3.7 utnyttjas (i slutfasen av lösningen). Sats 3.8 Satsen om största och minsta värde. Observera förutsättningarna (f kontinuerlig på slutet och begränsat intervall). Observera att denna sats inte talar om hur vi finner största resp. minsta värde den bara anger att sådana värden finns (s.k. existenssats). Ex 3.25 Illustrerar hur viktigt det är att satsens förutsättningar är uppfyllda för att vi skall kunna dra slutsats. Sats 3.9 Ytterligare en existenssats: Satsen om mellanliggande värden. Observera även här förutsättningarna. Försök att illustrera hur det kan se ut om förutsättningarna inte är uppfyllda. Ex 3.27 Tillämpning av sats 3.9.
6 TNA003 FÖ 4: Kap 3.4, 3.5 Litteraturkommentarer 3.4 Standardgränsvärden. Sats 3.11 Memorera! Du måste dels veta vad gränsvärdena är samt känna igen dem i olika sammanhang. Bevisen har naturligtvis betydelse för din förståelse. Ex 3.28, Ex 3.29 Här ser du tillämpningar som kan vara betydelsefull motivationen! Ex Visar hur omskrivningar måste göras för att kunna använda standardgränsvärdena på ett korrekt sätt. Ex 3.31 Ytterligare en bra tillämpning! Sats 3.12 Ytterligare två viktiga standardgränsvärden Memorera! Sats 3.13 Fler standardgränsvärden! Observera villkoren på konstanterna! Gränsvärdena i denna sats ger oss den s.k. hastighetstabellen! Ex 3.33, Ex 3.34 Tillämpningar av gränsvärdena i Sats 3.13 Ex 3.35, Ex 3.36, Ex 3.37 Bra exempel som visar hur man bestämmer (sneda) asymptoter. Detta är väsentligt då man ritar kurvor. 3.5 Talföljder Studera inledningen sid så får du en god bild av vad som menas med talföljder. Hoppa inte över illustrationerna! Def 3.7 Konvergent respektive divergent talföljd Vad menas? Ex 3.40, Ex 3.41, Ex 3.42 Visar hur man avgör konvergens/divergens hos talföljd med givet uttryck för a n. Sats 3.14 Standardgränsvärden då n (Obs! n är heltal) Hatighetstabellen kan nu utökas (se sid 160). Ex 3.43 Tillämpning av Sats 3.43
7 TNA003 FÖ 5 6: Kap Litteraturkommentarer 4.1 Derivator Inledning. Ex 4.1 och Ex 4.2 är två bra inledande exempel som visar vad vi vill komma åt med hjälp av derivatan. 4.2 Derivata Definition. Def 4.1 Definition av deriverbarhet i en punkt x a. Definitionen kan skrivas på annat sätt vilket? Ex 4.3, Ex 4.4 Visar hur man med hjälp av definitionen bestämmer derivatan till en konstant funktion samt funktionerna cx, och skall memoreras! 2 cx och Ex 4.5 Tangent och normal till en kurva i en viss punkt. x. Resultaten är förstås viktiga Sats 4.1 En deriverbar funktion är kontinuerlig. Observera att omvändningen inte är sann (se t.ex. Ex 4.7) Def 4.2 Höger- och vänsterderivator Ex 4.8 studerar en funktion som är kontinuerlig men inte deriverbar eftersom den saknar både höger- och vänsterderivata i x Beräkning av derivator Satserna innehåller viktiga resultat! I de flesta fall måste du nog memorera resultaten för att kunna använda dem effektivt. Studera även exemplen som finns i samband med dessa satser Implicit derivering Ex 4.20, Ex 4.21 och Ex 4.22 visar vad som menas med detta och hur det kan användas.
8 TNA003 FÖ 7: Kap 4.4 Litteraturkommentarer 4.4 Några viktiga satser om derivator Sats 4.8 Knyter ihop derivator och monotonitet. Viktigt! Anmärkning 4.2 på sid. 197 är betydelsefull! Ex 4.24 Visar hur derivatan kan användas för att bestämma i vilka intervall som en funktion växer strängt resp. avtar strängt (monotonitet). Dessutom kan vi rita kurvan genom att göra ett par kompletterande beräkningar (i detta fall gränsvärdesberäkningar då x ). Ex 4.25 Ytterligare ett exempel där derivatan används för att bestämma växande/avtagande. Observera att funktionen inte är deriverbar i x 0. Varför inte? Definition 4.3 Vad menas med att en funktion har lokalt maximum/minimum i en punkt. Vad avses med lokal maximipunkt resp. lokal minimipunkt? Sats 4.9 Lokalt maximum/minimum i en punkt där funktionen är deriverbar innebär att derivatan i punkten = 0 (punkten är en s.k. stationär punkt). Studera även texten efter Sats 4.9! Sats 4.10 Medelvärdessatsen. En mycket central sats som är utgångspunkten för att kunna bevisa den mycket användbara Sats 4.8 ovan. Observera, som vanligt, förutsättningarna i satsen! Du bör även fundera ut situationer (grafiskt) som visar att slutsatsen inte säkert kan dras om du tar bort ett villkor i taget. Prova alltså med att låta f vara c a, b a, b. diskontinuerlig i en punkt eller att f inte är deriverbar någon punkt i Sats 4.11 Rolles sats. Behövs till beviset av medelvärdessatsen. Ex 4.26 Visar hur medelvärdessatsen kan användas för att göra feluppskattning.
9 TNA003 FÖ 8: Kap 4.5, 4.6 Litteraturkommentarer 4.5 Användning av derivator Kurvritning Ex 4.27 Ett utmärkt exempel! Sid 211: Definitioner av olika typer av asymptoter Viktigt! Ex 4.28 Ett brett exempel som bl.a. visar hur vi kan finna lodräta och sneda asymptoter. Anmärkning 4.3 på sidan 209 diskuterar ett alternativt sätt att finna sneda asymptoter om f är en rationell funktion. Största och minsta värde Ex 4.29 Visar hur man går tillväga då man skall finna största (minsta) värde för en storhet och där du själv måste ställa upp en relevant funktion som anger hur denna storhet varierar. (Jämför med checklistan för Extremvärdesproblem från Fö 8) Sats 4.30 Visar bl.a. hur viktigt det är att studera funktionen på HELA definitionsområdet innan slutsatser om största och minst värde kan dras. Olikheter Ex 4.31 Visar att vissa olikheter löses genom att vi gör funktionsstudium (som vanligt). Antal rötter till en ekvation Ex 4.32 Ytterligare ett exempel där vi gör funktionsstudium! 4.6 Högre derivator Ge akt på hur andraderivatan definieras med hjälp av ett liknande gränsvärde som då vi definierar förstaderivatan. Observera också att det finns flera olika beteckningar för högre derivator. Ex 4.33 En tillämpning som visar att acceleration är andraderivatan av sträckan. Sats 4.12 Andraderivatans användning för att avgöra lokala extrempunkters karaktär. OBSERVERA punkterna under satsens formulering sid. 220! Konvexa och konkava funktioner. Studera figurerna sid 218 så förstår du lättare vad som avses med konvex/konkav funktion. En formell definition har du i Def 4.4 sid 218. Sats 4.13 och följdsatsen sid. 220 är användbara för att avgöra konvexitet/konkavitet. Inflexionspunkter tas ibland fram för att ytterligare precisera kurvritningen. Se även Ex 4.35.
10 TNA003 FÖ 9: Kap Litteraturkommentarer 5.1 Elementära primitiva funktioner Sats 5.2 Standardprimitiver Memoreras! Du bör även fundera på och reda ut hur standardprimitiverna (d) (h) blir om du byter x mot kx, där k är en lämplig konstant. (k) inses genom derivering av högerledet. Sats 5.3: (a) och (b) följer av motsvarande deriveringsregler. I (c) har vi att täljaren = nämnarens derivata, vilket just ger den primitiva funktionen ln f ( x) C. Ex bör studeras noggrant! 5.2 Integrationsmetoder Sats 5.4 Partiell integration. Memorera formeln på något bra sätt. Du bör klara av att bevisa denna sats! Ex 5.8 Ett inledande exempel på partiell integration Ex 5.9 Visar att vi ibland multiplicerar med ett och utför sedan partiell integration med hjälp av talet 1 (som integreras i HL!). Ex 5.10 Visar att vi ibland måste integrera partiellt flera gånger (i detta fall två ggr). Ex 5.11 Alternativ 1: Den ursprungliga integralen dyker upp igen efter den andra partiella integrationen. Hur gör vi då? Alternativ 2: Lösning med komplexa tal Alternativ 3: Lösning via en s.k. ansats, d.v.s. vi gör en gissning hur den primitiva funktionen bör vara uppbyggd. Ex 5.12 Ett varnande exempel som visar på hur viktigt det är att inse att f ( x) dx inte är entydigt bestämd (vi får ju en konstant då vi finner den primitiva funktionen uttryckt i elementära funktioner). Sats 5.5 Variabelbyte Läs beviset noggrant! Ex Några bra exempel där variabelsubstitution är en framkomlig väg för att finna den primitiva funktionen.
11 TNA003 FÖ 10: Kap 5.3 Litteraturkommentarer 5.3 Integration av rationella uttryck Ex 5.18 Linjär nämnare, täljaren konstant. Vi får en logaritm. Ex 5.19 Nämnaren på formen a, 1 1 t regeln t dt C eftersom 1. 1 x och täljaren konstant. Vi använder Ex 5.20 Nämnaren kvadratkompletteras (men kan inte faktoriseras ytterligare). Därefter görs variabelbytet y x 1, vilket leder fram till en logaritm och en arcustangens. Ex 5.21 Eftersom nämnarens derivata innehåller x är det gynnsamt med det använda variabelbytet. Checklistan sid. 252 är naturligtvis viktig! Punkt 3 mynnar ut i partialbråksuppdelning vilket beskrivs vidare på sid Du måste här lära dig hur en korrekt ansats för partialbråksuppdelningen skall göras i olika fall. Detta finns i tabellen på sid. 252 Den är mycket viktig! Ex 5.22 Nämnaren faktoriserad och innehåller bara förstagradsfaktorer. Ex 5.23 Nämnaren innehåller både en förstagradsfaktor och en andragradsfaktor Ex 5.24 Nämnaren innehåller en förstagradsfaktor upphöjd till två och en annan förstagradfaktor (upphöjd till 1). Ex 5.25 Täljaren har inte lägre grad än nämnaren. Det innebär att man börjar med att polynomdividera. Därefter faktoriseras nämnaren. Nu är f (x) på formen polynom + rationellt uttryck med täljarens grad lägre än nämnarens. Polynomet är lätt att integrera, det sista uttrycket måste partialbråksuppdelas före integrationen. OBSERVERA påpekandet efter Ex 5.25 att vi MÅSTE ha täljarens grad lägre än nämnarens för att partialbråksuppdelning skall fungera! Ex 5.26 och 5.27 visar hur man med s.k. handpåläggning kan bestämma vissa konstanter. Det är dock viktigt att påpeka att detta alltså inte fungerar för all konstantbestämning vid partialbråksuppdelning. Ex 5.29 Visar hur illa det går om ansatsen är felaktig!
12 TNA003 FÖ 11: Kap Litteraturkommentarer 5.4 Integration av trigonometriska uttryck Ex 5.31 Visar att vi, efter en omskrivning, kan använda ett naturligt variabelbyte i enlighet med Sats 5.5. Ex 5.32 Som i föregående exempel kan vi göra ett variabelbyte (efter omskrivning). Detta mynnar ut i ett rationellt uttryck som först måste partialbråksuppdelas före integrationen. Ex 5.33 Efter en (enkel) omskrivning kan vi integrera direkt. Ex 5.34 Visar hur vi, efter omskrivning med Eulers formler, lätt kan finna den primitiva funktionen. Ex 5.35 Variabelbytet y tan x överför integranden till ett rationellt uttryck. 2 Detta hanteras på sedvanligt sätt. Observera att med detta variabelbyte får vi 2 2 y sin x 2 1 y, 1 y 2 cosx och 1 y 2 dx dy. 2 1 y 5.5 Integration av rotuttryck Observera de två standardprimitiverna i inledningen sid. 266! Ex 5.36 Efter kvadratkomplettering av uttrycket under rotuttrycket i nämnaren och variabelbytet y x 1, får vi två integraler, där den första är relativt enkel medan den andra innebär att vi måste använda en standardprimitv (se även sats 5.2). Ex 5.37 Partiell integration med hjälp av en etta ger oss så småningom tillbaka den ursprungliga integralen. Detta löses på sedvanligt sätt. Tabellen sid. 267 visar några möjligheter till variabelbyten då vi skall integrera rotuttryck. Syftet med variabelbytet är att bli av med rotuttrycket. Ex 5.38 Tabellens (sid. 267) första rad används för variabelbytet. Ex Tabellen rad 3 används. Ex 5.40 Start men en partiell integration, därefter ett trick att lägga till och dra bort en etta. Detta ger bl.a. tillbaka den ursprungliga integralen.
13 TNA003 FÖ 12: Kap Litteraturkommentarer 6.1 Definition av bestämd integral Ex 6.1 Ett viktigt exempel som visar hur vi med hjälp av trappfunktioner (underoch övertrappor) kan beräkna arean mellan en kurva och x-axeln. Def. 6.1 Integral av trappfunktion Anm 1: Observera att om trappfunktionen har negativt värde i ett intervall så räknas motsvarande area som negativ då det gäller integralens värde. Anm 2: Definition: f ( x) dx 0. a a Def. 6.2 Integrerbarhet (Riemann) Observera Fig. 6.4, som visar den geometriska tolkningen av definition 6.2 Sats 6.1 Viktig! Anm : Definition: b a f ( x) dx f ( x) dx a b 6.2 Elementära integrationsregler Sats 6.2 Räknelagar Studera även beviskommentarerna till dessa. 6.3 Existens av integraler Sats 6.3 En monoton funktion är integrerbar. 2 Ex 6.3 Visar att cos xdx existerar. 0 Sats 6.4 En kontinuerlig funktion är integrerbar. 6.4 Samband mellan integraler och derivator Sats 6.5 Medelvärdessatsen för integraler. Anm: Studera beviset noggrant. Sats 6.7 Analysens huvudsats. Läs även beviset noggrant! Ex 6.7 Derivering med hjälp av huvudsatsen Sats 6.8 Insättningsformeln (Läs även beviset!) Ex 6.6 Tillämpning av insättningsformeln
14 Ex 6.7 Beräkning av en bestämd integral via insättningsformeln (efter partiell integration) Ex 6.8 Tillämpning: Effektivvärde av spänning. Sats 6.9 Partiell integration och insättningsformeln Sats 6.10 Variabelbyte och insättningsformeln. Observera att gränserna också skall bytas! Ex Bra exempel!
15 FÖ 13. Kap 6.5, 6.7 Litteraturkommentarer 6.5 Jämförelse mellan summor och integraler Läs den inledande texten sid noggrant. Där härleds de viktiga olikheterna (6.3) och (6.4) för en avtagande funktion via figurerna 6.10 a och b. Ex Visar hur olikheten (6.4) används. Övn 6.17 är väsentlig eftersom den tar upp motsvarande olikheter som (6.3) och (6.4) men för en växande funktion. 6.7 Generaliserade integraler Definition 6.6 Integral över obegränsat intervall. Vad menas med att en generaliserad integral är konvergent resp. divergent? Figur 6.13 illustrerar definition 6.6 Ex 6.16, 6.17, 6.18, 6.19 Bra exempel men skrivsättet med som ett tal i slutfasen av beräkningarna (insättningsformeln) är mindre lyckat! Gäller exempel 6.18 och Definition 6.7 Integral av obegränsad funktion Ex 6.20, Två exempel på generaliserade integraler med obegränsad funktion. Ex 6.22 och 6.23 Integralerna är generaliserade på mer än ett sätt! Hur gör man då? Exemplen visar detta.
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merSAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Läs merTeorifrå gor kåp
Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför
Läs merLäsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.
Läs merENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: tel ,
ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: Georgi.Tchilikov@ide.hh.se, tel.035-167124, http://www.hh.se/staff/getc Ett försök till "strukturering" av innehållet (skrivet i första hand med
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merTNA003 Analys I, 6 hp för ED, KTS, MT Kursinformation VT Kursansvarig: Sixten Nilsson,
TNA003 Analys I, 6 hp för ED, KTS, MT Kursinformation VT1-2017 Kursansvarig: Sixten Nilsson, sixten.nilsson@liu.se 1. Mål och innehåll Se studiehandboken 2. Kurslitteratur Forsling-Neymark Matematisk analys
Läs merViktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.
Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella
Läs merKOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK
KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK ELIN GÖTMARK MATS JOHANSSON INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Date: 3 augusti 202.
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs merLYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.
Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Det är viktigt att du inför tentan kan alla standardgränsvärden/derivator/primitiver utan till så att dessa inte stoppar dig på vägen mot
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs mer1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA2 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Fredagen den 3 januari 27 35-6722 Skrivtid: 5.-2. Inga hjälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt och skriv namn
Läs merLedtrå dår till lektionsuppgifter
Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt
Läs merEn Guide till hur man Pluggar för Tentan. 1 Hur man Läser Matte.
En Guide till hur man Pluggar för Tentan. 1 Hur man Läser Matte. Att läsa matte är en väldigt aktiv process. Det handlar inte om att bara skumma texten. Att läsa matte är att aktivt återskapa och internalisera
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 38 Repetition Lekt 16 Uppskatta (8.2) 1/3 genom att använda differentialer. Svara på bråkform.
Läs merTeorifra gor kap
Teorira gor kap. 5. 9.3 Repetition ) Härled ormeln ör partiell integration ur nedanstående samband: d F x g x = x g x + F x g x dx ) Vilken typ av elementär unktion brukar man otast välja att derivera
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merFörberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)
Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.10.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:
Läs merKap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts.
5B1103, Differential och integralkalkyl II, del 1. LÄSANVISNINGAR TILL R.A. ADAMS, CALCULUS, A COMPLETE COURSE, 4TH ED. OMFATTNING: kapitel 1.1 1.5, Appendix III, 2, 3.1 3.4, 3.5 till def. 13, 17.7 t.o.m.
Läs merEnvariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6
Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs mere x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 24 mars 29 Entydighet Om vi har ett polynom som approimerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna i
Läs merx 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7
TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merLösningsskisser för TATA
Lösningsskisser för TATA 26-3-3. Funktionen f() = + 3 2 ln( + 3 2 ) är definierad för alla R oc ar derivatan f () = 3 vilket ger följande teckentabell: 2 6 + 3 2 = 92 2 + 3 + 3 2 = 9( )( 3 ) + 3 2, 3 +
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merTentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Läs merLösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer
Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOCKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 4-5-7 Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer 7 maj 4, kl. 9:-4:. (a) Integralen
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist
Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.
TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös
Läs merÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merTMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.
TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 443 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 73 88 34 LMA33a Matematik BI Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merFörord till läraren. 1. Mer praktisk information
10 Förord till läraren Förord till studenten innehåller praktisk information om bokens uppbyggnad. Det gäller exempel, teknikproblem, bevis, dialoger, rekommenderade övningar, matematiska fortsättningar,
Läs merTATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merM0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 26 Integralkalkyl - Föreläsning
Läs merKapitel 5: Primitiva funktioner
Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs mer1 Primitiva funktioner
Primitiva funktioner Definition. F ( är en primitiv funktion till f( om F ( f(. Antag att vi har hittat en primitiv funktion F ( till f(. Finnsdetflerprimitivafunktionerochvilken form har de i så fall?
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merGränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003
Gränsvärden Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Innehåll Introduktion 3 2 Gränsvärden 4 2. Gränsvärden då går mot.................... 4 2.2 Gränsvärden då går mot a.....................
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs mer7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter
TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merLMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014
LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merFöreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018
Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1,
Läs mer6.2 Implicit derivering
6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta
Läs merx 1 1/ maximum
a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter
Läs merPlanering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5.
Avsnitt 1, Inledning ( Adams P1,P3,P4, P5) Genomgång och repetition av grundläggande begrepp. Funktion, definitionsmängd, värdemängd. Intervall. Olikheter. Absolutbelopp. Styckvis definierade funktioner.
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs mer5B1147 Envariabelanalys, 5 poäng, för E1 ht 2006.
Institutionen för Matematik, KTH, Olle Stormark. 5B1147 Envariabelanalys, 5 poäng, för E1 ht 2006. Detta är en grundläggande kurs i differential - och integralkalkyl för funktioner av en variabel. Enligt
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merTentamen SF e Januari 2016
Tentamen SF6 8e Januari 6 Hjälpmedel: Papper, penna. poäng per uppgift totalt poäng. Betg E är garanterat vid 6 poäng, betg D vid poäng, betg vid C poäng, betg B vid 8 poäng och betg A vid poäng. För de
Läs merFöreläsning 1. X kallas för funktionens definitionsmängd, mängden av funktionens alla värden kallas funktionens värdemängd.
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www.math.uu.se/ rikardo/ envariabelanalys/huvudsidor/index.html Funktioner En funktion f, från mängden
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet
Läs merPlanering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Läs merHär finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus) av en funktion då x går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition).
GRÄNSVÄRDEN OCH KONTINUITET Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus av en funktion då går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition. Definition. ( Cauchy Vi säger att funktionen
Läs merR AKNE OVNING VECKA 2 David Heintz, 13 november 2002
RÄKNEÖVNING VECKA 2 David Heintz, 3 november 22 Innehåll Uppgift 29.4 2 Uppgift 29. 3 3 Uppgift 29.2 5 4 Uppgift 3. 7 5 Uppgift 3. 9 6 Uppgift 3.2 Uppgift 29.4 Prove that ln( + x) x for x >, and that ln(
Läs merLedtrådar till lektionsuppgifter
Ledtrådar till lektionsuppgifter llmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt innehållet
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merlim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs mer