TNA003 Analys I för ED, MT, KTS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "TNA003 Analys I för ED, MT, KTS"

Transkript

1 TNA003 Analys I för ED, MT, KTS Litteraturkommentarer till föreläsningarna VT Sixten Nilsson

2 TNA003 FÖ 1: Kap Litteraturkommentarer 3.1 Gränsvärdesidén Skilj på de två typerna av gränsvärden. 0 Ex 3.1. Gränsvärde av typen x a. Exemplet visar att gränsvärden på formen 0 måste skrivas om innan själva gränsövergången (och därmed gränsvärdesberäkningen) kan göras. Någon formell beräkning görs dock inte i detta exempel, man utför endast ett resonemang av intuitiv karaktär då uttryckets gränsvärde tas fram. Ex 3.2. Gränsvärde av typen x. Observera att man i detta exempel inte gör en beräkning med en metod, snarare görs ett resonemang för att visa på vad som avses med ett gränsvärde av denna typ. Def Preliminära gränsvärdesdefinitioner. Lägg märke till de olika skrivsätten vid notationen av gränsvärdet. Läs dessa definitioner noggrant och jämför med illustrationerna i fig. 3.2 resp. fig. 3.3 samt texten sid Ex 3.3. Viktigt exempel som utgör grund för gränsvärden där nämnaren går mot (eller ) medan täljaren är konstant. Ex 3.4. Gränsvärdet är på formen, och ett sådant måste skrivas om före gränsövergången. Exemplet visar en generell metod som används då x eller x. Lägg märke till att man bryter ut den dominerande termen i täljare resp. nämnare. Efter förkortning görs till sist gränsövergången. Ex 3.5. Exempel där täljaren är begränsad medan nämnaren. Vi kan i detta fall göra en jämförelse med beräkningen i Ex 3.3. Ex 3.6. Tillämpning insvängningsförlopp. 3.2 Definitioner och räknelagar Def. 3.2 Gränsvärde då x a (både då gränsvärdet är ett ändligt tal A resp. gränsvärdet är ). Läs dessa definitioner med de preliminära definitionerna i kap 3.1 som bakgrund och ta figurerna 3.5 och 3.6 till hjälp för att få en bild av vad som menas. Ex 3.7. Visar hur man med gränsvärdesdefinitionen visar att lim x 2 4. OBSERVERA att vi i nästan alltid kommer att använda RÄKNEREGLER snarare än x2

3 att använda den teoretiska definitionen varje gång ett gränsvärde skall beräknas. Observera dock att man bevisar räknereglerna för gränsvärden så måste gränsvärdesdefinitionen användas (se t.ex. sid ). Def. 3.3 Gränsvärde då x (både då gränsvärdet är ett ändligt tal A resp. gränsvärdet är ). Def 3.3a illustreras i fig (Illustrationen av definition 3.3b motsvarar testövning 3.3). x Ex 3.9. Formellt bevis av att lim e 0. x Sats 3.1. Om f ( x) 0 då x a och g är begränsad, så är lim f ( x) g( x) 0. Observera även påpekandet på sid (Bevis sid. 134) Ex Visar en tillämpning av sats 3.1. xa Sats 3.2. Gränsvärdesberäkningar av summa, produkt och kvot. Dessa är självklart viktiga och kommer i princip att användas intuitivt. Observera den viktiga kommentaren kring villkoret att B 0 i sats 3.2c. (Satsen bevisas på sid. 134) f ( x) Ex Gränsvärden av typen lim och som visar vad som kan hända om både xa g ( x ) f (x) och g (x) går mot 0 då x a. Om B 0 i sats 3.2c så måste uttrycket skrivas om innan man drar slutsatser.

4 TNA003 FÖ 2: Kap 3.2 (forts) Litteraturkommentarer Sats 3.3. Instängningssatsen. Rita gärna en figur för att illustrera satsens innehåll. Observera även kommentaren direkt efter satsen. (Bevis sid. 135) Sats 3.4. Sammansättning. Ännu en naturlig sats. Under de givna förutsättningarna har vi att f ( g( x)) A då x a om den inre funktionen g( x) b då x a och den yttre funktionen f ( y) A då y b. Se även kommentaren efter satsen. (Satsen bevisas på sid. 135) 0 Ex Gränsvärde på formen 0. Efter faktorisering av täljare och nämnare kan vi förkorta och därefter göra gränsövergången. Försök att avgöra vilka räkneregler som används? Ex Gränsvärde på formen. Ett sådant kan inte bestämmas via en direkt gränsövergång utan behöver skrivas om först. I detta fall förlänger vi med konjugatuttrycket och bryter sedan ut det som dominerar i täljare resp. nämnare. Observera att vi här använder att försöka beräkna gränsvärdet då x 2 x x (ty x 0 här). Som övning kan du x istället (jfr testövning 3.9). Ex Visar hur man först kan göra ett VARIABELBYTE för att förenkla beräkningarna. Sedan använder vi en logaritmlag och bryter ut dominerande term och slutar med att använda en variant på Sats 3.4. Def. 3.4 Höger- och vänstergränsvärden. Försök att skapa dig en bild av vad som menas med dessa definitioner genom att t.ex. formulera preliminära definitioner ungefär som det gjordes i Def Observera kommentaren efter definitionen att lim f ( x) existerar om och endast om både höger- och vänstergränsvärde båda xa existerar och är lika. Ex Visar ett fall där både höger- och vänstergränsvärde existerar men är OLIKA. Alltså saknar funktionen gränsvärde då x 0. Studera punktlistan på sid. 133 och den efterföljande texten noggrant. Det kommer att ge dig en bra bild av vilka gränsvärden som är problematiska och varför de är det.

5 TNA003 FÖ 3: Kap 3.3 Litteraturkommentarer 3.3 Kontinuerliga funktioner Läs inledningen den ger en bra bild av varför det är väsentligt att i modeller använda kontinuerliga funktioner respektive funktioner som har diskontinuiteter. Def. 3.5 Vad menas med att en funktion är kontinuerlig i en punkt a? Var uppmärksam på andra notationssätt. Vad menas med att en funktion är diskontinuerlig i en punkt a? Vad menas med höger- respektive vänsterkontinuitet. Ex 3.16 Visar hur man kan definiera en funktion f i en viss punkt, a, så att f blir kontinuerlig där, genom att definiera f ( a) lim f ( x). Ex 3.17 Visar en intervallfunktion som är diskontinuerlig som är diskontinuerlig i en punkt. xa Ex 3.18 Visar att sin x är en kontinuerlig funktion. Ex 3.19 Visar att ln x är kontinuerlig Def 3.6 Definierar vad som menas med en kontinuerlig funktion. Sats 3.5 Inversen f 1 till en kontinuerlig funktion f är kontinuerlig förutsatt att f är strängt monoton och kontinuerlig på ett intervall. Ex 3.20, 3.21 Diskuterar kontinuitet hos elementära funktioner Sats 3.6 Alla elementära funktioner och kombinationer av dessa är kontinuerliga. Sats 3.7 Gränsvärde för sammansatt funktion Ex 3.23 och 3.24 visar hur sats 3.7 utnyttjas (i slutfasen av lösningen). Sats 3.8 Satsen om största och minsta värde. Observera förutsättningarna (f kontinuerlig på slutet och begränsat intervall). Observera att denna sats inte talar om hur vi finner största resp. minsta värde den bara anger att sådana värden finns (s.k. existenssats). Ex 3.25 Illustrerar hur viktigt det är att satsens förutsättningar är uppfyllda för att vi skall kunna dra slutsats. Sats 3.9 Ytterligare en existenssats: Satsen om mellanliggande värden. Observera även här förutsättningarna. Försök att illustrera hur det kan se ut om förutsättningarna inte är uppfyllda. Ex 3.27 Tillämpning av sats 3.9.

6 TNA003 FÖ 4: Kap 3.4, 3.5 Litteraturkommentarer 3.4 Standardgränsvärden. Sats 3.11 Memorera! Du måste dels veta vad gränsvärdena är samt känna igen dem i olika sammanhang. Bevisen har naturligtvis betydelse för din förståelse. Ex 3.28, Ex 3.29 Här ser du tillämpningar som kan vara betydelsefull motivationen! Ex Visar hur omskrivningar måste göras för att kunna använda standardgränsvärdena på ett korrekt sätt. Ex 3.31 Ytterligare en bra tillämpning! Sats 3.12 Ytterligare två viktiga standardgränsvärden Memorera! Sats 3.13 Fler standardgränsvärden! Observera villkoren på konstanterna! Gränsvärdena i denna sats ger oss den s.k. hastighetstabellen! Ex 3.33, Ex 3.34 Tillämpningar av gränsvärdena i Sats 3.13 Ex 3.35, Ex 3.36, Ex 3.37 Bra exempel som visar hur man bestämmer (sneda) asymptoter. Detta är väsentligt då man ritar kurvor. 3.5 Talföljder Studera inledningen sid så får du en god bild av vad som menas med talföljder. Hoppa inte över illustrationerna! Def 3.7 Konvergent respektive divergent talföljd Vad menas? Ex 3.40, Ex 3.41, Ex 3.42 Visar hur man avgör konvergens/divergens hos talföljd med givet uttryck för a n. Sats 3.14 Standardgränsvärden då n (Obs! n är heltal) Hatighetstabellen kan nu utökas (se sid 160). Ex 3.43 Tillämpning av Sats 3.43

7 TNA003 FÖ 5 6: Kap Litteraturkommentarer 4.1 Derivator Inledning. Ex 4.1 och Ex 4.2 är två bra inledande exempel som visar vad vi vill komma åt med hjälp av derivatan. 4.2 Derivata Definition. Def 4.1 Definition av deriverbarhet i en punkt x a. Definitionen kan skrivas på annat sätt vilket? Ex 4.3, Ex 4.4 Visar hur man med hjälp av definitionen bestämmer derivatan till en konstant funktion samt funktionerna cx, och skall memoreras! 2 cx och Ex 4.5 Tangent och normal till en kurva i en viss punkt. x. Resultaten är förstås viktiga Sats 4.1 En deriverbar funktion är kontinuerlig. Observera att omvändningen inte är sann (se t.ex. Ex 4.7) Def 4.2 Höger- och vänsterderivator Ex 4.8 studerar en funktion som är kontinuerlig men inte deriverbar eftersom den saknar både höger- och vänsterderivata i x Beräkning av derivator Satserna innehåller viktiga resultat! I de flesta fall måste du nog memorera resultaten för att kunna använda dem effektivt. Studera även exemplen som finns i samband med dessa satser Implicit derivering Ex 4.20, Ex 4.21 och Ex 4.22 visar vad som menas med detta och hur det kan användas.

8 TNA003 FÖ 7: Kap 4.4 Litteraturkommentarer 4.4 Några viktiga satser om derivator Sats 4.8 Knyter ihop derivator och monotonitet. Viktigt! Anmärkning 4.2 på sid. 197 är betydelsefull! Ex 4.24 Visar hur derivatan kan användas för att bestämma i vilka intervall som en funktion växer strängt resp. avtar strängt (monotonitet). Dessutom kan vi rita kurvan genom att göra ett par kompletterande beräkningar (i detta fall gränsvärdesberäkningar då x ). Ex 4.25 Ytterligare ett exempel där derivatan används för att bestämma växande/avtagande. Observera att funktionen inte är deriverbar i x 0. Varför inte? Definition 4.3 Vad menas med att en funktion har lokalt maximum/minimum i en punkt. Vad avses med lokal maximipunkt resp. lokal minimipunkt? Sats 4.9 Lokalt maximum/minimum i en punkt där funktionen är deriverbar innebär att derivatan i punkten = 0 (punkten är en s.k. stationär punkt). Studera även texten efter Sats 4.9! Sats 4.10 Medelvärdessatsen. En mycket central sats som är utgångspunkten för att kunna bevisa den mycket användbara Sats 4.8 ovan. Observera, som vanligt, förutsättningarna i satsen! Du bör även fundera ut situationer (grafiskt) som visar att slutsatsen inte säkert kan dras om du tar bort ett villkor i taget. Prova alltså med att låta f vara c a, b a, b. diskontinuerlig i en punkt eller att f inte är deriverbar någon punkt i Sats 4.11 Rolles sats. Behövs till beviset av medelvärdessatsen. Ex 4.26 Visar hur medelvärdessatsen kan användas för att göra feluppskattning.

9 TNA003 FÖ 8: Kap 4.5, 4.6 Litteraturkommentarer 4.5 Användning av derivator Kurvritning Ex 4.27 Ett utmärkt exempel! Sid 211: Definitioner av olika typer av asymptoter Viktigt! Ex 4.28 Ett brett exempel som bl.a. visar hur vi kan finna lodräta och sneda asymptoter. Anmärkning 4.3 på sidan 209 diskuterar ett alternativt sätt att finna sneda asymptoter om f är en rationell funktion. Största och minsta värde Ex 4.29 Visar hur man går tillväga då man skall finna största (minsta) värde för en storhet och där du själv måste ställa upp en relevant funktion som anger hur denna storhet varierar. (Jämför med checklistan för Extremvärdesproblem från Fö 8) Sats 4.30 Visar bl.a. hur viktigt det är att studera funktionen på HELA definitionsområdet innan slutsatser om största och minst värde kan dras. Olikheter Ex 4.31 Visar att vissa olikheter löses genom att vi gör funktionsstudium (som vanligt). Antal rötter till en ekvation Ex 4.32 Ytterligare ett exempel där vi gör funktionsstudium! 4.6 Högre derivator Ge akt på hur andraderivatan definieras med hjälp av ett liknande gränsvärde som då vi definierar förstaderivatan. Observera också att det finns flera olika beteckningar för högre derivator. Ex 4.33 En tillämpning som visar att acceleration är andraderivatan av sträckan. Sats 4.12 Andraderivatans användning för att avgöra lokala extrempunkters karaktär. OBSERVERA punkterna under satsens formulering sid. 220! Konvexa och konkava funktioner. Studera figurerna sid 218 så förstår du lättare vad som avses med konvex/konkav funktion. En formell definition har du i Def 4.4 sid 218. Sats 4.13 och följdsatsen sid. 220 är användbara för att avgöra konvexitet/konkavitet. Inflexionspunkter tas ibland fram för att ytterligare precisera kurvritningen. Se även Ex 4.35.

10 TNA003 FÖ 9: Kap Litteraturkommentarer 5.1 Elementära primitiva funktioner Sats 5.2 Standardprimitiver Memoreras! Du bör även fundera på och reda ut hur standardprimitiverna (d) (h) blir om du byter x mot kx, där k är en lämplig konstant. (k) inses genom derivering av högerledet. Sats 5.3: (a) och (b) följer av motsvarande deriveringsregler. I (c) har vi att täljaren = nämnarens derivata, vilket just ger den primitiva funktionen ln f ( x) C. Ex bör studeras noggrant! 5.2 Integrationsmetoder Sats 5.4 Partiell integration. Memorera formeln på något bra sätt. Du bör klara av att bevisa denna sats! Ex 5.8 Ett inledande exempel på partiell integration Ex 5.9 Visar att vi ibland multiplicerar med ett och utför sedan partiell integration med hjälp av talet 1 (som integreras i HL!). Ex 5.10 Visar att vi ibland måste integrera partiellt flera gånger (i detta fall två ggr). Ex 5.11 Alternativ 1: Den ursprungliga integralen dyker upp igen efter den andra partiella integrationen. Hur gör vi då? Alternativ 2: Lösning med komplexa tal Alternativ 3: Lösning via en s.k. ansats, d.v.s. vi gör en gissning hur den primitiva funktionen bör vara uppbyggd. Ex 5.12 Ett varnande exempel som visar på hur viktigt det är att inse att f ( x) dx inte är entydigt bestämd (vi får ju en konstant då vi finner den primitiva funktionen uttryckt i elementära funktioner). Sats 5.5 Variabelbyte Läs beviset noggrant! Ex Några bra exempel där variabelsubstitution är en framkomlig väg för att finna den primitiva funktionen.

11 TNA003 FÖ 10: Kap 5.3 Litteraturkommentarer 5.3 Integration av rationella uttryck Ex 5.18 Linjär nämnare, täljaren konstant. Vi får en logaritm. Ex 5.19 Nämnaren på formen a, 1 1 t regeln t dt C eftersom 1. 1 x och täljaren konstant. Vi använder Ex 5.20 Nämnaren kvadratkompletteras (men kan inte faktoriseras ytterligare). Därefter görs variabelbytet y x 1, vilket leder fram till en logaritm och en arcustangens. Ex 5.21 Eftersom nämnarens derivata innehåller x är det gynnsamt med det använda variabelbytet. Checklistan sid. 252 är naturligtvis viktig! Punkt 3 mynnar ut i partialbråksuppdelning vilket beskrivs vidare på sid Du måste här lära dig hur en korrekt ansats för partialbråksuppdelningen skall göras i olika fall. Detta finns i tabellen på sid. 252 Den är mycket viktig! Ex 5.22 Nämnaren faktoriserad och innehåller bara förstagradsfaktorer. Ex 5.23 Nämnaren innehåller både en förstagradsfaktor och en andragradsfaktor Ex 5.24 Nämnaren innehåller en förstagradsfaktor upphöjd till två och en annan förstagradfaktor (upphöjd till 1). Ex 5.25 Täljaren har inte lägre grad än nämnaren. Det innebär att man börjar med att polynomdividera. Därefter faktoriseras nämnaren. Nu är f (x) på formen polynom + rationellt uttryck med täljarens grad lägre än nämnarens. Polynomet är lätt att integrera, det sista uttrycket måste partialbråksuppdelas före integrationen. OBSERVERA påpekandet efter Ex 5.25 att vi MÅSTE ha täljarens grad lägre än nämnarens för att partialbråksuppdelning skall fungera! Ex 5.26 och 5.27 visar hur man med s.k. handpåläggning kan bestämma vissa konstanter. Det är dock viktigt att påpeka att detta alltså inte fungerar för all konstantbestämning vid partialbråksuppdelning. Ex 5.29 Visar hur illa det går om ansatsen är felaktig!

12 TNA003 FÖ 11: Kap Litteraturkommentarer 5.4 Integration av trigonometriska uttryck Ex 5.31 Visar att vi, efter en omskrivning, kan använda ett naturligt variabelbyte i enlighet med Sats 5.5. Ex 5.32 Som i föregående exempel kan vi göra ett variabelbyte (efter omskrivning). Detta mynnar ut i ett rationellt uttryck som först måste partialbråksuppdelas före integrationen. Ex 5.33 Efter en (enkel) omskrivning kan vi integrera direkt. Ex 5.34 Visar hur vi, efter omskrivning med Eulers formler, lätt kan finna den primitiva funktionen. Ex 5.35 Variabelbytet y tan x överför integranden till ett rationellt uttryck. 2 Detta hanteras på sedvanligt sätt. Observera att med detta variabelbyte får vi 2 2 y sin x 2 1 y, 1 y 2 cosx och 1 y 2 dx dy. 2 1 y 5.5 Integration av rotuttryck Observera de två standardprimitiverna i inledningen sid. 266! Ex 5.36 Efter kvadratkomplettering av uttrycket under rotuttrycket i nämnaren och variabelbytet y x 1, får vi två integraler, där den första är relativt enkel medan den andra innebär att vi måste använda en standardprimitv (se även sats 5.2). Ex 5.37 Partiell integration med hjälp av en etta ger oss så småningom tillbaka den ursprungliga integralen. Detta löses på sedvanligt sätt. Tabellen sid. 267 visar några möjligheter till variabelbyten då vi skall integrera rotuttryck. Syftet med variabelbytet är att bli av med rotuttrycket. Ex 5.38 Tabellens (sid. 267) första rad används för variabelbytet. Ex Tabellen rad 3 används. Ex 5.40 Start men en partiell integration, därefter ett trick att lägga till och dra bort en etta. Detta ger bl.a. tillbaka den ursprungliga integralen.

13 TNA003 FÖ 12: Kap Litteraturkommentarer 6.1 Definition av bestämd integral Ex 6.1 Ett viktigt exempel som visar hur vi med hjälp av trappfunktioner (underoch övertrappor) kan beräkna arean mellan en kurva och x-axeln. Def. 6.1 Integral av trappfunktion Anm 1: Observera att om trappfunktionen har negativt värde i ett intervall så räknas motsvarande area som negativ då det gäller integralens värde. Anm 2: Definition: f ( x) dx 0. a a Def. 6.2 Integrerbarhet (Riemann) Observera Fig. 6.4, som visar den geometriska tolkningen av definition 6.2 Sats 6.1 Viktig! Anm : Definition: b a f ( x) dx f ( x) dx a b 6.2 Elementära integrationsregler Sats 6.2 Räknelagar Studera även beviskommentarerna till dessa. 6.3 Existens av integraler Sats 6.3 En monoton funktion är integrerbar. 2 Ex 6.3 Visar att cos xdx existerar. 0 Sats 6.4 En kontinuerlig funktion är integrerbar. 6.4 Samband mellan integraler och derivator Sats 6.5 Medelvärdessatsen för integraler. Anm: Studera beviset noggrant. Sats 6.7 Analysens huvudsats. Läs även beviset noggrant! Ex 6.7 Derivering med hjälp av huvudsatsen Sats 6.8 Insättningsformeln (Läs även beviset!) Ex 6.6 Tillämpning av insättningsformeln

14 Ex 6.7 Beräkning av en bestämd integral via insättningsformeln (efter partiell integration) Ex 6.8 Tillämpning: Effektivvärde av spänning. Sats 6.9 Partiell integration och insättningsformeln Sats 6.10 Variabelbyte och insättningsformeln. Observera att gränserna också skall bytas! Ex Bra exempel!

15 FÖ 13. Kap 6.5, 6.7 Litteraturkommentarer 6.5 Jämförelse mellan summor och integraler Läs den inledande texten sid noggrant. Där härleds de viktiga olikheterna (6.3) och (6.4) för en avtagande funktion via figurerna 6.10 a och b. Ex Visar hur olikheten (6.4) används. Övn 6.17 är väsentlig eftersom den tar upp motsvarande olikheter som (6.3) och (6.4) men för en växande funktion. 6.7 Generaliserade integraler Definition 6.6 Integral över obegränsat intervall. Vad menas med att en generaliserad integral är konvergent resp. divergent? Figur 6.13 illustrerar definition 6.6 Ex 6.16, 6.17, 6.18, 6.19 Bra exempel men skrivsättet med som ett tal i slutfasen av beräkningarna (insättningsformeln) är mindre lyckat! Gäller exempel 6.18 och Definition 6.7 Integral av obegränsad funktion Ex 6.20, Två exempel på generaliserade integraler med obegränsad funktion. Ex 6.22 och 6.23 Integralerna är generaliserade på mer än ett sätt! Hur gör man då? Exemplen visar detta.

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: tel ,

ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: tel , ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: Georgi.Tchilikov@ide.hh.se, tel.035-167124, http://www.hh.se/staff/getc Ett försök till "strukturering" av innehållet (skrivet i första hand med

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Det är viktigt att du inför tentan kan alla standardgränsvärden/derivator/primitiver utan till så att dessa inte stoppar dig på vägen mot

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

En Guide till hur man Pluggar för Tentan. 1 Hur man Läser Matte.

En Guide till hur man Pluggar för Tentan. 1 Hur man Läser Matte. En Guide till hur man Pluggar för Tentan. 1 Hur man Läser Matte. Att läsa matte är en väldigt aktiv process. Det handlar inte om att bara skumma texten. Att läsa matte är att aktivt återskapa och internalisera

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts.

Kap. P. Detta kapitel utgör Inledande kurs i matematik. I kapitlet beskrivs vilka bakgrundskunskaper som förutsätts. 5B1103, Differential och integralkalkyl II, del 1. LÄSANVISNINGAR TILL R.A. ADAMS, CALCULUS, A COMPLETE COURSE, 4TH ED. OMFATTNING: kapitel 1.1 1.5, Appendix III, 2, 3.1 3.4, 3.5 till def. 13, 17.7 t.o.m.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Förord till läraren. 1. Mer praktisk information

Förord till läraren. 1. Mer praktisk information 10 Förord till läraren Förord till studenten innehåller praktisk information om bokens uppbyggnad. Det gäller exempel, teknikproblem, bevis, dialoger, rekommenderade övningar, matematiska fortsättningar,

Läs mer

Kapitel 5: Primitiva funktioner

Kapitel 5: Primitiva funktioner Kapitel 5: Primitiva funktioner c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Primitiva funktioner är motsatsen till derivata. Att integrera är motsatsen till att derivera. Definition F är primitiva funktion till

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003

Gränsvärden. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Gränsvärden Joakim Östlund Patrik Lindegrén Pontus Nyrén 4 december 2003 Innehåll Introduktion 3 2 Gränsvärden 4 2. Gränsvärden då går mot.................... 4 2.2 Gränsvärden då går mot a.....................

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

1 Primitiva funktioner

1 Primitiva funktioner Primitiva funktioner Definition. F ( är en primitiv funktion till f( om F ( f(. Antag att vi har hittat en primitiv funktion F ( till f(. Finnsdetflerprimitivafunktionerochvilken form har de i så fall?

Läs mer

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.

Läs mer

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5.

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5. Avsnitt 1, Inledning ( Adams P1,P3,P4, P5) Genomgång och repetition av grundläggande begrepp. Funktion, definitionsmängd, värdemängd. Intervall. Olikheter. Absolutbelopp. Styckvis definierade funktioner.

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

Meningslöst nonsens. November 19, 2014

Meningslöst nonsens. November 19, 2014 November 19, 2014 Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar? Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar?

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir Avsnitt, Integraler 6b Beräkna integralen 4 + 3 Integranden är en rationell funktion som vi kan skriva som 4 + 3. 4 3 + 3 + 3. Vi delar upp integralen i två delar och integrerar delarna var för sig, 4

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3, MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA151 Envariabelkalkyl, TEN1 Datum: 014-1-04

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform. Kap 4.8 4.9. Taylors formel, Lagranges restterm, stort ordo, entydigheten, approimationer, uppskattning av felet, Maclaurins formel, l'hospitals regel. 60. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

RIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim.

RIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim. RIEMANNSUMMOR Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. Den bestämda integralen definieras med hjälp av ä ä, ; lim. Om funktionen har en elementär primitivfunktion då är insättningsformeln (Newton-

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08 Tentamen i Matematik DD-DP08 (Kursnummer HF90) 2009-03-2, kl. 3:5-7:00 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Svaren ska alltid förkortas

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

8.4. Integration av trigonometriska uttryck

8.4. Integration av trigonometriska uttryck 68 8 PRIMITIVA FUNKTIONER 8.4. Integration av trigonometriska uttryck Exempel 8.. Bestäm sin 3 x + cos x dx. Trigonometriska ettan tillsammans med ett variabelbyte ger sin 3 x cos + cos x dx = x ( cos

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1 Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer Carl-Henrik Fant E-post: carl-henrik.fant@chalmers.se Tel: 772 35 57 Kontor: L3037 i matematikhuset, Johanneberg Kursinnehåll i stora drag Funktioner

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER 3 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f ()

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

KURSPROGRAM TILL KURSEN DIFFERENTIAL- OCH INTEGRALKALKYL II: 5B1106, DEL 1, FÖR F, HT 2001

KURSPROGRAM TILL KURSEN DIFFERENTIAL- OCH INTEGRALKALKYL II: 5B1106, DEL 1, FÖR F, HT 2001 INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK Per Sjölin KURSPROGRAM TILL KURSEN DIFFERENTIAL- OCH INTEGRALKALKYL II: 5B1106, DEL 1, FÖR F, HT 2001 Kursledare: Per Sjölin, rum 3632, Lindstedtsvägen 25, tel 790 7204, pers@math.kth.se.

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.

Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket. Institutionen för Matematik SF625 Envariabelanalys Läsåret 27-28 Lars Filipsson Modul 5: Integraler Denna modul handlar om integraler. Det slås fast i en precis definition vad som menas med att en funktion

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

2.5 Partiella derivator av högre ordning.

2.5 Partiella derivator av högre ordning. 2.3 Kedjeregeln Pass 4 Antag att: 1. funktionen f( x) = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )) är dierentierbar i N R n ; 2. funktionen g( t) = (g 1 (t 1, t 2,..., t p ),..., g n (t 1,

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1) Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 0 p STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/0 00: Genomgånget på föreläsningarna - 5. Om kursen. Vi gick först igenom lite om kursen: Två redovisningsuppgifter

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer