Om konvergens av serier
|
|
- Roland Ek
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie är konvergent eller inte. Vi inför också begreppen absolutkonvergent och betingat konvergent och visar att i det senare fallet kan man få vilken summa man vill om man bara ändrar summationsordningen (Riemanns omordningssats).
2 Om konvergens av serier () Introduktion Den geometriska serien är en utomordentligt viktig serie, men långt ifrån den enda. Har vi en oändlig talföljd { } så definierar summan av dem serien s = a 0 + a + a =. En sådan behöver inte konvergera, d.v.s definiera ett tal. I det här kapitlet ska vi titta närmare på någrriterier på talen för att serien skonvergera och i anslutning till det formulera och bevisa några användbara satser. Ett villkor för konvergens är nästan självklart: termerna måste gå mot noll, 0 då k. Men det räcker långt ifrån att det är uppfyllt för att vi skonvergens! Men för att kunna diskuteronvergens ordentligt måste vi använda de reella talens viktigaste egenskap att de är fullständiga. Det innebär att om vi närmar oss en punkt på den reella axeln så finns det verkligen ett reellt tal i den punkten. 2 Konvergensens reella fundament Vi vet vad vi menar med att a n a då n, nämligen att oavsett hur litet vi väljer ɛ > 0 så finns ett N sådant att a n a < ɛ då n N. Vi säger då att talföljden { } är konvergent och dess gränsvärde är a. Exempel Eftersom vi behöver resultatet nedan, låt oss bevisa att om a > 0 så gäller att n a =. För det skriver vi lim n a = + hn a = ( + h n ) n > nh n, där h n > 0. Sista olikheten följer t.ex. ur binomialsatsen. Men det betyder att 0 < h n < a/n och då n följer att h n 0. Därmed är påståendet visat. Att serien konvergerar betyder att det finns ett tal s sådant att partialsummorna s n = s då n. Så långt definitionerna. Det vi behöver nu är att det finns tillräckligt många reella tal. Det brukar formuleras som axiomet om övre gräns, eller supremumaxiomet, som innebär att
3 Om konvergens av serier 2 () En uppåt begränsad delmängd S av reella tal har en minsta övre begränsning, som kallas supremum av S och betecknas sup S. På motsvarande sätt har en nedåt begränsad delmängd S av reella tal en största nedre begränsning, som infimum av S och betecknas inf S. Ur detta följer nu två för oss viktiga observationer: a) en växande, uppåt begränsad, talföljd är konvergent, och b) talföljden a n är konvergent om och endast om a n a m 0 då n, m. Det sista formuleras ofta som att {a n } är en Cauchyföljd och innebär att vi inte måste veta vad en följd konvergerar mot för att kunna bevisa att den är konvergent. För en serie k innebär det att den konvergerar om och endast om 0 då n, m En mer ingående diskussion om de reella talen och axiomet om övre gräns finns i kapitlet Om de reella talen. 3 Absolutkonvergens och alternerande serier Om serien s = består endast av termer som är 0, så gäller att partialsummorna bildar en växande talföljd, vilket betyder att antingen konvergerar serien eller så är s =. Det betyder inte att det nödvändigtvis är lätt att avgöra om en viss positiv serie är konvergent eller inte. Ett trick är att se om man kan hitta tal b k om vilka man vet att serien k b k är konvergent och är sådana att 0 b k. I så fall måste k varonvergent. Man kan också hitta nedre begränsning för att visa att serien är divergent. Exempel 2 Den harmoniska serien s = k är divergent. Dettan vi se genom att om s vore ett positivt tal skulle vi ha att s = ( 2k + 2k ) > ( 2k + 2k ) = s 2 + s 2 = s. Detta ger en motsägelse, och alltså är s = och serien divergent.
4 Om konvergens av serier 3 () Sats (Leibniz) Om talföljden { } är avtagande och lim a n = 0, så gäller att den alternerande serien ( ) k är konvergent. Bevis. Låt s n beteckna partialsummorna. Då gäller att s 2n+2 = s 2n + (a 2n+2 a 2n+) s 2n eftersom a 2n+ a 2n+2. Det följer att talföljden {s 2n } n=0 är avtagande och konvergerar därför mot ett tal A eller. På samma sätt ser vi att s 2n+ = s 2n + (a 2n a 2n+ ) s 2n, så talföljden {s 2n+ } n=0 är växande och konvergerar mot ett tal B eller. Men vi har att s 2n+ = s 2n a 2n+ och om vi nu låter n följer att B = A 0 eftersom termerna går mot noll. Gränsvärdet är alltså detsamma för de två talföljderna, vilket medför att partialsummorna konvergerar mot ett ändligt tal. Exempel 3 Den alternerande harmoniska serien ( ) k+ konvergerar enligt Leibniz sats. Däremot konvergerar inte serien ( ) k. Visserligen konvergerar de jämna och udda partialsummorna var för sig som i satsen, men termerna går inte mot noll. De jämna partialsummornonvergerar mot 0 eftersom de alltid är 0, och de udda mot, eftersom de alltid är det. Dessa är inte lika eftersom termerna i summan inte går mot noll. Vi inför nu en definition. Definition Serien sägs vara absolutkonvergent om serien är konvergent. Sats 2 En absolutkonvergent serie är konvergent. Bevis. Sätt s n = n. Om n > m gäller då att s n s m = + k + och eftersom antas konvergent följer att detta går mot noll då n, m. Det följer att {s n } är en Cauchy-svit och alltså konvergerar.,
5 Om konvergens av serier 4 () Men omvändningen gäller inte: en serie kan varonvergent utan att var absolutkonvergent. Ett enkelt exempel har vi ovan med den alternerande harmoniska serien. Den är ju konvergent, men motsvarande serie av absolutbelopp är den harmoniska serien, och den är divergent. Definition En serie som är konvergent men inte absolutkonvergent sägs vara betingat konvergent. Vi ska strax se att det finns en väsentlig skillnad mellan serier som är absolutkonvergenta och de som endast är betingat konvergenta i det att för absolutkonvergenta serier kan man summera termerna som man vill, medan man för betingat konvergenta serier kan få olika resultat. Leibniz sats ovan är egentligen endast ett specialfall av en mer allmän sats. För att formulera bevisa den behöver vi följande ofta använda omskrivning. Lemma (Partialsummation) Om { } och {b k } är två talföljder och vi skriver s k = n, så gäller för n > m 0 att där vi satt s = 0. b k = s n b n s m b m + n s k (b k b k+ ), Anmärkning Denna formel svarar mot partialintegration inom integrationsteorin. Mer precist svarar summorna k s k mot den primitiva funktionen till k, medan derivatan är de enskilda termerna. För att förstå det bättre ska man tänka på partialsummorna till en serie som som integralen av en styckvis konstant funktion. Vi återkommer till det längre fram i denna artikel. Beviset är en enkel räkning: vänsterledet är lika med b k (s k s k ) = s k b k n s k b k+ = n s k (b k b k+ ) + s n b n s m b m. Om vi nu antar att s n M för alla n och att b n är en avtagande svit av positiva tal så gäller att n n s k (b k b k+ ) M (b k b k+ ) = M(b b n ) Mb. Det följer att serien k s k(b k b k+ ) är konvergent. Om vi vidare antar att b n 0 då n, så gäller att s n b n 0 och summan k b k är konvergent. Vi har visat Sats 3 Om den oändliga serien k har begränsade partialsummor och {b n } är en avtagande svit av reella tal som går mot noll, så gäller att serien k b k är konvergent. Exempel 4 Med a n = ( ) n har vi att s n och vi får Leibniz sats om alternerande serier som en konsekvens.
6 Om konvergens av serier 5 () 4 Rot- och kvotkriterierna för konvergens När man ska undersökonvergens av en talföljd är det ibland bekvämt att använda några relaterade begrepp som alltid finns, även när talföljden inte konvergerar. Vitsen med dem är att de tillsammans försöker mäta hur nära det är att talföljden konvergerar. Låt { } vara en godtycklig talföljd. Delföljden a n, a n+,... är då en annan talföljd och vi kan bestämma dess supremum och infimum: M n = sup, k n m n = inf k n. Dessa är då nya talföljder, och vi har hela tiden att m n a n M n. Men dessutom gäller att {M n } är en avtagande talföljd, och {m n } en växande talföljd. Det följer att gränsvärdena lim sup a n = lim M n, lim inf a n = lim m n existerar, om vi tillåter värdena ±. Ett ögonblicks eftertanke visar nu att Exempel 5 Vi ser att a n konvergerar lim inf a n = lim sup a n. lim sup ( ) n = och lim inf ( )n =, så talföljden ( ) k är inte konvergent. Den ytterligare information vi får är att nära oändligheten oscillerar talföljden mellan ±. Det är i denna mening som limes superior och inferior ger information om hur långt ifrån det är att en talföljd är konvergent. En stunds eftertanke visar följande. Om M = lim sup a n, så finns det till varje ɛ > 0 finns ett N sådant att a n < M + ɛ då n N. I ord, varje tal större än M är till slut en övre begränsning för sviten. Endast ändligt många a n är större än M + ɛ. På samma sätt gäller att om m = lim inf a n så finns till ett godtyckligt ɛ > 0 ett N sådant att a n > m ɛ då n N, dvs endast ändligt många a n är mindre än m ɛ. Följande lemma är viktigt i diskussioner kring konvergens av serier. Lemma 2 För varje svit a positiva tal {a n } gäller att lim inf a n+ a n lim inf n an lim sup n an lim sup a n+ a n.
7 Om konvergens av serier 6 () Bevis. Mittolikheten är alltid giltig och de två övriga bevisas på liknande sätt. Vi nöjer oss med den högra. Antag att uttrycket längst till höger är ändligt och kalla det M. Till varje ɛ > 0 finns då ett N sådant att 0 < a n+ /a n < M + ɛ då n N. För n > N gäller då att a n = a N an+ an+2 a n... < a N (M + ɛ) n N. a N a N+ a n Drar vi n:te roten ur det får vi att n an < n a N (M + ɛ) N (M + ɛ) < M + 2ɛ om bara n är tillräckligt stort. Detta därför att n a när a > 0. Det följer att lim sup n an M + 2ɛ för varje ɛ > 0. Det följer att lim sup n a n M, vilket bevisar påståendet. Låt vara en svit positiva tal. Följande två satser är ofta användbara för att avgöra om serien k är konvergent eller inte. Sats 4 (Rot-testet eller Cauchys kriterium) Serien k av positiva termer är a) konvergent om lim sup k k <, och b) divergent om lim sup k k >. Bevis. Sätt β = lim sup k k och antag först att β <. Till varje r sådant att β < r < finns då ett N sådant att k r då k N. Det följer att r k och alltså att serien k är absolutkonvergent. Om β > kan vi ta < ρ < β och har då att k ak > ρ för oändligt många indices k, och alltså att > ρ k då k. Sats 5 (Kvot-testet eller d Alemberts kriterium) Serien k av positiva termer a) konvergerar om lim sup k + b) divergent om lim inf k + >. Beviset är nästan identiskt med det ovan. Exempel 6 Serien <, och konvergerar för alla a > 0. Med = /k! har vi nämligen att + / = a/(k + ) 0 då k. Exempel 7 För serien gäller att + k k = ( k + )p, k p = e p(ln k)/k då k. För bådriterierna får vi alltså gränsvärdet ett, och det fallet säger satserna ingenting om. Vi kan därför inte avgöra om vi har konvergens eller inte med hjälp av dessriterier i detta fall. k! k p
8 Om konvergens av serier 7 () 5 Riemanns omordningssats Om vi har en konvergent serie s =, är det då självklart att vi får samma summa om vi summerar termerna i en annan ordning? För att utreda det behöver först precisera vad vi menar med att summera termerna i en annan ordning. Man kan beskriva en annan ordning av de naturliga talen N, alltså 0,, 2,..., genom att definiera en bijektiv funktion σ : N N. Om N vore en ändlig mängd skulle en sådan definiera en permutation, alltså ett sätt att räkna upp mängden, så vårt σ definierar en permutation av den oändliga mängden N. Frågan är då om det gäller att serien också summerar sig till s. a σ(k) = a σ(0) + a σ() +... Vi kan börja med att konstatera att så är fallet om alla termer är positiva. Detta inses nog lättast genom att man tänker efter, men en mer matematisk förklaring är som följer. Till varje n kan vi ta ett N så stort att mängden {0,,..., n} är innehållen i {σ(k)} N, och får då de två olikheterna. Låter vi n följer att N a σ(k) s. = N a σ(k). I ord: om termerna är positiva spelar det ingen roll i vilken ordning vi summerar dem, resultatet blir alltid detsamma. Frågan är vad som gäller i allmänhet. För att utreda det ska vi titta på de positiva och de negativa termerna för sig. Inför därför a + k = max(, 0) = + 2 Då gäller att dessa tal är 0 och att = a + k a k., a k = max(, 0) =. 2 Här ser vi att om s = k är absolutkonvergent, så konvergerar de båda positiva serierna s + = k a+ k och s = k a k och vi har att s = s + s. Men för s + och s gäller att summationsordningen inte spelar någon roll, så då spelar den ej heller någon roll för s. Vi har alltså Sats 6 För en absolutkonvergent serie spelar summationsordningen ingen roll. Men om k endast är betingat konvergent, så att k =, så divergerar både s + och s. Vi får därför att s =, vilket är odefinierat. Faktum är att man kan vilket tal man vill här.
9 Om konvergens av serier 8 () Sats 7 (Riemanns omordningssats) Om k är betingat konvergent kan man genom att summera termerna i lämplig ordning få serien att anta vilket värde som helst. Bevis. Säg att vi vill att summan ska bli lika med b, som vi först antar är positivt. Då finns ett p sådant att p p a + k b a + k, vilket går, eftersom s + är divergent. Kasta de termer som är noll och definiera σ så att värdena av de första heltalen är just indexen för de positiva termerna. Härigenom ar vi fått en summa m a σ(k) > b. Subtrahera sedan tillräckligt många av termerna i början av s från denna summa, så att totalsumman blir < b. Sedan utökar vi definitionen av σ genom att lägga till motsvarande termer. Sedan tar vi termer från den del av s + som är kvar, tills vi åter kommer över b och utökar σ ytterligare. Därefter subtraherar vi på motsvarande sätt en delsumma av s, och så vidare. På detta sätt bygger vi upp en permutation σ som är sådan att partialsummorna ligger omväxlande över och under b. Vi ser att varje gång vi passerar b-nivån så gör vi det med högst a + k eller a k för index k som bara blir större och större. Men eftersom vi antagit att k konvergerar vet vi att 0 då k, och det följer att a σ(k) M då n. Detta bevisar satsen. Exempel 8 Låt s beteckna den alternerande harmoniska serien och betrakta följande omordning av den: t = Låt s n, t n beteckna motsvarande partialsummor och låt σ n = n /k vara partialsummorna till den harmoniska serien. Då gäller att s 2n = σ 2n σ n och t 3n = n n = σ 4n 2 σ 2n 2 σ n = s 4n + 2 s 2n. Låter vi n ser vi att t = 3s/2, så genom att ändra summationsordningen har vi ändrat seriens värde, som Riemanns omordningssats säger ska hända. 6 Lite om dubbelsummor Beteckningen N
10 Om konvergens av serier 9 () innehåller egentligen mycket mer komplicerade summor i det att vi med hjälp av den kan definiera en summa i I a i där I är en godtycklig uppräknelig mängd. T.ex. kan vi definiera dubbelsumman j, härigenom. Det vi har här är en rektangulärt schema av tal a jk a a 2 a 3... a 2 a 22 a och det vi vet från ovan är att om summan är absolutkonvergent, alltså... a jk j, konvergerar för någon uppräkning av talparen (och då för alla uppräkningar av talparen), så konvergerar dubbelsumman med samma resultat oberoende av i vilken ordning vi räknar upp talparen. Från det följer att om serien är absolutkonvergent så gäller att. a jk = j, ( a jk ) = j= ( a jk ). j= Exempel 9 Om och b k båda är absolutkonvergenta, så gäller att ( )( b k ) = c k, c k = k a j b k j. Vi har nämligen att produkten är lika med dubbelsumman a j b k j, som är absolutkonvergent (ty serien med absolutbelopp är produkten av de två absolutserierna) och alltså kan summeras på diagonalen: a j b k = j, k ( a j b k j ). Faktum är att det räcker att den ena av serierna här är absolutkonvergent. Sats 8 (Merten) Om och b k bådonvergerar och den första är absolutkonvergent, så gäller att ( )( b k ) = c k, där c k = k a j b k j.
11 Om konvergens av serier 0 () Bevis. Skriv Då gäller att A n =, B n = b k, R n = b k. k=n+ k c k = a j b k j = a j B n j = A n B a j R n j. Men R n 0 så till varje ɛ > 0 finns ett N sådant att [R n < ɛ då n N. Vi har då att n N a j R n j a j R n j + j=n N+ a j R n j ɛ Eftersom a n 0 då n följer att a j R n j ɛ( + ) n + j=n N+ a j R n j. och eftersom k antas absolutkonvergent följer att vänsterledet går mot noll då n. Detta visar satsen. 7 Om summor och integraler Vi kan geometriskt åskådliggöra en summa som en area. Mer precist kan vi åskådliggöra summan som arean av de n m + rektanglarna med bas och höjder såsom illustreras i figuren till höger. Om vi därför definierar en trappfunktion (alltså en sträckvis konstant funktion) genom f(x) = då k < x k (plus att vi kan sätta f(m ) = a m ), så har vi alltså att n m f(x)dx =. Detta ger oss direkt metoder att uppskatta summor med hjälp av integraler. Exempel 0 För att uppskatta summan kan vi notera som i figuren till höger att k 2 k=2 s = k 2 dx x 2 k. 2
12 Om konvergens av serier () Eftersom integralen är lika med följer att k 2 2. Det sanna värdet är π 2 /6. Anmärkning Notera att vi använder att funktionen /x 2 är avtagande. I allmänhet bör man rita ut en figur för att försäkra sig om vilka olikheter som gäller. Som avslutning låt oss återvända till partialsummationen ovan. Låt f(x) vara som ovan och låt g(x) = b k då k < x k. Liksom tidigare går här k från m till n. Då gäller att n m f(x)g(x)dx = b k. Formeln för partialintegration om f och g vore kontinuerliga är då att d.v.s. n m f(x)g(x)dx = [F (x)g(x)] n m b k = F (n)b n F (m )b m n m n F (x)g (x)dx, F (k) g(k). Här är g(k) = b k+ b k medan F (k) = k a j = s k. Vi ser att vi får precis formeln för partialsummation. Anmärkning Ta inte detta som ett bevis! Vi är bara ute efter att visa på analogin mellan partialsummation och partialintegration. T.ex. är det inte helt klart varför g (k) ska svara mot just g(k). Vi ersätter en derivata med hoppet i en punkt! Utan närmare förklaring än att t.ex. g g(k + ) g(k) (k) = = b k+ b k. (k + ) k Noteringar. Detta diskuteras utförligare i kapitlet Om de reella talen.
Serier. egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: s n, där s n =
Serier Serier eller oändliga summor har flyktigt behandlats redan i tidigare kurser. Vi ska nu gå igenom teorin på ett lite mer systematiskt sätt. I många fall spelar det ingen roll om termerna a k är
Läs merTATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merNumeriska serier Definition av konvergens J amf orelsesatser Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium Dagens amnen 1 / 19
Dagens ämnen 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens Jämförelsesatser 1 / 19 Dagens
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon
Läs merTATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merMer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns
Kapitel K Mer om kontinuitet I detta kapitel bevisar vi Sats 3.1, som säger att en kontinuerlig funktion av typen R 2 R på ett kompakt område antar ett största och ett minsta värde. Vi studerar dessutom
Läs merMer om reella tal och kontinuitet
Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer
Läs merFourierserier: att bryta ner periodiska förlopp
Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Fourierserier: att bryta ner periodiska
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. Om de reella talen. MatematikCentrum LTH
Analys 60 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Om de reella talen Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om de reella talen () Introduktion Den matematiska analysen är intimt förenad
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs merTATA42: Föreläsning 6 Potensserier
TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merKontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet
Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet är följande: SATS. (Intervallinkapslingssatsen) Låt I k = [a k, b k ], k = 1, 2,... vara en avtagande följd av slutna
Läs merMER TOPOLOGI OCH KONVERGENS
MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS SVANTE JANSON 1. Kompakta mängder Definition. En delmängd av R n kallas kompakt om den är sluten och begränsad. Sats 1. Om K är en kompakt mängd i R n och {x i } är en följd
Läs mera k . Serien, som formellt är följden av delsummor
Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara
Läs mer12. Numeriska serier NUMERISKA SERIER
122 12 NUMERISKA SERIER 12. Numerisa serier Vi har tidigare i avsnitt 10.9 sett ett samband mellan summor och integraler. Vi har ocså i avsnitt 11 definierat begreppet generaliserade integraler och för
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. L Hôspitals regel. MatematikCentrum LTH
Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Gränsvärden och L Hôspitals regel Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Gränsvärden och L Hôspitals regel 1 (11) Introduktion Gränsvärdesöverläggningar
Läs merTillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor
Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett
Läs merGeneraliserade integraler. Definitionen. J amf orelsesatser. Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Dagens amnen 1 / 10
Dagens ämnen 1 / 10 Dagens ämnen Generaliserade integraler. 1 / 10 Dagens ämnen Generaliserade integraler. Definitionen. 1 / 10 Dagens ämnen Generaliserade integraler. Definitionen. Jämförelsesatser. 1
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merGeneraliserade integraler. Definitionen. J amf orelsesatser. Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Dagens amnen 1 / 12
Dagens ämnen 1 / 12 Dagens ämnen Generaliserade integraler. 1 / 12 Dagens ämnen Generaliserade integraler. Definitionen. 1 / 12 Dagens ämnen Generaliserade integraler. Definitionen. Jämförelsesatser. 1
Läs merEuler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Läs merOm kontinuerliga funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens Grunder Om kontinuerliga funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om kontinuerliga funktioner 1 (12) 1 Introduktion Vi ska nu diskutera
Läs merLösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.
Lösningar till MVE6 Matematisk analys i en variabel för I 7-4-. a Division ger yy + y x. Ekvationen är alltså separabel. Integration av vänstra ledet ger y + y dy ln + y Efter integration blir det alltså
Läs merANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29
Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.
Läs merFourieranalys. Anders Holst
Fourieranalys Anders Holst Mars 24 Förord Detta kompendium bygger i stor utsträckning på tidigare material som behandlat motsvarande stoff då kursorganisationen var annorlunda. Kapitel ett, om serier,
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 5. 5.8 5. Följder och serier Detta avsnitt är repetition, och jag hoppas att ni snart kan snappa upp det som står däri. Speciellt viktigt är det att komma ihåg vad en geometrisk
Läs mer1 Föreläsning 14, följder och serier
Föreläsning 4, följder och serier. Följd I en följd {a n } n= sriver vi istället elementen som f(n). Följden {sin(n)} n= är begränsad, ty sin n. Följden {/ n} n= är onvergent mot 0: { Följden 2n 2 3n }
Läs mer1 Att läsa matematik.
1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer
Läs mer2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)
De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)
Läs merMeningslöst nonsens. November 19, 2014
November 19, 2014 Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar? Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar?
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merMatematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Niels Chr. Overgaard & Johan Fredriksson 3 september 205 Problem 0. Skriv följande summor mha summationstecken. ( Dvs på formen q k=p a k där k är en räknare som löper med heltalssteg mellan
Läs merÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs mer5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor
5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift
Läs merOm ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum
Analys 360 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs merALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...
ALA-a 2005 Innehåll 1 Lite teori 3 RÄKNEÖVNING VECKA 7 1.1 Kapitel 7....................................... 3 1.2 Kapitel 12....................................... 3 1.3 Kapitel 13.......................................
Läs mer1 Analysens grunder. Ordlista för Funktionalanalys 1. avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.
Ordlista för Funktionalanalys 1 (28 augusti 2002) 1 Analysens grunder avbildning (map) En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M
Läs meravbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.
Ordlista 1 1 Analysens grunder avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M i ett metriskt rum har Bolzano- Weierstrass-egenskapen
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 31 augusti 2016 Att göra denna vecka Översikt över modul 1 Funktion Definitionsmängd Värdemängd Udda, jämn Begränsad Absolutbelopp, Trigonometri, Polynom Gränsvärde
Läs merFunktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =
Funktionsserier och potensserier Viktiga exempel på funktionsföljder är funktionsserier. Summan s(x) av f k (x) definieras som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) = n f k (x) för varje fixt x I. Serien
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merFöreläsning 1. X kallas för funktionens definitionsmängd, mängden av funktionens alla värden kallas funktionens värdemängd.
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www.math.uu.se/ rikardo/ envariabelanalys/huvudsidor/index.html Funktioner En funktion f, från mängden
Läs merLäsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.
Läs merMatematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och
Läs mer1 Att läsa matematik.
1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer
Läs merFULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE
FULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE JAN-FREDRIK OLSEN I detta dokumentet ämnar vi bevisa följande två satser: Sats 1 (Satsen om mellanliggande
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4
Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
Läs merDagens ämnen. Potensserier
Dagens ämnen 1 / 6 Dagens ämnen Potensserier 1 / 6 Dagens ämnen Potensserier Definition 1 / 6 Dagens ämnen Potensserier Definition Var konvergerar potensserien? 1 / 6 Dagens ämnen Potensserier Definition
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merLösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori
Lösningsmetodik för FMAF0: Funktionsteori Johannes Larsson, I2 0 mars 204 Allmänt Detta är lösningsmetoder för de vanligaste tentauppgifterna, grupperade efter hur ofta de kommer på tentan och därmed också
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merEnvariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6
Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merMatematiska strukturer - Satser
Matematiska strukturer - Satser April 2, 2018 I detta dokument har jag samlat och översatt de flesta satser som ingår i kursen Matematiksa Strukturer (FMAN65) från kursboken Set Theory and Metric Spaces
Läs merLösningsförslag till TATA42-tentan
Lösningsförslag till TATA-tentan 8-6-.. Då ekvationen är linjär av första ordningen löses den enklast med hjälp av integrerande faktor (I.F.). Skriv först ekvationen på standardform. (+ )y y + y + + y
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig
Läs mer1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merBesökstider: ca och 17.00
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Tentamen i Matematisk analys, fortsättningskurs F/TM, TMA976, 2015-01-14, TID(14.00-18.00) Inga hjälpmedel, förutom penna och linjal, är tillåtna,
Läs merTNA003 Analys I för ED, MT, KTS
TNA003 Analys I för ED, MT, KTS Litteraturkommentarer till föreläsningarna VT1 2017 Sixten Nilsson TNA003 FÖ 1: Kap 3.1 3.2 Litteraturkommentarer 3.1 Gränsvärdesidén Skilj på de två typerna av gränsvärden.
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merSvar till vissa uppgifter från första veckan.
Svar till vissa uppgifter från första veckan. Svar till kortuppgifter F:. Ja! Förhoppningsvis så ser man direkt att g fx) är ett polynom. Vidare så gäller det att g fα) = gfα)) = gβ) = 0. Använd faktorsatsen!
Läs merkvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.
Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att
Läs merFixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).
Kapitel 5 Fixpunktsiteration 5.1 Fixpunktsekvation En algebraisk ekvation kan skrivas på följande två ekvivalenta sätt (vilket innebär att lösningarna är desamma). 1. f(x) = 0. En lösning x kallas en rot
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merLösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys
Lösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys Måndagen den 4 maj, klockan 8:-3:. Bestäm gränsvärdena a) Ñ lnp 3 q b) Ñ8 lnp 3 q. Lösning..a) Gränsvärdet är på formen { så vi kan använda l Hospitals
Läs merLösningsförslag till tentan i 5B1115 Matematik 1 för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T,
Institutionen för Matematik, KTH. Lösningsförslag till tentan i 5B5 Matematik för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T, 8.. Visa att påståendet P n : n + n < 4 n är sant för n =,, 4.... (a) P : + = 4 +
Läs merMatrisexponentialfunktionen
U.U.D.M. Project Report 206:2 Matrisexponentialfunktionen Neda Farzaneh Examensarbete i matematik, 5 hp Handledare: Martin Herschend Examinator: Jörgen Östensson Juni 206 Department of Mathematics Uppsala
Läs merTentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00
KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära
Läs merPatologiska funktioner. (Funktioner som på något vis inte beter sig väl)
Patologiska funktioner (Funktioner som på något vis inte beter sig väl) Dirichletfunktionen Inte kontinuerlig någonstans Inte Riemannintegrerbar Weierstrass funktion Överallt kontinuerlig Inte deriverbar
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:
Läs merRIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim.
RIEMANNSUMMOR Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. Den bestämda integralen definieras med hjälp av ä ä, ; lim. Om funktionen har en elementär primitivfunktion då är insättningsformeln (Newton-
Läs merLipschitz-kontinuitet
Kapitel 2 Lipschitz-kontinuitet Vi börjar med att presentera den formella definitionen av gränsvärde och kontinuitet. Vi presenterar sedan en variant av kontinuitet som är lättare att använda och som ger
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim
Läs merDen matematiska analysens grunder
KTH:s Matematiska Cirkel Den matematiska analysens grunder Katharina Heinrich Dan Petersen Institutionen för matematik, 2012 2013 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Grundläggande
Läs merTillämpningar av komplex analys på spektralteori
Tillämpningar av komple analys på spektralteori Anders Källén, baserat på föreläsningar hösten 1979 av Lars Hörmander MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet härleds
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merBisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2
Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man
Läs merLösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.
Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m
Läs merMatematik 4 Kap 3 Derivator och integraler
Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande
Läs merLösningar till Matematisk analys 4,
Lösningar till Matematisk analys 4, 05054. a Sätt a k k + k +, b k k e /k Serien k a k är positiv. Vi har att och c k k! 4 k k! för k,,... a k k + k + k k för stora k k och mera precist att / a k k k +
Läs merTAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor
TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merdär x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.
Lektion 4, Envariabelanals den 30 september 1999 där 0 < ξ 0 är högerledet alltid större än 2.6.2 Åskådliggör medelvärdessatsen genom att finna en punkt i det öppna intervallet (1, 2) där
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Första häftet 3220. Bestäm alla reella tal x för vilka 3 x x + 2. 322. Pelles och Palles sammanlagda ålder är 66 år. Pelle är dubbelt så gammal som Palle var när Pelle var hälften så gammal som
Läs merMaclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning
Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon
Läs mer