FULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE
|
|
- Maj Karlsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 FULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE JAN-FREDRIK OLSEN I detta dokumentet ämnar vi bevisa följande två satser: Sats 1 (Satsen om mellanliggande värde). Antag att f är kontinuerlig på [a, b], att f(a) < 0 och f(b) > 0. Då finns det ett tal c (a, b) sådant att f(c) = 0. Sats 2 (Satsen om största och minsta värde). Antag att f är kontinuerlig på [a, b]. Då finns det tal p, q [a, b] sådana att f(p) f(x) f(q) för alla x [a, b]. Observera att även om detta är ett relativt långt dokument, med tre långa bevis mot slutet, så är de tre bevisen ganska lika, och har man förstått ett av dem, så har man i stort sett förstått alla tre. Innan vi sätter i gång så poängterar vi att poängen med den första satsen är att när en kontinuerlig kurva skall skära den reella tallinjen, så måste det ske i någon punkt. Alltså har vare sig tallinjen eller funktionsgrafen några "hål". Poängen är alltså att talet c existerar och är reellt! Uppgift 1. Använd talet 2 för att visa att satsen om mellanliggande värde inte gäller om vi byter ut [a, b] med [a, b] Q, där Q är de rationella talen. Poängen med den andra satsen är att det finns två punkter p och q där funktionen f måste anta sitt minsta och sitt största värde. Igen handlar det om existens av punkter. Det är på detta sätt att som de två satserna egentligen handlar om samma sak. För att bevisa dem behöver vi därför studera de reella talen på en axiomatisk nivå. Först en definition. Låt S vara en delmängd av R. Om det finns något tal B R som uppfyller x B, x S, då säger vi att B är en övre gräns för S. I själva verket är B något tal som ligger till höger på tallinjen om S. Vi kan nu formulera fullständighetsaxiomet. Axiom. En icke-tom mängd av reella tal som har en övre gräns måste ha en minsta övre gräns. Detta är ett av flera axiom som ingår i konstruktionen av de reella talen, och det är kanske det minst intuitiva av dem. (Kom ihåg, ett gott axiom skall vara intuitivt och självklart.) Vi kan jämföra med några av de andra axiomen: (Kommutativa lagen) För alla x, y R så är x + y = y + x och yx = xy. 1
2 2 JAN-FREDRIK OLSEN (Nollelementet) Det finns ett tal 0 R sådan att för all x R så är x+0 = x. Om vi nu skall använda fullständighetsaxiomet för att visa våra två satser, behöver vi några fler verktyg. Centralt står talföljder. En talföljd är en sekvens tal x 1, x 2, x 3,.... För att spara på bläck skriver vi gärna {x n } för en sådan talföljd. Exempel 1. Om vi låter x n = n för n N, så får vi talföljden {x n } = {1, 2, 3,...}. Exempel 2. Om vi låter x n = 1/n för n N, så får vi talföljden {x n } = {1, 1 2, 1 3,...}. Till begreppet talföljd kan vi anknyta gränsvärdebegreppet. Definitionen vi nu skall se är nästan helt identisk med definitionen av lim f(x) = L. x Definition 1. Vi säger att en talföljd {x n } har gränsvärdet L om följande gäller: För alla ɛ > 0, så finns N N sådant att Vi skriver då lim x n = L. n N = x n L < ɛ. Uppgift 2. Hur definierar vi lim x n =? Uppgift 3. Låt x n = n för n N. Visa att lim x n =. Uppgift 4. Låt x n = 1/n för n N. Visa att lim x n = 0. Följande hjälpsats (lemma) knyter ihop definitionen ovan med fullständighetsaxiomet. Lemma 1. Låt {x n } vara en växande talföljd. Det vil säga, x n+1 x n för alla n N. Om {x n } har en övre gräns, då finns ett tal L R sådant att lim x n = L. Bevis. Vi observerar först att eftersom talföljden {x n } har en övre gräns, så har den även en minsta övre gräns L enligt fullständighetsaxiomet. Vi tänker visa att lim x n = L. Så låt ɛ > 0 vara givet. Vi skall finna ett N N sådant att n N medför att x n L < ɛ. Först ser vi att eftersom L är en övre gräns för {x n } så har vi x n L, n N. (1) Då L är den minsta övre gränsen till {x n }, så kan inte L ɛ vara en övre gräns. Därför finns något x N sådant att x N > L ɛ. Då {x n } är växande, medför detta att x n L ɛ, n N. (2)
3 FULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MIN Från (1) och (2) kan vi dra slutsatsen att för n N så har vi x n L < ɛ, som vi skulle visa. Andra hjälpsatser vi måste ha, är: Lemma 2. Låt {x n } vara en talföljd med gränsvärde L, och a < b två reella tal. Om a x n b för alla n N, då är a L b. En liten kommentar: Om vi ändrar hypotesen till a x n b, så ändras inte slutsatsen, den är fortfarande a L b. (Jämför med Exempel 2.) Lemma 3 (Lilla instängningssatsen). Låt {a n } och {b n } vara talföljder med gränsvärde L. Om {x n } är en talföljd sådan att a n x n b n för alla n N, då är lim x n = L. Lemma 4. Låt {a n } vara en talföljd med gränsvärde L. Om lim x n a n = 0, då är lim x n = L. Lemma 5. Låt {x n } vara en talföljd med gränsvärde L. Om f är en funktion kontinuerlig i punkten x = L, då är lim f(x n ) = f(l). Bevisen för dessa hjälpsatser är alla mycket lika. T.ex. kan vi bevisa: Bevis for Lemma 4. Låt ɛ > 0 vara givet. Vi måste finna N N sådant att n N medför att x n L < ɛ. Triangelolikheten ger Nu finns N 0 och N 1 sådana att x n L x n a n + a n L. n N 0 = x n a n < ɛ/2 n N 1 = a n L < ɛ/2. Det ger att, om n max N 0, N 1, då är x n L < ɛ, som vi skulle visa. Uppgift 5. Bevisa Lemma 2. Uppgift 6. Bevisa Lemma 3, och visa även att Lemma 2 är en konsekvens av Lemma 3. Vi är nu redo att bevisa våra satser. Bevis för Sats 1. Taktiken i beviset är följande: 1. Observera att vi antar att f(a) < 0 och f(b) > Vi delar intervallet [a, b] i två lika stora halvor. 3. Vi kan utgå ifrån att på minst en av de två halvorna av [a, b] så finns det både punkter där f < 0 och punkter där f > 0. Annars är f(x) < 0 för alla x < a+b a+b, och f(x) > 0 för alla x > vilket medför att f( a+b ) = 0, och beviset är färdigt. (Jämför med beviset för Rolles sats!) 4. Vi ger detta intervall namnet [a 1, b 1 ]. Om båda halvorna har sådana punkter, väljer vi alltid intervallet till höger.
4 4 JAN-FREDRIK OLSEN 5. Vi upprepar de 4 föregående stegen på [a 1, b 1 ]. Vi finner då en halva av [a 1, b 1 ] där både f > 0 och f < 0 förekommer. Vi kallar den [a 2, b 2 ]. Eftersom processen aldrig tar slut, så uppkommer en sekvens intervall [a n, b n ] och punkter A n, B n [a n, b n ] sådan att f(a n ) < 0 och f(b n ) > 0. Vi kan observera att {a n } är en växande följd eftersom [a n, b n ] [a n 1, b n 1 ]. Den har även en övre gräns då a n b för alla n N. Från Lemma 1, vet vi att då finns ett tal c R sådant att lim a n = c. Från Lemma 2, vet vi även att c [a, b]. Som om inte det vore nog, så gäller även att lim a n b n = 0, eftersom intervallen [a n, b n ] halveras i längd vid varje steg. Från Lemma 3 har vi då att lim A n = lim B n = c. Då f är kontinuerlig på [a, b] följer det nu från Lemma 5 att lim f(b n) = f(c) = lim f(a n ). Då f(a n ) < 0 och f(b n ) > 0 för alla n N, följer det från Lemma 2 (och kommentaren direkt efter lemmat) att 0 f(c) 0, och därför f(c) = 0. Innan vi bevisar satsen om största och minsta värde, måste vi visa följande sats (min Nemesis!). Sats 3. Låt f vara en kontinuerlig funktion på [a, b]. Då är f en begränsad funktion. Det vill säga, det finns ett tal B > 0 sådant att f(x) < B för alla x [a, b]. Bevis. För att finna en motsägelse, skall vi antaga att f inte är begränsad på [a, b]. Taktiken är som följer: 1. Observera att f inte är begränsad på [a, b]. 2. Dela [a, b] i två lika stora halvor. 3. På minst en av halvorna är f inte begränsad, ty annars skulle f vara begränsad på [a, b], vilket inte stämmer enligt steg Vi ger detta intervall namnet [a 1, b 1 ]. Om f är obegränsad på båda halvorna till [a, b] väljer vi den till höger. 5. Vi upprepar nu de 4 föregående stegen på [a 1, b 1 ]. Vi finner då en halva av [a 1, b 1 ] där f är obegränsad. Vi kallar den [a 2, b 2 ]. Eftersom processen aldrig tar slut, så får vi en sekvens intervall [a n, b n ] på vilka f inte är begränsad. För varje n kan vi således välja en punkt A n [a n, b n ] sådan att f(a n ) n. På samma sätt som i föregående bevis kan vi visa att det finns något c [a, b] sådant att lim a n = lim A n = c,
5 FULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MIN och vi får f(c) = lim f(a n )) =. Men detta är inte möjligt då vi antog att f var en kontinuerlig funktion (en kontinuerlig funktion måste ha ett ändligt gränsvärde i alla sina punkter). Vi kan nu bevisa: Bevis för sateen om största och minsta värde. Då f är en kontinuerlig funktion på [a, b] gäller den föregående satsen, och vi vet att värdemängden till f har en övre gräns B. Då ger fullständighetsaxiomet att värdemängden har en minsta övre gräns M. Vi skall visa att det finns en punkt c [a, b] sådan att f(c) = M. På samma sätt kan det visas att minsta värdet antas i någon punkt i intervallet [a, b], och satsen är bevisad. Vi använder följande taktik: 1. Observera att f har M som minsta övre gräns på [a, b]. 2. Dela [a, b] i två lika stora halvor. 3. På minst en av halvorna måste f ha M som minsta övre gräns. Annars får vi motsägelse enligt steg Vi ger detta intervall namnet [a 1, b 1 ]. Om f har M som minsta övre gräns på båda halvorna till [a, b] väljer vi den till höger. 5. Vi upprepar nu de 4 föregående stegen på [a 1, b 1 ]. Vi finner då en halva av [a 1, b 1 ] där f har minsta övre gräns M. Vi kallar den [a 2, b 2 ]. Eftersom processen aldrig tar slut, så uppkommer en sekvens av intervall [a n, b n ] där f har minsta övre gräns M. För varje n kan vi således välja en punkt A n [a n, b n ] sådan att f(a n ) M 1/n. På samma sätt som i föregående bevis kan vi visa att det finns något c [a, b] sådant att lim a n = lim A n = c, och vi får ( f(c) = lim f(a n )) lim M 1 ) = M. n Då M är minsta övre gräns för f på intervallen [a, b] gäller även f(c) M. Därmed får vi f(c) = M. Centre for Mathematical Sciences, Lund University, P.O. Box 118, SE Lund, Sweden address: janfreol@maths.lth.se
Mer om reella tal och kontinuitet
Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer
Läs merKontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet
Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet är följande: SATS. (Intervallinkapslingssatsen) Låt I k = [a k, b k ], k = 1, 2,... vara en avtagande följd av slutna
Läs merBisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2
Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man
Läs merMer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns
Kapitel K Mer om kontinuitet I detta kapitel bevisar vi Sats 3.1, som säger att en kontinuerlig funktion av typen R 2 R på ett kompakt område antar ett största och ett minsta värde. Vi studerar dessutom
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. Om de reella talen. MatematikCentrum LTH
Analys 60 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Om de reella talen Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om de reella talen () Introduktion Den matematiska analysen är intimt förenad
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merOm kontinuerliga funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Analysens Grunder Om kontinuerliga funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om kontinuerliga funktioner 1 (12) 1 Introduktion Vi ska nu diskutera
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 31 augusti 2016 Att göra denna vecka Översikt över modul 1 Funktion Definitionsmängd Värdemängd Udda, jämn Begränsad Absolutbelopp, Trigonometri, Polynom Gränsvärde
Läs merSvar till vissa uppgifter från första veckan.
Svar till vissa uppgifter från första veckan. Svar till kortuppgifter F:. Ja! Förhoppningsvis så ser man direkt att g fx) är ett polynom. Vidare så gäller det att g fα) = gfα)) = gβ) = 0. Använd faktorsatsen!
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merOm konvergens av serier
Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...
ALA-a 2005 Innehåll 1 Lite teori 3 RÄKNEÖVNING VECKA 7 1.1 Kapitel 7....................................... 3 1.2 Kapitel 12....................................... 3 1.3 Kapitel 13.......................................
Läs merMAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp
MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs merFÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har
Läs mer1 Att läsa matematik.
1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer
Läs merÖvningshäfte 3: Funktioner och relationer
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
Läs merKapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner
Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.
Läs merMER TOPOLOGI OCH KONVERGENS
MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS SVANTE JANSON 1. Kompakta mängder Definition. En delmängd av R n kallas kompakt om den är sluten och begränsad. Sats 1. Om K är en kompakt mängd i R n och {x i } är en följd
Läs merFixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).
Kapitel 5 Fixpunktsiteration 5.1 Fixpunktsekvation En algebraisk ekvation kan skrivas på följande två ekvivalenta sätt (vilket innebär att lösningarna är desamma). 1. f(x) = 0. En lösning x kallas en rot
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merDen matematiska analysens grunder
KTH:s Matematiska Cirkel Den matematiska analysens grunder Katharina Heinrich Dan Petersen Institutionen för matematik, 2012 2013 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Grundläggande
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merMVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.
MVE035 Sammanfattning LV 1 Blom, Max Engström, Anne Cvetkovic Destouni, Sofia Kåreklint, Jakob Hee, Lilian Hansson, Johannes 11 mars 2017 1 Partiella derivator Nedan presenteras en definition av partiell
Läs merlim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Läs merTATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 5 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merLipschitz-kontinuitet
Kapitel 2 Lipschitz-kontinuitet Vi börjar med att presentera den formella definitionen av gränsvärde och kontinuitet. Vi presenterar sedan en variant av kontinuitet som är lättare att använda och som ger
Läs merMetriska rum, R och p-adiska tal
Metriska rum, R och p-adiska tal Tony Johansson 1MA239: Specialkurs i Matematik II Uppsala Universitet VT 2018 När vi säger avståndet mellan punkt X och punkt Y där X och Y är punkter i planet (säg) är
Läs merExplorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT. Övning A
Explorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Första delen av övningen handlar om begreppet funktion. Syftet är att bekanta sig med funktionsbegreppet som en parbildning. Vi koncentrerar oss på tre viktiga
Läs merDefinitionsmängd, urbild, domän
5B1493, lekt 5, HT06 Funktioner Definition av begreppet Definition: Låt X och Y vara två mängder. En funktion f av typ X Y är detsamma som en delmängd av X Y, sådan att 1. Om (x, y) och (x, z) f, så är
Läs merFunktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =
Funktionsserier och potensserier Viktiga exempel på funktionsföljder är funktionsserier. Summan s(x) av f k (x) definieras som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) = n f k (x) för varje fixt x I. Serien
Läs merSatser om gränsvärden med bevis som saknas
Satser om gränsvärden med bevis som saknas i Adams. Struktur av alla bevis här är likadan. Varje bevis består av tre steg. Först formulerar vi om villkor i satsen i termer av olikheter som måste gälla.
Läs merLite Kommentarer om Gränsvärden
Lite Kommentarer om Gränsvärden På föreläsningen (Föreläsning 2 för att vara eakt) så introducerade vi denitionen Denition. Vi säger att f() går mot a då går mot oändligheten, uttryckt i symboler som f()
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merExistens och entydighet för ordinära differentialekvationer
Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer Michael Björklund, f-mib@f.kth.se Grundläggande begrepp Definition 1 Ett begynnelsevärdesproblem för ordinära differentialekvationer har följande
Läs merLMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014
LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite
Läs merKap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.
Kap. 2. 2.2. Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. 20. Skissera definitionsmängden till följande funktioner: A a. f(,) = ln ( 2 2 ) A b.
Läs merSJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK
SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Iterationer på ett intervall av Fredrik Bratt 2011 - No 3 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 106 91 STOCKHOLM
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs merVäxande och avtagande
Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon
Läs merFör teknologer inskrivna H06 eller tidigare. Skriv GAMMAL på omslaget till din anomyna tentamen så att jag kan sortera ut de gamla teknologerna.
Matematik Chalmers Tentamen i TMV225 Inledande matematik M, 2009 01 17, f V Telefon: Christoffer Cromvik, 0762 721860 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Varje uppgift är värd 10 poäng, totalt 50
Läs merMatematisk kommunikation för Π Problemsamling
Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och
Läs merLäsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 28 oktober 2001 1 Heltalen Det första kapitlet handlar om heltalen och deras aritmetik, dvs deras egenskaper som
Läs merTeori :: Diofantiska ekvationer v1.2
Teori :: Diofantiska ekvationer v1. 1 Definitioner och inledande exempel Låt oss börja med att göra klart för vad vi menar med en diofantisk ekvation: S:def+ex Definition 1.1. Betrakta ekvationen D:diofantiskEkv
Läs merAxiom för de reella talen
Axiom för de reella talen Sara Maad Sasane Matematikcentrum Lunds universitet 28 augusti 2017 1 Kroppsaxiomen (räknelagar) 2 Ordningsaxiomen 3 Axiomet om övre gräns Kroppsaxiomen del 1 Axiom (Kroppsaxiomen)
Läs mer1.1. Fördjupning: Jämförelse av oändliga mängder
Kapitel 1 Kardinalitet Den här texten är tagen från boken Diskret matematik av Asratian Björn Turesson (och delvis modifierad) Av den anledningen finns det visa hänvisningar på en del ställen som är ersatta
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs merBEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM
BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med
Läs merMeningslöst nonsens. December 14, 2014
December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett
Läs merÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4
VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt
Läs mer12. Numeriska serier NUMERISKA SERIER
122 12 NUMERISKA SERIER 12. Numerisa serier Vi har tidigare i avsnitt 10.9 sett ett samband mellan summor och integraler. Vi har ocså i avsnitt 11 definierat begreppet generaliserade integraler och för
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merMängder och kardinalitet
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 28 september 2007 Mängder och kardinalitet Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen
Läs merGrundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är tal Z och α 0.
5B2710, lekt 4, HT07 Konstruktion av de rationella talen Q (AEE 2.3) Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är
Läs merFörkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b)
1 Print 1 Algebraiska 2 Variabler 1 Algebraiska 3 Input 1 Algebraiska 4 For 1 Algebraiska uttryck, Rationella uttryck Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b) Eleverna kan träna
Läs mer1 Att läsa matematik.
1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer
Läs mer2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)
De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)
Läs merTNA003 Analys I för ED, MT, KTS
TNA003 Analys I för ED, MT, KTS Litteraturkommentarer till föreläsningarna VT1 2017 Sixten Nilsson TNA003 FÖ 1: Kap 3.1 3.2 Litteraturkommentarer 3.1 Gränsvärdesidén Skilj på de två typerna av gränsvärden.
Läs mer2. (a) Skissa grafen till funktionen f(x) = e x 2 x. Ange eventuella extremvärden, inflektionspunkter
Matematik Chalmers Tentamen i TMV225 Inledande matematik M, 2009 08 21, f Telefon: Jonatan Vasilis, 0762 721861 Inga hjälpmedel. Kalkylator ej tillåten. Varje uppgift är värd 10 poäng, totalt 50 poäng.
Läs mer0.1 Antalet primtal är oändligt.
0.1 Antalet primtal är oändligt. I Euklides Elementa (ca 300 f. kr.) påstås (och bevisas) att antalet primtal är oändligt. För att förstå påståendet och beviset måste vi först försöka klargöra betydelsen
Läs merIckestandardanalys ett didaktiskt knep?
Fredrik fredrikengstrom@gmailcom Mittuniversitetet Matematikbiennalen 2006, Malmö fredrikengstrom@gmailcom Mittuniversitetet 1 Introduktion Vad är ickestandardanalys? 2 Historisk bakgrund Newton vs Robinson
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs merNumeriska serier Definition av konvergens J amf orelsesatser Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Leibniz kriterium Dagens amnen 1 / 19
Dagens ämnen 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens 1 / 19 Dagens ämnen Numeriska serier Definition av konvergens Jämförelsesatser 1 / 19 Dagens
Läs mer5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) =
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 22-2- DEL A. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = xe x2 /4. Lösningsförslag. Standardgränsvärdet xe x, då x ger att lim f(x) = lim x x ± x ± e
Läs merKonvergens och Kontinuitet
Kapitel 7 Konvergens och Kontinuitet Gränsvärdesbegreppet är väldigt centralt inom matematik. Som du förhoppningsvis kommer ihåg från matematisk analys så definieras tex derivatan av en funktion f : R
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Antalet element i en mängd Kardinalitet Humes princip Cantors teorem Den universella mängden Några mängdteoretiska paradoxer
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merViktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.
Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella
Läs merJeep-problemet. Kjell Elfström
F r å g a L u n d o m m a t e m a t i k Matematikcentrum Matematik NF Jeep-problemet Kjell Elfström Problemet En jeep kan sammanlagt ta 200 liter bensin i tanken och i lösa dunkar. Jeepen kan gå 2,5 km
Läs merExistens och entydighet
Föreläsning 7 Eistens och entydighet 7.1 Aktuella avsnitt i läroboken Appendi Eistence and Uniqueness of Solutions. 47 48 FÖRELÄSNING 7. EXISTENS OCH ENTYDIGHET Som vi sett i flera eempel kan man ibland
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merPeanos axiomsystem för de naturliga talen
5B1493, lekt 3, HT06 P1. Det finns ett naturligt tal 0. Peanos axiomsystem för de naturliga talen P2. Varje natutligt tal n har en s.k. efterföljare n +. P3. Om n + = m + så är n = m. P4. Inget naturligt
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merLösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.
Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 oktober 20, kl. 8:00 3:00 av 8 3 poäng. Svar: i. sant, ii. falskt, iii. sant, iv. sant, v.
Läs merMatematiska strukturer - Satser
Matematiska strukturer - Satser April 2, 2018 I detta dokument har jag samlat och översatt de flesta satser som ingår i kursen Matematiksa Strukturer (FMAN65) från kursboken Set Theory and Metric Spaces
Läs merANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29
Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merModul 2 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Moul 2 Mål och Sammanfattning Derivata. 1. MÅL FÖR MODUL 2 Förstå och använa erivatans efinition Förstå och använa erivata
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:
Läs mer