Mer om generaliserad integral

Transkript

1 Föreläsning XI Mer om generaliserad integral Ex 64: Givet h(x) = ( x 2 5x + 2 ) e x/2. (a) Bestäm en p.f. till h(x). (b) Beräkna h(x)dx. (a) Vi har här en integrand som är en produkt av ett polynom av grad 2 och en exponentialfunktion. Vi kan använda P.I. för att beräkna en primitiv funktion. Tidigare har vi beräknat (x 2)e x/2 dx = {P.I.} = 2xe x/2 + C. Vi deriverar polynomet x 2 =: g(x) i integralen i HL vid P.I. Detta resulterar i att den primitiva funktionen har ett polynom (= 2x), som faktor av samma graal som polynomet faktorn(x 2) i integranden. Det är lätt att övertyga sig om, att en primitiv funktion till h(x) är ånyo en produkt mellan ett polynom Ax 2 + Bx + C och e x/2. Man kan då ansätta en p.f. som (Ax 2 + Bx + C) e x/2. För att bestämma koefficienterna A, B och C, skriver vi upp sambandet med integralen: (x 2 5x + 2 ) e x/2 dx = (Ax 2 + Bx + C)e x/2 + C. Därefter deriveras båda led: VL ( x 2 5x + 2 ) e x/2 = HL [ ( (Ax 2 + Bx + C) ) ] + 2Ax + B e x/2. 2 Nu är VL och HL identiska (som vid PBU) och således är koefficienterna lika. VL HL x 2 : = 2 A x : 5 = 2 B + 2A A = 2 B = 2 x : 2 = 2 C + B C = Svar: En p.f. är 2x( x)e x/2.

2 (b) För att beräkna har i (a). h(x)dx, använder vi givetvis den p.f. som vi h(x)dx = lim b [2x( x)e x/2 ] b = lim b (2b( b)e b/2 2 ( )e /2 ) = =. Att gränsvärdet lim 2b( 2b( b) b b)e b/2 lim = b e b/2 beror på att exponentalfunktonen e b/2 går mot snabbare än varje potensfunktion (Standardgränsvärde). Sats: är konvergent omm a < och är konvergent omm a >. Bevis: Om α = får vi, för a >, integralen a x a dx x a dx dx = ln ln a x Som divergerar (mot ) eftersom ln a då a +. Dessutom får vi b För α är en primitiv funktion Om α < är α >, så att a dx = ln b ln då b. x α x α. x α dx = α α α a α. α a α då a +, alltså konvergent. Om α > är α <, så att Beviset i fallet α a α då a +, alltså divergent. dx görs på liknande sätt. xα 2

3 Integral: Beräkning av längd, area och volym Att beräkna volymen av en del kroppar klarar man med endimensionell analys. Vi har två metoder, Skivmetoden och Skalmetoden. Ex 65: Beräkna volymen av en ellipsoid(-kroppen) med halvaxlar a, b och c. Ellipsoidens yta kan skrivas med ekvationen (x/a) 2 + (y/b) 2 + (z/c) 2 =. () Vi skivar upp ellipsoiden i cylindrar med tjocklek dx och area A(x). En sådan cylinder har då volymen dv = A(x)dx. Hur stor är A(x) för a x a? Vi utgår från att en ellips med halvaxlar α och β och medelpunkt i (, ) kan skrivas (y/α) 2 + (z/β) 2 = och har area παβ. För fixt x beskriver () en ellips. Det ser vi om vi flyttar över (x/a) 2 till HL och får (y/b) 2 + (z/c) 2 = (x/a) 2 =: h(x). Genom att dividera båda led med h(x) erhålls alltså en ellips med halvaxlar y 2 (b h(x)) + z 2 2 (c h(x)) = 2 b h(x) och c h(x). Motsvarande Ellipskivas area A(x) är A(x) = πb h(x) c h(x) = πbc( (x/a) 2 ). Ellipsoidkroppens volym V fås med följande integral V = a a πbc( (x/a) 2 )dx = {Jämn integrand} = 2πbc ] a ] = 2πbc [x x a 2 = 2πbc [a a a 2 = 4πabc. a ( (x 2 /a 2 ))dx = Kommentarer: För a = b = c = r är ellipsoiden en sfär som innesluter klotet med volym V = 4πr. Motsvarande sfärs area är S := V (r) = d dr 4πr = 4πr 2.

4 Ex 66: Det finns inget enkelt exakt uttryck för arean av en ellipsoids yta. (a) Rita och beräkna aeran av ytan som begränsas av kurvan, (b) samt beräkna längden av kurvan given av (x, y) = (cos t, sin t), t 2π. En kurva där x och y är funktioner av (ytterligare) en variabel beror på parametern t är en kurva på parameterform. Vi ser att kurvan går genom punkterna (x, y) = (±, ) och (x, y) = (, ±). Det är här möjligt att uttrycka y som en funktion av x i övre halvplanet. Men vi beräknar derivatan y (x) genom följande. y (x) = dy dx = cos t sin2 t sin t cos 2 = tan t. t Speciellt i punkten (, ), som motsvarar t = (och t = 2π) är y =. För t = π/2 är y = ± och för < t < π/2 är y <. Av symmetriskt ser kurvan likadan ut i alla fyra kvadranterna. En skiss av kurvan är som nedan Astroid. Den streckade kurvan består av fyra kvartscirklar. Det framgår att astroidens längd är mindre än enhetscirkelns längd. 4

5 (a) Arean A som begränsas av kurvan. x = cos t dx = cos2 t( sin t) A = 4 ydx = x= V.S. x π/2 t = 2 π/2 2A = 2 = π/2 sin 4 t cos 2 t = {Symmetri} = 2 π/2 sin 2 2t = 2 A = π 8 (Svar). (b) Kurvans längd är π/2 [sin 4 t cos 2 t + sin 2 t cos 4 ]t = 2 π/2 ( cos 2t) = 2π 4 = sin 2 t cos 4 t π/2 cos 2 t sin 2 t = L = 2π (dx ) 2 + ( dy ) 2 = 2π 9 sin 2 t cos 4 t + 9 sin 4 t cos 2 t = Kommentarer: = = 6 2π π/2 2π (cos t sin t)2 = cos t sin t = 4 sin 2t = 6 [cos 2t]π/2 = 6. 2 Svar (b): Längden på kurvan är 6 l.e. π/2 Vi ser att beräkningarna underlättas genom användning av symmetri. Kurvan kallas astroid. Längden på kurvan är alltså 6 l.e. Längden på enhetscirkeln är 2π 6.28 alltså lite längre. Detta visar att astroiden inte är fyra kvartscirklar som är vända inåt. Ex 67: Vi betraktar nu kurvan y = g(x) = x x + 2, 2 x 2. Den begränsar en yta, tillsammans med x axeln (y = ) i talplanet som delvis ligger under x axeln. Ytan roterar kring x axeln och genererar på så sätt en (rotations- )kropp. Dess volym kan vi beräkna med skivmetoden. Volymen är alltså A(x) = π[f(x)] 2 = πf(x) 2. cos t sin t = 2 V = π x 2 (x + 2)dx = 4π 2 2 x 2 dx = 4π 2 = 2π v.e. 5

6 Ex 68: Kurvan y = f(x) = e x, y =, x = samt x = begränsar en yta i talplanet. (a) Ytan roterar kring x axeln och genererar en kropp med volym V. Beräkna volymen. (b) Ytan roterar kring y axeln och genererar en kropp med volym V. Beräkna volymen. (a) V = π [ e f(x) 2 2x dx = π 2 ] = e 2. (b) Vi ser att kroppen i detta fall är en cylinder minus en skål. Cylinderns volym V = π 2 e = π e. Skålens volym får vi genom att se den som en rotationskropp runt y axeln: funkion: x = f (y) = ln y Motsvarande volym är V 2 = π e x gränser:, x gränser:, e (ln y) 2 dy = {P.I.} = π[y(ln y) 2 ] e π = π(e 2[y ln y y] e ) = πe 2π. e y 2 ln y y dy = Ex 69: V = V V 2 = π e (πe 2π) = 2π (v.e.) (Svar) Beräkna tyngdpunktens för en homogen, rät cirkulär kon. Vi ser cylindern genererad av ytan y = kx, x h. Då är h konens höjd. k=r/h, där r är radien. Tyngdpunkten ligger på x axeln. Den beräknas som xdm x T = dm där dm är en infinitesimal massa, massan av en cylinderskiva med bredd dx. Låt ρ var den konstanta densiteten. Då är V = V (x) = (rx/h) 2 x, volymen mellan x = och x = x. Det ger Alltså är täljaren dm = ρ dv och dv = r2 x 2 dx x dm = π ρr2 h 2 6 h h 2 x dx = πρr 2 h2 4

7 och nämnaren dm = π ρr2 h 2 h Tyngdpunktens x koordinat är således x T = πρr2 h 2 4 πρr 2 h x 2 dx = πρr 2 h. = 4 h. Tyngdpunken är alltså belägen /4 av höjden räknat från basen. 7