1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller"

Transkript

1 Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller jz + + ij Im z Re z (A3/B2, 2008{03{27, 2) 2. (a) Los ekvationen z 2 + 4iz i = 0: Losningarna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita ut i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller de bada olikheterna jz + ij 2 och Im z 0. (B2, 2007{2{0, ) 3. Forklara varfor det ar rimligt att deniera att e x+iy = e x (cos y + i sin y): 4. Visa med hjalp av Eulers formler att sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x; sin 3 x = 4 3 sin x sin 3x : 5. (a) Los ekvationen z 2 (2 + 6i)z + 6i 7 = 0. (b) Om a ar ett komplext tal kan man deniera p a som den losning z till ekvationen z 2 = a som uppfyller < arg z. Berakna 2 2 p p p3 i och + i utifran denna denition. Svara pa polar form. 6. (a) Vektorn z = p + i roteras vinkeln =6 medurs kring origo i 3 + i det komplexa planet. Bestam absolutbeloppet och argumentet for resultatet.

2 (b) Ekvationen z 5 + 2z 4 + 5z 3 + 8z 2 + 6z + 40 = 0 har roten + 2i. Los ekvationen fullstandigt. Svara pa formen a + bi. (A2, 2007{2{, 4) 7. (a) Ekvationen z 4 6z 3 + 8z 2 30z + 25 = 0 har roten + 2i. Los ekvationen fullstandigt. (b) Beskriv med en bild alla komplexa tal z som uppfyller foljande tre villkor: jz ij ; 4 arg z ; Re z 2 (A2, 2008{03{0, 2) 8. (a) Bevisa att om det komplexa talet ar ett nollstalle till ett polynom p(z) med reella koecienter sa ar ocksa ett nollstalle till p(z). (b) Faktorisera polynomet p(z) = + z + z 2 + : : : + z 7 i reella faktorer av minimal grad. (992{0{09, 6) 9. Samtliga rotter till ekvationen z 4 4z 3 + 6z 2 24z + 20 = 0 ligger pa linjen genom punkterna och +2i. Los ekvationen fullstandigt. (998{04{6, 6) 0. Rotterna till ekvationen z 4 + 6z z z = 0 ar belagna pa en rat linje. Minst en av rotterna ar icke{reell. Los ekvationen. (999{04{09, 6)

3 Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Primitiva funktioner delkurs B2. (a) Skriv upp och visa formeln for partiell integration. (b) Bestam en primitiv funktion till e x cos 2x. (999{08{23, 4) 2. Bestam en primitiv funktion till var och en av foljande funktioner: (a) sin 2 x (b) x (c) x 2 4 (2007{08{20, ) 3. Bestam foljande primitiva funktioner: (a) Z p x x dx (b) Z arcsin x dx (998{2{6, ) 4. Ange en primitiv till var och en av foljande funktioner. (a) cos 2 ; (b) tan x; (c) x sin x 2 ; x (d) p 4x 2 ; (e) x cos x; (999{04{3, ) 5. Bestam alla primitiva funktioner till funktionerna (a) f (x) = 2x + 5 2x + 5 x 2 ; (b) g(x) = + 4x 5 x 2 + 4x + 5 : (2002{03{09, ) 6. Bestam alla primitiva funktioner till funktionerna (a) f (x) = 2x 6 x 2 + 8x 20 ; (b) g(x) = x 2 + 8x + 20 : 2x 6 (2003{03{0, 2)

4 7. Bestam alla primitiva funktioner till: (a) x 2 sin x; (b) x ln 2 : x (2003{04{25, ) 8. Bestam alla primitiva funktioner till (a) ep x p ; (b) x x 2 + 5x + 6 ; (c) x2 cos x: (2004{04{6, )

5 Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Integraler delkurs B2. (a) Formulera och bevisa analysens huvudsats. 2 da t 2 (b) Lat f (t) = 6 2t da t > 2: Z x Ange ett uttryck for funktionen S(x) = f (t) dt; x. (Svaret ska ges utan integraltecken.) Skissera aven grafen till S. (B2, 2007{2{0, 5) 2. (a) Lat f vara kontinuerlig i a x b. Anvand integralkalkylens medelvardessats for att bevisa analysens huvudsats: Z d x f (t) dt = f (x); a < x < b: dx a (b) Dilogaritmfunktionen Li2 introducerades av L. Euler (707{783). For < x < kan funktionen Z denieras av x ln( t) Li2(x) = dt: 0 t Visa att Li2(x) + Li2( x) = 2 Li 2(x 2 ) da < x < : (999{03{3, 6) 3. Berakna Z =2 dx; =2 x till exempel genom att gora variabelbytet x = cos 2 t. (998{04{2, 3) 4. Bestam foljande integraler: (a) Z 2 0 Z 5x + 7 x 2 + 3x + 2 dx; 2 (b) 0 cos 3 x dx: (A3/B2, 2008{05{22, 3)

6 5. Berakna integralen Z 6 (x + 2)(x + )(x 2 + 2) dx: 6. Visa att den generaliserade integralen Z 7 6x 2 + 5x + dx ar konvergent och berakna dess varde. (995{08{2, 3) 7. (a) Visa att foljande generaliserade integral ar konvergent: Z 0 + x 2 dx: (b) Visa att foljande generaliserade integral ar divergent: Z + x + x 2 dx: (c) Berakna foljande andliga gransvarde: Z t + x lim t! t + x 2 dx: 8. Kurvorna y = (A3/B2, 2008{05{22, 3) p + x 2, x 0, och y = p2 x, x 0, avgransar tillsammans med y-axeln ett begransat omrade. (a) Berakna omradets area. (b) Berakna volymen av den kropp som bildas da omradet roterar kring x-axeln. (A3/B2, 2008{03{27, 3; 999{08{23, ) 9. (a) Berakna integralen I n = Z n (Har ar n ett positivt heltal.) 0 x x 2 + dx:

7 (b) Beteckna med s n summan nx k=0 k k 2 + : Uppskatta (dvs. nn olikheter for) s n uppat och nedat med uttryck som innehaller I n. (c) Berakna gransvardet s n lim n! n : (998{04{2, 5) 0. Anvand integraluppskattning for att visa att n 3 3 n X k 2 (n + )3 : 3 k=. Ett plan delar ytan av ett klot i forhallandet :2. I vilket forhallande delas klotets volym av samma plan? (998{08{24, 5) 2. En yta av nedanstaende form roterar kring y-axeln. Visa att rotationsvolymen = produkten av den genererande ytans area och langden av dess tyngdpunkts vag under ett varv. (Guldins regel) y (a; b) y = f (x) (Tyngdpunkten ges av x T = m Z (x T ; y T ) x x dm.) (999{04{3, 6)

8 Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Dierentialekvationer delkurs B2. Los dierentialekvationen y 0 (x) 2x 2 3x y(x) = x + : x x + (998{2{6, 4) 2. Los dierentialekvationen (x + )y 0 + xy = (x + )e x ; y(0) = 2; x > : (999{04{3, 2) 3. Fallskarmshopparen Fia paverkas av tyngdkraften mg samt av en bromsande kraft (vindmotstand) som antas vara proportionell mot hennes fart i kvadrat. Detta leder till dierentialekvationen m dv dt = mg kv2 ; dar tyngdaccelerationen g ar 9; 8 m/s 2 och k ar en positiv konstant. I det ogonblick Fia hoppar ar hennes fart v noll, och v far sa smaningom ett vasentligen konstant varde som uppmats till 49 m/s. Bestam v(t) vid en godtycklig tidpunkt t. (998{2{6, 6) 4. Los dierentialekvationen f 000 f Ledning: Infor funktionen u = f 00 f 00 f 0 2 = 0: f 0 som ny obekant. (998{04{2, 6) 5. Lat a vara en reell konstant och lat y a (t) beteckna losningen till begynnelsevardesproblemet y ay 0 + y = 0; y(0) = 0; y 0 (0) = : Visa att lim t! y a(t) = 0 om och endast om a > 0.

9 6. Los begynnelsevardesproblemet y 00 2y 0 + 5y = 5x 2 + x; y(0) = 0; y 0 (0) = 5: Svaret ska ges pa reell form. (B2, 2007{2{0, 3) 7. (a) Los ekvationen y 00 + y = sin 2x. (b) Bestam alla losningar, som ar udda funktioner. (998{08{24, )

10 Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, delkurs B2 Tillampningar till dierentialekvationer. Dierentialekvationen x 00 + ax = 4 sin 2t utgor modell for den odampade rorelsen av en kropp fastsatt i en fjader, da den utsatts for en yttre periodisk kraft. (Har ar a en positiv konstant.) (a) Bestam a sa att resonans intraar, dvs. sa att hogerledet 4 sin 2t utgor en losning till motsvarande homogena ekvation x 00 + ax = 0 (b) Los den inhomogena ekvationen fullstandigt for detta varde pa a. (998{04{2, 4) 2. I ett rum startar en brand som konsumerar luftens syre. Mangden syre i luften ar fran borjan 20 g. I en modell antar vi att branden gor att syre konsumeras med en hastighet som ar proportionell mot syremangden i kvadrat. Tva experiment gors. (a) For att bestamma proportionalitetskonstanten gors ett experiment da rummet ar helt stangt sa att inget nytt syre kan komma in. Man uppmater att syremangden minskar till halften nar det har brunnit i 5 minuter. Bestam proportionalitetskonstanten och ange hur syremangden beror av tiden. (b) I det andra experimentet ar rummet inte helt stangt, sa syre kommer att tillforas med en konstant hastighet av g=min medan det brinner. Ange hur syremangden beror av tiden. Vad hander med syremangden efter lang tid? (2006{03{07, 6) 3. En vattentanks vaggar bestar av ytan som uppstar da kurvan y = x 4 roteras runt y-axeln. (a) Berakna volymen av vattnet som en funktion av djupet y. (b) Antag att ett litet hal gors i botten av tanken. Anvand nu Torricellis lag och kedjeregeln for att visa att vattennivan sjunker med konstant hastighet i denna tank. Torricellis lag sager att vattenvolymen andras med en hastighet som ar proportionell mot kvadratroten ur djupet. (A3/B2, 2008{05{22, 6)

11 4. En klotformig doftkula har som ny diametern 8 cm. Pa grund av avdunstning minskar doftkulans volym pa ett sadant satt att volymminskningen hela tiden ar proportionell mot doftkulans area. Efter en manad har diametern minskat till 6 cm. Hur mycket aterstar av kulan efter 3 manader? (997{2{9, 6) 5. For en viss bakteriekultur vet man foljande: Maximala antalet bakterier ar M miljoner, dar M = 0. Vid en godtycklig tidpunkt t dygn ar antalet bakterier y(t) miljoner, dar y(t) andras med en hastighet som ar proportionell mot produkten av y(t) och (M y(t)). Vid tiden t = 0 dygn ar antalet bakterier miljon. Efter dygn ar bakterieantalet 2 miljoner. (a) Stall upp en dierentialekvation for y. (b) Los dierentialekvationen och bestam proportionalitetskonstanten. (c) Kontrollera att lim y(t) = M. (2004{2{3, 6) t!

12 Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, delkurs B2 Maclaurins och Taylors formler. Satt f(x) = cos 2x. (a) Berakna maclaurinpolynomet p 2 (x) av ordning 2 till f(x). (b) Visa att jf(x) p 2 (x)j om jxj Satt f(x) = ln( + 3x). (2005{08{22, 4) (a) Berakna maclaurinpolynomet p 2 (x) av ordning 2 till f(x). (b) Visa att jf(x) p 2 (x)j 0 5 om 0 x 0 2. (A4, 2008{03{25, 3) 3. Satt f(x) = 3p + x. (a) Ange maclaurinpolynomet p 2 (x) av ordning 2 till f(x). (b) Ange felet i approximationen f(x) p 2 (x) pa Lagranges form. (c) Visa att jf(x) p 2 (x)j 5 8 x3, om x 0. p 3 (d) Berakna ett narmevarde till :09 med ett fel vars storlek ar mindre an (998{03{4, 3) 4. (a) Skriv upp Maclaurins formel med maclaurinpolynomet av ordningen 2 och med tillhorande restterm pa Lagranges form. (b) Visa olikheten cos x + x2 2 x 4 24 (999{04{3, 5) 5. (a) Berakna maclaurinpolynomet av grad 2 till f(x) = ( + 3x) =3. (b) Berakna gransvardet lim x!0 ( + 3x) =3 e x : x 2 cos x (2002{2{6, 2)

13 6. Berakna gransvardet lim x!0 sin 2 (x) sin(x 2 ) : (2004{08{23, 3) 7. Berakna Z sin x x dx med ett fel som ar hogst Bestam ett narmevarde till integralen 0 Z 0 sin p x dx sadant att felet ar mindre an (Du maste visa att ditt varde har onskad precision.) (205{08{7, 6b)

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.

ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int. Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå

Läs mer

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4

Läs mer

motiveringar. Lämna tydliga svar. 1 (arcsin x) 2 dx: (0.6)

motiveringar. Lämna tydliga svar. 1 (arcsin x) 2 dx: (0.6) TENTAMENSSKRIVNING LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK ENDIMENSIONELL ANALYS B (FMAA5)/A3 (FMAA) 74 kl. 83 Inga hjälmedel är tillåtna. För att du skall kunna erhålla full oäng skall dina lösningar vara läsvärda

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim

ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B2 26 3 7 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna a) x+4 x 3 +4x dx.5)

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014 SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen 015-01-1 DEL A 1. Låt f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004 KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf. TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att

Läs mer

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om

Läs mer

Mer om generaliserad integral

Mer om generaliserad integral Föreläsning XI Mer om generaliserad integral Ex 64: Givet h(x) = ( x 2 5x + 2 ) e x/2. (a) Bestäm en p.f. till h(x). (b) Beräkna h(x)dx. (a) Vi har här en integrand som är en produkt av ett polynom av

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).

Läs mer

Meningslöst nonsens. November 19, 2014

Meningslöst nonsens. November 19, 2014 November 19, 2014 Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar? Fråga 1. Om f (x) är begränsad kommer F(x) = x 0 f (t)dt att vara kontinuerlig? Deriverbar?

Läs mer

ODE av andra ordningen, och system av ODE

ODE av andra ordningen, och system av ODE ODE av andra ordningen, och system av ODE Exempel på di erentialekvation av andra ordningen (innehåller andra derivata) Pendel beskrives av Newtons andra lag: Kraft = massa Acceleration Acceleration =

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B.

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B. MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 343 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standard 73 88 34 LMA55 Matematik KI, del B Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden

Läs mer

Övning 11 Bestäm ett närmevärde till serien. Övning 12 Visa att. sin 3 x cos 5 x dx,

Övning 11 Bestäm ett närmevärde till serien. Övning 12 Visa att. sin 3 x cos 5 x dx, Integralkalkyl Analys36 (Grundkurs) Blandade övningsuppgifter När du har löst dessa övningar, ta dig tid att gå igenom vad du gjort. Tänk igenom att dina argument inte bara är rätt, utan att du tydligt

Läs mer

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej

Läs mer

Tentamensproblem i Matematik 1 β. Sammanställda av Tomas Claesson Utskrivna av Kjell Elfström

Tentamensproblem i Matematik 1 β. Sammanställda av Tomas Claesson Utskrivna av Kjell Elfström Tentamensproblem i Matematik β Sammanställda av Tomas Claesson Utskrivna av Kjell Elfström 25 maj 24 . Derivator. För vilka värden på den reella konstanten a gäller att x 3 5x 2 +3x +3 a för alla x? jan

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005 KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära

Läs mer

3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition

3 Deriveringsregler. Vi ska nu bestämma derivatan för dessa fyra funktioner med hjälp av derivatans definition 3 Deriveringsregler 3.1 Dagens Teori Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. 3.1.1 Vi är på jakt efter ett mönster

Läs mer

KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK

KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK ELIN GÖTMARK MATS JOHANSSON INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Date: 3 augusti 202.

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1

Läs mer

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid: HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1998. Anvisningar

Läs mer

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett

Läs mer

SF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden

SF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden KTH Matematik 1 SF162 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden 23-26 27-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 Rita upp triangeln ABC med A = (1,

Läs mer

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b

Läs mer

Dugga 2 i Matematisk grundkurs

Dugga 2 i Matematisk grundkurs Linköpings tekniska högskola Matematiska institutionen Tillämpad matematik Kurskod: TATA68 Provkod: TEN Inga hjälpmedel är tillåtna. Dugga i Matematisk grundkurs 013 16 kl 8.00 1.00 Lösningarna skall vara

Läs mer

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning

Läs mer

Typexempel med utförliga lösningar TMV130. Matem. Analys i En Var.. V, AT.

Typexempel med utförliga lösningar TMV130. Matem. Analys i En Var.. V, AT. Typexempel med utförliga lösningar TMV3. Matem. Analys i En Var.. V, AT. Försök alltid att lösa exemplen själv först. Integration. ([AE, Adams&Essex] Ex. 5.6. ) Beräkna integralen x + 6x + 3 dx LSN (Lösning).

Läs mer

= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5)

= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5) Matematikcentrum Matematik NF Räta linjen. Ange riktningskoefficient och skärningspunkter me alarna för följane linjer. a) y = 5 b) = y + 5 c) y = 5 + ) + y + = 0 e) y 4 = 0 f) + y = g) y 5 = h) y = 4

Läs mer

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig

Läs mer

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.

601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform. Kap 4.8 4.9. Taylors formel, Lagranges restterm, stort ordo, entydigheten, approimationer, uppskattning av felet, Maclaurins formel, l'hospitals regel. 60. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning

Läs mer

Något om Taylors formel och Mathematica

Något om Taylors formel och Mathematica HH/ITE/BN Taylors formel och Mathematica Något om Taylors formel och Mathematica Bertil Nilsson 207-0-0 I am the best Ett av Brooks många ödmjuka inlägg i den infekterade striden som under början av 700

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser TNA004 Analys II Tentamen 20-06-0 Lösningsskisser. a) De båda kurvorna skär varandra i x 0 och x. På intervallet 0 x är x x. Området D är då det skuggade i figuren nedan, där även en tunn rektangel är

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Tentamen SF e Januari 2016

Tentamen SF e Januari 2016 Tentamen SF6 8e Januari 6 Hjälpmedel: Papper, penna. poäng per uppgift totalt poäng. Betg E är garanterat vid 6 poäng, betg D vid poäng, betg vid C poäng, betg B vid 8 poäng och betg A vid poäng. För de

Läs mer

Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.

Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket. Institutionen för Matematik SF625 Envariabelanalys Läsåret 27-28 Lars Filipsson Modul 5: Integraler Denna modul handlar om integraler. Det slås fast i en precis definition vad som menas med att en funktion

Läs mer

Tentamen SF Jan Tentamen DEL 1.

Tentamen SF Jan Tentamen DEL 1. Tentamen SF6 Jan 5 Hjälpmedel: Papper, penna. Totalt 6 poäng per uppgift. För godkänt på modulen krävs 4 poäng. För E krävs 4 godkända moduler. För ett D krävs 5 godkända moduler. Med 5 godkända moduler

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.

Läs mer

Differentialekvationer av första ordningen

Differentialekvationer av första ordningen Föreläsning 1 Differentialekvationer av första ordningen 1.1 Aktuella avsnitt i läroboken 1.1) Differential Equations and Mathematical Models. Speciellt exemplen 3, 4 och 5.) 1.2) Integrals as General

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0 Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel

Läs mer

Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2

Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2 ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

En Guide till hur man Pluggar för Tentan. 1 Hur man Läser Matte.

En Guide till hur man Pluggar för Tentan. 1 Hur man Läser Matte. En Guide till hur man Pluggar för Tentan. 1 Hur man Läser Matte. Att läsa matte är en väldigt aktiv process. Det handlar inte om att bara skumma texten. Att läsa matte är att aktivt återskapa och internalisera

Läs mer

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1

1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1 HiH / Georgi Tchilikov ENVARIABELANALYS 5p för LGr&LGy april 9.-. Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Miniräknare. Betygsgränser: p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd (p. från propedeutiska kursen kan tillgodoräknas)

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.) Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna

Läs mer

1 Tal, mängder och funktioner

1 Tal, mängder och funktioner 1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk

Läs mer

Lösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.

Lösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x. Lösningar till MVE6 Matematisk analys i en variabel för I 7-4-. a Division ger yy + y x. Ekvationen är alltså separabel. Integration av vänstra ledet ger y + y dy ln + y Efter integration blir det alltså

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 17 Institutionen för matematik KTH 6 december 2017 Anmälan till tentamen För att skriva tentamen (2018-01-08) behöver ni anmäla er (Mina sidor, deadline 18:e december). Idag Kap 7. Tillämpningar

Läs mer

1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)

1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p) Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA2 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Fredagen den 3 januari 27 35-6722 Skrivtid: 5.-2. Inga hjälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt och skriv namn

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av mars 1997. NATIONELLT PROV

Läs mer

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaE vt00 lämpliga för Ma4 1(9) Innehåll Förord 1 Kursprov i matematik, kurs E vt 00 Del I: Uppgifter utan miniräknare 3 Del II: Uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik är att

Läs mer