Övning 11 Bestäm ett närmevärde till serien. Övning 12 Visa att. sin 3 x cos 5 x dx,

Transkript

1 Integralkalkyl Analys36 (Grundkurs) Blandade övningsuppgifter När du har löst dessa övningar, ta dig tid att gå igenom vad du gjort. Tänk igenom att dina argument inte bara är rätt, utan att du tydligt har skrivit ner dem, så att en oberoende person kan förstå hur du resonerat (även om de inte förstår själva lösningen). Det är lätt att slarva med den delen, men den är nästan mer lärorik än att lösa talet. Diskutera gärna med en kamrat om hur man bör skriva ner lösningen! Lösningar till dessa uppgifter ska inte massproduceras eller läggas ut på internet! Övning Beräkna följande integraler / (arcsin ), b) π/ e sin sin(), c) π/4 π/4 tan π/ d) + tan, e) cos + cos Övning Beräkna följande integraler / π cos, b) e sin Övning 3 Beräkna följande generaliserade integraler, b) Övning 4 Visa olikheterna e + sin, /, c) ( + 4) / 4 b) 3 + ln. sin 3 cos, Övning Avgör om följande integraler är konvergenta eller divergenta: 3 +, b) 3, c) (e + ). Övning 6 Från en nyupptäckt oljefyndighet beräknas man efter t månader kunna utvinna olja med en hastighet av 3e.3t fat råolja per månad, och då beräknas oljepriset vara +.3t dollar/fat. Om oljan säljs i samma ögonblick som den utvunnits, hur stor blir den totala inkomsten från fyndigheten, om vi antar att den används i all evighet? Övning 7 Visa, genom att jämföra med en lämplig integral, att Övning 8 Visa att Övning 9 Visa att π k= π + k(k + ) ln k k k= + 3 ln. 4 a k= k + a π a + a. Övning Är följande serier konvergenta eller divergenta? Övning Bestäm ett närmevärde till serien k k= sådant att felet är högst 4 4. Du behöver visa feluppskattningen också (använd gärna en miniräknare för den numeriska uträkningen). Övning Visa att f () = är en väande funktion då >. ln t 3 e t Övning 3 Bestäm alla positiva nollställen till funktionen f () =. + t 4 / Övning 4 Bestäm de värden för för vilka funktionen f () = π är minimal respektive maimal. sin t, π 4π, t Övning Kim har gjort följande beräkning: [ ( + ) = ] = + 3 = 4 3. Resultatet är uppenbarligen fel! Förklara varför. b) Vad är det som går fel i räkningarna? Vilken är den korrekta slutsatsen om integralen? Övning 6 En student gjorde följande räkning (här något kortad): + [ ) + 4 = = arctan( ] / =. Ge ett enkelt argument för att räkningen måste vara fel. b) Derivera den föreslagna primitiva funktionen. Vad ser du? Förklara! c) Beräkna integralen. Övning 7 Dilogaritmfunktionen Li definierades av Euler som Visa att Li () = ln( t), <. t Li () + Li ( ) = Li ( ), <. Övning 8 Lemniskata-funktionen L() = t, < är en annan funktion som intresserade Euler. Visa att för den gäller att L( ) = L(). Om du orkar, visa också att det allmännare gäller att k= k ln k, b) k= ln k k 3/. L() + L(y) = L(T(, y)), där T(, y) = y 4 + y 4 + y.

2 Övning 9 Vissa kurvor kan anges på polär form, vilket betyder att man för varje vinkel θ anger hur långt borta, r = r(θ), en punkt på kurvan ligger (det får bara finnas ett r till varje θ, men samma riktning kan anges med många θ, se b)-delen nedan). Om vi använder komplea tal kan ekvationen för en sådan kurva skrivas z(θ) = r(θ)e iθ. Visa att z (θ) = r(θ) + r (θ). b) Beräkna längden av kurvan r(θ) = θ, θ, c) Skissera utseendet av den s.k. logaritmiska spiralen vars ekvation på polär form är r(θ) = e θ/6, θ, och beräkna dess längd. Övning En behållare för färskvatten har formen av den skål som uppkommer då kurvan y =, roteras runt y-aeln (enhet: meter). Bestäm volym vatten (m 3 ) i behållaren då vattenytan är h meter över behållarens lägsta punkt. b) En spricka i botten av behållaren gör att vatten börjar läcka ut med en hastighet som är proportionell mot h. När sprickan uppkom var behållaren full och i det ögonblicket rann det ut L/timme. Om inget vatten tillförs, efter hur lång tid är behållaren tom? c) När behållaren är fylld till halva höjden börjar det regna. Hur mycket måste det regna (mätt i mm per timme) för att vattennivån ska vara konstant under regnet? Övning En klotformig tank är fylld med vätska. En kran i tankens botten öppnas, och vätskan börjar rinna ut. Efter en timme är tanken tömd till hälften. Hur lång tid tar det innan den är helt tom? (Utströmningen antas följa Torricellis lag: flödet ut är proportionellt mot kvadratroten av höjden av vätskeytan över utströmningshålet.) Övning Låt y() vara den kontinuerliga lösningen till ekvationen y() = + sin(y(t)). Bestäm Maclaurinpolynomet av ordning 3 till y(). b) Bestäm den inversa funktionen till y(). c) Bestäm lim y(). Övning 3 En rotationssymmetrisk pelare av stål bär upp en tung staty. Stålet tål maimalt belastningen σ, ca 3 N/mm, varför radien vid stolpens topp måste vara r. Ett tvärsnitt längre ned av pelaren måste vara större, eftersom den belastas både av statyn och massan av den del av stolpen som ligger ovanför tvärsnittet. Antag att stålets densitet är ρ. Bestäm hur tvärsnittsarean beror av avståndet från toppen, om varje tvärsnitt är maimalt belastat. Övning 4 Beräkna integralen γ ( + y)ds där γ parametriseras av c(t) = (e t +, e t ), t ln. Övning Beräkna γ y 3 ds där γ är det räta linjestycket mellan punkterna (, ) och (, ). Övning 6 Beräkna det genomsnittliga avståndet från en punkt på cirkeln + y = 9 till y-aeln, b) intervallet [ 3, 3] på y-aeln till cirkeln + y = 9. Övning 7 Bestäm Maclaurinpolynomet av ordning till den kontinuerliga funktion f som löser integralekvationen (Försök inte att lösa ekvationen!) f () = f (t). Övning 8 Myrlejonsländans larv gräver ner sig längst ner i en grop i fin sand för att fånga sin mat, myror. Om larven ligger i origo och fångstgropen har som rand den rotationsyta som uppkommer när vi roterar y = 3/ +, runt y-aeln, hur stor är fångstgropens volym? Övning 9 Vattenskålen till en hund uppstår då kurvan roterar kring y-aeln. y = 4 3 ( ),, Hur stor volym vatten ryms i skålen? b) Hur högt kommer vattnet att stå om man bara fyller i hälften av den maimala volymen? Övning 3 Beräkna integralen b) Låt I n = n (Här är n ett positivt heltal.) s n = n k= + +. k + k +. Uppskatta s n uppåt och nedåt med uttryck som innehåller I n. c) Beräkna gränsvärde Övning 3 Beräkna med ett fel som är högst. 4. s n lim n n. sin Övning 3 Bestäm alla kontinuerliga funktioner y som löser integralekvationen t f (t) f () = +,. + t Övning 33 Sök alla kontinuerliga lösningar till y() e y(t) t = och ange deras definitionsmängder. Övning 34 Lös integralekvationen med begynnelsevillkoret f () =. f () = + f () f (t) Övning 3 Låt y() vara den kontinuerliga funktion som löser integralekvationen y() = + y(t)( y(t)). Bestäm Maclaurinpolynomet av ordning till y().

3 Övning 36 Avgör om funktionen g() = 8 e e t, > har ett minsta värde. Om så är fallet, för vilket värde på antas detta. Övning 37 Betrakta en vätska, som strömmar genom ett rakt cylindriskt rör med cirkulärt tvärsnitt med radien R. Vid vissa betingelser är vätskans hastighet störst längs rörets ael och noll invid rörväggen. Mer precist, på avståndet r från cirkelskivans medelpunkt ges vätskehastigheten v av v = k(r r ), där k är en positiv konstant. Bestäm flödet genom det cirkulära tvärsnittet (alltså den vätskevolym som passerar per tidsenhet). Övning 38 Förbränningsrummet i en Wankelmotor begränsas i ett visst tvärsnitt av en epitrokoidkurva som har parametriseringen c(t) = (b cos(3t) + 3 cos(t), b sin(3t) + 3 sin(t)), t π, där b är en konstant. Bestäm längden av kurvan då b =. (I en Wankelmotor är b <. Vilken integral måste vi kunna beräkna för att få dess längd?) Övning 39 För att mäta hur stor volym blod hjärtat pumpar ut per minut gav man mg av ett färgämne i en stötdos i en ven alldeles före hjärtat. Därefter uppmättes koncentrationen av färgämnet i ett kärl alldeles efter hjärtat under 3 sekunder. Man visste att färgämnet under dessa 3 sekunder inte cirkulerar ett helt varv i blodomloppet. Om koncentrationen c(t) mättes i mg/ ml vad den t sekunder efter injektionen t < 3, c(t) = (t t 4)e t/ 3 t 8, 8 < t 3. Hur stor volym passerar hjärtat per minut? Övning 4 Låt f vara en kontinuerlig funktion på [, ] sådan att f (t) =. Visa att det då finns ett i intervallet sådant att f () = f (t). Ledning: Beteckna högerledet med F(). Vad innebär villkoren för F? Skriv om påståendet som en derivata! Övning 4 Om vi roterar området mellan kurvorna y = + och y = i första kvadranten runt y-aeln får vi en kropp som väl beskriver en viss kristallskål i lämpliga koordinater. Gör en enkel skiss av skålen samt beräkna volymen av den glasmassa skålen är gjord av. Övning 4 Skissera samt beräkna volymen av den kropp som uppkommer när området mellan kurvorna y = och y = roteras runt y-aeln. Övning 43 Vi betraktar ett hjul som rullar längs en rät linje. Den kurva som uppkommer då vi följer en punkt på hjulet kallas för en cykloid (se figuren nedan, där vi har ritat ut hjulet vid två olika tidpunkter). Antag att hjulet har radie, och låt γ beteckna den del av cykloiden som är ritad svart i figuren. En parametrisering av γ ges då av γ : { (t) = t sin t, y(t) = cos t, t [, π] Beräkna längden av γ. y b) Beräkna arean av den yta som bildas då γ roteras ett varv kring -aeln. c) Beräkna arean av området som begränsas av -aeln och cykloiden γ. d) Verifiera att γ verkligen kan parametriseras enligt formeln ovan. Övning 44 Om vi roterar området mellan kurvan y = e /,, och -aeln runt y-aeln får vi en skål. Hur många liter vatten kan vi hälla i denna skål innan det rinner över? Längdenheten är dm. Övning 4 Betrakta kurstycket γ som ges av grafen till funktionen f () = 3 (3 ) då 3. Beräkna längden av γ. b) Beräkna arean av den rotationsyta som uppstår då kurvstycket roterar ett varv kring -aeln c) Beräkna volymen av den begränsade rotationskropp som uppstår då kurvstycket roterar ett varv kring -aeln. Övning 46 Bestäm alla deriverbara funktioner f sådana att f (t) f () = 3 ln + +,. t + Övning 47 Lunchkön vid en känd självservering i en ökänd universitetsstad beskrivs i ett koordinatsystem med kassan i origo av r(t) = (3t, (4t + )3/ ), t. Om vi antar att varje student upptar en plats om en längdenhet, hur många studenter står då i kön? Övning 48 Basen till en kropp K är cirkelskivan i y-planet med radien och medelpunkt i origo. Varje snitt av K med ett plan vinkelrätt mot -aeln är en kvadrat. Beräkna volymen av K. Övning 49 Låt D vara det ändliga område i y-planet som begränsas av linjen y = och parabeln y =. Bestäm volymen av den kropp som uppstår då D roterar kring linjen y =. Övning Beräkna arean av den rotationsyta som bildas då kurvan får rotera kring -aeln. y = cosh,, Övning Kurvan y =, 3, roterar ett varv runt -aeln. Bestäm arean hos den så uppkomna rotationsytan. Övning Beräkna arean för den rotationsellipsoid som fås genom att rotera ellipsen / + y = runt -aeln. Övning 3 Ur ett klot med radien R cm borrar man ett hål längs en diameter. Det som blir kvar av klotet är en ringformad kropp med höjd 6 cm. Beräkna kroppens volym. (R > 3.) Övning 4 Beräkna volymen av den oändligt långa kropp som uppkommer då kurvan y = e/, roterar kring -aeln. t

4 Övning Betrakta kurvstycket y = /, 4. Beräkna dess längd b) Om kurvstycket får rotera kring y-aeln, så bildas en rotationskropp. Beräkna volymen av denna. Övning 6 Kallan dricker varm choklad ur en cylinderformad mugg vars höjd är h och vars botten är en cirkelskiva med radie r. Efter en stund upptäcker Kallan till sin förtjusning att om muggen lutas så mycket att chokladen precis rör vid övre kanten på muggen så blir eakt halva botten synlig. Bräkna volymen av den choklad som är kvar i muggen vid detta tillfälle. Övning 7 I den här övningen ska vi visa att där betyder att kvoten går mot. Visa först att ln t då, ln b) Visa att om α < så gäller att c) Hur drar vi nu slutsatsen att α ln t ln. ln t α α ln. ln lim ln t =? Svar Övning π 7 + π 3 6, b), c) 6 cos 3 sin, d) ln, e) π. Övning sin + sin + cos cos, b) ( + e π + e π ). Övning 3 divergent, b) π, c) π. Övning konvergent, b) konvergent, c) konvergent Övning 6. Övning divergent, b) konvergent Övning Vi har att k=n+ n = /4n. Om vi väljer n = är felet precis 4 4 och närmevärdet är Övning 3 =. k k= Övning 4 Minst då = π och störst då = 3π. Varför är f (4π) >? Övning Integranden är positiv, så integralen kan inte vara noll. b) Integralen är divergent. Den är generaliserad eftersom vi gör division med noll då = /. Övning 6 Integranden är positiv så integralen kan inte vara noll. b) Den primitiva funktionen är korrekt, men den är inte definierad i origo. Vill vi använda den måste vi dela upp integralen i två, en på var sida om origo. c) π/. Övning 9 Använd att z (θ) = (r (θ) + ir(θ))e iθ b) 38/3 c) 37 y Övning πh / m. b) π 3 c) a = π Övning Svaret är 9 timmar. Ekvationen för höjden är. mm/h =. 79 4Rh 3/ 3 h/ = kt π + C där villkoren ger att C = 6 R, k = πr/ (6 4).

5 Övning + / + 3 /6 b) cos + sin + c) 3π/ Övning 3 πr eρ/σ mm. Övning 4 3. Övning 6 Övning 6 ds = 6 π γ π b) 3 y )dy = 6 3(3 3 Volymen är 9π/6 volymsenheter. Övning 7 p () = ( ) Övning 8 3π ln + 3π = π ln( + ) 3π Övning 4 Volymen är π volymsenheter. Figur Övning 9 4π/9, b) längdenhet Övning 3 I n = 4 (n + 3 arctan( n)) b) I n + n + n + s n I n + c) Övning 3 Ett närmevärde är.... ( /6 + 4 /) = Felet, med Lagranges restterm, är mindre än 6 7! = 7 7! < 3. Övning 3 f () = + (ln( + ) + ln ) Övning 33 y = ln(e + e ), < ln( e ) Övning 34 f () = + ( )e Övning 3 p () = + 4 Övning 36 Minimum i = 6. Övning 37 kπr 4 / Övning 38 Integralen som ska beräknas är Vi har att I = 4. I b = 3 π b + + b cos(t). Övning 39 Integralen är 76e e 3/ 9.87 mg s/ ml. Om Q är hjärtminutvolymen så ges den av sambandet = Q 3 c(t), alltså Q =.79 s = 6. l. Övning 4 Villkoret kan skrivas som (använd integrerande faktor): (e F()) = där F är en primitiv funktion till f. Använd medelvärdessatsen (den från differentialkalkylen). Övning 4 Skiss(?) Övning 43 8 längdenheter b) 8π/3 areaenheter c) π y(t)(t) = 3π areaenheter Övning 44 Rita figur! Rörformeln ger: π( e e / ) = 4π(3e ).3 l Övning 4 3 längdenheter b) 3π areaenheter c) 3π/4 volymsenheter Övning 46 f () = 3 Övning 47 8 studenter Övning 48 ( ) = 6 3. Övning 49 Räkna med komplea tal! Motivera varför vi ska rotera kurvan c(t) = (t) + iy(t) = (t + t + i( t + t )), t, runt den reella aeln. Svaret ges av Övning π (e + 4 e ) Övning 6π/3 Övning π + π Övning 3 6π cm 3. πy(t) (t) = π 6.

6 Övning 4 π (e ) Övning ( 6 + ln( + 3), b) π Övning 6 3 hr Övning 7 Genom uppskattningarna och kända gränsvärden får du att ln lim ln t α. Men α kan väljas goyckligt så länge det är <. Vi kan därför låta α och får resultatet.