Tenta i MVE465 Linjär algebra och analys fortsättning. K/Bt/Kf. (2p) Z 2 xdx b) Beräkna 0 (x + 1) (2x + 1). (3p)

Transkript

1 MATEMATIK Datum: 8-- Tid: eftermiddag (kl.-8.) Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. Kursansvarig: Aleei Heintz Telefonvakt: Carl Lundholm ankn. 9 Tenta i MVE Linjär algebra och anals fortsättning. K/Bt/Kf Tis: Börja lösa ugifter från den som verkar vara lättats, ta sedan den som känns vara näst lättast o.s.v.. Integraler och rimitiva funktoner. a) Beräkna sin ()d. () d b) Beräkna ( + ) ( + ). () a) sin ()d = cos() d = d cos()d = d sin() = sin() + sin()d = cos sin + C: 8 b)partiellbråksudelning ger: = ; (+)(+) + + d d = ln ( + ) d = ln ( + ) ln ( + ) d = ln ( + ) ln ( + ) + C (+)(+) Integralkalkulenshuvudsats medför: ln. Tillämningar av integraler. d (+)(+) = ln ( + ) ln ( + ) = ln a) Beräkna arean av guren i halvlanet som är begränsad av två linjer: cirkeln + = och arabeln = Tis: Det lämligt att använda variabelbtet av t = a sin(t) i en av integraler som ustår. () b) Beräkna arean av tan som är bggd med rotation av grafen till funktionen = sin() för [; ] runt - aeln. () a) Skiss av guren:

2 Skärningsunkter mellan arabeln och cirkeln bestämmes som lösning till sstem ekvationer + = och = :Detta som medför att + ; och rötter till det olnomet är = och = 8. oten = 8 är negativ och nns inte å arabeln. Bilden är smmetrisk med avseende å aeln. Det räcker att beräkna arean av halvan av guren. Intervallet för inom den guren är ; = ;. Figuren är smmetrisk med avseende å - aeln, så det räcker att beräkna hälften av arean. Vi delar u guren i två intervall för : + Arean = I = = 8 d = I + I = I = d; Använd variabelbtet = sin(t), d = cos(t)dt. = för t = =; = för t = =. I = sin t ( cos(t)) dt = = = +cos(t) dt =. Arean = I + I = + = + Svar: Arean = + sin t cos(t)dt = = = (cos t) dt = b) Beräkna arean av tan som är bggd med rotation av grafen till funktionen () = sin() för [; ] runt - aeln. Svar: Arean = ln + ln + Allmän formel för arean är Arean = q () + ( ()) d: För konkreta funktionen () = sin() Arean = sin() + cos ()d = + d Betrakta rimitiv funktion: + d = + + ln + + : Tillämning av integralkalkulens huvudsats ger + cos ()d(cos()) = + d =

3 h + d = + + ln + i + = + ln + + ln + = ln + ln + och medför svaret. Primitiva funktioner med + beräknas vanligen med hjäl av substitutionen = tan() : I = + d = + tan ()d tan() = q + sin () cos ()+sin () d = cos ) cos () = cos () d = sec ()d d = cos() cos () Den rimitiva funktionen I = sec ()d betraktas i Adams i Eamle i kaitel. och reduceras där till standarta integralen d = sec()d = ln jsec() + tan()j cos() med hjäl av artiell integration. Introducera betekningar: U = sec(); V = tan(); du = sec() tan(); dv = sec ()d: och använd artiell integration i I: I = sec ()d = UdV = sec() tan() sec() tan ()d = sec() tan() sec() (sec () =sec() tan() I + sec()d = sec() tan() I + ln jsec() + tan()j Integralen I löses ut och ger I = sec() tan() + ln jsec() + tan()j. Substitutionen av ursrungliga variabler = tan() och sec() = + ger I = + + ln + + ) d Man kan också beräkna den rimitiva funktionen med att göra artiell integeration direkt å integralen + d och sedan använda att d = ln + + : + I = + d = + d + + d + d + = I d: = d = + I löses ut: I = + + d. + Den sista rimitiva funktionen är bra att kunna: d = ln + + : + Den är ekvivalent med standarta rimitiva funktionen d = sec()d = ln jsec() + tan()j cos() genom samma variabelsubstitution = tan() som ovan: d = + +tan d (tan()) = cos() () ln jsec() + tan()j = ln + + d = d = sec()d = cos () cos()

4 . Di erentialekvationer. a) Lös begnnelsevärdesroblem: tan() = ; () = : () cos() b) Ange allmän lösning till ekvationen + = sin(): () a) Ekvationen är linjär av första ordningen å formen + () = g() med begnnelsevillkor ( ) =. Den löses med hjäl av formeln: () = e (s)ds ( ) + s g(s) e (t)dt ds () = tan(), g() = = cos(), ( ) =. (s)ds = tan(s)ds = ln (cos ) ln (cos ) = ln (cos ) e (s)ds = e( ln (cos )) = cos() g(s) e s (t)dt ds = Svar: () = : cos() e (ln (cos s)) ds = ds = cos(s) Andra sätt att lösa samma ekvation är med hjäl av integrerande faktorn. Formeln ovan är bara allmänt svar å samma metod. Vi multilicerar ekvationen med integrerande faktorn e ()d = e(ln(cos()) = cos() i det fallet och observerar att det som står i vänster är derivatan av rodukt: d d e ()d + () e ()d = d e ()d d och ekvationen å den formen d e d ()d = g() e ()d löses med integrering av vänser och högerled och tillägg av en godtcklig konstant. e ()d = g() e ()d d + C Efter multilikation med e = e ()d ()d vi får svaret med en godtcklig konstant C. g() e ()d d + e ()d C Konstanten väljes så att skulle uflla begnnelsevillkor. I vår konkret situation e ()d = cos(), g() = och e cos() ()d =. Detta medför att cos() () = d + C cos() = cos() cos() + C cos()

5 Begnnelsevillkoret är () = som medför att C = och svaret () = b) + = sin(): Karakteristisk ekvation är + =, rötter är =, = : Detta medför att allmän lösning till homogena di erentialekvationen h () = C e + C e. ötter till karakteristiska ekvationen är inte lika med i.. cos() + = är Detta medför att en artikulär lösning till inhomogena ekvationen kan hittas å formen () = A sin() + B cos(): Vi hittar koe cienterna A och B med att sätta den formeln in i ekvationen. A sin() B cos() (A cos() B sin())+ (A sin() + B cos()) = (B A) cos + (A + B) sin = sin() Detta medför ett sstem ekvationer för A och B. A + B = and (A + B) =. Vi skriver det å matris form:, Gauss elimination ger trastegsformen Tillbaka substitution ger reducerade trastegsformen: () = sin + cos Svar: Lösningen är = sin + cos + C e + C e.. ank, kolonnrum, nollrum. Lösbarhet av linjära sstem. Betrakta matrisen A = och vektor b =.,. A = och B =. a) Bestäm dimensionen av kolonnrummet Col(A) och dimensionen av nollrummet N ull(a) till A: () b) Bestäm om b hör till kolonnrummet Col(A) till A: () c) Betrakta transonat A T av A och ange en bas till dess nollrum Null(A T ). () d) Anänd basen till Null(A T ) och Fredholm satsen för att bevisa att sstemet A = b är lösbart. () a) Dimension av kolonnrummet till en matris kallas för matrisens rank och är lika med antalet ivot element. Dimention av nollrummet är lika med antalet fria variabler och är lika med n rank där n är antalet kolonner. Det är lätt att se att kolonnerna i A är linjärt oberoende: de är två ickearallella vektorer i. ank är lika med. Nollummet N ull(a) består bara av en nollvektor och har dimension noll.

6 A =, Gaussian elimination ger trastegsmatrisen kolonnerna i A är linjärt oberoende. b) Gausselimination å utvidgade matrisen visar att b hör till kolonnrummet Col(A) till A: c) A = ; AT =., ger Trastegsformen till A T fås med Gauss elimination: bas till nullsace Null(A T ) : v = ; v = :Man ser att Gauss som d) Satsen om sambandet mellan ortogonala komlementet (Col(A))? till colonnrummet Col(A)och nullrummet till transonat matris Null(A T ) säger att (Col(A))? = Null(A T ). Detta medför Fredholm satsen som säger att sstemet A = b har en lösning om och endast om b är ortogonal till Null(A T ). Detta följer från att b är ortogonal till alla basvektorer i Null(A T ) : både v och v i vårt fall. Vi testar detta: = ;. Linjära transformationer. = : Sstemet är lösbart enligt Fredholms sats. (8) Ange standard matris till linjär transformation från till som utgör först segling i linjen = i lanet och sedan rotation moturs runt origo i vinkel =. () Standardmatris till transformation T har kolonner som är bilder av basvektorer e och e. Transformationen av e ger först e efter seglingen. otation av e i vinkel = ( cos(=) = grader) ger vektorn = sin()= = Transformationen av e ger först e efter seglingen. otation av e i vinkel = ( cos(=) = grader) ger vektorn = sin(=) =

7 = = Standardmatrisen är = =. Egenvektorer, egenvärden, diagonalisering. Sstem linjära ODE. a) Bestäm om matriser A =, och B =, kan diagonaliseras och i så fall ange motsvarande diagonalmatris och transformationsmatris. () b) Betrakta sstemet ODE: = A med A =. Ange allmän lösning och skissa fasortrett. Bestäm lösningen som ufller begnnelsevillkoret () =. () a) matrisen A =, har karakteristiskt olnom: + =, eigenvektorer: v = $ = ; v = $ =. Egenvärden är olika, detta medför att egenvektorer måste vara linjärt oberoende. Det är lätt att se i det fallet med två vektorer v och v att de är linjärt oberoende: icke aralella här. Matrisen A diagonaliseras med matrisen P = [v jv ] = ; nämligen P AP = D =. Matrisen B =, har karakteristiskt olnom: + 9 = ;egenvärdet är = och har multilicitet. Det nns bara en linjärt oberoende egenvektor v = som är lösningen till ekvationen (B I)w=; eller =. Enligt satsen om tillräckligt och w w nödvändigt kriterium för diagonaliserbara matriser matrisen B kan inte diagonaliseras b) Allmän lösning till ekvationen = A är (t) = C e t v + C e t v. Begnnelsevillkoret är () = C v + C v = : Detta medför ekvationen för C och C : C C =. Gauss elimination leder till tra- Utvidgad matris till detta sstem är stegsmatrisen och värden för C =, C =. lkroroblemet är (t) = e t v + e t v : Lösningen till begnnelsevil-

8 Kon gurationen i fasortrett är sadelunkt. I fall då C = går banor mot oändligheten längs linjen genom origo, som är arallell med v. Om C = går banor mot origo längs linjen genom origo, som är arallell med v. Banor i faslanet mellan dessa linjer för C och C skilda från noll är hebler som närmar sig ovannämnda räta linjer då tiden går mot och.. Skalär rodukt, ortogonalitet, rojektion. Smmetriska och ortogonala matriser. Betrakta smmetrisk matris A =. a) Hitta en ortogonal matris som transformerar matrisen A till en diagonal matris. () b) Ange sektral dekomosition av matrisen A. () a) ;karakteristiskt olnom : Egenvärden =, = 9: egenvektorer: v = $ ; v = $ = 9. Matris A är smmetrisk. Detta medför att v och v är ortogonala. Det är och så lätt att se att v v =. Normerade egenvektorer är w = v kv k = och w = v kv k =. Ortogonala transformationsmatris i det fallet är P = : Dess invers är lika med dess transonat P = P T = och är eventuellt lika med själva P: P AP = 9. b) Sektral dekomosition av smmetrisk matris A är uttrck P A = n i w i wi T med ortogonala normerade egenvektorer w i :I fall med givna matrisen i= består summan av två termer A = w w T + 9w w T = Sats. Formulera och bevisa integralkalkulens huvudsats. () Maoäng å tentan är. Betggränser för oäng å tentamen, inklusive eventuella bonusoäng är: : ; : ; : 8

9 Formelblad Trigonometri cos(+) = cos () cos () sin () sin (); sin() cos() = (sin ( + ) + sin ( )); sin( + ) = cos () sin () + cos () sin (); tan( + ) = tan() + tan() tan() tan() ; cos() cos() = (cos ( ) + cos( + )); sin () = cos() ; sin() sin() = (cos ( ) cos( + )); cos () = + cos() ; Binomialsatsen (lämliga seciella fall) (a + b) = a + a b + ab + b ; (a + b) = a + a b + a b + ab + b ; Konjugatregeln a n b n = (a b) n P T.e. är k= a (n k) b k ; a b = (a b)(a + b); a b = (a b)(a + ab + b ). 9