LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod"

Transkript

1 TANA21+22/ 30 september 2016 LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 1 Inledning Vi skall studera begynnelsevärdesproblem, både med avseende på stabilitet och noggrannhetens beroende av steglängden. Vi studerar ett exempel av första ordningen och löser sedan ett system av differentialekvationer. 1.1 Mål Målet med denna laboration är att du skall få övning i att använda Eulers metod och Runge-Kuttas klassiska metod. få viss insikt i vad stabilitet innebär. få övning i att hantera system av differentialekvationer. få insikt i hur man praktiskt kan analysera trunkeringsfelets beroende av steglängden. få övning i att använda en av MATLAB:s ode-lösare för att lösa ett praktiskt problem. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod Vi skall börja med att studera ett första ordningens begynnelsevärdesproblem. Vi skall använda Eulers metod (Euler framåt) och Runge-Kuttas klassiska metod för att lösa ett problem på formen y = f(x,y), x x 0, y(x 0 ) = y 0. Vi låter vårt testproblem vara: y = 5y +2.5 = f(x,y), 0 x x n, y(0) = 1. ( ) exakt lösning: y = e 5x +1 2 Följande enkla funktion (finns att kopiera på kurshemsidan) kan användas för att implementera Eulers metod. function y=myeuler(f,x0,xn,y0,h) y=y0; x=x0; plot(x0,y0,. ) hold on while x < xn-h/2 y=y+h*f(x,y); x=x+h; plot(x,y,. ) disp([x y ]) end hold off Uppgift 2.1 Skapa funktioner Skapa myeuler.m i din hemkatalog. Modifiera också programmet till myrungekutta.m som använder Runge-Kuttas metod och skapa en funktion som beräknar f(x, y) för testproblemet. Det måste vara en funktion av två variabler även om inte båda används. En anynom funktion kan skapas i kommandofönstret: -5*y+2.5 1

2 2.1 Stabilitet Eulers och Runge-Kuttas metoder är exempel på explicita metoder. Dessa kräver i regel relativt korta steglängder för att kunna fungera. Om steglängden, h, är större än en viss kritisk gräns (som är olika för olika differentialekvationer) så avlägsnar sig den numeriska approximationen alltmer från den exakta lösningen då n växer. Vi säger då att metoden är instabil för detta h. I motsatt fall säges metoden vara stabil. Uppgift 2.2 Datorexperiment Undersök vad som inträffar i de två metoderna för h = 0.1, h = 0.45 och h = 0.6. För vilka steglängder är respektive metod stabil? h Euler Runge-Kutta Sätt xn = Numerisk simulering av en regulator Vi skall nu studera en numerisk simulering av en regulator för en vattentank. En tank är fylld med vatten enligt figuren nedan. Vid tidpunkt t är vattennivån x(t). Vattentillförseln y(t) styrs av en regulator. Dess egenskaper beror på förstärkningskoefficienterna K P och K I. Målet för regulatorn är att hålla x(t) så nära noll som möjligt. regulator y(t) + x(t) 0 tank Figur 1: Illustration av vattentanken med regulator 2

3 Vi behöver också införa hjälpvariabeln z(t) = t 0 x(s) ds Regulatorns funktion kan då beskrivas med ett system av ordinära differentialekvationer 1 x (t) = x(t)+y(t) 10 3, y (t) = K P x(t) y(t) K I z(t)+10 3, t > 0, z (t) = x(t). Vi använder begynnelsevillkoret x(0) = 1, y(0) = 0.001, z(0) = 0. Förstärkningskoefficienterna är K P = 0.1 och K I = Om vi inför vektorn v = v(t) enligt: x(t) v(t) = y(t) kan systemet skrivas som v = f(t,v), där f(t,v) = Av +b. z(t) Vi har A = K P 1 K I, b = 10 3 och v(0) = Uppgift 3.1 Skapa funktionsfil Skapa en funktionsfil odefun.m som beräknar f(t,v). (Funktion att utgå från finns på kurshemsidan.) 3.1 Experiment med Eulers metod Uppgift 3.2 Stabilitet Använd myeuler för att approximera lösningen fram till t n = 500 och studera figuren. Anrop av myeuler sker med: t0, tn, v0, h) (v0 är startvektorn, som måste vara en kolumnvektor.) Använd steglängderna h = 1.5, 2.1, 2.24 och Vilken var den största steglängd, där vi hade stabilitet? Uppgift 3.3 Noggrannhet Använd Eulers metod för att approximera lösningen fram till t n = 100. Använd format short e. Trunkeringsfelet i approximationen med steglängden h kan uppskattas som skillnaden mellan approximationerna med steglängderna 2h och h. Börja med steglängden h = 0.2 och halvera den tills trunkeringsfelet i x(100) är högst Vid vilken steglängd uppfylldes noggrannhetskravet? Hur många steg gjordes? Ange värdet av x(100). Ange värdet av trunkeringsfelet i x(100). 1 För en härledning hänvisas till Torkel Glad och Lennart Ljung, Reglerteknik, Studentlitteratur,

4 3.2 Experiment med MATLAB:s ode23 Vi skall nu jämföra Eulerlösningen för den minsta steglängden ovan med lösningen som fås med MATLAB:s ode23 och standardtolerans. Standardtoleranser innebär att vi får ett absolut fel på ca I ode23 uppskattas lokala felet i varje steg. Utifrån det bestäms en lämplig steglängd, som används i nästa steg. Detta innebär att steglängden rättar sig efter funktionens utseende och totala antalet steg kan hållas nere. För att anropa ode23 skriver man: tn],v0) eller bara tn],v0) så plottas lösningen automatiskt. Uppgift 3.4 Experiment med ode23 Använd ode23 för att lösa differentialekvationen fram till t n = 100. Använd format long e Rita först graferna, genom att anropa ode23 utan utparametrar. Beräkningspunkterna blir markerade, så det syns att variabel steglängd används. Vilken färg har x(t)-kurvan? Bestäm därefter lösningen genom att anropa ode23 med utparametrar. Ange värdet av x(100). Jämför med den bästa lösningen med Eulers metod. Blev det någon större skillnad mellan lösningarna? Hur många steg användes (fås med size(t))? Jämför med Euler. Vad kan sägas om effektiviteten? Uppgift 3.5 Variation av regulatorns egenskaper. Variera K I genom att använda ytterligare tre värden, K I = 0.01, 0.05, Använd ode23 för att lösa differentialekvationen fram till t n = 100 för alla tre fallen. Studera enbart graferna. För vilket av de tre K I -värdena i denna deluppgift fungerar regulatorn bäst? Vad händer när K I ökar? Ange det/de K I som inte ger en fungerande regulator. För vilket K I togs flest steg? Studera lösningskurvan med K I = 0.125, då t går från 0 till 40. Var används korta steglängder? 4

5 4 Undersökning av trunkeringsfelets beroende av steglängden Vi återvänder till fallet K P = 0.1, K I = Lokalt trunkeringsfel Om vi använder Eulers metod och gör ett steg med steglängd 2h erhålls en approximation, α, till värdet x(2h). Gör vi ett nytt steg, nu med steglängd h, erhålls en approximation, β, till värdet x(h). Antag att det lokala felet är proportionellt mot h p. Då fås α x(2h) C(2h) p, β x(h) Ch p. p kan enkelt uppskattas med hjälp av α, β, x(2h) och x(h) om vi dividerar sambanden med varandra. Vi känner inte värdena x(0.5) och x(0.25). Vi vet dock att Runge-Kuttas klassiska metod är mycket noggrannare än Eulers metod. Därför kan vi approximera det exakta värdet x(0.5) med värdet som vi får med Runge-Kuttas metod. På samma sätt för x(0.25). Uppgift 4.1 Bestäm p för lokala felet Använd format short e och kör programmet med Eulers metod, h = 0.5 och t n = 0.5. Ta sedan h = 0.25 och t n = Vad blir approximationerna α, respektive β? α = β = Approximera nu x(0.5) med Runge-Kuttas metod med steglängd h = 0.5. Approximera x(0.25) med Runge-Kuttas metod med steglängd h = Vad blir x(0.5) och x(0.25)? x(0.5) x(0.25) Uppskatta p. 4.2 Globalt trunkeringsfel Låt 4h vara en steglängd. Låt oss beräkna en approximation α till x(100) med någon numerisk metod. Sedan tas steglängderna 2h och h, och beräknas approximationer β respektive γ till x(100). Antag att det globala felet är proportionellt mot h p. Då fås ekvationssystemet Uppgift 4.2 Ange uttryck α x(100)+c(4h) p, β x(100)+c(2h) p, γ x(100)+ch p. Ge ett uttryck för att bestämma p med hjälp av α, β och γ. (Se t.ex. Ex.saml. 9.26) 5

6 Uppgift 4.3 Bestäm noggrannhetsordningen för Eulers metod (a) Kör programmet med Eulers metod och h = 2, t n = 100. Ta sedan h = 1 och h = 0.5. Vilka värden får approximationerna α, β och γ? α = β = γ = (b) Uppskatta p (som är noggrannhetsordningen för Eulers metod). (c) Stämmer resultatet överens med svaret i Uppgift 4.1? Motivera ditt svar! 5 Frivillig tillämpning: Glödlampan Följande ekvation utgör en modell för temperaturutvecklingen i en glödlampa (y(t) betecknar temperatur i lämplig skala och t är tiden), dy dt = q (y4 1), y(0) = 1 I modellen antas att glödtråden värms enligt Ohms lag och kyls av strålning enligt Boltzmanns T 4 -lag. Strömmen slås på vid t = 0 och slås av vid t = så { , t q = 0, t > Uppgift 5.1 Beräkning av temperaturen Lös begynnelsevärdesproblemet med matlab-rutinen ode23 (skapa en fil med funktionen för högerledet) och plotta y(t) så man ser hur tråden svalnar. Låt alltså tiden gå en liten stund då lampan är släckt. Ta ut din bild på skrivaren eller gör en skiss. Uppgift 5.2 Steglängdsval Rutinen ode23 använder ju automatisk steglängdskontroll. Kör ode23 utan utparametrar och studera steglängdernas variation. Kommentera. Uppgift 5.3 Studera grafen När man släcker en bilstrålkastare ser man hur glödtråden svalnar och svartnar medan uppvärmning tycks gå mycket fortare. Verifieras detta fenomen av modellen? 6

k 1 B k 2 C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 (0) = 100 dx 2 /dt = k 1 x 1 k 2 x 2 x 2 (0) = 0 dx 3 /dt = k 2 x 2 x 3 (0) = 0

k 1 B k 2 C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 (0) = 100 dx 2 /dt = k 1 x 1 k 2 x 2 x 2 (0) = 0 dx 3 /dt = k 2 x 2 x 3 (0) = 0 Radioaktivt sönderfall 2D124 numfcl, Fö 5 Ekvationerna som beskriver hur ett radioaktivt ämne A sönderfaller till ämnet B som i sin tur sönderfaller till C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 () = 1 dx 2 /dt

Läs mer

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.

Läs mer

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning 1 SF1520 K2 HT2014 NA 21 december 2015 Laboration 3 Funktioner, vektorer, integraler och felskattning Efter den här laborationen skall du kunna använda och skriva egna funktioner med flera in- och utparametrar,

Läs mer

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Differentialekvationer. Repetition av FN5 (GNM kap 6.

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Differentialekvationer. Repetition av FN5 (GNM kap 6. Denna föreläsning DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN6 09-03-17 Hedvig Kjellström hedvig@csc.kth.se Repetition av FN5 (GNM kap 6.1-2B) Differentialekvationer Standardform för begynnelsevärdesproblem

Läs mer

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20. Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0

Läs mer

Repetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem

Repetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem Institutionen för datavetenskap Umeå universitet december 06 Teknisk beräkningsvetenskap I Repetitionsfrågor: 5DV54 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem Del

Läs mer

LABORATION cos (3x 2 ) dx I =

LABORATION cos (3x 2 ) dx I = SF1518,SF1519,numpbd14 LABORATION 2 Trapetsregeln, ekvationer, ekvationssystem, MATLAB-funktioner Studera kapitel 6 och avsnitt 5.2.1, 1.3 och 3.8 i NAM parallellt med arbetet på denna laboration. Genomför

Läs mer

Numeriska metoder för ODE: Teori

Numeriska metoder för ODE: Teori Numeriska metoder för ODE: Teori Vilka metoder har vi tagit upp? Euler framåt Euler bakåt Trapetsmetoden y k+ = y k + hf(t k, y k ), explicit y k+ = y k + hf(t k+, y k+ ), implicit y k+ = y k + h (f(t

Läs mer

Numeriska metoder för ODE: Teori

Numeriska metoder för ODE: Teori Numeriska metoder för ODE: Teori Målen för föreläsningen Stabilitet vid diskretisering av ODE med numeriska metoder Definition: Den analytiska lösningen till en ODE är begränsad. En numerisk metod för

Läs mer

Föreläsning 8, Numme i2,

Föreläsning 8, Numme i2, SF545, Numeriska Metoder, I, HT0, Ninni Carlsund Levin, Föreläsning 8 Föreläsning 8, Numme i, 0 GKN Kap - Differentialekvationer GNM kap 7-7), S Ch Dagens termer Riktningsfält Standardform Begynnelsevärdesproblem

Läs mer

2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem

2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade

Läs mer

Laboration 2 M0039M, VT2016

Laboration 2 M0039M, VT2016 Laboration 2 M0039M, VT2016 Ove Edlund, Staffan Lundberg, TVM 24 februari 2016 1 Teoridel 1.1 Serielösningar till differentialekvationer Den grundläggande idén (se t.ex. utdelat material, Lektion 18) är

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar

Läs mer

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering SF1518,SF1519,numpbd15 LABORATION 2 Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering - Genomför laborationen genom att göra de handräkningar och MATLAB-program som begärs. Var noga med

Läs mer

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1 Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD9) STS ES W K1 Utför överskådlig beräkning, och presentera svar på följande frågor. Det bifogade svarsarket måste användas, så lös först uppgifterna på ett kladdpapper,

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

TMV151/181 Matematisk analys i en variabel M/Td, 2013 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER

TMV151/181 Matematisk analys i en variabel M/Td, 2013 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER TMV151/181 Matematisk analys i en variabel M/Td, 2013 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER Beskrivning och mål. Den här laborationen syftar till att ge en grundläggande förståelse

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod.

Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod. Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod Analys och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt, vt0 Inledning Vi skall lösa system av icke-linjära ekvationer Som exempel kan vi ta, x = 0, x = 0, som är ett system

Läs mer

Newtons metod. 1 Inledning. CTH/GU LABORATION 3 MVE /2014 Matematiska vetenskaper

Newtons metod. 1 Inledning. CTH/GU LABORATION 3 MVE /2014 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION 3 MVE270-2013/2014 Matematiska vetenskaper Newtons metod 1 Inledning Vi skall lösa system av icke-linjära ekvationer. Som exempel kan vi ta, { x1 (1 + x 2 2) 1 = 0 x 2 (1 + x 2 1 ) 2

Läs mer

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p

Läs mer

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med

Läs mer

Linjärisering och Newtons metod

Linjärisering och Newtons metod CTH/GU STUDIO 5 TMV36a - 214/215 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Linjärisering och Newtons metod Vi skall fortsätta med att lösa ekvationer. I förra studioövningen såg vi på intervallhalveringsmetoden.

Läs mer

Matematisk analys, laboration I. Per Jönsson Teknik och Samhälle, Malmö Högskola

Matematisk analys, laboration I. Per Jönsson Teknik och Samhälle, Malmö Högskola Matematisk analys, laboration I Per Jönsson Teknik och Samhälle, Malmö Högskola Viktig information om laborationerna Ianalyskurseningårtreobligatoriskalaborationer.UnderlaborationanvändsMatlab/GNU Octave

Läs mer

DN1240, numo08 Stefan Knutas, Fredrik Båberg, B.10: Nalle-Maja gungar

DN1240, numo08 Stefan Knutas, Fredrik Båberg, B.10: Nalle-Maja gungar DN140, numo08 Stefan Knutas, 8811-0056 Fredrik Båberg, 88031-0511 3B.10: Nalle-Maja gungar Sammanfattning Detta arbete är skrivet som en del av Numeriska Metoder, Grundkurs. Uppgiften vi valde gick ut

Läs mer

Differentialekvationer begynnelsevärdesproblem

Differentialekvationer begynnelsevärdesproblem André Jaun, HT-2005 Anteckningar från lektioner i Numeriska Metoder fys-åk2. (Sid 33) Lektion 3, 4 och 5 Differentialekvationer begynnelsevärdesproblem Standardform och definitioner Eulers metod Runge-Kuttas

Läs mer

Laboration: Grunderna i MATLAB

Laboration: Grunderna i MATLAB Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar

Läs mer

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-06-07 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars

Läs mer

Uppgift 1 R-S. Uppgift 2 R-M. Namn:...

Uppgift 1 R-S. Uppgift 2 R-M. Namn:... 2D121, Numeriska Metoder, Grundkurs för I2+CL2. Laboration 3: Interpolation och integration Sista redovisningsdag för bonuspoäng: måndag 26-3-27 Obs! Muntliga delen redovisas vid ett miniseminarium. Notera!

Läs mer

Linjära system av differentialekvationer

Linjära system av differentialekvationer CTH/GU STUDIO TMV036c - 0/03 Matematiska vetenskaper Linjära system av differentialekvationer Analys och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt Inledning Vi har i tidigare studioövningar sett på allmäna system

Läs mer

Kurs 2D1213, Laboration 2: Att lösa ordinära differentialekvationer med finita differensmetoden

Kurs 2D1213, Laboration 2: Att lösa ordinära differentialekvationer med finita differensmetoden Kurs 2D1213, Laboration 2: Att lösa ordinära differentialekvationer med finita differensmetoden Michael Hanke October 19, 2006 1 Beskrivning och mål Matematiska modeller i vetenskap och ingenjörsvetenskap

Läs mer

Uppgift 1. (SUBPLOT) (Läs gärna help, subplot innan du börjar med uppgiften.) 1 A) Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar.

Uppgift 1. (SUBPLOT) (Läs gärna help, subplot innan du börjar med uppgiften.) 1 A) Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar. INLÄMNINGSUPPGIFT 2 Linjär algebra och analys Kurskod: HF1006, HF1008 Skolår: 2016/17 armin@kth.se www.sth.kth.se/armin Redovisas under sista två (av totalt fem) labbövningar i Analys-delen. Preliminärt:

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 2015-12-17 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)

Läs mer

Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys

Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys 160526 Del I: (1) (a) Heuns metod för numerisk lösning av differentialekvationer har noggrannhetsordning 2. Detta betyder att Felet avtar med

Läs mer

Laboration 1: Optimalt sparande

Laboration 1: Optimalt sparande Avsikten med denna laboration är att: Laboration 1: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa ett optimeringsproblem

Läs mer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant. Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att

Läs mer

Newtons metod och arsenik på lekplatser

Newtons metod och arsenik på lekplatser Newtons metod och arsenik på lekplatser Karin Kraft och Stig Larsson Beräkningsmatematik Chalmers tekniska högskola 1 november 2004 Introduktion Denna övning ingår i Lärardag på Chalmers för kemilärare

Läs mer

SF1513 NumProg för Bio3 HT2013 LABORATION 4. Ekvationslösning, interpolation och numerisk integration. Enkel Tredimensionell Design

SF1513 NumProg för Bio3 HT2013 LABORATION 4. Ekvationslösning, interpolation och numerisk integration. Enkel Tredimensionell Design 1 Beatrice Frock KTH Matematik 4 juli 2013 SF1513 NumProg för Bio3 HT2013 LABORATION 4 Ekvationslösning, interpolation och numerisk integration Enkel Tredimensionell Design Efter den här laborationen skall

Läs mer

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden NUMPROG, D, vt 006 Föreläsning, Numme-delen Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden En av de vanligaste numeriska beräkningar som görs i ingenjörsmässiga tillämpningar är att lösa ett

Läs mer

TANA19 NUMERISKA METODER

TANA19 NUMERISKA METODER HT2/2016 LINJE+ÅK+KLASS : TANA19 NUMERISKA METODER Laboration 3. Interpolation Namn : Personnummer : E-post : @student.liu.se Namn : Personnummer : E-post : @student.liu.se Godkänd datum : Sign : Retur

Läs mer

Inlämningsuppgift 4 NUM131

Inlämningsuppgift 4 NUM131 Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986, 0702-634722 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-10-17 Skrivtid: 8 00 11 00 (OBS!

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

1 Förberedelser. 2 Teoretisk härledning av värmeförlust LABORATION 4: VÄRMEKRAFTVERK MATEMATISK STATISTIK AK, MAS 101:A, VT-01

1 Förberedelser. 2 Teoretisk härledning av värmeförlust LABORATION 4: VÄRMEKRAFTVERK MATEMATISK STATISTIK AK, MAS 101:A, VT-01 LUNDS UNIVERSITET MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 4: VÄRMEKRAFTVERK MATEMATISK STATISTIK AK, MAS 101:A, VT-01 1 Förberedelser I denna laboration modelleras värmeförlusten i ett kraftverk

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Lunds Tekniska Högskola Avdelningen för industriell elektroteknik och automation

Lunds Tekniska Högskola Avdelningen för industriell elektroteknik och automation Lunds Universitet LTH Ingenjörshögskolan i Helsingborg Lunds Tekniska Högskola Avdelningen för industriell elektroteknik och automation REGLERTEKNIK Laboration 2 Empirisk undersökning av PID-regulator

Läs mer

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som

Läs mer

Övningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2,

Övningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2, Differentialekvationer Övningar i Reglerteknik Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys.. Lös följande begynnelsevärdesproblem dy dt y =, t > 0 y(0)

Läs mer

Tentamen i Miljö och Matematisk Modellering för TM Åk 3, MVE345 MVE maj 2012,

Tentamen i Miljö och Matematisk Modellering för TM Åk 3, MVE345 MVE maj 2012, Tentamen i Miljö och Matematisk Modellering för TM Åk 3, MVE345 MVE345 24 maj 2012, 8.30-13.00 1. Ge exempel på en avklingningsfunktion för att beskriva en gas som bryts ner i atmosfären. Presentera också

Läs mer

Teknisk beräkningsvetenskap I 5DV154

Teknisk beräkningsvetenskap I 5DV154 Institutionen för datavetenskap Umeå universitet 18 december 15 Teknisk beräkningsvetenskap I 5DV154 Deltentamen inkusive svar Tid: 9. 13. Hjälpmedel: Matlab. Maximalt antal poäng: 1 5 poäng är tillräckligt

Läs mer

A

A Lunds Universitet LTH Ingenjorshogskolan i Helsingborg Tentamen i Reglerteknik 2008{05{29. Ett system beskrivs av foljande in-utsignalsamband: dar u(t) ar insignal och y(t) utsignal. d 2 y dt 2 + dy du

Läs mer

Parametriserade kurvor

Parametriserade kurvor CTH/GU LABORATION 4 TMV37-4/5 Matematiska vetenskaper Inledning Parametriserade kurvor Vi skall se hur man ritar parametriserade kurvor i planet samt hur man ritar tangenter och normaler i punkter längs

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

Kapitel 8. Lösning av ordinära differentialekvationer

Kapitel 8. Lösning av ordinära differentialekvationer Kapitel 8. Lösning av ordinära differentialekvationer Eftersom endast ett mindre antal differentialekvationer kan lösas analytiskt, är numeriska lösningsmetoder ofta av stor betydelse. Nära besläktade

Läs mer

Byggnationen av Cheopspyramiden - ett visualiseringsprojekt. Mathias Bergqvist, Rikard Gehlin, Henrik Gunnarsson

Byggnationen av Cheopspyramiden - ett visualiseringsprojekt. Mathias Bergqvist, Rikard Gehlin, Henrik Gunnarsson Byggnationen av Cheopspyramiden - ett visualiseringsprojekt Mathias Bergqvist, Rikard Gehlin, Henrik Gunnarsson 25 April 2010 0.1 Förord Gruppen vill tacka Adam Grudzinski för att ha fått tillåtelse att

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT

Läs mer

Laboration: Grunderna i Matlab

Laboration: Grunderna i Matlab Laboration: Grunderna i Matlab Att arbeta i kommandofönstret och enkel grafik Den här delen av laborationen handlar om hur man arbetar med kommandon direkt i Matlabs kommandofönster. Det kan liknas vid

Läs mer

Beräkningsuppgift I. Rörelseekvationer och kinematiska ekvationer

Beräkningsuppgift I. Rörelseekvationer och kinematiska ekvationer 1 Beräkningsuppgift I Vi skall studera ett flygplan som rör sig i xz planet, dvs vi har med de frihetsgrader som brukar kallas de longitudinella. Vi har ett koordinatsystem Oxyz fast i flygplanet och ett

Läs mer

AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER

AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 AUTONOMA DIFFERENTIALEKVATIONER Stabilitet Fasporträtt AUTONOMA DE: Det är speciellt enkelt att rita ett riktningsfält för en ekvation av typen y F( y) (ekv) (eller

Läs mer

Studio 6: Dubbelintegral.

Studio 6: Dubbelintegral. Studio 6: Dubbelintegral. Analys och Linjär Algebra, del C, K1/Kf1/Bt1, vt09 20 februari 2009 1 Repetition av enkelintegral I ALA B skrev du en MATLAB-funktion minintegral som beräknar integralen av en

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Signalanalys med snabb Fouriertransform

Signalanalys med snabb Fouriertransform Laboration i Fourieranalys, MVE030 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den här laborationen har två syften: dels att visa lite på hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man bör

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

Samtliga deluppgifter i denna uppgift använder följande differentialekvation. Deluppgift a görs för hand

Samtliga deluppgifter i denna uppgift använder följande differentialekvation. Deluppgift a görs för hand Numeriska Metoder för SU, HT010. Laboration 4: Ickelinjära ekvationssystem och differentialekvationer Sista redovisningsdag för bonuspoäng: 011-01-04 (L19) Obs! Skriftliga delen skall denna gång vara en

Läs mer

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

Modellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010

Modellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010 Modellering av Dynamiska system - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 21 Innehållsförteckning 1. Repetition av Laplacetransformen... 3 2. Fysikalisk modellering... 4 2.1. Gruppdynamik en sciologisk modell...

Läs mer

Två gränsfall en fallstudie

Två gränsfall en fallstudie 19 november 2014 FYTA11 Datoruppgift 6 Två gränsfall en fallstudie Handledare: Christian Bierlich Email: christian.bierlich@thep.lu.se Redovisning av övningsuppgifter före angiven deadline. 1 Introduktion

Läs mer

Grafik och Egna funktioner i Matlab

Grafik och Egna funktioner i Matlab Grafik och Egna funktioner i Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1, ht11 Moore: 5.1-5.2 och 6.1.1-6.1.3 1 Inledning Vi fortsätter med läroboken Matlab for Engineers av Holly Moore. Först

Läs mer

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20 TANA09 Föreläsning 7 Interpolation Interpolationsproblemet. Introduktion. Polynominterpolation. Felanalys. Runges fenomen. Tillämpning. LED display. Splinefunktioner. Spline Interpolation. Ändpunktsvillkor.

Läs mer

REGLERTEKNIK Laboration 3

REGLERTEKNIK Laboration 3 Lunds Tekniska Högskola Avdelningen för Industriell Elektroteknik och Automation LTH Ingenjörshögskolan vid Campus Helsingborg REGLERTEKNIK Laboration 3 Modellbygge och beräkning av PID-regulator Inledning

Läs mer

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1. Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är

Läs mer

TENTAMEN I TSRT19 REGLERTEKNIK

TENTAMEN I TSRT19 REGLERTEKNIK SAL: XXXXX TENTAMEN I TSRT9 REGLERTEKNIK TID: 25-8-2 kl. 8:-3: KURS: TSRT9 Reglerteknik PROVKOD: TEN INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Inger Erlander Klein, tel. 3-28665,73-9699 BESÖKER

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel

LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1 Laboration 3. Differentialekvationer

Läs mer

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:

Läs mer

Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer

Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer Eddie Wadbro 18 november, 2015 Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (1 : 37)

Läs mer

Differentialekvationer av första ordningen

Differentialekvationer av första ordningen Föreläsning 1 Differentialekvationer av första ordningen 1.1 Aktuella avsnitt i läroboken 1.1) Differential Equations and Mathematical Models. Speciellt exemplen 3, 4 och 5.) 1.2) Integrals as General

Läs mer

1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ).

1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ). . (3 poäng) Antag att en partikel rör sig i ett medium där friktionskraften är proportionell mot kvadraten av hastigheten v(t) R så att dv(t) = k ( v(t) ), t > för en konstant k >. Bestäm v(t) som funktion

Läs mer

Föreläsning 9. Absolutstabilitet

Föreläsning 9. Absolutstabilitet Föreläsning 9 Absolutstabilitet Introduktion För att en numerisk ODE-metod ska vara användbar måste den vara konvergent, dvs den numeriska lösningen ska närma sig den exakta lösningen när steglängden går

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer.

Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Starta gärna en dagbok genom att ge kommandot diary lab1. Skriv in alla beräkningar som efterfrågas i uppgifterna i dagboken. Glöm inte diary off om det skrivna

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67-8-5 DAG: Onsdag 5 augusti TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Laboration 1 - Utjämning med Makehams formel

Laboration 1 - Utjämning med Makehams formel Laborationer OBS: Texten i laborationerna är till viss del formulerad för att passa med Excel. Valet av verktyg för att genomföra laborationerna är emellertid ingalunda nödvändigt att vara Excel. För att

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

Analys av elektriska nät med numeriska metoder i MATLAB

Analys av elektriska nät med numeriska metoder i MATLAB Analys av elektriska nät med numeriska metoder i MATLAB Joel Nilsson Martin Axelsson Fredrik Lundgren 28-2-12 Kurs DN1215 - Numeriska metoder för ME Moment Laboration 1 - Bli bekväm med MATLAB Handledare

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Vektorberäkningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall vi träna på

Läs mer

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen

Läs mer

André Jaun, HT-2005 Anteckningar från lektioner i Numeriska Metoder fys-åk2. (Sid 93) Trapetsregeln Adaptiva metoder ODE-metod Förbehandlande metoder

André Jaun, HT-2005 Anteckningar från lektioner i Numeriska Metoder fys-åk2. (Sid 93) Trapetsregeln Adaptiva metoder ODE-metod Förbehandlande metoder André Jaun, HT-25 Anteckningar från lektioner i Numeriska Metoder fys-åk2. (Sid 93) Lektion 7 Integraler Problemformuleringen lyder: Beräkna A = Trapetsregeln Adaptiva metoder ODE-metod Förbehandlande

Läs mer

Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008

Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008 Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008 Dataprojekt 1: Fourierserier Två av fysikens mest centrala ekvationer är vågekvationen och värmeledningsekvationen. Båda dessa ekvationer är

Läs mer

DN1212+DN1214+DN1215+DN1240+DN1241+DN1243 mfl Tentamen i Grundkurs i numeriska metoder Del 2 (av 2) Lördag , kl 9-12

DN1212+DN1214+DN1215+DN1240+DN1241+DN1243 mfl Tentamen i Grundkurs i numeriska metoder Del 2 (av 2) Lördag , kl 9-12 DN11+DN114+DN115+DN140+DN141+DN143 mfl Tentamen i Grundkurs i numeriska metoder Del (av ) Lördag 01-0-04, kl 9-1 Skrivtid 3 tim. Inga hjälpmedel. Rättas endast om del 1 är godkänd. Betygsgräns (inkl bonuspoäng):

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 4. Funktioner 1 Egna Funktioner Uppgift 1.1 En funktion f(x) ges av uttrycket 0, x 0, f(x)= sin(x), 0 < x π 2, 1, x > π 2 a) Skriv en Matlab funktion

Läs mer

Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform

Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den laborationen har syften: dels att visa lite hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man den an dels att

Läs mer