UPG6 Miniprojekt 3: Kastparabler, projektiler, och raketer
|
|
- Gunnar Nils Viklund
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 UPG6 Miniprojekt 3: Kastparabler, projektiler, och raketer Många fysikaliska fenomen inom natur och tillämpningar kan beskrivas och modelleras genom ordinära differentialekvationer (ODE). Det är endast i enkla fall som en analytisk lösning kan bestämmas. Det blir därmed viktigt att kunna lösa differentialekvationer numeriskt. I detta projekt kommer vi att undersöka metoder för numerisk lösning av ordinära differentialekvationer. Ekvationerna för modellproblemet vi behandlar kommer från Newtons kraft- och rörelselagar. Projektarbetet kan delas in i följande tre områden. Modellering: Vi börjar med enkla modeller, för vilka analytiska lösningar finns, och går stegvis över till mer realistiska modeller, vars differentialekvationer måste lösas numeriskt. Numeriska metoder: Ni kommer att implementera en numerisk metod för ODE-lösare, undersöka dess noggrannhet, och jämföra med en av MATLABs inbyggda ODE-lösare. Experiment: Projektet innehåller även ett antal ingenjörsmässiga uppgifter. Det kommer att krävas en del experimenterande för att lösa dessa frågor. 1 Huvuduppgift tillämpning av Newtons lagar Miniprojektets huvuduppgift är att lösa rörelseekvationerna för ett föremål som drivs med en raketmotor. Rörelsen beskrivs av differentialekvationer, och det går inte att lösa dessa analytiskt utan ekvationerna måste lösas numeriskt. För att kunna bedöma noggrannheten i de numeriska lösningarna skall vi studera rörelseekvationer med linjärt luftmotstånd, och jämföra analytiska lösningar med olika numeriska lösningar. Projektbeskrivningen (detta dokument) innehåller avsnitt med nio deluppgifter som utgör underlag för er att strukturera upp arbetet med miniprojektet. Alla dessa uppgifter skall lösas! Rapporten och den muntliga redovisningen bygger på att ni har löst dessa uppgifter. 2 Modellering och deluppgifter I detta avsnitt kommer vi att beskriva olika fysikaliska modeller som beskriver rörelsen av ett föremål under inverkan av olika krafter. Vi vet att ett föremål som rör sig följer Newtons lagar. Speciellt intressant för denna uppgift är Newtons andra lag, accelerationslagen, F = d(mv), dt där kraften F, som verkar på ett föremål, är lika med förändringen i rörelsemängd. Rörelsemängden ges av massan gånger hastigheten, mv, och dess förändring blir tidsderivatan d(mv)/dt. Om Linköpings universitet, ITN, Berkant Savas 1
2 vi antar att massan m inte förändras över tid får vi F = d(mv) dt = m dv dt = ma, (1) där a är föremålets acceleration. Notera att storheterna F, v, och a är vektorstorheter. Vi ser vidare att rörelseekvationen (1) är en differentialekvation då accelerationen är andraderivatan av positionen. Vi kommer att undersöka tre olika fall av rörelsekvationen: 1. Rörelse av ett föremål där luftmotstånd försummas, och inga externa krafter verkar på föremålet förutom gravitationen. 2. Sedan kommer vi att introducera luftmotstånd, som är proportionell mot hastigheten. 3. Slutligen kommer vi att betrakta ett variabel-mass system med kvadratiskt luftmotstånd. Detta är ett typiskt fall vid raketuppskjutning eftersom massan av raketen förändras genom att raketbränsle förbränns och skjuts ut från motorn med hög fart. 2.1 Rörelse utan luftmotstånd, kastparabler I det enklaste fallet bortser vi från luftmotståndet, och låter endast tyngdkraften verka på föremålet. Vi får F = ma = mg, (2) där g är tyngdaccelerationen. Förenkling av (2) ger a = g och delar vi upp den i x- och y- komponenter får vi ( ) ( ) ( ) ax gx 0 a = g = = a y g y g där g 9.82 m/s 2 är vertikalkomponenten av tyngdaccelerationen 1. Skriver vi ekvationerna i termer av de sökta funktionerna x(t) och y(t) får vi a x = x (t) = 0, (3) a y = y (t) = g. (4) Analytiska lösningar för (3) och (4) hittas enkelt! Integrera två gånger! I x-led får vi x (t) = 0 x (t) = k 1 x(t) = k 1 t + k 2, där k 1 och k 2 är koefficienter från integrationen som kan bestämmas med hjälp av villkor för någon position och hastighet vid någon tidpunkt. På samma sätt får vi lösningen i y-led enligt y (t) = g y (t) = gt + k 3 y(t) = g 2 t2 + k 3 t + k 4, där k 3 och k 4 är nya integrationskoefficienter. Låt oss använda begynnelsevillkoren x(0) = 0, y(0) = 0, x (0) = v 0 cos(α), y (0) = v 0 sin(α). (5) Detta betyder att positionen för kulan vid t = 0 är origo, samt kulan har farten 2 v 0 m/s i en riktning som bildar vinkeln α från x-axeln. Även detta vid t = 0. Begynnelsevillkoren (5) ger k 2 = k 4 = 0 samt k 1 = v 0 cos(α), k 3 = v 0 sin(α). 1 Tyngdacceleration g varierar beroende på var någonstans man är, och i Sverige (Norrköping) är g = 9.82 en bra approximation. 2 Vad är det för skillnad mellan fart och hastighet? Linköpings universitet, ITN, Berkant Savas 2
3 Lösningen till ekvation (3) och (4) med begynnelsevillkor (5) blir därmed x(t) = v 0 cos(α)t, (6) y(t) = v 0 sin(α)t g 2 t2. (7) 2.2 Projektilbana med luftmotstånd Det finns två förhållandevis enkla sätt att modellera luftmotståndet och därmed hitta mer realistiska lösningar. Kraften för luftmotståndet kan modelleras som linjärt proportionellt eller kvadratiskt proportionellt mot hastigheten. I båda fallen verkar kraften från luftmotståndet i motsatt riktning som föremålet rör sig. Vi ska undersöka fallet med linjärt luftmotstånd. Ekvationen blir ma = mg kv, (8) där v är föremålets hastighet och k är en konstant som modellerar övriga faktorer (t.ex. fluidens densitet, area och ytform av föremålet) i kraften från luftmotståndet. Vi kan återigen skiva om ekvationen komponentvis och får a x = x (t) = k m x (t), (9) a y = y (t) = k m y (t) g. (10) Notera att differentialekvationerna (9) och (10) är linjära och inte kopplade till varandra. Dessa kan lösas analytiskt för att erhålla explicita uttryck för x(t) och y(t). Deluppgifter 1 1. Lös ekvationerna (9) och (10) analytiskt så att du får explicita uttryck för x(t) och y(t). Använd begynnelsevillkoren i (5). Konsultera Forsling och Neymark [2] om det behövs. 2. Implementera lösningarna x(t) och y(t) till (9) respektive (10) i en designerad MATLABfunktion. Låt t, men även modellparametrarna m, k, v 0, och α, vara inparametrar till funktionen så att det blir enkelt att variera dessa när du experimenterar. 3. Placera en fyrkantig måltavla med hörn i koordinaterna (30,40), (40,40), (40,50), (30,50). Låt kulan ha vikten m = 8 kg. Ange utgångsvinkel α och begynnelsefart v 0 så att kulan träffar ovansidan av måltavlan med en negativ hastighet i y-led. Gör detta för två olika fall med luftmotstånd, använd k = 0.5 kg/s och k = 1.5 kg/s. 4. Differentialekvationerna (9) och (10) är av andra ordningen. Skriv om dessa (på papper) som ett system av differentialekvationer av första ordningen, z = f 1 (t, z). (11) Ange komponenterna av z och f 1. Vi kommer att använda detta för att lösa problemet numeriskt, och jämföra de numeriska lösningarna med de analytiska. Linköpings universitet, ITN, Berkant Savas 3
4 2.3 Projektil med raketmotor Låt oss montera en raketmotor på kulan! Eftersom raketmotorer förbränner bränsle, som skjuts ut i någon riktning, kommer massan av raketen inte att vara konstant, utan den kommer att ändras med tiden, alltså m = m(t). Vi får därmed ett variabel-mass system. Genom att använda Newtons tredje lag, impulslagen, kan man visa att följande ekvation gäller m(t)a = F + m (t)u, (12) där m(t)a beskriver den totala accelerationskraften på raketen, F anger summan av de externa krafter som verkar på raketen (gravitation och luftmotstånd), och m (t)u beskriver kraften raketen utsätts för genom att partiklar (bränsle) skjuts ut från raketen. Hastighetsvektorn ( ) ux (t) u = u(t) =, u y (t) är en funktion av t och anger riktning och fart av bränslet som skjuts ut från raketen. Vi kan anta att u(t) är en känd funktion som piloten (du) kan använda för att styra raketen i en önskad bana. Vi förutsätter även att m(t) och dess derivata m (t) är kända funktioner. Kombinerar vi ekvation (12) med krafter för gravitation och luftmotstånd får vi m(t)a = m(t)g c v v + m (t)u, (13) där c är en ny proportionalitetskonstant. Notera att vi, i detta fall, modellerar luftmotståndet med c v v, som är kvadratiskt proportionell mot farten. Division med m(t) och komponentvis uppdelning ger a x = x (t) = c (x ) m(t) + (y ) 2 x + m (t) m(t) u x(t), (14) a y = y (t) = c (x ) m(t) + (y ) 2 y + m (t) m(t) u y(t) g, (15) där vi använder v = (x ) 2 + (y ) 2. Vi ser att ekvationerna är kopplade till varandra på ett ickelinjärt sätt. Jämför även (14) och (15) med ekvationerna i Exempel 14.7 i Jönsson [3]. Deluppgifter 2 5. Skriv om (14) och (15) i formen z = f 2 (t, z) (16) och ange komponenterna av z och f 2. Vi kommer att använda dessa längre fram. 2.4 Numerisk lösning av differentialekvationer I projektet ska du undersöka lösningar till differentialekvationerna som har introducerats. Du ska speciellt jämföra exakta (analytiska) lösningar, där dessa finns, med olika numeriska lösningar. Betrakta en ODE på formen z = f(t, z), där z(t) är en vektorvärd funktion som söks och f är en given vektorvärd funktion som kan evalueras för givet t och z(t). Den numeriska lösningsproceduren för differentialekvationer är följande. Bestäm ekvidistanta punkter t 0,..., t n som delar in aktuell tidsintervall [a b] i n stycken delintervall med längden h = (b a)/n. Numeriska approximationer för z(t 1 ),..., z(t n ) fås rekursivt, där vi använder ett givet begynnelsevillkor z(t 0 ) = z 0. Du skall själv implementera en fjärde ordningens Runge-Kutta metod (RK-4). En beskrivning av den ges i Algoritm 1, se [1, 3] för mer information. Linköpings universitet, ITN, Berkant Savas 4
5 Algoritm 1 Runge-Kutta ordning 4 for i = 0, 1, 2,..., n 1 do k 1 = hf(t i, z i ) k 2 = hf(t i + h/2, z i + k 1 /2) k 3 = hf(t i + h/2, z i + k 2 /2) k 4 = hf(t i + h, z i + k 3 ) z i+1 = z i (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) end for Deluppgifter 3 6. Ta fram uttryck för f 1 och f 2 i ODE problemen (11) resp. (16). Du har bestämt dessa i tidigare uppgifter. Implementera f 1 (t, z) och f 2 (t, z) i lämpliga MATLAB-funktioner, t.ex. funk1.m och funk2.m. Varje funktionsfil tar en tidsvariabel t (skalär) och en kolumnvektor z som inparametrar och returnerar evalueringen av den aktuella funktionen i t och z. Notera att f 1, f 2 och z måste ha samma dimension. Funktionerna skall kunna anropas genom >> dz1 = funk1 (t,z); >> dz2 = funk2 (t,z); Utöver t och z, behöver funktionerna ha tillgång till parametrar som massan m. Denna gång definiera dessa parametrar internt i funktionerna. I fallet med raketmotor behöver du komma åt en massfunktion m(t), dess derivata m (t) och en hastighetsfunktion u(t). Det är lämpligt att implementera dessa funktioner i egna filer och få ut aktuella storheter genom funktionsanrop. Mer om detta i kommande uppgift. 7. Implementera RK-4 metoden i MATLAB. Låt förslagsvis funktionen vara odesolverrk4.m med fyra inparametrar som ges nedan: fun funktionshandtag som anger funktionen för f(t, z); z0 vektorn z 0 anger begynnelsevillkor för ODEn; tspan anger t start och t slut, gränser för tidsintervallet, t.ex. tspan = [0,20]; n n anger antalet diskretiseringspunkter. Låt vidare varje funktion returnera en tidsvektor t och en 4 (n + 1) matris y med den numeriska lösningen. Efter implementeringen av ODE-lösarna och initiering av relevanta variabler skall ni kunna anropa funktionerna enligt >> [t,y] = odesolverrk4 (@fun, tspan,z0,n); 8. Du ska i denna uppgift jämföra den analytiska lösningen y(t) av (10), du har explicit uttryck för detta sedan tidigare, med två stycken numeriska lösningar som du beräknar genom att använda din egen RK-4 metod samt MATLABs inbyggda ODE-lösare ode45. Använd y(t) från den tidigare uppgiften där parametrarna m, k, v 0 och α är sådana att lösningen prickar måltavlan. De numeriska lösningarna för samma ODE beräknas genom att använda f 1 i (11). Plotta absolutbeloppet av felet med semilogy för att tydligt kunna se skillnader mellan lösningarna. Notera att tidsdiskretiseringen behöver vara identisk i alla tre lösningar. Låt n [200, 400]. Välj t slut så att projektilens bana slutar i måltavlan. Linköpings universitet, ITN, Berkant Savas 5
6 9. I den sista uppgiften skall du skjuta upp raketen och styra den så att den går igenom tre av fyra målområden som visas i figur 1. Målområdena är individuella och kommer att framgå av klasslistor på Lisam Placering av målområden Startposition Area 1 Area 2 Area 3 Area Figur 1: Graf som visar startposition för raketen samt fyra målområden. Varje målområde är kvadratiskt med sidan 10 meter, och (nedre-vänstra) hörnpunkt i (40,40), (40,100), (-50,40), (-50,100). Initiala raketmassan är 8 kg, varav 4 kg är bränsle. Under tiden som motorn är igång förbränner den 400 g bränsle per sekund. Detta gör att motorn kan vara igång som mest 10 sekunder. Om vi startar raketmotorn vid t = 0 och håller motorn igång tills bränslet är slut kommer raketens massfunktion m(t) och dess derivata m (t), att se ut enligt följande m(t) = { 8 0.4t om 0 t 10, 4 om t > 10, m (t) = { 0.4 om 0 t 10, 0 om t > 10. Implementera m(t) och m (t) i en egen funktion. Anrop till den funktionen behöver ske i f 2 (t, z) för att få aktuell massa och derivata vid en given tidpunkt. Du behöver även specificera u(t) i ekvation (13). Låt masspartiklarna ha en konstant fart k m ut från motorn, men motorns riktning θ(t) kan du styra fritt. Detta innebär u(t) = k m, samt u(t) = ( ux (t) u y (t) ) = ( km cos(θ(t)) k m sin(θ(t)) Fysikaliskt innebär detta att raketmotorn går på full kraft. Utgå ifrån att θ anger vinkeln från positiva x-axeln. För att få en kraft uppåt måste partiklarna skjutas rakt ner. Detta ger vinkeln θ = π/2 (eller θ = 3π/2 om du vill). ). Linköpings universitet, ITN, Berkant Savas 6
7 I denna uppgift skall du låta raketen röra sig av egen kraft, du sätter därmed v 0 = 0. Låt c = 0.05 kg/m och k m = 700 m/s. Raketens startposition är (0,0). Raketen måste lyfta vertikalt, θ(0) = π/2, och nå en höjd på minst 10 meter innan vinkeln θ(t) får börja ändras. Din uppgift är att experimentellt bestämma en funktion θ(t) som tar raketen genom tre av fyra målområden. Använd din egen RK-4 metod med n = 500 när du löser ODE-ekvationen numeriskt. Välj t slut så att raketens bana slutar i den sista måltavlan. 3 Skriftlig och muntlig redovisning Miniprojektet skall redovisas i en skriftlig teknisk rapport om max 2 sidor. Rapporten måste inkludera följande: 1. Uttryck för x(t) och y(t) som löser ODE-ekvationerna (9) resp. (10). Använd begynnelsevillkoren i (5). 2. Figur som visar två stycken grafer (y som funktion x) där du träffar ovansidan av måltavlan. En graf för vart och ett av fallen med olika luftmotstånd (se uppgift 3). Presentera all nödvändig information så att det går att reproducera resultaten. Diskutera resultat och förutsättningar. 3. Jämförelse mellan den analytiska lösningen y(t) och motsvarande numeriska lösningar från egenimplementerade ODE-lösare och MATLABs ode45. Plotta absolutbeloppet av felet med semilogy för att tydligt kunna se skillnader mellan lösningarna. Diskutera resultat och förutsättningar. 4. En figur som visar raketens färdbana genom dina tre målområden. Visa även en plott av motorns riktning θ(t). Diskutera och relatera olika skeden av θ(t) till hur raketens bana påverkas. 5. Betrakta en valfri tillämpningsscenario som är på något sätt relaterat till miniprojektet. Diskutera och reflektera kring miniprojektet med utgångspunkt i tillämpningsscenariot. Hur skulle du kunna gå vidare med projektet inom ramen för tillämpningen? OBSERVERA: Denna gång blir det ingen komplettering. Det är därför viktigt att rapporten redan vid den första inlämningen är korrekt och fullständig. Använd en lämplig disposition likt tidigare miniprojekt; krav på reproducerbarhet gäller fortfarande; använd källor och referera i texten till alla källor; referera till alla figurer i texten; låt alla figurer ha en beskrivande figurtext, osv, osv. Den muntliga redovisningen skall innehålla resultat och diskussion av analysen och experimenten som du har utfört. Visualisera flitigt dina resultat i olika figurer med hjälp av dator. Referenser [1] L. Eldén and L. Wittmeyer-Koch. Numeriska beräkningar analys och illustrationer med MATLAB. Studentlitteratur, 4 edition, [2] G. Forsling and M. Neymark. Matematisk analys en variabel. Liber, [3] P. Jönsson. MATLAB-beräkningar inom teknik och naturvetenskap. Studentlitteratur, Linköpings universitet, ITN, Berkant Savas 7
Inlämningsuppgift 4 NUM131
Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter
Läs merIntroduktion till kursen och MATLAB
Introduktion till kursen och MATLAB TNA005: Tillämpad matematik i teknik och naturvetenskap för ED1, KTS1, och MT1 vårterminen 2018 Berkant Savas Kommunikations- och transportsystem Institutionen för teknik
Läs merLAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod
TANA21+22/ 30 september 2016 LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 1 Inledning Vi skall studera begynnelsevärdesproblem, både med avseende på stabilitet och noggrannhetens beroende av steglängden. Vi
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
Läs merProjektilrörelse med flera tillämpningar inom fotboll
Projektilrörelse med flera tillämpningar inom fotboll Många sportgrenar baseras på någon form av projektilrörelse. Projektilen som används kan antingen vara den egna människokroppen (som i exempelvis längdhopp,
Läs merLaboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem
Lennart Edsberg NADA 3 april 007 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 7 april 007 Efter den här laborationen
Läs merOrdinära differentialekvationer,
(ODE) Ordinära differentialekvationer, del 1 Beräkningsvetenskap II It is a truism that nothing is permanent except change. - George F. Simmons ODE:er är modeller som beskriver förändring, ofta i tiden
Läs merLaboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem
Lennart Edsberg NADA 9 mars 6 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 5 april 6 Efter den här laborationen
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merII. Partikelkinetik {RK 5,6,7}
II. Partikelkinetik {RK 5,6,7} med kraft att beräkna och förstå Newtons lagar och kraftbegreppet är mycket viktiga för att beskriva och förstå rörelse Kenneth Järrendahl, 1: Tröghetslagen Newtons Lagar
Läs merLaboration 1 Mekanik baskurs
Laboration 1 Mekanik baskurs Utförs av: Henrik Bergman Mubarak Ali Uppsala 2015 01 19 Introduktion Gravitationen är en självklarhet i vår vardag, de är den som håller oss kvar på jorden. Gravitationen
Läs merLaboration 2 Ordinära differentialekvationer
Matematisk analys i en variabel, AT1 TMV13-1/13 Matematiska vetenskaper Laboration Ordinära differentialekvationer Vi skall se på begynnelsevärdesproblem för första ordningens differentialekvation u =
Läs merTentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2012-03-09 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2006-06-05 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs mer15 februari 2016 Sida 1 / 32
TAIU07 Föreläsning 5 Linjära ekvationssystem. Minsta kvadrat problem. Tillämpning: Cirkelpassning. Geometriska objekt. Translationer. Rotationer. Funktioner som inargument. Tillämpning: Derivata. 15 februari
Läs merMekanik Föreläsning 8
Mekanik Föreläsning 8 CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 02 19 1 / 16 Repetition Polära koordinater (r, θ): ange punkter i R 2 m h a r: avståndet från origo (0, 0) θ: vinkeln mot positiva x axeln
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merTvå gränsfall en fallstudie
19 november 2014 FYTA11 Datoruppgift 6 Två gränsfall en fallstudie Handledare: Christian Bierlich Email: christian.bierlich@thep.lu.se Redovisning av övningsuppgifter före angiven deadline. 1 Introduktion
Läs merModellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010
Modellering av Dynamiska system - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 21 Innehållsförteckning 1. Repetition av Laplacetransformen... 3 2. Fysikalisk modellering... 4 2.1. Gruppdynamik en sciologisk modell...
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merKUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe
Tentamen i SG1102 Mekanik, mindre kurs för Bio, Cmedt, Open Uppgifterna skall lämnas in på separata papper. Problemdelen. För varje uppgift ges högst 6 poäng. För godkänt fordras minst 8 poäng. Teoridelen.
Läs merTentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar Tentamensdatum: 005-03- Skrivtid: 9-5 Hjälpmedel: inga Om problembeskrivningen i något fall
Läs merLösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner
Lösningar Heureka Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lösningar Fysik Heureka:Kapitel 3 3.1) Enligt figuren: nordliga förflyttningen: 100+00-100=00m Östliga förflyttningen:
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merOrdinära differentialekvationer (ODE) 1 1
TMV151/TMV181 Matematisk analys i en variabel M/TD 2009 Ordinära differentialekvationer (ODE) 1 1 I förra datorövningen löste vi begynnelsvärdesproblem av formen u (x) = f(x), x [0, b] (b > 0) u(0) = u
Läs merNewtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.
1 KOMIHÅG 8: --------------------------------- Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2
Läs merPRÖVNINGSANVISNINGAR
PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.
Läs mer" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar
KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------
Läs merTeorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.
Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0
Läs merKulstötning. Israt Jahan Martin Celander Andreas Svensson Jonathan Koitsalu
Kulstötning Israt Jahan Martin Celander Andreas Svensson Jonathan Koitsalu Abstract I detta projekt undersöktes en kulstötning med starthöjden meter och en längd på,5 meter med hjälp av matematiska modeller.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merÖvningar i MATLAB. 1. Antag x = 2 och y = 5. Beräkna följande i MATLAB a) yx 3 /(x-y) b) 3x/2y c) 3xy/2 d) x 5 /(x 5-1)
Övningar i MATLAB V1 1. Antag x = och y = 5. Beräkna följande i MATLAB a) yx 3 /(x-y) b) 3x/y c) 3xy/ d) x 5 /(x 5-1). a, b, c, d och f är skalärer. Skriv MATLAB uttryck för att beräkna och visa följande
Läs merTentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Magnus Johansson Tentamen i Mekanik för D, TFYA93/TFYY68 Måndag 019-01-14 kl. 14.00-19.00 Tillåtna Hjälpmedel: Physics Handbook
Läs merMatematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer
2 mars 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer Syftet med denna matlab-övning är att studera differentialekvationer och introducera hur man använder
Läs merk 1 B k 2 C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 (0) = 100 dx 2 /dt = k 1 x 1 k 2 x 2 x 2 (0) = 0 dx 3 /dt = k 2 x 2 x 3 (0) = 0
Radioaktivt sönderfall 2D124 numfcl, Fö 5 Ekvationerna som beskriver hur ett radioaktivt ämne A sönderfaller till ämnet B som i sin tur sönderfaller till C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 () = 1 dx 2 /dt
Läs merProjektion av träningsdata på aktuell underrum av dim 1. Föreläsning 7: Klassificering, minsta kvadratproblem, SVD, forts.
Projektion av träningsdata på aktuell underrum av dim Föreläsning : Klassificering, minsta kvadratproblem, SVD, forts. Berkant Savas Tillämpad matematik i natur och teknikvetenskap, TNA Institutionen för
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
150821 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 150821 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Sträckan fås genom integration: x = 1 0 sin π 2 t dt m = 2 π [ cos π 2 t ] 1 0 m = 2 π m = 0,64 m Svar: 0,64 m b) Vi antar att loket
Läs merFysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt
Fysikaliska modeller Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment Peter Andersson IFM fysik, adjunkt På denna föreläsning Vad är en fysikalisk modell? Linjärisering med hjälp av logaritmer
Läs merDN1240, numo08 Stefan Knutas, Fredrik Båberg, B.10: Nalle-Maja gungar
DN140, numo08 Stefan Knutas, 8811-0056 Fredrik Båberg, 88031-0511 3B.10: Nalle-Maja gungar Sammanfattning Detta arbete är skrivet som en del av Numeriska Metoder, Grundkurs. Uppgiften vi valde gick ut
Läs merModeller för dynamiska förlopp
Föreläsning 3 Modeller för dynamiska förlopp 3.1 Aktuella avsnitt i läroboken (.1) Population Models. (.) Equilibrium Solutions and Stability. (.3) Acceleration-Velocity Models. 19 FÖRELÄSNING 3. MODELLER
Läs merLaboration 6. Ordinära differentialekvationer och glesa system
1 DN1212 VT2012 för T NADA 20 februari 2012 Laboration 6 Ordinära differentialekvationer och glesa system Efter den här laborationen skall du känna igen problemtyperna randvärdes- och begynnelsevärdesproblem
Läs merLABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel
Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1 Laboration 3. Differentialekvationer
Läs merVetenskapsdagen 2016 SciLab för laborativa inslag i matematik eller fysik
Vetenskapsdagen 2016 SciLab för laborativa inslag i matematik eller fysik Fredrik Berntsson (fredrik.berntsson@liu.se) 5 oktober 2016 Frame 1 / 23 Bakgrund och Syfte Inom kursen Fysik3 finns material som
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen
014-06-04 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En boll skjuts ut genom ett hål med en hastighet v så att den
Läs merFÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN. ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 16 januari Bordsnummer:
FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN Din tentamenskod (6 siffror): ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Personnummer: - Datum: 16 januari 2013 Kursens namn (inkl. grupp): Beräkningsvetenskap I (1TD393)
Läs merODE av andra ordningen, och system av ODE
ODE av andra ordningen, och system av ODE Exempel på di erentialekvation av andra ordningen (innehåller andra derivata) Pendel beskrives av Newtons andra lag: Kraft = massa Acceleration Acceleration =
Läs merSammanfattning av föreläsning 11. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 12. Simulering. Föreläsning 12. Numeriska metoder och Simulering
Sammanfattning av föreläsning 11 Modellbygge & Simulering, TSRT62 Föreläsning 12. Simulering Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Index för en DAE Antalet derivationer som behövs för att lösa ut ż
Läs merSammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)
Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 3/9 2009 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.
Läs merR LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE ALLMÄN LÖSNING PARTIKULÄR LÖSNING SINGULÄR R LÖSNINGG BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM (BVP) Låt ( n) F(,,,, y ( )) vara en ordinär DE av
Läs merTENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2
Numerisk Analys - Institutionen för Matematik KTH - Royal institute of technology 218-5-28, kl 8-11 SF1547 TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2 Rättas endast om del 1 är godkänd. Betygsgräns
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen
2015-06-01 Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas KTH Mekanik Problemtentamen 1. En bil med massan m kör ett varv med konstant fartökning ( v =)
Läs merTENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20
Numerisk Analys - Institutionen för Matematik KTH - Royal institute of technology 2016-05-31, kl 08-11 SF1547+SF1543 TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20 Uppgift 1 Man vill lösa ekvationssystemet
Läs mer6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar
6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill
Läs merALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Rörelsemängd: p = mv, Kinematiska storheter: r ( t), v ( t), a ( t) Kinematiska samband med begynnelsevillkor 1 Föreläsning 9: ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska
Läs merFöreläsning 7: Klassificering, minsta kvadratproblem, SVD, forts.
Föreläsning 7: Klassificering, minsta kvadratproblem, SVD, forts. Berkant Savas Tillämpad matematik i natur och teknikvetenskap, TNA5 Institutionen för teknik och naturvetenskap Linköpings universitet
Läs mer= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O
1 KOMIHÅG 15: --------------------------------- Definitioner: Den potentiella energin, mekaniska energin Formulera: Energiprincipen ---------------------------------- Föreläsning 16: FLER LAGAR-härledning
Läs merFöreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
Läs merKOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi
KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag ----------------------------------------- Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi Definition av arbete: U 0"1 = t 1 t 1 # Pdt = # F v dt,
Läs mer.4-6, 8, , 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse
.4-6, 8, 12.5-6, 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse Exempel på roterande koordinatsystem planpolära eller cylindriska koordinater Storhet Beteckning Enhet Fysikalisk
Läs merLabbrapport svängande skivor
Labbrapport svängande skivor Erik Andersson Johan Schött Olof Berglund 11th October 008 Sammanfattning Grunden för att finna matematiska samband i fysiken kan vara lite svårt att förstå och hur man kan
Läs merInledning. Kapitel 1. 1.1 Bakgrund. 1.2 Syfte
Sammanfattning Vi har i kursen Modelleringsprojekt TNM085 valt att simulera ett geléobjekt i form av en kub. Denna består av masspunkter som är sammankopplade med tre olika typer av fjädrar med olika parametrar.
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!
014-08-19 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN m fl. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En boll med massa m skjuts ut ur ett hål så att den hamnar
Läs merTENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER. Kursnamn Fysik 1. Datum LP Laboration Balkböjning. Kursexaminator. Betygsgränser.
TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER Kurskod F0004T Kursnamn Fysik 1 Datum LP2 10-11 Material Laboration Balkböjning Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Sammanfattning Denna
Läs merTentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs
KTH Matematik Tentamen del 1 SF154, 1-3-3, 8.-11., Numeriska metoder, grundkurs Namn:... Bonuspoäng. Ange dina bonuspoäng från kursomgången läsåret HT15/VT1 här: Max antal poäng är. Gränsen för godkänt/betyg
Läs merKTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup
KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) Tentamen i Numeriska Metoder gk II 2D1240 OPEN (& andra) Fredag 2006-04-21 kl. 13 16 Hjälpmedel: Del 1 inga, Del 2 rosa formelsamlingen som man får ta fram när man lämnar
Läs merLennart Edsberg Nada,KTH Mars 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 02/03. Laboration 3 4. Elmotor med resonant dämpare
Lennart Edsberg Nada,KTH Mars 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 02/03 Laboration 3 4. Elmotor med resonant dämpare 1 Laboration 3. Differentialekvationer Elmotor med
Läs merNATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av mars 1997. NATIONELLT PROV
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs mer0.31 = f(x 2 ) = b 1 + b 2 (x 3 x 1 ) + b 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = ( ) + b 3 ( )(
Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2012-03-09 Del A 1. (a) För att anpassa ett polynom som går genom tre punkter behövs ett andragradspolynom. Newtons interpolationsansats ger f(x)
Läs merTentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL
Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p
Läs merMatematik: Beräkningsmatematik (91-97,5 hp)
DNR LIU-2012-00260 1(5) Matematik: Beräkningsmatematik (91-97,5 hp) Programkurs 7.5 hp Mathematics: Numerical Methods (91-97,5 cr) 9AMA01 Gäller från: 2017 VT Fastställd av Grundutbildningsnämnden Fastställandedatum
Läs merPartiella differentialekvationer (TATA27)
Partiella differentialekvationer (TATA27) Linköpings universitet Vår termin 2015 Inneåll 1 Introduktion 1 1.1 Notation............................................. 1 1.2 Differentialekvationer......................................
Läs merGemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund
Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska
Läs merDN1212 för M: Projektrapport. Krimskramsbollen. av Ninni Carlsund
Författare: Ninni Carlsund DN1212-projekt: Krimskramsbollen Kursledare: Ninni Carlsund DN1212 för M: Projektrapport Krimskramsbollen av Ninni Carlsund. 2010-04-29 1 Författare: Ninni Carlsund DN1212-projekt:
Läs merKurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer
Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer Michael Hanke, Johan Karlander 2 april 2008 1 Beskrivning och mål Matematiska modeller inom vetenskap och teknik
Läs merKursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION
1 Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2 Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen
Läs merMatematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration
10 februari 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration Syfte med övningen: Introduktion till ett par numeriska metoder för lösning av ekvationer respektive
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
170418 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 170418 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Vi är intresserade av största värdet på funktionen x(t). Läget fås genom att integrera hastigheten, med bivillkoret att x(0) = 0.
Läs merLaboration 1 i SF1544: Öva på Matlab och konstruera en optimal balk Avsikten med denna laboration är att:
Laboration 1 i SF1544: Öva på Matlab och konstruera en optimal balk Avsikten med denna laboration är att: - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen,
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 15 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 6 Henrik Shahgholian Vid Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 3 2 / 15 SF1626 Flervariabelanalys Dagens Lektion För funktioner från R n till R ska
Läs merTNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser
TNA004 Analys II Tentamen 20-06-0 Lösningsskisser. a) De båda kurvorna skär varandra i x 0 och x. På intervallet 0 x är x x. Området D är då det skuggade i figuren nedan, där även en tunn rektangel är
Läs merf(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Läs mer6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar
6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste
Läs merLaboration 2 M0039M, VT2016
Laboration 2 M0039M, VT2016 Ove Edlund, Staffan Lundberg, TVM 24 februari 2016 1 Teoridel 1.1 Serielösningar till differentialekvationer Den grundläggande idén (se t.ex. utdelat material, Lektion 18) är
Läs merMekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete
Mekanik FK2002m Föreläsning 6 Kinetisk energi och arbete 2013-09-11 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 6 Introduktion Idag ska vi börja prata om energi. - Kinetisk energi - Arbete Nästa gång
Läs merBetygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är
Läs merMatematik D (MA1204)
Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och
Läs merOm den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r " p = r " F (1)
1 KOMIHÅG 12: --------------------------------- Den mekaniska energin, arbetet ---------------------------------- Föreläsning 13: FLER LAGAR-härledning ur N2 Momentlag Hur påverkas rörelsen av ett kraftmoment??
Läs merOrd att kunna förklara
Rörelse och kraft Ord att kunna förklara Rörelse Hastighet Acceleration Retardation Fritt fall Kraft Gravitationskraft (=tyngdkraft) Friktionskraft Centripetalkraft Tyngdpunkt Stödyta Motkraft Rörelse
Läs mer, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är
Läs merOrdinära differentialekvationer,
Sammanfattning metoder Ordinära differentialekvationer, del 2 Beräkningsvetenskap II n Eulers metod (Euler framåt, explicit Euler): y i+1 = y i + h i f (t i, y i ) n Euler bakåt (implicit Euler): y i+1
Läs merTillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat, samt en egenhändigt skriven A4- sida med valfritt innehåll.
Tentamen i Mekanik för F, del B Tisdagen 17 augusti 2004, 8.45-12.45, V-huset Examinator: Martin Cederwall Jour: Ling Bao, tel. 7723184 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat,
Läs merLAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning
TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.
Läs merUPG5 och UPG8 Miniprojekt 1: 2D datorgrafik
UPG5 och UPG8 Miniprojekt 1: 2D datorgrafik I den här uppgiften studerar vi hur man kan använda sig av linjära avbildningar för att modifiera bilder i två dimensioner Mycket är repetition av vissa grundbegrepp
Läs merRepetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem
Institutionen för datavetenskap Umeå universitet december 06 Teknisk beräkningsvetenskap I Repetitionsfrågor: 5DV54 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem Del
Läs mer