TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER. Kursnamn Fysik 1. Datum LP Laboration Balkböjning. Kursexaminator. Betygsgränser.

Transkript

1 TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER Kurskod F0004T Kursnamn Fysik 1 Datum LP Material Laboration Balkböjning Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar

2 Sammanfattning Denna rapport behandlar ett experiment för att ta fram en funktion som beskriver en balks nedböjning när den belastas med en massa. Experimentet har utförts genom att placera en balk i ett balkstativ med fixa ändar och en belastning i mitten. En mätklocka har placerats under för att uppmäta balkens avvikelse. Metoden för att lösa uppgiften utgår från den experimentella metodiken; en exponentiell ansats antas utifrån mätdata som ger ett exponentiellt samband. Approximativt används sedan linearisering och dimensionsanalys för att bestämma konstanter och samband mellan de ingående variablerna. Mellan varje mätserie har en variabel varierats medan övriga hållits konstanta på så viss kan man stegvis lösa ut varje okänd konstant. Det har då funnits att sambandet för balkens nedböjning beror av en funktion som kan beskrivas av balkens belastning, dess bredd, tjocklek, längd, elasticitetsmodul samt tyngdaccelerationen. 1

3 Innehållsförteckning Inledning... 3 Bakgrund... 3 Metod och utförande... 4 Resultat... 5 Diskussion och slutsatser... 9 Referenser...11 Bilagor

4 Inledning Inom den experimentella metodiken utgår man från en metod som ger oss ett kraftfullt verktyg att undersöka fysikaliska situationer. Denna metod utgår från tre punkter som kan sammanfattas i att man gör; nödvändiga antaganden med ledning av mätresultaten; bestämmer sambanden genom linearisering; kompletterar sambanden med en dimensionsanalys. Behärskar man detta har vi ett mycket mångsidigt verktyg för att undersöka en rad områden inom fysiken. Denna metod ställer dock krav utifrån den experimentella metodikens grundidé: att planera, genomföra och utvärdera sitt resultat. Bakgrund Denna rapport är ett resultat av den experimentella metodiken som tillvägagångssätt och har skett i samband med en uppgift som getts av handledare Kourosh Tatar på Luleå Tekniska Universitet. Problemformuleringen som behandlas i rapporten är att formulera en funktion som bestämmer en balks nedböjning under belastning av en massa. 3

5 Metod och utförande Utifrån definitionen av experimentell metodik kommer rapporten under denna rubrik att redogöra för planeringsstadiet av experimentet. Experimentet har gått till enligt följande: en balk av varierande material, bredd och tjocklek spändes fast i sina båda ändar i ett balkstativ; att balken är fixt i sina ändar är en följd av vårt antagande om möjligheten till förskjutning i balkens x-led, vilket skulle ge ett mer osäkert resultat. Balken belastades sedan i sin mittpunkt med en sådan massa att balken böjde nedåt. Direkt under balkmittens nedre långsida fanns en mätklocka med stativ och magnetfot placerad, som med stor noggrannhet kunde uppmäta balkens nedböjning i millimeter. Uppställningen visas i figur 1 nedan. Figur 1 uppställning. Observera att mätklocka ej är representerad i bilden. För att ta fram en funktion för balkens nedböjning måste man först bestämma utifrån vilka variabler nedböjningen beror på. Balkens böjning kan i första hand tänkas bero på den belastning som placeras över balken, massan m. Vidare kan man också anta att böjningen beror på balkens tjocklek H, bredd B, samt dess längd L som mäts mellan de båda ändpunkterna. Vidare måste också balkens material spela roll, det vill säga elasticitetsmodulen E, samt tyngdaccelerationen g. Detta kan presenteras i nedanstående variabellista med variabelns respektive enhet och dimension. Storhet Symbol Enhet Dimension Balkböjning Δy m L Belastning m kg M Elasticitetsmodul E N/mm² ML - ¹T - ² Längd L m L Bredd B m L Tjocklek H m L Tyngdacceleration g m/s² LT - ² Tabell 1 variabellista, tabell över variabler. 4

6 y *mm+ Nedan ses figur 2 och 3 som illustrerar problemuppställningen Δy och de ingående variablerna från tabell 1. Figur 2 illustration av balkens nedböjning. Figur 3 problemdefinition utifrån tabell 1. Utifrån tabell 1 och med hjälp av figur 3 ovan finns nu en tillräcklig definition av problemet för att gå vidare till genomförandestadiet och påbörja mätserier. Resultat Den första mätserien görs för att plotta upp en graf över hur funktionen för balkens nedböjning ser ut. I serien så varieras längden medan allt annat hålles konstant. Varje mätserie består av fyra försök. 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0,00 200,00 400,00 600,00 800, , ,00 Längd (L) Graf 1 första mätserien. Längd varierad, allt annat konstant. Origo utplacerad som en nollte mätning. 5

7 ln( y) Utifrån graf 1 ovan tillsammans med tabell 1 kan följande ansats antas: y = K L α E β m γ B ε H φ g θ, (0) där de ingående variablerna är beskrivna i tabell 1, med tillägg om att K är en konstant som kan antas utifrån den exponentiella funktionen som ses i graf 1. Exponenterna α, β, γ, ε, φ samt θ är för tillfället obestämda. Vid en allmän bestämning av variablernas exponenter antas en linearisering där avvikelsen i y-led ställs upp som en funktion av den varierade variabeln v, multiplicerat med en konstant C enligt y = C v ω. (1) Denna funktion logaritmeras för att räkna ut exponenten ω observera att konstanten C inte är nödvändig för att bestämma ω. Logaritmeringen av ekvation (1) ger ln y ln v = ω (2) där ω är lutningen/riktningskoefficienten för den lineariserade grafen, men enligt ekvation (1) ovan också är exponenten till variabeln. Detta ger en allmän metod för att lösa ut de okända variablerna som ställts upp i ansats (0). Denna allmänna metod kommer att användas för att bestämma samtliga exponenter utom β och θ, som bestäms med hjälp av dimensionsanalys. Med en metod för att bestämma exponenterna kan mätningarna fortsätta. I den andra mätserien varierades längden L med övriga variabler konstanta; detta visas efter linearisering enligt ekvation (2) i graf 2 nedan. 0,00-0,50-1,00-1,50-2,00-2,50-3,00 y = 2,9397x - 21,349-3,50 6,20 6,30 6,40 6,50 6,60 6,70 6,80 6,90 7,00 7,10 ln(l) Graf 2 linearisering av andra mätserien. Längd varierad, allt annat konstant. Med hjälp av ekvation (1) och (2), tillsammans med den andra mätserien, kan längdvariabelns exponent α bestämmas. I graf 2 kan ses att riktningskoefficienten till den räta linjen är 2,9397. Avrundning ger α = 3. 6

8 ln( y) ln( y) Analogt görs den tredje mätserien där massan m varieras, övriga variabler konstanta. Graf 3 tas på ovan vis fram utifrån mätvärdena. 1,500 1,000 0,500 0,000-0,500 y = 1,0072x + 0,7157-1,000-1,500-1,000-0,500 0,000 0,500 1,000 ln(m) Graf 3 linearisering av tredje mätserien. Massa varierad, allt annat konstant. Enligt analog metod bestäms nu massans exponent γ. Riktningskoefficienten för den linjära grafen är 1,0072. Avrundning ger γ = 1. Genom en fjärde mätserie för att bestämma exponenten till tjockleken tas graf 4 fram. Metoden analogt enligt ovan. 1,50 1,00 0,50 0,00-0,50-1,00 y = -3,0895x + 4,4895-1,50-2,00-2,50 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20 ln(h) Graf 4 linearisering av fjärde mätserien. Tjocklek varierad, allt annat konstant. Ur graf 4 bestäms tjocklekens exponent φ = 3. 7

9 ln( y) Det återstår att bestämma breddens variabel med samma metod. Den femte mätserien lineariserad ger graf 5 nedan. 0,00-0,20-0,40 y = -1,0623x + 2,8907-0,60-0,80-1,00-1,20 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 ln(b) Graf 5 linearisering av femte mätserien. Bredd varierad, allt annat konstant. Utläsning av grafen ger att breddens exponent ε = 1. Fyra av de totalt sex exponenterna är bestämda; kvar att bestämma är de två exponenterna θ och β samt konstanten K. Att β inte bestäms analogt via linearisering beror på att det inte fanns tillräckligt många balkar med varierande elasticitetsmodul och samma balkdimensioner tillgängliga vid laborationstillfället. Det går inte heller att bestämma exponenten för tyngdaccelerationen med linearisering då skolan saknar resurser för att variera tyngdaccelerationen. Därför bestäms elasticitetsmodulens exponent β och tyngdaccelerationens exponent θ med hjälp av en dimensionsanalys. Med hjälp av ansats (0) tillsammans med dimensionerna i tabell 1 kan följande samband ställas upp: L = L 3 (ML 1 T 2 ) β ML 3 L 1 (LT 2 ) θ. (3) Det går nu bra att bestämma de två sista exponenterna numeriskt genom att analysera antalet M i vänsterled respektive högerled. Enligt ekvation (3) så innehåller vänsterledet M 0 stycken M, medan det i högerledet finns M 1 M β stycken M. För att vänsterled skall vara lika med högerled så bör β = 1 enligt sambandet 0 = 1 + β β = 1. Det går att bestämma θ analogt β. Studerar man ekvation (3) ses att vänsterledet innehåller T 0 stycken T, högerledet innehåller T 2 T 2θ stycken T då β = 1. För att vänsterledet skall vara lika med högerledet så bör θ = 1 enligt sambandet 0 = 2 2θ θ = 1. Nu när exponenterna β och θ är kända så kan ansatsen skrivas om till (0) till funktionen Δy = K L3 mg EBH3. (4) 8

10 För att bestämma konstanten K så löses K ur ekvation (4) vilket ger K = Δy L 3 mg EB H 3 = ΔyEB H3 L 3 mg (5) Ekvation (5) kan nu användas för att ge ett numeriskt värde till K. För detta görs en sjätte mätning där massan varieras och övriga variabler hålls konstanta, se värden i tabell 2. Storhet Symbol Enhet Värde Balklängd L m 1,2 Elasticitetsmodul 1 E N/mm² Bredd B m Tjocklek H m Tabell 2 sjätte mätningen för att bestämma konstanten K. Massa varierad, allt annat konstant. Med ledning av ekvation (5) och konstanterna från tabell 2, fås tabell 3 nedan. Massa [kg] 0,280 0,401 0,593 0,692 y [m] 0, , , ,00108 K 0, , , , Tabell 3 fyra mätningar som ger varierad konstant K enligt ekvation (5). Utifrån tabell 3 fås ett medelvärde av konstanten, K medel = 0, Avrundning ger K 0,07. Alla exponenter är nu kända och konstanten K är given. I ansats (0) tillsammans med exponenternas värden ges funktionen Δy = 0,07 L3 mg EBH3, (6) där ekvation (6) beskriver den slutliga formeln för en balks nedböjning under belastning. Diskussion och slutsatser Genom att använda experimentell metodik som metod för ett experiment kan man matematiskt komma fram till en approximativ formel där en viss felmarginal kan tillåtas. En kontroll av formeln visar att felmarginalen som störst blir cirka plus minus en tiondels millimeter. Resultatet kan därför ses som en framgång i den bemärkelsen att dess approximativa värde är bra, med tanke på de relativt begränsade försöken per mätserie. Om man skulle använda sig av fler försök 1 Stål, ämnestabell sidan 398 i Physics Handbook 9

11 per mätserie, säg ett hundratal, och vara mycket noggrann i sina mätningar skulle man få en formel vars approximativitet är ännu bättre. Om man ska diskutera i termer av felkällor så är det stor sannolikhet att varje avläsning inte blir korrekt, eller att uppställningen inte är precis; eftersom att balkens avvikelse ibland är ett par tiondelar av en millimeter, ställs det stora krav på att exempelvis balkens längd samt att dess mitt är precist utmätt, och att mätinstrumentet är korrekt avläst. I ett experiment av denna karaktär har man inte kunnat förvänta sig att dessa krav skulle mötas med en sådan strikthet i utförandet. Till sist kan lämnas en rekommendation till andra som skall utföra liknande försök att vara noggranna i sina mätningar och avläsningar då experimentet bygger på mycket känsliga värden. 10

12 Referenser Tryckta källor Nordling, C., Österman, J., (2006). Physics Handbook for Science and Engineering. 8. Uppl., Studentlitteratur. ISBN

13 Bilagor Mätserie 1 Under följande mätvärden så varierades balkens längd, L. Övriga variabler hölls konstanta under denna mätning. Konstanter: Elasticitetsmodul, E = 200 N mm 2 Bredd, B = 30 mm Tjocklek, H = 5 mm Massa, M = 0,401 kg Längd, L [mm] y [mm] 0,460 0,290 0,140 0,050 Tabell 4 mätvärden till mätserie 1 och graf 1 i rapporten. 12

14 Mätserie 2 Under följande mätvärden så varierades balkens längd, L. Övriga variabler hölls konstanta under denna mätning. Konstanter: Elasticitetsmodul, E = 200 N mm 2 Bredd, B = 30 mm Tjocklek, H = 5 mm Massa, M = 0,401 kg Längd, L [mm] y [mm] 0,460 0,290 0,140 0,050 ln(l) 7,01 6,83 6,58 6,25 ln( y) -0,780-1,24-1,97-3,00 Tabell 5 mätvärden till mätserie 2 och graf 2 i rapporten. 13

15 Mätserie 3 Under följande mätvärden så varierades viktens massa, m. Övriga variabler hölls konstanta under denna mätning. Konstanter: Elasticitetsmodul, E = 200 N mm 2 Balklängden, L = 1110 mm Bredd, B = 25 mm Tjocklek, H = 5 mm Massa, m [mm] 0,280 0,390 0,993 1,89 y [mm] 0,570 0,790 2,02 3,90 ln(m) -1,27-0,940-0,01 0,640 ln( y) -0,562-0,236 0,703 1,36 Tabell 6 mätvärden till mätserie 3 och graf 3 i rapporten. 14

16 Mätserie 4 Under följande mätvärden så varierades balkens tjocklek, H. Övriga variabler hölls konstanta under denna mätning. Konstanter: Elasticitetsmodul, E = 200 N mm 2 Balklängden, L = 1110 mm Bredd, B = 25 mm Massa, m = 0, 401 kg Tjocklek, H [mm] 3,00 5,00 6,00 8,00 y [mm] 3,06 0,60 0,340 0,150 ln(h) 1,10 1,61 1,79 2,08 ln( y) 1,12-0,51-1,08-1,90 Tabell 7 mätvärden till mätserie 4 och graf 4 i rapporten. 15

17 Mätserie 5 Under följande mätvärden så varierades balkens bredd, B. Övriga variabler hölls konstanta under denna mätning. Konstanter: Elasticitetsmodul, E = 200 N mm 2 Balklängden, L = 1110 mm Massa, m = 0,401 kg Tjocklek, H = 5 mm Bredd, B [mm] 20,0 25,0 30,0 40,0 y [mm] 0,750 0,590 0,480 0,390 ln(b) 3,00 3,22 3,40 3,69 ln( y) -0,290-0,530-0,730-1,02 Tabell 8 mätvärden till mätserie 5 och graf 5 i rapporten. 16