Lösningar 15 december 2004

Transkript

1 Lösningar 15 december 004 Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 5p, för Fy1100 Onsdagen den 15 december 004 kl. 9-13(14). B.S. 1. En behållare för förvaring av bensin har formen av en liggande cylinder med horisontell axel. Behållaren kan urtappas genom ett cirkulärt hål beläget på undersidan och mynnande rakt nedåt. Antag att vi ansätter den hypotesen att tömningstiden för ett fullt kärl kan skrivas (vi förutsätter att luft kan komma in i cylindern genom ett litet hål överst på kärlet): α β γ δ T = K L Där följande beteckningar har använts: K är en dimensionslös konstant T = tömningstiden L = behållarens längd D = är behållarens diameter g = tyngdaccelerationen d = hålets diameter D g d a) Med hjälp av dimensionsanalys sätt upp ett samband mellan de fyra parametrarna,, och. [1p] b) Sätt upp ett samband för parametern och bestäm dess numeriska värde. [1p] c) Gör ett antagande om värdet på parametern (vilket värde skull du anse vara det naturliga ) och antag dessutom att tömningstiden borde vara (omvänt) proportionell mot arean av tömningshålet. Bestäm därefter värdet på. [p] Lösning: a) Enhetsformeln blir: s 1 = m m (m/s ) m, dvs. 0 = b) 1 = - vilket ger = ½. c) Om tanken görs dubbelt så lång bör rimligen tömningstiden fördubblas, dvs. vi kan anta att = 1. Värdet på sätts lika med - (tömningstiden bör minska om d ökar). Vi får då 0 = 1 + ½, vilket ger oss = 3/.. Linjerna i väteatomens spektrum kan beskrivas med Rydbergs formel 1/ λ = R(1/ m 1/ n där är en spektrallinjes våglängd samt m och n hela tal. För m = har följande mätserie gjorts vid ett försök: n (nm) ,5 )

2 a) Skriv om Rydbergs formel med frekvensen (f) som funktion av 1/n (sambandet mellan våglängden och frekvensen är f = c, där c har värdet m/s ). [1p] b) Plotta frekvensen som funktion av 1/n i ett snyggt diagram (lämpliga skala på y- axeln är 4 9 enheter, med en lämplig 10-potens som skalfaktor, och på x-axeln 0 0,1 enheter). Glöm ej ange storheter och enheter i diagrammet samt föreslå en figurtext. [1,5p] c) Lägg en linjal genom punkterna och finn skärningspunkten med y-axeln. Använd detta värde på y-axeln för att beräkna ett approximativt värde på Rydbergs konstant (du behöver alltså inte göra någon numerisk anpassning). [1,5p] Rc Rc Lösning: a) Frekvensen f = c / λ = Rc(1/ 4 1/ n ) = är en linjär funktion i 1/n. 4 n b) Vi plottar datapunkterna i ett diagram: Figur 1. De uppmätta spektrallinjernas frekvens som funktion av 1/n^ med m= i Rydbergs formel. 9 8,5 8 Frekvens, f (10^14 Hz) 7,5 7 6,5 6 5,5 5 4, ,0 0,04 0,06 0,08 0,1 0,1 1/n^ c) Den konstanta termen Rc/4 är enligt diagrammet 8,10 14 s -1, dvs. R = 48,10 14 /310 8 = m Skjuvmodulen (G) för en tråd ges av uttrycket G = Vid ett försök erhölls följande resultat: 4πLMR 4 r T

3 L = (1,76 0,001) m M = (,490 0,005) kg R = (1,75 0,01)10 - m r = (1,0035 0,0015)10-3 m T = (3,808 0,016) s (Om någon undrar varför det kommer in en tid i uttrycket ovan så beror det på att skjuvmodulen bestäms genom en torsionsanordning och man bestämmer svängningstiden för denna.) a) Beräkna ett värde på G med dessa uppgifter och beräkna osäkerheten i detta värde genom felfortplantning. Ange även enheten på skjuvmodulen. [p] b) Vilka är de mest dominerande felen i detta försök, dvs. för vilka storheter bör man förbättra mätningarna om man önskar bestämma ett bättre värde på G? [p] 4π1,76,49 (1,75 10 ) Lösning: a) Vi får (1, ) 3,808 beräknas till 0, N/m. b) De mest dominanta bidragen till felet syns enklast om man beräknar bidragen för si som nedan: 10 G = = 4, kg m/s [N/m ]. Felet 3 4 G= , *10^10 dg= , *10^10 L M R^ r^4 T^ felet 0,001 0,005 0,0001 0, ,016 värdet 1,76,49 0,175 0, ,808 n*fel/värde 0, , , , , kvadrerat 6,14184E-07 4,4E-06,46059E-06 3,575E-05 7,06E-05 Vi ser att de två sista kolumnerna innehåller de två största termerna och dominerar det totala felet fullkomligt. I första hand bör tiden bestämmas noggrannare och sedan r. 4. I en amerikans studie fann man följande samhörande värden mellan X (% andel skolbarn som erhöll subventionerad skollunch) och Y (andel skolbarn som bar cykelhjälm).

4 I tabellen ovan har medelvärdena <x> och <y> redan beräknats. Frågan som ställs är om det finns något samband mellan dessa variabler och hur starkt detta är. a) Beräkna korrelationskoefficienten r för data i tabellen ovan. [p] b) Ange sannolikheten för att det erhållna värdet på r skall vara ren slump, dvs. att det inte finns något samband. [1p] c) Hur tolkar du resultatet verkar det rimligt? [1p] För att spara lite arbete plottar jag data här nedan för betraktande: Sambandet mellan bärare av cykelhjälm och subventionerad lunch. Bärare av cykelhjälm Subventionerad lunch

5 Lösning: a) Korrelationskoefficienten beräknas med hjälp av uppställningen: x y (x-<x>)^ (y-<y>)^ (x-<x>)(y-<y>) 50,1 367,49 77,14-168, ,9 393,3 5,17-99,49 57,9 831,17 79,9-778,90 19, 139,95 75,39 10,7 6 4,4 3,33 13,64-55, ,8 1778,31 69, , ,6 517,03 744, , ,4 406,83 89,93-191, , 393,3 591,3-48,1 33,3 831,17 5,84-69, ,4 139,95,30-17, ,4 33,99 56,51-43,8 Summor: 30,83 30, , ,68-431,13 r= -0,8497 r = -431,13/sqrt(7855,67*3159,68) = -0,85. b) Enligt tabell C är sannolikheten för att r skall vara 0,85 för 1 mätningar mindre än 0,%. c) Med hänsyn till figuren i texten har vi synbarligen en mycket hög grad av samband mellan fattiga barn (dvs. där föräldrarna erhåller ekonomiskt bidrag för skollunchen) och barn som inte använder cykelhjälm (av kostnadsskäl kanske). Det är anmärkningsvärt att spridningen är större (lägre grad av korrelation) vid en lägre andel av skollunchsubventioner kanske beroende på en högre grad av individualitet bland eleverna (de kanske har cykelhjälm men använder den inte). 5. Då pyramiderna i Egypten byggdes, baserades deras längdmått på tidmätning (och förekom därigenom den moderna definitionen av 1 meter med över 4000 år!). En cubits definierades som den sträcka jordytan förflyttar sig (i förhållande till en lodrät linje fixerad mot fix-stjärnorna) under en tusendels sekund i runda slängar 500 mm. Följande tabell har angetts efter mätningar av olika sträckor i den Stora Pyramiden (enheten är 1 inch = 5,4 mm): By the base of King's Chamber, corrected for opening of joints By the Queen's Chamber, if dimensions squared are in square cubits By the subterranean chamber By the antechamber By the ascending and Queen's Chamber passage lengths (section 149) By the base length of the Pyramid, if 440 cubits (section '43) By the entrance passage width By the gallery width 0,63 ±,004 0,61 ±,0 0,65 ±,05 0,58 ±,0 0,6 ±,00 0,611 ±,00 0,765 ±,01 0,605 ±,03 a) Ange ett viktat medelvärde med fel för dessa mätningar, omvandlat till enheten mm. [3p] b) Ange spridningsmåttet för dessa data (standardavvikelsen). [1p]

6 Lösning: a) Tabellen nedan anger beräknade nyckelvärden för bestämning av det viktade medelvärdet och standardavvikelsen. värde fel 1/fel^ värd/fel^ (x-<x>)^ 0,63 0, , ,61 0, , ,65 0, , ,58 0, , ,6 0, , ,611 0, , ,765 0, , ,605 0, , medel: 0,634 summor: ,046 Viktat medelvärde= 0,606 tum = 53,76 mm med felet= 0,0013 tum = 0,03 mm standardavvikelsen= 0,057 Det viktade medelvärdet blir (53,76 0,03) mm. I detta fall är det stor spridning mellan de individuella mätningarna. Tre mätningar med mycket små relativa fel dominerar anpassningen och vi har stora pullvärden för punkt 6 och från punkt 7 som ligger lite offside. 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0, b) Standardavvikelsen beräknas till 0,057 tum, dvs. 1,4 mm. Det relativa värdet 1,4/53,76 = 0,007 antyder med vilken precision egyptierna bygge sina pyramider i varje detalj.

7 6. Under :a världskriget angreps London med bomber uppsända med hjälp av tyska V- raketer. Det hade mycket stor betydelse för engelsmännen att se om tyskarna verkligen kunde styra sina bomber eller om dessa träffade London-området helt slumpmässigt publicerades en studie där London hade delats upp i 4 x 4 halv-km stora rutor. Man räknade antalet bomber ( hits ) i dessa rutor och erhöll följande: # bomb hits (k) per area and over # areas with k bomb hits a) Beräkna medelvärdet av antal hits per ruta. [1p] b) Gör en tabell över det verkliga antalet hits enligt tabellen och det beräknade antalet med utgångspunkt från att träffarna är helt slumpmässiga (dvs att antalet hits per ruta är Poissonfördelat). [p] c) Hur tolkar du resultatet? [1p] Lösning: a) Medelvärdet beräknas som (1*11 + *93 + 3*35 + 4*7 + 5*1) /( ) = 535 / 576 = 0,93. b) Detta medelvärde använder vi för att beräkna motsvarande Poissonsannolikheter för 0, 1, etc. utfall: n % Ber. Mätt. 0 0,3950 7, , ,3 11 0, , , , ,015 7, ,0076 1, Observerat antal Observerat antal Beräknad Poissonstatistik c) Vi ser att överensstämmelsen med en Poissonfördelning är mycket god vilket innebär att bomberna över London föll helt slumpmässigt.