Belastningsanalys, 5 poäng Töjning Materialegenskaper - Hookes lag

Transkript

1 Töjning - Strain Töjning har med en kropps deformation att göra. Genom ett materials elasticitet ändras dess dimensioner när det belastas En lång kropp förlängs mer än en kort kropp om tvärsnitt och belastning är lika stora Också här vill man ha ett mätetal som är oberoende av kroppens dimensioner Man har därför infört töjning som ett dimensionsoberoende mått på en kropps deformation. På motsvarande sätt som man skiljer mellan normal- och skjuvspänningar skiljer man mellan normal- och skjuvtöjningar. Vi ska senare se att normalspänningar och normaltöjningar är kopplade via ett materials elastiska egenskaper. Motsvarande samband finns också för skjuvspänningar och skjuvtöjningar. P. Carlsson 1

2 Normaltöjning - ε En belastad stav med ursprungslängden L förlängs sträckan δ n vid belastning. Stavens normaltöjning ε (epsilon) definieras som Normaltöjn ing = Förlängning Ursprungslängd δ eller, med figurens beteckningar ε = n L Töjningen är ett dimensionslöst tal eftersom det definieras som längd/längd. Ex 1. En stel balk stöds av en gångjärnsled vid A samt vajrarna BD och CE. Om lasten P får ändan C att sänka sig 10 mm nedåt, beräkna hur stora normaltöjningarna är i vajrarna BD och CE. Svar: ε CE = 2, , ε BD = 1, P. Carlsson 2

3 Ex 2. En kraft på hävarmens handtag i figuren gör att armen roterar en vinkel Θ = 0,002 rad medurs. Beräkna hur stor normaltöjningen är i vajern BC. Svar: ε BC = 0,001 P. Carlsson 3

4 Skjuvtöjning - γ Uppträder, som namnet antyder, vid skjuvbelastningar av ett material. Skjuvtöjningen γ (gamma) har med vinkeländring att göra och definieras (med figurens beteckningar) som γ = tan γ = δ s L Då γ normalt är mycket liten gäller med god precision att γ = tanγ. γ Skjuvtöjningen γ mäts i radianer och är därför även den, liksom nomaltöjningen, dimensionslös. Ex 3. En skiva deformeras till den streckade konturen under belastning. Om horisontella linjer förblir horisontella under deformationen och inte ändrar sina längder, beräkna a) normaltöjningen för sidan AB samt b) skjuvtöjningen för skivan relativt x- och y-axlarna. Svar: ε AB = -7, , γ =0,0121 rad P. Carlsson 4

5 Normaltöjningar åstadkommer volymändringar, skjuvtöjningar formförändringar. På samma sätt som normal- och skjuvspänningar uppträder samtidigt vid enkel axiell belastning gör även normal- och skjuvtöjningar det. Notera i figuren nedan hur horisontella och vertikala linjer ändrar sina längder samtidigt som en lutande linje roterar något (och förändrar sin längd)! Exempel där samtidiga normal- och skjuvspänningar förkommer (liksom även normal- och skjuvtöjningar) P. Carlsson 5

6 Materialegenskaper - Materialprovning Styrkan hos ett material beror på dess förmåga att motstå laster utan alltför stora deformationer (eller brott). Ett relativt enkelt test som ger mycket information om ett material är ett drageller tryckprov. Sådana prov utförs för olika metaller, keramer, polymerer, kompositer etc. Dragprovmaskin Standardiserad drag provstav (här med amerikanska mått) P. Carlsson 6

7 Mätningarna sammanställs till ett spännings - töjningsdiagram Vid måttliga belastningar är många material linjärt elastiska, dvs. töjningen är direkt proportionell mot spänningen. Vid tillräckligt hög belastning, när man överskridit det elastiska området, börjar materialet flyta. Man får här ganska stora deformationer även för relativt små ändringar i spänningen. Vi ännu högre belastningar ger materialet vika och brott inträffar. Att spänningen sjunker mot slutet av kurvan beror på att spänningen, σ = F/A, beräknas med hjälp av den ursprungliga arean på dragprovstaven. Man tar alltså inte hänsyn till den midja som bildas på dragprovstaven vid spänningsberäkningen. P. Carlsson 7

8 Hookes lag I de fall där man har linjärt elastiska material kan sambandet mellan töjning och spänning tecknas som σ ε = σ = Eε E där E är materialet elasticitetsmodul (E-modul). Elasticitetsmodulen fungerar som en dimensionsoberoende fjäderkonstant för ett material. Enhet: [N/m 2, Pa, GPa]. Sambandet ovan kallas Hookes lag. Mer samband: F δ σ = Eε samt σ =, ε = A L Kombineras dessa samband får vi σ = F δ E ε = E F = A L AE δ L Jämför vi det sista uttrycket med sambandet mellan kraft och deformation av en vanlig fjäder, dvs F = kδ (δ = x i figuren) ser vi att vi har följande samband för en axiellt belastad stång med konstant tvärsnitt: k = AE L P. Carlsson 8

9 Ex 4. Taket och övervåningen till en byggnad stöttas av pelare med utseende enligt figur. Pelarna är av konstruktionsstål med en E-modul om 190 GPa och en tvärsnittsyta om mm 2. Tak och övervåning trycker mot pelarna med de laster som visas i figuren. Beräkna a) Hur mycket övervåningen sjunker ner på grund av lasten. b) Hur mycket taket sjunker ner på grund av lasten. Svar: a) δ Överv. = 3,33 mm, b) δ Tak. = 4,5 mm P. Carlsson 9

10 Även mänsklig vävnad mäts på samma sätt. Dragprovning av ett ben P. Carlsson 10

11 Dragprovning av ben Inom måttliga belastningar är benet linjärt elastiskt (exemplet kommer från Fundamentals of Biomechanics, s 142 f, se kursplaneringen). Fixering av brutet ben med skruvförband. Hur stor belastande kraft F är det rimligt att räkna med? P. Carlsson 11

12 Exempel från Fundamentals, sid 144. Ett ben från en människa har dragprovtestats och gett resultat enligt vidstående figur och diagrammet nedan. Tre olika områden kan observeras i mätningarna Elastiskt område, OAB Icke linjärt elastiskt-plastiskt område, A-B Linjärt plastiskt område, B-C Värden för spännings och töjning för de angivna punkterna finns i tabellen nedan. Bestäm från uppmätta värden benets E-modul i det elastiska området, brottspänningen, maximal spänning i det elastiska området. P. Carlsson 12

13 Hookes lag vid skjuvning Man har även undersökt hur material uppför sig vid skjuvbelastningar. Utifrån tester kan man ställa upp en lag för sambandet mellan skjuvtöjning och skjuvspänning, motsvarande Hookes lag vid dragning. För linjära material får sambandet τ γ = G τ = Gγ där γ är vinkeländringen och G är skjuvmodulen för materialet, enhet N/m 2, Pa eller GPa. P. Carlsson 13

14 Varför bryr man överhuvudtaget sig om att beräkna och mäta så små deformationer? Uppmätning av töjningar/deformationer på armarna till en grävskopa P. Carlsson 14