Del A Begrepp och grundläggande förståelse.

Transkript

1 STOCKHOLMS UIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1 hp, för kandidatprogrammet, år 1 Fredagen den 9 maj 008 kl S.H./K.H./K.J.-A./B.S. Införda beteckningar bör förklaras och uppställda ekvationer motiveras. Resonemang, ekvationslösningar och uträkningar får inte vara så knapphändiga att de blir svåra att följa. Figurer skall ritas stora och tydliga med linjal. Var noga med vektorbeteckningar. På varje problem skall anges ett tydligt understruket eller inramat svar. är så är möjligt skall svaret bestå av siffror med rätt enheter. Antalet värdesiffror skall stå i rimlig proportion till i texten angivna värdesiffror. För godkända betyg (A-E) krävs minst 5 poäng på del A. För betyg E krävs minst 15 poäng sammanlagt. Hjälpmedel : PHYSICS HADBOOK, RÄKEDOSA, TEFYMA Del A Begrepp och grundläggande förståelse. 1. CDF kollaborationen vid Tevatron-acceleratorn vid Fermilab, USA, presenterade nu i mars ett antal sinsemellan oberoende mätningar av massan hos den tyngsta kända elementarpartikeln - topp-kvarken. ågra av deras resultat redovisas i tabellen nedan. Typ av mätning Massa (GeV/c ) Massa (GeV/c ) Period 1: hadroniska sönderfall 186,0 10,0 Period 1: -lepton sönderfall 167,4 10,3 Period 1: lepton och jet sönderfall 176,1 5,1 Period : hadroniska sönderfall 177,0 3,3 Period : -lepton sönderfall 171,,7 Period : lepton och jet sönderfall 17,7 1, Använd dessa data för att beräkna den bästa möjliga uppskattningen av topp-kvarkens massa, ange även osäkerheten i den uppskattningen. (p) Förslag till lösning: Beräkna det viktade medelvärdet: Typ av mätning Massa Massa vikt vikt massa Period 1: hadroniska sönderfall 186,0 10,0 0,01 1,860 Period 1: -lepton sönderfall 167,4 10,3 0,0094 1,574 Period 1: lepton och jet sönderfall 176,1 5,1 0,0384 6,76 Period : hadroniska sönderfall 177,0 3,3 0, ,49 Period : -lepton sönderfall 171,,7 0,137 3,489 Period : lepton och jet sönderfall 17,7 1, 0, ,93 Summa 0, ,857 Vi får då: m = 169,857,981 = 171, 3, med en osäkerhet som ges av M = 1,981 =1, 01. Den bästa uppskattningen av massan blir då: M top = 171 ± 1 GeV/c.. Vid en mätning av radonhalten i en fastighet mättes antalet registrerade sönderfall per tio-sekundersperiod. Efter att ha mätt under sammanlagt 15 sådana perioder hade man sammanlagt registrerat 4 sönderfall. Uppskatta sannolikheten att man vid en sextonde mätning skulle mäta exakt 3 sönderfall. Du kan anta att antalet registrerade sönderfall under en tio-sekundersperiod är Poissonfördelat. (p)

2 Förslag till lösning: Medelvärdet för hur många sönderfall som registreras under en tiosekundersperiod ges av 4/15 = 1,6. Sannolikeheten att erhälla tre sönderfall ges då av P(3;1,6) = e ! = 0, 138. Sannolikheten är alltså 14%. 3. Tyngdaccelerationen g kan bestämmas genom att mäta hur lång tid, T, det tar för en kropp att falla sträckan L. Tyngdaccelerationen ges då av g = L T Vid ett försök lät man en kula falla en sträcka som mättes till 1, ± 0, m, falltiden mättes då till 1,6 ± 0,1 s. Beräkna ett värde, med osäkerhet, på tyngdaccelerationen. Förslag till lösning: Värdet på g fås genom insättning: g = 1, =9.5(3) ms 1,6. (p) Osäkerheten fås genom felfortplantning: g = och dg dl = T, vi har alltså: g = ( 4 1, 1,6 3 ) 0, 1 + ( ) dg dt T + ( dg dl ) L, där dg dt ( 1,6 ) 0, = 1, ms. = 4L T 3 4. Skrivhastigheten hos personer som dagligen skriver text på tangentbord följer en normalfördelning centrerad kring 60 ord per minut, med en standardavvikelse om 15 ord per minut. Hur stor är sannolikheten att skrivhastigheten för en slumpvis vald person ur denna grupp ligger mellan 45 och 90 ord per minut? Antag att man vill erbjuda speciell träning för de personer som tillhör de mest långsamma 0%, vid vilken hastighet går gränsen för vilka som skall erbjudas denna träning? (p) Förslag till lösning: Intervallet 45 till 90 ord per minut svarar mot intervallet µ 1 < x < µ +. Enlig tabell B är sannolikhetsinnehållet för intervallet µ 1 < x < µ = 34,13% och för intervallet µ < x < µ + = 47,7%. Sammantaget blir alltså sannolikheten att hitta en person med skrivhastighet i intervallet ord per minut 81,85%. Fortfarande enligt tabell B så svarar svansen som har 0% sannolikhetsinnehåll mot intervallet µ t < x < µ med t = 0,84 (man får slå upp komplementet med 30% sannolikhetsinnehåll). Gränsen fås alltså ur 60-15*0,84 = 47,4 ord per minut eller mindre 5. I en artikel publicerad i Inernational Review for Sociology of Sport (199)77-88 undersöktes hur födelsedatum för de spelare som deltog i VM-slutspelet i manlig fotboll 1990 fördelades. De redovisade följande tabell: Födelsemånad Antal Augusti-Oktober 150 ovember-januari 138 Februari-April 140 Maj-Juli 100 Kan man i data finna stöd för påståendet att födelsetiden kan påverka chanserna att lyckas som fotbollsspelare? (p) Förslag till lösning: Vi testar om data är förenliga med att alla årets dagar är lika sannolika som födelsedagar för fotbollsspelarna. Sammanlagt har vi födelsedata för 58 spelare. Tar vi hänsyn till att kvartalet Februari-April har 89 dagar och de övriga 9 (vi kan också bortse från detta och förvänta oss 13 spelare i varje kvartal, räkningarna blir i övrig identiska) så får vi följande tabell:

3 Födelsemånad Observerat Förväntat (O-F) /F Augusti-Oktober ,1,15 ovember-januari ,1 0,18 Februari-April ,7 0,99 Maj-Juli ,1 8,3 Summa 11,55 Chikvadratsumman blir alltså 11,55. Vi har tre frihetsgrader, eftersom vi har bestämt Förväntat från det totala antalet fotbollspelare som ju är input från data. Reducerad chi-kvadrat blir 3,85 för 3 frihetsgrader. Tabell D ger oss då en sannolikhet att erhålla så hög reducerad chi-kvadrat om ca 0,9 %. Det är alltså inte speciellt troligt att födelsetid på året inte påverkar möjligheten att bli fotbollsspelare på elit-nivå. Del B: Fördjupande uppgifter. 6. I tabellen nedan ges det kvinnliga rekordet i löpning för distanserna mellan 400 och meter. Antag att det råder ett linjärt samband mellan sträckan och världsrekordet och uppskatta utifrån detta vilken tid Junxia Wang från Kina hade när hon satte världsrekordet Uppskatta även osäkerheten i förutsägelsen (du kan bortse från korrelationen mellan osäkerheten i de bägge anpassade parametrarna). Distans (m) Världsrekord (s) Innehavare Satt år ,6 Marita Koch ,8 Jarmila Kratochvílová ,38 Svetlana Masterkova ,46 Yunxia Qu ,56 Svetlana Masterkova ,36 Sonia O Sullivan ,11 Junxia Wang ,03 Meseret Defar Junxia Wang 1993 Ledning: Eftersom alla tidsmätningar kan anses ha samma osäkerhet kan alla rekord ges samma vikt vid anpassningen. Förslag till lösning: Vi gör en anpassning till en rät linje. Eftersom alla mätningar har samma osäkerhet så kan vi välja en lämplig gemensam vikt. Det enklaste är att välja vikten 1 för alla mätningar, vi får då tillbaks formeln för en oviktad anpassning ( i 1 = ). Vi har då för y = A + Bx: A = (Σx i )(Σy i) (Σx i )(Σx i y i ) B = (Σx iy i ) (Σx i )(Σy i ) Vilket ger x y x xy , , , , , , , , , och = (Σx i ) (Σx i ) vi har

4 = = , A= , = 8.3 och B= , =0, Vi kan nu förutsäga världsrekordet på m: y(10000) = A + B = 8, 3+ 0, = 177, 7 sekunder. Σx Osäkerheterna i parametrarna ges av A = = =0, 6 och B = = = Osäkerheten i vår uppskattning av världsrekordet på meter ges då av = ( dy da) A + ( dy db ) B = A + y B = 0, =, 6 Vår förutsägelse blir alltså 177,7±,6 sekunder. Detta kan vi jämföra med Junxias Wangs rekord satt 1993 som lyder på 9 min 31,8 sekunder, dvs 1771,8 sekunder. Vi ser att vår förutsägelse inte faller inom felmarginalen, vilket kanske inte är så konstigt eftersom antagandet om ett linjärt samband mellan tid och distans förutsätter att man orkar springa i samma hastighet oberoende av hur lång distansen är. Sett mot detta kan man tycka att vår förutsägelse är oväntad bra. 7. En variabel kan antas vara normalfördelad med medelvärde x och standardavvikelse. Visa att medelvärdets standardavvikelse ges av x =, där är det antal värden som används för att beräkna medelvärdet. 1 Förslag till lösning: Vi har x = ( ) d x i dx i. Eftersom d x dx i = 1 får vi x = i x i. Felfortplantningsformeln ger då: x = 1 i = = v.s.v. 8. Flykthastigheten för en raket från en himlakropps yta (den hastighet man behöver uppnå, vid ytan, för att kunna lämna himlakroppen) beror (om vi bortser från påverkan på himlakroppen från raketen) av en dimensionslös konstant, ewtons gravitationskonstant, himlakroppens radie och dess massa. Härled genom dimensionsanalys ett uttryck för detta beroende. Använd sedan data i tabellen för att gissa värdet på den dimensionslösa konstanten. Himlakropp flykthastighet (m/s) radie (m) massa (kg) Merkurius 4 50, , Venus , , Jorden , , Mars , , Jupiter , , Gravitationskonstantens numeriska värde i SI-enheter är 6, , dimensionen kan du härleda ur gravitationslagen. Förslag till lösning: Ur gravitationslagen F = G m 1 m r1 är m 3 kg 1 s. Ur v flykt = K G α r β m γ får vi då (1) m: 1 = 3α + β får vi att dimensionen för G 1 Här döljer sig en oavsiktlig subtilitet: Om vi antar att alla mätningar har samma osäkerhet så så kommer inte värdet på parametrarna A och B att bero av exakt vilken vikt vi antar. Felen däremot kommer att bli proportionella mot det fel vi antar när vi beräknar den gemensamma vikten, proportionalitetsfaktorn ges av uttrycken för A och B ovan. är jag rättat denna uppgift har jag inte begärt att ni skall ta hänsyn till det, eftersom vi inte har diskuterat det under kursen.

5 () kg: 0 = α + γ (3) s: 1 = α (3) α = 1 vilket insatt i () ger γ = 1 och insatt i (1) ger β = 1, alltså är v flykt = K Gm r För att gissa värdet på K löser vi ut den: K = v flykt r GM ur de givna värdena: Himlakropp flykthastighet (m/s) radie (m) massa (kg) v r flykt GM Merkurius 4 50, , ,46 Venus , , Jorden , , Mars , , ,399 Jupiter , , Alla dessa värden ligger nära så en gissning är att formeln lyder: v flykt = Gm r. 9. En variabel ν är Poissonfördelad med medelvärde µ. Visa att medelvärdet av (ν ) ges av µ 3µ + 4 Förslag till lösning: Medelvärdet av en funktion f(ν) av en diskret variabel med sannolikhetsfördelningsfunktion P(ν) får vi genom uttrycket f = 0 f(ν)p (ν). Vi får (ν ) = 0 (ν 4ν+4)P (ν) = 0 ν P (ν)+ 0 ( 4)νP(ν)+ 0 4P (ν) = 0 ν(ν 1)P (ν) + 0 νp (ν) 4 0 νp (ν) +4 0 P (ν) = (som i beviset för att ν = µ )= µ + µ 4µ + 4 = µ 3µ + 4 v.s.v.