Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 12p, för kandidatprogrammet i fysik, 9/6 2015, Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras. Resonemang, ekvationslösningar och uträkningar får inte vara så knapphändiga att de blir svåra att följa. För varje problem skall tydligt framgå vilket svar som ges. När så är möjligt skall svaret bestå av siffror med rätt enheter. Antalet värdesiffror skall stå i rimlig proportion till i texten angivna värdesiffror. Avdrag görs om lösningar eller svar inte utformas i enlighet med ovanstående. För godkända betyg krävs minst 5 poäng på del A, samt ett sammanlagt antal poäng som är olika för olika betyg. För betyg E krävs minst 15 poäng sammanlagt. Hjälpmedel : UTDELAD RÄKNEDOSA, PHYSICS HANDBOOK, BIFOGAD FORMELSAMLING MED TABELLER. Del A: Begrepp och grundläggande förståelse 1. För att undersöka om det finns ett samband mellan surfning och hörselproblem gjordes ett slumpmässigt urval av 100 surfare i åldern år. Dessa fick ange hur många timmar i veckan de ägnade åt surfning, samt genomgå ett test för att fastställa det lägsta ljud de kunde uppfatta. Den linjära korrelationskoefficienten mellan surftid och hörseltröskel beräknades till 0,14. Kan man på fem procents signifikansnivå säga att det finns ett samband mellan surftid och hörseltröskel? 2. För att bestämma bakgrunden i ett sönderfallsexperiment mäter man antalet bakgrundspulser i femsekundersintervall under en timme och konstaterar att bakgrunden är stabil. Totala antalet pulser som registrerats är Uppskatta hur många av femsekundersintervallen som inte gav några pulser alls. 3. En andragradsfunktion anpassas till ett antal mätpunkter med fel. För att undersöka anpassningens kvalitet beräknar man chikvadratsumman, som blir 10,5. Figuren nedan visar chikvadratfördelningen för det aktuella antalet frihetsgrader. Hur stor blir chikvadratsannolikheten?

2 4. Antag att längden av danska män är normalfördelad med ett medelvärde av 175 cm och en standardavvikelse om 8,4 cm. Antag att män utgör hälften av Danmarks befolkning om 5,6 miljoner. Hur stor är sannolikheten för att av två slumpässigt valda danska män är den ene 20cm eller mer längre än den andre. 5 För att bestämma elasticitetsmodulen E för en legering kan man bestämma egenfrekvensen f 0 hos ett rätblock tillverkat av den. Om längden är L, bredden b och tjockleken t ges elasticitetsmodulen av uttrycket E = A mf 2 0 L3 bt 3 ) (1 + B t2 L 2 där A = 0,9465 och B = 6,858 är numeriska konstanter. Vid en sådan bestämning uppmättes L = (21,2 ± 0,5)cm, b = (51,1 ± 0,6)mm, t = (3,21 ± 0,08)mm, m = (24,0 ± 0,8)g, och f 0 = (845 ± 80)Hz. Mätningarna är oberoende. Härur bestämdes genom felfortplantning värdet på elasticitetsmodulen till E = (9,3 ± 2,0) N m 2. Hur mycket skulle felet i E minska om man skaffade en utrustning som mäter frekvensen med dubbelt så stor precision (alltså med en hälften så stor osäkerhet)? Ledning: Du behöver inte göra om hela felpropageringen.

3 Del B: Fördjupande uppgifter 6. I samband med en trafikomläggning vill man kontrollera om trafiken minskat på en gata. Man räknar bilar under en timme (15-16) på onsdag eftermiddag före och efter omläggningen. Antalet bilar blir 512 respektive 430. Antag poissonstatistik och testa nollhypotesen att trafiken är oförändrad mot lämplig alternativ hypotes. (5p) 7. Bestäm standardavvikelsen för den triangulära sannolikhetsfördelningen (sannolikhetstätheten) f i figuren nedan. (5p) 8. Ett linjärt funktionssamband y = f(x) råder mellan x och y. För att bestämma funktionen f görs en serie oberoende mätningar av sammanhörande värden på x och y. De uppmätta värdena med fel finns angivna i tabellen nedan. x y 11,1 ± 0,8 2,7 ± 0,8 12,5 ± 0,4 1,9 ± 0,8 13,7 ± 0,3 4,0 ± 0,8 14,6 ± 0,6 3,4 ± 0,9 15,7 ± 0,4 4,0 ± 1,1 16,4 ± 0,3 6,1 ± 1,2 18,6 ± 0,3 7,5 ± 1,6 Bestäm f(0) med fel! (5p) 9. På en avlägsen fjällstation tycker man att vädret är ovanligt kallt, och man vill mäta temperaturen. Dessvärre har termometern gått sönder, och när man skickade efter en ny skedde en felleverans: Man fick en manometer istället, som kan mäta tryckskillnader. Man vill nu utnyttja manometern, tillsammans med en glaskolv, för att mäta temperaturen. Med hjälp av en aneroidbarometer mäter man först atmosfärstrycket. Barometern har en kalibreringsskruv som kan användas för att ändra utslaget. Man misstänker att den inte är ordentligt kalibrerad, ställer in skruven i mittläget och antar att detta ger en osäkerhet på 3 hpa. Resultatet blir att lufttrycket är (841 ± 3) hpa. Därefter ansluter man glaskolven till manometern via en slang, placerar kolven i kokande vatten och uppmäter skillnaden i tryck mellan luften i kolven och atmosfärstrycket, till 229 hpa. Motsvarande mätning med kolven i en is-vattenblandning ger 57 hpa. Dessa

4 båda mätningar var ganska besvärliga eftersom manometerutslaget varierade en hel del, och man uppskattar att felen är ±4hPa och oberoende för de två mätningarna. Man tar inte hänsyn till felen i temperaturerna, som är 0 C för isblandningen och 94,8 C för kokande vatten. (Detta gäller för det uppmätta lufttrycket. Osäkerheten i lufttrycket ger en försumbar osäkerhet i kokpunkten.) Slutligen uppmäter man tryckskillnaden när kolven placeras utomhus till ( 183 ± 2) hpa (här varierade manometerutslaget inte lika mycket). Även felet i denna tryckskillnad anses oberoende av de övriga. Bestäm utetemperaturen med fel! Utnyttja att absoluta nollpunkten är 273,15 C. Ledning: Utnyttja att trycket i kolven är proportionellt mot absoluta temperaturen, och bestäm proportionalitetskonstanten. (5p)

5 Uppgift 1, lösning: Enligt tabell C är sannolikheten för att få r 0,14 för 100 värdepar något större än 14% (vilket är sannolikheten för r 0,15). Detta är större än 5%, så på fem procents signifikansnivå finns inget stöd för något samband. (Det negativa värdet innebär ju dessutom att hörseltrösklarna tenderade att vara lägre för dem som surfade mycket, vilket absolut inte tyder på att surfning skulle leda till hörselproblem. Skulle vi testa den hypotesen blir p-värdet ungefär 90%.) Uppgift 2, lösning: Antalet pulser per fem sekunder är poissonfördelat, och vi uppskattar medelvärdet till µ = (totala antalet femskundersintervall är 720). Poissonsannolikheten att få noll händelser är e µ. En uppskattning av antalet intervall med noll händelser blir e µ 720 = 9,8. Svar: Ungefär tio. Uppgift 3, lösning: Chikvadratsannolikheten är sannolikheten att, vid ett upprepat försök, få ett lika stort eller större värde på chikvadratsannolikheten än den faktiska. Denna sannolikhet är integralen av sannolikhetstätheten från det observerade värdet (10,5) till oändligheten. Genom att räkna rutor under kurvan ovanför 10,5 på x-axeln kan denna uppskattas. Antalet rutor är ungefär sex, vilket betyder att sannolikheten är ungefär 6 0,5 0,01 = 3%. Lägg märke till att detta bygger på att integralen för x > 20 är försumbar. Detta är naturligt eftersom chikvadratfördelningen är relaterad till normalfördelningen, som går mot noll mycket snabbt. Men för att vara säker på att inte missa bidrag för x > 20 kan man istället räkna rutor för x < 10,5. Jag fick 193 rutor, vilket ger en chikvadratsannolikhet på ,5 0,01 = 3,5%. (Chikvadratfördelningen i figuren har fyra frihetsgrader, och den korrekta chikvadratsannolikheten är 3,3%.) Figuren nedan visar ruträkningen. Uppgift 4, lösning: Den sökta sannolikheten är sannolikheten för att skillnaden i längd mellan två slumpmässigt valda män är större än 20 cm. Skillnaden blir normalfördelad med standardavvikelsen 2 8,4 cm = 11,9 cm. (Skillnaden är summan av två normalfördelade vari-

6 abler och därför normalfördelad. Enkel felpropagering ger standardavvikelsen.) Vi söker alltså sannolikheten att en normalfördelad variabel hamnar mer än 20 11,9σ = 1,68σ från medelvärdet. Tabell A ger att denna sannolikhet är 100% 90,7% = 9,3%. (Lägg märke till att antalet män inte kommer in. Den uppgiften hade kommit med av misstag.) Uppgift 5, lösning: Vi kan skriva felfortplantningsformeln för E som ( σe 2 = 2 + E f 0 ) 2 σ 2 f 0 där 2 är det sammanlagda bidraget till σe 2 från de andra storheterna. Den partiella derivatan ovan blir E = 2A mf 0L 3 ) (1 f 0 bt 3 + B t2 L 2 = 2 E. f 0 och vi får Om σ f0 ändras från 80 Hz till 40 Hz ändras σ 2 E σe 2 = 2 + 4E2 f0 2 σf E2 med ( f (2 0 2 Det nya värdet på σe 2 blir alltså ) 2 2, att felet σ E minskar från 2, N m 2 till 1, N m 2. ( (40Hz) 2 (80Hz) 2) = 2, N2 ) N 2 m 4 = 1, N2 m 4 m 4. vilket betyder Uppgift 6, lösning: Den alternativa hypotesen är att trafiken minskat. För att testa detta bildar vi skillnaden mellan antalet bilar som räknades före omläggningen och antalet bilar som räknade s efter: x = = 82. Vi vill testa om ett så stort värde är förenligt med en och samma poissonfördelning före och efter. Vi antar alltså en sådan fördelning och uppskattar medelvärdet till = 471. Eftersom medelvärdet är så stort kan vi approximera poissonfördelningen med en normalfördelning med standardavvikelsen 471. Om både värdet innan, x 1, och värdet efter, x 2, kommer från en sådan fördelning blir skillnaden mellan dem, x = x 1 x 2 normalfördelat med medelvärdet noll och standardavvikelsen σ = = 942 = 30,7. Vi förkastar nollhypotesen om vårt observerade x är högt nog (den alternativa hypotesen tenderar att ge stora x). Det observerade x-värdet ligger 82 30,7 σ = 2,67σ ovanför medelvärdet, och avläsning i tabell B ger att sannolikheten för att få ett lika stort eller större värde på x är p = 50% 49,62% = 0,38%. Detta tyder på att en minskning verkligen ägt rum; ett hypotestest med signifikansnivån 0,5% förkastar nollhypotesen att trafiken är oförändrad. Uppgift 7, lösning: Medelvärdet är µ = 0 av symmetriskäl. Normeringsvillkoret för sannolikhetstätheten (att triangelns area skall vara ett) innebär att f(0) = 1/a, så att f(x) = 1 a 1 x för x a och noll för x > a. Variansen är V = (x µ) 2 f(x) dx. Eftersom intergranden är en jämn funktion (symmetrisk runt 0 = µ) kan vi begränsa integralen till positiva a 2 x och multiplicera med två: V = 2 a a Standardavvikelsen är σ = V = a 6. 0 ( x 2 1 x ) dx = 2 ( ) a 3 a a 3 a4 = 2 4a2 3a 2 4a 12 = a2 6 Uppgift 8, lösning: Funktionen har formen f(x) = a + bx. Det som söks är f(0) = a. Vi börjar med att rita in punkterna (utan fel fr enkelhets skull) i ett diagram:

7 Den räta linjen är dragen på fri hand. Ur den kan vi uppskatta a till 6 och lutningen b till 14/20 = 0,7. Vi skulle kunna använda detta värde på b för att ta hänsyn till felen i x som ekvivalenta fel i y när vi gör en anpassning för att få fram a. Men vi gör istället först en viktad anpassning med felen i y för att få fram en lite bättre initial uppskattning av b. Vi anpassar alltså en rät linje till punkterna x i ±σ x,i och y i ±σ y,i. Vi inför vikterna w i = 1 σ 2 y,i och beräknar följande summor: i w i = 7,834, i w ix i = 107,936, i w iy i = 28,107, i w ix 2 i = 1518,712, i w ix i y i = 406,712. Därefter använder vi formeln för en viktad anpassning till en rät linje för att bestämma lutningen som b = [Σw Σwxy Σwx Σwy] / där = Σw Σwx 2 (Σwx) 2 = 246,847. Detta ger b = 0,617. När vi nu har lutningen (vi hade som sagt också kunnat använde uppskattningen ur figuren) inkluderar vi felen i x som ekvivalenta fel i vikterna enligt w i = 1 σ 2 y,i + b2 σ 2 x,i. Vi beräknar summorna igen, med de nya vikterna: i w i = 6,948, i w ix i = 96,778, i w iy i = 25,465, i w ix 2 i = 1375,542, i w ix i y i = 372,53. Nu blir = 191,372, och vi får b = 0,65. Slutligen beräknar vi och felet i a, a = [ Σwx 2 Σwxy Σwx Σwxy ] / = 5,356 σ a = Σwx 2 = 2,681. Resultatet blir alltså att f(0) = 5,4 ± 2,7. (Som kontroll kan vi konstatera att detta stämmer väl med vår handgjorda anpassning i figuren. Om vi ist llet för den första anpassningen använt b = 0,7 hade vi fått f(0) = 5,5 ± 2,7. Givet felets storlek är skillnaden betydelselös.) Uppgift 9, lösning: Trycket i kolven är proportionellt mot absoluta temperaturen, dvs p = bt

8 där b är konstant. Vi har två fixtemperaturer, nämligen för kokande vatten (T 1 = 94,8 C = 367,95 K) och is-vattenblandningen (T 2 = 0 C = 273,15 K). Genom att bestämma motsvarande värden på trycket p kan vi ta fram två värden på b, som vi kan bilda medelvärdet av. När vi på så sätt bestämt b kan vi utnyttja det för att bestämma temperaturen T = p/b för trycket som uppmättes när kolven var utomhus. Felet i atmosfärstrycket kommer in på flera ställen. Men det kommer bara att påverka resultatet lite grann eftersom alla tryckmätningarna, även när kolven är utomhus, påverkas. En möjlighet är att därför ignorera felet i atmosfärstrycket helt och hållet. Här inkluderar vi felet i atmosfärstrycket, och vill vi använda felfortplantningsformeln måste vi då antingen bestämma de korrelationer detta ger upphov till eller ställa upp ett slutet uttryck för utetemperaturen som en funktion av samtliga (oberoende) mätvärden. Vi väljer istället att först bortse från felet i atmosfärstrycket så att felfortplantningen kan göras med oberoende fel. För att ta hänsyn till felet i atmosfärstrycket använder vi sedan störningsräkning, dvs vi ser hur mycket resultatet ändras när vi gör om beräkningen med ett annat atmosfärstryck. Trycket i kolven får vi som summan av atmosfärstrycket (p atm = (841 ± 3) hpa) och den av manometern uppmätta tryckskillnaden. För kokande vatten får vi p 1 = 841 hpa + (229 ± 4) hpa = (1070 ± 4) hpa och för is-vattenblandningen p 2 = 841 hpa (57 ± 4) hpa = (784 ± 4) hpa. Här har vi alltså inte tagit hänsyn till felet i atmosfärstrycket som påverkar båda tryckvärdena. Från p 1 och p 2 kan vi bestämma b 1 = p 1 T 1 = 2,908 ± 0,011 och b 2 = p 2 T 2 = 2,870 ± 0,015. Ett viktat medelvärde blir b = 2,895 ± 0,009. Trycket i kolven när den är utomhus är p 3 = 841 hpa 183 hpa = 659 hpa med ett fel på 2 hpa (om vi bortser från felet i atmosfärstrycket), och vi får utetemperaturen till T 3 = p 3 /b = (658 ± 2)/(2,895 ± 0,009) = (227,32 ± 0,97)K = ( 45,83 ± 0,97) C. Om vi istället använder p atm = 844 hpa (alltså ökar värdet med den angivna osäkerheten) får vi T 3 = 227,64 K, dvs osäkerheten som svarar mot felet i atmosfärstrycket är 227,64 K 227,32 K = 0,32 K. Totala felet i slutresultatet blir (0,97K) 2 + (0,32K) 2 = 1,02 K. Resultatet för utetemperaturen är alltså ( 45,8 ± 1,0) C. En alternativ (krångligare) lösningsmetod, istället för att bilda det viktade medelvärdet, är att anpassa en rät linje p = a + bt med hjälp av formlerna i formelsamlingen. Man måste då lägga till en tredje punkt, T = 0, p = 0, med mycket litet fel (hög vikt), så att anpassningen går mycket nära origo. Låter man den tredje vikten gå mot oändligheten går a mot noll och för b blir resultatet just ett viktat medelvärde av p/t för de två punkterna. (Om man känner matrisuttrycket för en linjär minsta kvadratanpassning kan man direkt anpassa p = bt till två punkter, vilket ger samma resultat.)