Del A Begrepp och grundläggande förståelse.

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1 hp, för kandidatprogrammet, år 1 Onsdagen den 18 juni 008 kl S.H./K.H./K.J.-A./B.S. Införda beteckningar bör förklaras och uppställda ekvationer motiveras. Resonemang, ekvationslösningar och uträkningar får inte vara så knapphändiga att de blir svåra att följa. Figurer skall ritas stora och tydliga med linjal. Var noga med vektorbeteckningar. På varje problem skall anges ett tydligt understruket eller inramat svar. När så är möjligt skall svaret bestå av siffror med rätt enheter. Antalet värdesiffror skall stå i rimlig proportion till i texten angivna värdesiffror. För godkända betyg (A-E) krävs minst 5 poäng på del A. För betyg E krävs minst 15 poäng sammanlagt. Hjälpmedel : PHYSICS HANDBOOK, RÄKNEDOSA Del A Begrepp och grundläggande förståelse. (1) Försöket där tyngdaccelerationen bestäms genom att låta en lerklump falla i Ljusgången i AlbaNova har nu gjorts ett antal gånger. I tabellen nedan redovisas resultaten från ett antal laborationsgrupper. Använd dessa resultat för att erhålla den bästa möjliga uppskattningen av g. År g(ms ) σ g (ms ) , 0, , 0, ,1 0, ,3 0, , 0, ,04 0, ,6 0, (p) Förslag till lösning: Vi beräknar det viktade medelvärdet: År g(ms ) σ g (ms ) vikt vikt g , 0, , 0, ,1 0, ,3 0, , 0, ,04 0, ,6 0, Summa Det viktade medelvärdet blir då ĝ = =9.3 ms. Osäkerheten fås ur σ vmv = 1 P = 1 wi =0, 08 ms. () Till den kända restaurangen Casa Bótin i Madrid kom en leverans med spädgrisar. Kökschefen vägde de fem första grisarna med resultatet 5,6 kg, 4,8 kg, 5, kg, 5,1 kg och 4,7 kg. Om vi antar att spädgrisarnas vikt är normalfördelad, hur stor är då sannolikheten att den sjätte spädgrisen vägde mer än 5, kg. (p) Förslag till lösning: Om vi antar att vikterna är normalfördelade så ges bästa uppskattningen av µ av medelvärdet av vikterna, ˆµ = x = 5,6+4,8+5,+5,1+4,7 5 = 5,4 5 =5, 08 kg.. För att bestämma sannolikheten att den sjätte grisen vägde mer än 5, kg behöver vi också en uppskattning av standardavvikeslen, som vi får från variansen:

2 vikt, v (v- v ) (v- v) Summa Vi får då ˆσ = 5, 5,08 0,36 = 0,1 0,36 = 37%. P(v v) N 1 = 0,508 4 =0, 36. En spädgris som väger 5, kg befinner sig alltså =0, 333σ över medelvärdet. Enligt tabell B är denna sannolikhet 0,5-0,1306 (3) Effekten för en glödlampa kan mätas genom att mäta dess resistans och spänningsfallet över glödlampan. Effekten fås då ur P = U R. Vid ett försök mättes en glödlampas resistens till 7, 5 ± 0, 3 Ω och spänningsfallet till 4, 3 ± 0, V. Beräkna ett värde på effekten hos glödlampan vid denna spänning, med angivande av osäkerheten. (p) Förslag till lösning: Effekten ges av P = U R = 4,3 7,5 =,46 W. Osäkerheten ges av ( felfortplantningsformeln: σ P = dp ) du σ U + ( ) dp dr σ ( R = U ) R σ U + ( ) U R σ R =0, 5. Effekten kan alltså uppskattas till,46 ± 0,5 W (,5 ± 0,3 W). (4) När kosmisk strålning träffar jordens atmosfär bildas myoner som når ned till jordytan. Varje kvadratcentimeter på jordytan träffas av ungefär en sådan myon per minut. Det betyder att A4-arket framför dig i genomsnitt genomborras av 10,4 myoner per sekund. Antag att antalet myoner som under en sekund går genom pappret är en Poissonfördelad variabel, hur stor är då sannolikheten att pappersarket under en sekund inte träffas av någon enda myon? ( p) Förslag till lösning: Vi söker P(ν =0;µ =10,4) för en Poissonfördelad variabel, dvs e 10,4 10,4 0 0! = e 10,4 = (5) Ett forskningslaboratorium köpte en elektronisk förstärkare som var specificerad så att den för en given inspänning U in skulle leverera en utspänning som ges av U ut =1, 00 V + 3, U in. När förstärkaren levererades testade man den genom att skicka in mycket väl definierade spänningar, så väl definierade att man kan bortse från osäkerheten i dessa, och mäta utspänningen efter förstärkningen. Man erhöll följande värden: U in (mv) U ut (V) σ ut ,99 0, ,99 0, ,99 0, ,00 0, ,01 0, ,99 0, ,01 0, ,00 0,01 Är dessa mätdata vad man kan förvänta sig om förstärkaren uppfyller kravspecifikationen? Förslag till lösning: Vi beräknar χ-kvadratsumman U in Observ. Förv. χ Summa 6.00

3 Vi får alltså en chi-kvadratsumma om 6,0 för 8 frihetsgrader vilket ger en reducerad chikvadrat om 0,75. Enligt tabell D är sannolikheten att få ett så högt, eller högre, värde ca 81%, det verkar alltså som om förstärkaren uppfyller specifikationen. (p) Del B: Fördjupande uppgifter. (6) I EM-slutspelet i fotboll 004 slutade de 4 gruppspelsmatcherna på följande sätt: Grupp A Grupp B Portugal Grekland 1 - Schweiz Kroatien 0-0 Spanien Ryssland 1-0 Frankrike England - 1 Grekland Spanien 1-1 England Schweiz 3-0 Ryssland Portugal 0 - Kroatien Frankrike - Spanien Portugal 0-1 Kroatien England - 4 Ryssland Grekland - 1 Schweiz Frankrike 1-3 Grupp C Grupp D Danmark Italien 0-0 Tjeckien Lettland - 1 Sverige Bulgarien 5-0 Tyskland Nederländerna 1-1 Bulgarien Danmark 0 - Lettland Tyskland 0-0 Italien Sverige 1-1 Nederländerna Tjeckien - 3 Italien Bulgarien - 1 Nederländerna Lettland 3-0 Danmark Sverige - Tyskland Tjeckien 1 - Undersök om antalet mål lagen gjorde i en match kan anses vara Poissonfördelade. Ledning: Varje match bidrar med två värden. Förslag till lösning: Vi gör enpchi-kvadrat test för antagandet att antal mål är Poissonfördelat. Medelvärdet fås ur x = n k x k k, vi har P nk x n k n k x k summa så medelvärdet blir 64/48 = 1,33. Det förväntade antalet gånger ett lag har gjort ν mål, om detta antal är Poissonfördelat, ges då av 48 P (ν;1, 33). Vi binnar data så att ingen bin har färre än 4 förekomster och beräknar förväntat antal och chi-kvadrat: Antal mål Obs. Förv. χ ,7 0, ,9 0, , 0,67 > 6 7, 0,1 summa 1,10. Detta ger en chi-kvadratsumma om 1,10 för två frihetsgrader (vi har beräknat N och ν från data), dvs reducerad chi-kvadrat om 0,55. Tabell D visar att sannolikheten att få så hög reducerad chi-kvadrat är ca 60%. Antalet gjorda mål verkar därför verkligen vara Poissonfördelat. (7) Ett radioaktivt material innehåller två olika isotoper. Genom att mäta energin på de fotoner som genereras vid sönderfallet kan man avgöra om ett sönderfall är orsakat av sönderfall av isotop ett eller två. Man mäter antalet sönderfall ν 1 respektive ν under ett antal tiosekundersintervall och finner att ν 1 är Poissonfördelad med medelvärde µ 1 och att ν är Poissonfördelad med medelvärde µ. Vissa att det totala antalet sönderfall i en tiosekundersperiod, ν = ν 1 +ν också är Poissonfördelat med ett medelvärde µ som uppfyller µ = µ 1 + µ. Ledning: Binomialsatsen säger: (a + b) n = n ( n ) k=0 k a k b n k, där ( ) n k = n! k!(n k)!. Förslag till lösning: vi beräknar sannolikheten att observera ν = ν 1 +ν sönderfall. Eftersom vi betraktar oberoende sannoliketer så blir sannolikheten för summan lika med produkten

4 av sannolikheterna för ν 1 resp ν. Vi måste också ta hänsyn till att en given summa kan fås på flera olika sätt så vi måste summera alla möjligheter. Vi får alltså: P (ν) = ν 1 ν=0 P (ν 1) P (ν = ν ν 1 ). detta ger: P (ν) = ν ν vsv. e µ 1 µ ν 1 1 ν 1! e µ µ ν ν1 (ν ν 1)! = e (µ1+µ) ν µ ν 1 1 µν ν 1 ν 1!(ν ν 1)! = (enligt ledning) = e (µ 1 +µ ) (µ 1+µ ) ν ν! vilket är just Poissonfördelningen för en variable med medelvärde µ, (8) År 1971 hade Indien 548, miljoner invånare, ,3 miljoner, ,9 miljoner och ,5 miljoner. Antag att folkmängden växt exponentiellt och uppskatta, med angivande av osäkerhet, hur stor Indiens befolkning var Samtliga värden på befolkningens storlek kan antas vara korrekt avrundade. Ledning: Genom att välja lämpliga variabler kan du göra din uppskattning oberoende av eventuella korrelationer mellan anpassade parametrar. Förslag till lösning: Vi kan uppskatta Indiens folkmängd 1961 genom att anpassa logaritmen av befolkningen som en funktion av antalet år efter 1961 till en rät linje. Genom att välja år 1961 till år 0 så kommer inte korrelationen mellan de anpassade parametrarna att bidrag till osäkerheten i antalet invånare År x = år Befolkning (milj) 548, 683,3 843,9 944,5 y = ln(bef.) 6,307 6,57 6,738 6,851 w= 1 σ y = B σ B wx wy wxy wx Summerar vi och sätter in dessa värden i standardformlerna för en linjär anpassning till y = A + Bx får vi A = 6,60919 och B = 0, samt σ A =0, Indiens befolkning år 1961 kan du uppskattas till Bef 0 =e A = 441,9 miljoner. Osäkerheten ges av σ Bef = e A σ A =0.05. Vår uppskattning av Indiens befolkning år 1961 blir alltså 441, 9 ± 0, 05 miljoner. (9) I tabellen nedan anges den förväntade medellivslängden för nyfödda män i sju länder, samt hur stor andel av BNP som i dessa länder avsätts till sjukvårdssektorn (källa: WHO). Ger dessa data stöd för påståendet att det finns ett samband mellan hur stor del av BNP som avsätts till sjukvårdssektorn och medellivslängden för nyfödda män? Om svaret på frågan är ja, betyder det i så fall att vi kan dra slutsatsen att alla länder kan förlänga medellivslängden genom att satsa mer på sjukvård? (Denna delfråga skall besvaras oavsett om du kommer fram till att svaret är ja eller nej ). Land förv. medellivslängd (år) % av BNP Albanien 69 6,7 Bolivia 63 6,8 Egypten 66 6,1 Finland 76 7,4 Japan 79 7,8 Kanada 78 9,8 Lesotho 4 6,5 Förslag till lösning: Vi beräknar den linjära korrelationskoefficienten, vi kallar den förväntade medellivslängden för a och andelen av BNP för b:

5 Land a (a -ā) b (b - b ) (a -ā) (b - b) (a -ā) (b - b Albanien Bolivia Egypten Finland Japan Kanada Lesotho Summa ,4 Vi kan nu beräkna korrelationskoefficienten: r = 989,7 9, = 0,591. Enligt tabell C är sannolikheten att 8 helt okorrelerade talpar skulle få ett värde på r som är så högt eller högre ungefär lika med 13%. Det går alltså inte att säga att det finns evidens för en stark korrelation mellan dessa variabler. Även om vi hade fått en mycket lägre sannolikhet, och därför hade kunnat anta att det verkligen fanns en korrelation mellan dessa variabler så är det inte tillräckligt för att visa på ett orsakssamband. Man skulle till och med kunna gissa att med en åldrande befolkning så blir det nödvändigt att satsa mer på sjukvården!