LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND

Transkript

1 Fysikum FK Fysikexperiment FK Exp. fysik för lärare Laborationsinstruktion (28 september 2010) LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND TÖMNING Mål Idenhärlaborationenskalldubörjamedattställauppenhypotes för hur tömningstiden för ett cylindriskt rör med vatten kanantas bero på olika storheter som vattenpelarens höjd, cylinderns diameter och utströmningshålets diameter. Laborationen går ut på att experimentellt pröva den uppställda hypotesen, dvs om den antagna formeln inom den experimentella noggrannheten beskriver tömningstiden för cylindriska rör. Om hypotesen är korrekt kan en av de obekanta konstanterna i formeln för tömningen entydigt bestämmas genom dimensionsanalys. För de övriga obekanta konstanterna erhålles ett samband som kan testas experimentellt och därmed bestämmas. Du skall tillsammans med din medlaborant göra en skriftlig rapport samt ge en utförlig muntlig redovisning om ca 30 minuter infö r g r u p p e n och en lärare.

2 .

3 LABORATION 2: Upptäck ett samband tömning 1 1 Inledning Vatten och andra vanligt förekommande lättrinnande ämnen som bensin, lätta oljor och syror förvaras normalt i industriell skala i mycket stora kärl (silos). I många sammanhang kan det vara av intresse att kunna beräkna tömningstider för dessa som funktion av tapphålens diameter och mängden kvarvarande vätska. I praktiken kommer naturligtvis flera andra parametrar in som har betydelse för tömning av kärl som vätskans viskositet, som i sin tur kan vara temperaturberoende, och tömningsventilens utformning. Vätskan kan dessutom stå under tryck och då kommer även detta med i beräkningarna. Någon fullt friktionsfri utströmning förekommer aldrig, eftersom ingen vätska helt saknar viskositet, dvs inre friktion. Vid mycket korta ledningar och utströmningsmynningar är dock friktionsmotståndet obetydligt och kan ofta helt försummas. Man skiljer också på laminär strömning, där strömningsförloppet är välordnat och inte förändras med tiden, och turbulent strömning där strömningsförloppet är oregelbundet och virvlar kan förekomma. I detta försök kommer vikanskeintealltidattha laminär strömning, vi kommer dock att bortse från detta hä r o c h a n t a r a t t v ä t s k a n helt saknar inre friktion.

4 2 LABORATION 2: Upptäck ett samband tömning 2 Hypotes IdettaexperimentskalldumätatidenT det tar att tömma ett cylindriskt kärl, fyllt med vatten upp till en viss höjd H. Tömningendrivsavgravitationen,menhindras av friktionen mot tömningsventilens sidor (i detta försök är ventilen endast ett hål i botten på cylindern). Mängden vatten som strömmar genom hålet kan alltså i första hand antas bero på hålets diameter d. Hur snabbt vattnet rinner ut beror på vilket tryck som driver det genom hålet, dvs tryckskillnaden mellan trycket i vattnets övre del och trycket vid hålets nedre del. Denna tryckskillnad ges av vattenpelarens höjd (H) somgenomsintyngdtyngdskaparetthydrostatiskttryckhosvattnetvid utloppet. Tömningstiden för ett cylindriskt kärl kan under dessa antaganden antas bero på följande storheter: Storhet Beteckning Dimension cylinderns inre diameter D m utloppshålets diameter d m vattenpelarens höjd H m tyngdaccelerationen g m/s 2 vattnets densitet ρ kg/m 3 Vi gissar på ett produktsamband och ansätter därför ett uttryck för tömningstiden:. T = K D α d β H γ g δ ρ ɛ (1) där K antas vara en dimensionslös konstant. Genom att variera en storhet i taget kan vi i princip bestämma exponenterna α till ɛ (exponenterna α till ɛ antas vara halv- eller heltal).

5 LABORATION 2: Upptäck ett samband tömning 3 3 Experimentuppställning Försöksuppställningen består av plexiglascylindrar med uttömningshål i botten, stativ med klämmor, ett uppsamlingskärl och tidtagarur. För att spara materiel har flera hål borrats i botten av varjecylinder. Dehålsom inte används kan täckas över med svart tape. Hålens diameter varierar från 2 mm till 7 mm i steg om 1 mm (vissa avvikelser i antalet hål kan förekomma). Använd skjutmått för att bestämma cylindrarnas innerdiameter men försök inte mäta hålens diametrar med skjutmåttet (hålkanterna kan skadas). Använd istället en linjal och lägg över hålet och avgör dess diameter på närmaste hela mm (hålen är borrade i hela mm med en tolerans på 0,1 mm). Vattnet som används skall ha ungefär samma temperatur under hela försöket. Använd kallt vatten ur kran (spola en stund) och ta nytt vatten varjegång.setill att vattnet lugnat sig i cylindern före varje urtappning och att det inte är fyllt med luftbubblor. Inga höjdskalor finns ingraverade på cylindrarna. Använd maskeringstejp och märkpenna och markera en lämplig serie med höjder. Mät upp era valda höjder med en stållinjal. Tiden tages med tidtagarur. Notera att stopptiden inte är så väldefinierad då vattnet vid slutet av tömningen börjar droppa istället för att rinna. Diskutera och kom överens med din kamrat om hur stopptiden skall definieras (se vidare under Mätvärdesbehandling nedan). D H d Figur 1: Cylinder med hål och uppsamlingskärl.

6 4 LABORATION 2: Upptäck ett samband tömning Här nedan finner du en tabell över de cylindrar som finns tillgängliga för tillfället. Observera att angivna mått skall kontrolleras och felen uppskattas (observera dock att felet i hålens diametrar sätts till 0,1 mm). # Cylinder D inner (mm) Håldiameter (mm) 1 D , D34a D34b D34c D43a D43b D D51a D51b D D64a D64b D64c Mätningar Gången vid det experimentella förfarandet beskrivs nedan i punktform. 1. Dimensionsanalys. Gör först dimensionsanalysen av formeln för tömningstiden och bestäm parametrarna δ och ɛ. 2a. Bestämning av γ. Välj en medeltjock cylinder och välj ett uttömningshål med en diameter i intervallet 4 till 6 mm och bestäm tömningstiden för 6 olika höjder. Upprepa varje försök en gång per lablagsdeltagare för att senare kunna beräkna en osäkerhet i de enskilda tidmätningarna. 2b. Bestämning av β. I detta försök skall vattenpelarens höjd vara konstant. Välj en medelhöjd och bestäm tömningstiden för cylinderns tre olika diametrar på tömningshålet. Byt sedan cylindern mot en annan cylinder med tre andra hål i botten men med samma innerdiameter D. Mätpåallasexhålen två gånger som i 2a ovan. 3. Bestämning av α. Efter ovanstående mätningar kan du räkna ut den sista okända parametern. Gör en tredje mätserie med hjälp av cylindrar med olika innerdiametrar D och bestäm experimentellt värdet på α. Jämför med det framräknade värdet för α.

7 LABORATION 2: Upptäck ett samband tömning 5 5 Mätvärdesbehandling På grund av osäkerheten i själva metoden för bestämningavtömningstiden(manuell tidtagning, osäkerhet i stopptiden) är felet i varje enskild tömningstid obestämd. Anta att felet i varje enskild tidsmätning är lika stort oberoende av vilken cylinder som används. Ett sätt att uppskatta felet i tidsmätningen är att göra två oberoende tidsmätningar, t 1 och t 2,förvarjeuppställning.Denbästauppskattningen av tiden för en given uppställning blir då medelvärdet, (t 1 + t 2 )/2. Felet i detta medelvärde kan beräknas genom att utnyttja att felet i storheten (t 1 t 2 )ärlika stort som felet i (t 1 + t 2 ). Fördelningen av storheten (t 1 t 2 )förallamätningar bör ha medelvärdet noll och en viss standardavvikelse som kan beräknas. Därmed ä r o c k s å s t a n d a r d a v v i k e l s e n f ö r ( t 1 + t 2 )kändochfeleti(t 1 + t 2 )/2 kanberäknas genom felpropagering. Bestäm en exponent i taget med den uppsättning data där motsvarande storhet varieras. Bestäm t.ex. γ genom att anpassa en rät linje till ln T som funktion av ln H: ln T = C + γ ln H. Använd den viktade minsta kvadratmetoden. Beräkna ett preliminärt värde på γ genom att bara ta hänsyn till felet i ln T. Gör sedan om anpassningen med ett ekvivalent fel i ln T som även tar hänsyn till felet i ln H. Värdet på exponenten bör inom felgränsen vara ett hel- eller halvtal. Sätt i fortsättningen exponenten till detta tal. När alla exponenter är bestämda, används alla mätdata för att bestämma konstanten K. Plotta och beräkna ett oviktat medelvärde på K och bestäm felet ur spridningen.

8 6 LABORATION 2: Upptäck ett samband tömning 6 Redovisning Här vill vi passa på att ge tips om vilka punkter som skall vara mediredovisningen. Du får gärna tillfoga fler vid behov. Inledning: Experimentbeskrivning: Dimensionsanalys: Mätresultat: Mätvärdesbehandling: Diskussion: Inlämning: Utrustning: Presentation av problemställning m.m. Apparaturen behöver inte beskrivas i detalj. Gör en dimensionsanalys av formeln för tömningstiden av cylindern och bestäm ett samband mellan α, β och γ (se även Appendix). Snygga tabeller med alla primärvärden och i förekommande fall beräknade värden med fel. Här presenterar du dina data i diagramform, dina anpassningar med resultat, beräkningar och en resultatsammanställning. Gör två grafer för varje anpassning (sida vid sida för att spara papper): en graf där den aktuella storheten på y-axeln med fel (det ekvivalenta felet) plottas som funktion av den oberoende variabeln tillsammans med den anpassade räta linjen och en graf där differensen mellan mätvärdena och den räta linjen plottas. 1 Här skall du bl.a. besvara hur väl den ansatta formeln, hypotesen stämmer med dina data. Vad finns det för felkällor? Är det någon av mätningarna som avviker från formeln och vad kan detta bero på? De skriftliga rapporterna mejlas i PDF/ODT-format till bsel. En uppsättning cylindriska kärl med hål i botten. Stativ och hållare för de cylindriska kärlen. Uppsamlingskärl. Tillgång till vatten och avlopp. Linjal och skjutmått. Tidtagarur. 1 Härigenom ser man tydligare små avvikelser (residualen) mellan den mätta storheten med sitt fel och den anpassade funktionen. Grafen kallas residualplott. Notera att den ursprungliga grafen och residualplotten skall ha samma skala på x-axeln.

9 LABORATION 2: Upptäck ett samband tömning 7 Appendix A Dimensionsanalys Vi skall här ge ett enkelt exempel på hur man kan göra en dimensionsanalys. Antag att vi har en massa (m [kg]) som hänger vertikalt i en spiralfjäder med fjäderkonstanten k [N/m]. Massan sättes i svängning och vi ansätter följande hypotes om svängningstiden (T [s]) (perioden): T = A k a m b där A är en dimensionslös konstant. Exponenterna a och b skall bestämmas. Vi sätter upp följande samband mellan enheterna (1 N/m = 1 kgm/s 2 /m = 1 kg/s 2 ): (s) 1 =( kg s 2 )a (kg) b = { (s) 1 =( 1 s 2 ) a (kg) 0 =(kg) a (kg) b = { 1= 2a 0=a + b = { a = 1/2 b =1/2 Perioden kan alltså skrivas: T = A m/k

10 8 LABORATION 2: Upptäck ett samband tömning Appendix B Ekvivalenta fel Antag att vi har en funktion y = f(x) somskallanpassastillettantalmätpunkter (x i,y i ), där vi har mätfel x i och y i både i den oberoende variabeln x och i den beroende variabeln y (se figuren nedan). Det är inte ovanligt att (den relativa) osäkerheten i x många gånger kan vara större än (den relativa) osäkerheten i y. Med minsta kvadratmetoden tar vi normalt bara hänsyn till osäkerheten i y men i detta fall vill vi även inkludera osäkerheten i x. Detta kan enkelt göras genom att se på hur mycket värdet y i ä n d r a s n ä r v ä r d e t x i ä n d r a s. E n e n k e l m e t o d ä r a t t s t u d e r a funktionens derivata (dvs funktionens lutning) i punkten (x i,y i ). Om lutningen i punkten är k i,kommervärdetpåfunktionenf(x) inärhetenav punkten att approximativt variera som f(x) =f(x i )+k i x. Metodenärgenerell och gäller även för icke-linjära funktioner. I denna övning är dock vår anpassade funktion linjär och derivatan har då samma värde (k) i alla punkter. För att bestämma lutningen, dvs värdet på k, görviförstenpreliminäranpassning med de givna felen i variabeln y. Deekvivalentafelenipunkternay i som härrör från felen i x i kan sedan beräknas som k x i. y f(x) k x i x i x Om vi dessutom har mätta (eller uppskattade) fel y i imätvärdenay i adderar vi dessa kvadratiskt till de ekvivalenta felen, dvs y tot,i = ( y i ) 2 +(k x i ) 2 De på detta sätt beräknade felen i variabeln y kan sedan används för att göra en ny (viktad) anpassning av data till funktionen y = f(x).