Experimentella metoder 2014, Räkneövning 4

Transkript

1 Experimentella metoder, Räkneövning Problem : På polisstationen i Slottshult är man missnöjd med att polisdistriktet utvidgats till att också omfatta grankommunen Järvsprånget Innan utvidningen hade man i genomsnitt en dag under veckan (måndag-fredag då man inte behövde göra någon utryckning, men nu krävs därutöver i genomsnitt en utryckning per dag till Järvsprånget Förutsätt att antalet utryckningar per dag kan beräknas genom poissonstatistik och bestäm sannolikheten för att dagen ska bli utryckningsfri med nuvarande arbetsbelastning (p Tentamensuppgift, -6- Problem : En storhet y antas bero av en variabel x enligt funktionssambandet y = Ax + B sin x Följande värden på y (med fel mättes upp: x y y,,7,,,3,,6,53,,8,59,,,37, Bestäm den bästa uppskattningen av parametrarna A och B Problem 3: För en minsta kvadratanpassning av en rät linje y = a + bx till N punkter (x i, y i, där felen i y-värdena är normalfördelade med standardavvikelser σ i, ges lösningen för b av b = ( w( wxy ( wx( wy Här är = ( w ( wx ( wx och w i = Använd matrisekvationen för en allmän linjär minsta kvadratanpassning, A = (X T V X X T V Y, för att härleda motsvarande uttryck för b vid en anpassning av en rät linje genom origo (dvs utan konstantterm: y = bx Visa också hur du genom att använda viktat medelvärde kan få fram samma uttryck för b Tentamensuppgift, -5-7 Problem : Vid ett primitivt experiment för att bestämma tvärsnittet för en kärnreaktion (hur sannolik den är bestrålar man ett material genom att en kort stund föra in det i närheten av en väl kalibrerad strålkälla Ett antal kärnor av en välkänd isotop bildas då i materialet Medellivstiden för isotopen är 57, s Sedan tar man ut materialet och för in det i en räknare som kan räkna antalet sönderfall per fem sekunder Räknaren avläses (vilket är lite komplicerat, och startas på nytt På så sätt får man mätningar i fem olika femsekundersinterval olika tider efter att preparatet bestrålats, se tabell

2 intervall (s Antal sönderfall Tanken var att fortsätta att mäta för att ta fram bakgrundsnivån som råder då den radioaktiva isotopen sönderfallit till en försumbar nivå Olyckligtvis gick den primitiva räknaren sönder, och några mätningar av enbart bakgrund kan inte göras Istället får vi till ovanstående data anpassa en funktion på formen n(t = n exp( t/τ + n b, där n(t är räknehastigheten (antalet sönderfall per sekund vid tiden t efter aktiveringen, och τ = 57, s är medellivstiden De anpassade parametrarna är n (räknehastigheten vid t = och n b (bakgrundsräknehastigheten Genomför anpassningen, dvs bestäm n och n b med fel! Problem 5: Kalle på Flötskär är ute och fiskar Han hade hoppats få ihop tre abborrar, vilket är vad han behöver för att laga middag till sig själv Nu har han varit ute i en timme och inte fått en enda fisk Han kan stanna i en timme till, men undrar om det är mödan värt Kalle på Flötskär är inte statistiker, men han tycker det säger sig självt att poissonfördelningen är tillämplig på fisk Under antagandet att antalet fiskar som fångas under en timme är poissonfördelat på samma sätt oberoende av vad som fångats tidigare, vill han lura ut hur sannolikt det är att inte få någon fisk den första timmen, och sedan minst tre fiskar timmen därpå Vilket är det största möjliga värdet på denna sannolikhet? Tentamensuppgift, -5-7

3 Problem, lösning: Man har i genomsnitt en dag i veckan utan utryckning inom Slottshult Sannolikheten för att inte behöva rycka ut är alltså 5 = % Om vi antar poissonstatistik med medelvärdet µ S för antalet utryckningar per dag kan vi skriva sannolikheten för noll utryckningar som P ( µ S = e µ S Sätter vi denna sannolikhet till, får vi att ln, = µ S, µ S =,6 Detta är medelvärdet av antalet utryckningar per dag till Slottshult Nu tillkommer utryckningar til Järvsprånget med i medeltal µ J = per dag Det totala antalet utryckningar blir summan av två poissonfördelade variabler Den blir också poissonfördelad med µ = µ S +µ J =,6 Vi kan nu beräkna sannolikheten för en utryckningsfri dag till P ( µ = e,6 = 7% Vi kan undvika att beräkna µ S och µ och bara säga att sannolikheten för att ingen utryckning skall behövas till Järsvprånget är e µ J = e Sannolikheten för att dagen ska bli utryckningsfri både för Slottshult och Järsvprånget blir produkten av sannolikheterna, dvs, e Problem, lösning: För att använda minsta kvadratmetoden på matrisformen sätter vi upp matriserna Y =,7,3,53,59,37 och beräknar V = ( A B,,, = (X T V X X T V Y X =, sin(,, sin(,,6 sin(,6,8 sin(,8, sin(, Vi kan göra detta med matrishantering på en dator, eller också kan vi utföra följande beräkning Med σ y =, får vi X T V X = ( x x sin x σy x sin x sin x Vi har också att X T V Y = σ y ( yx y sin x så att (X T V X X T V Y = ( x x sin x x sin x sin x ( yx y sin x = ( sin x sin x ( x x sin x x sin x x sin x x ( yx y sin x = 3

4 med ( yx sin x x sin x y sin x x y sin x yx x sin x = x ( sin x x sin x Vi kan sätta upp en tabell med kolumner för yx, sin x, x sin x, y sin x och x, summera kolumnerna och beräkna A och B från summorna Detta ger A =,98 B = 3,98 (Det frågades inte efter felen i A och B Problem 3, lösning: Uppskattningen av b ges av matrisen A (en -matris, medan X = x y σ x, Y = y och V σ = Vi får de två x N y N σn -matriserna X T V X = i x i X T V Y = i x i y i σ i, och uttrycket för A, med σ i = w i, ger slutligen att uppskattningen för b blir b = wxy wx Vi kan också uppskatta b genom att beräkna b i = y i /x i för de olika punkterna och bilda ett viktat medelvärde Osäkerheten i b i blir σ bi = σ i /x i, och det viktade medelvärdet blir Insättning av b i = y i /x i och av en linje genom origo, vsb Problem, lösning: b wa = x i x i σ i b i = w i ger samma uttryck som för anpassningen Antalet sönderfall i de olika femsekundersintervallen är poissonfördelat Om n(t är sönderfallshastigheten vid tiden t kan vi approximera poissonmedelvärdet av antalet sönderfall i intervall nummer k, med mittpunkten t k, som N k = n(t k 5 s Det enklaste är att anpassa en funktion av tiden som beskriver poissonmedelvärdet av antalet pulser per fem sekunder: N k = N exp( t k /τ + N b

5 När vi väl bestämt N och N b kan vi dividera med 5 s för att få de efterfrågade n och n b i uttrycket för räknehastigheten Antalet räknade pulser i ett intervall kan vi betrakta som en uppskattning av poissonmedelvärdet N k Vi kan kalla antalet pulser för y k, och eftersom det är poissonfördelat uppskattar vi variansen som σk = y k (detta är anledningen till att det är enklare att räkna med antalet pulser än med räknehastigheten Eftersom modellen är linjär i parametrarna N och N b kan vi använda matrisvarianten av minsta kvadratmetoden De anpassade parametrarna blir ( N = (X T V X X T V Y = V N a X T V Y b Här är Y = V = 8, eftersom V är diagonal med mätningarnas varianser på diagonalen Matrisen X beskriver det linjära sambandet mellan parametrarna N och N b och funktionsvärdena N k, enligt Den blir alltså N N 5 X = = X ( N N b e (7,5 s/τ e (,5 s/τ e (6,5 s/τ e (9,5 s/τ e (7,5 s/τ, där τ = 57, s Variansmatrisen för de anpassade parametrarna ingår i uttrycket för parametrarna själva: V a = (X T V X Beräkningarna blir ganska enkla med Comsol, MATLAB eller octave Följande kod löser problemet: tau=57; Y = [ 56 8 ] ; Vinv = diag(/y; col = [ exp(-75/tau exp(-5/tau exp(-65/tau exp(-95/tau exp(-75/tau ] ; col = ones(5,; X = [ col col ]; Va = inv(x * Vinv * X; par = Va * X * Vinv * Y; nvalue = sprintf("n = %f +- %f",par(/5,sqrt(va(/5; nbvalue = sprintf("nb = %f +- %f",par(/5,sqrt(va(/5; disp(nvalue; disp(nbvalue; 5

6 Notera divisionen med fem för att vi ska få fram parametrarna för räknehastigheten uttryckt i enheten sönderfall per sekund Utskriften blir n = nb = och de anpassade värden är alltså n = ( ± 5 s n b = (,5 ±,8 s Problem 5, lösning: Sannolikheten att få ν fiskar under en timme om medeltalet per timme är µ µ µν ges av poissonfördelningen: P (ν = e ν! Sannolikheten att få noll är alltså P ( = e µ Sannolikheten att få tre eller fler beräknas enklast som P ( P ( P (, eftersom P (ν = Eftersom vi antar att antalet under den andra timmen är oberoende av antalet under den första blir sannolikheten att först få noll fiskar och sedan minst tre: p = [ P ( P ( P (]P ( = ( e µ µe µ µ e µ e µ Genom att beräkna p för olika µ, med allt finare steg mellan µ-värdena, eller på grafisk väg, finner vi att det största värde p kan anta är,5%, vilket svarar mot µ =,79 Alternativt kan vi derivera p med avseende på µ Det ger dp dµ = (e µ e µ + µe µ µe µ + µ e µ som efter förenkling kan skrivas dp dµ = ( + µ + µ e µ e µ e µ ( e µ µe µ µ Vi söker sedan det µ som ger derivatan noll, dvs uppfyller att µ = ln( + µ + µ e µ Återigen måste vi bestämma lösningen numeriskt Vi kan prova oss fram med olika µ-värden För µ =,7 är tex ln( + µ + µ =,7 och för µ =,8 får vi ln( + µ + µ =,798 Vi kan också välja ett startvärde (tex µ =,8 och sätta in det i logaritmuttrycket Vi får då ett nytt µ-värde som vi återigen kan sätta in i uttrycket, och så vidare Serien µ-värden konvergerar mot µ =,7933, vilket ger p =,53% e µ, 6