Lösningar till tentamensskrivning för kursen Linjära statistiska modeller. 14 januari

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Lösningar till tentamensskrivning för kursen Linjära statistiska modeller 14 januari Examinator: Anders Björkström, tel , bjorks@math.su.se Teoridel: Uppgift 1 a) Vi har en tillämpning av den allmänna linjära modellen Y = Aθ + ɛ, där designmatrisen A består av de båda kolonnvektorerna (x 1,..., x N ) och (z 1,..., z N ), och θ motsvaras av (β 1, β 2 ). Den allmänna formeln för minstakvadrat-skattningen ger (β 1, β 2 ) = (A A) 1 A Y. Vi får (A A) 1 A Y = ( 1 Σ N i=1 z 2 i Σ N i=1 x iz i Σ N i=1 x i 2 Σ N i=1 z i 2 (Σ N i=1 x iz i ) 2 Σ N i=1 x iz i Σ N i=1 x i 2 ) ( Σ N i=1 x i Y i Σ N i=1 z i Y i ) som ger och ˆβ 1 = Σ iz i 2 Σ i x i Y i Σ i x i z i Σ i z i Y i Σ i x i 2 Σ i z i 2 (Σ i x i z i ) 2 ˆβ 2 = Σ ix i z i Σ i x i Y i + Σ i x i 2 Σ i z i Y i Σ i x i 2 Σ i z i 2 (Σ i x i z i ) 2 b) MK-skattningarna av väntevärdesparatmetrarna är alltid väntevärdesriktiga, så E[ ˆβ 1 ] = β 1 och E[ ˆβ 2 ] = β 2 c) Variansmatrisen för ( ˆβ 1, ˆβ 2 ) är σ 2 (A A) 1. Det framgår av lösningen till a-uppgiften att den matrisen blir diagonal om Σ N i=1 x iz i = 0. Detta är alltså villkoret för oberoende. Teoridel: Uppgift 2 a) Eftersom Y.. = (1/nk)Σ k i=1 Σn j=1 Y ij så följer det att Y.. = 1 nk Σk i=1σ n j=1(µ + δ i + ɛ ij ) = µ + δ + ɛ..

2 Linjära statistiska modeller, 14 januari och alltså är E[Ȳ..] = µ och, på grund av oberoendet mellan alla δ i och ɛ ij, Var(Ȳ..) = σ δ 2 /k + σ 2 /(nk). Alltså gäller med sannolikheten 1 p att z p/2 Ȳ.. µ σδ 2 /k + σ 2 /(nk) z p/2 (1) Härav följer den givna formeln för konfidensintervallet. b) De k variablerna Ȳi., i = 1,..., k är alla oberoende och normalfördelade med väntevärde µ och varians Var(Ȳi.) = σ δ 2 + σ 2 /n. Rent allmänt gäller ju att om man för sådana variabler summerar ihop kvadraterna på deras avvikelser från medelvärdet så får man en stokastisk variabel som (efter division med Var(Ȳi.)) är χ 2 -fördelad med k 1 frihetsgrader, och oberoende av Ȳ... Eftersom variabeln i mellersta ledet av (1) är N(0,1) så följer det att variabeln Ȳ.. µ 1 k 1 Σk i=1 (Ȳi. Ȳ..) 2 är t-fördelad med k 1 frihetsgrader. Ett symmetriskt konfidensintervall för µ med konfidensgrad 1 p kan alltså skrivas 1 Ȳ.. ± t p/2 (k 1) k 1 Σk i=1 (Ȳi. Ȳ..) 2 c) Eftersom σ 2 δ och σ 2 är kända ska vi beräkna konfidensintervallet med formeln σ 2 δ Ȳ.. ± z p/2 k + σ2 nk. Att minimera konfidensintervallets längd är tydligen likvärdigt med att minimera f(n, k) = σ2 δ k + σ2 nk = 1 k (σ δ 2 + σ 2 /n) (2) Låt α vara kostnaden för att öppna en säck, β vara kostnaden för att väga en potatis, och C vara mängden pengar vi har till förfogande. Då gäller det att minimera f(n, k) under bivillkoret α k + β nk C. Det är troligt att vi får ett bättre resultat om vi spenderar så mycket pengar som möjligt, så vi ändrar bivillkoret till α k + β nk = C, vilket ger k = C/(α + βn). Sätter vi in detta i (2) så ser vi att vi ska minimera α + βn C (σ δ 2 + σ 2 /n) = 1 C (ασ δ 2 + βnσ 2 δ + ασ 2 /n + βσ 2 ). Derivering visar att ett minimum finns vid n = ασ 2 βσ 2 δ. Med de givna numeriska värdena blir n = 10 och k = 10.

3 Linjära statistiska modeller, 14 januari Problemdel: Uppgift 3 a) Ett test av en linjär hypotes innebär att man undersöker om skillnaden mellan väntevärdesvektorerna i grundmodellen respektive hypotesmodellen är osannolikt stor i förhållande till residualvektorns längd i grundmodellen. Residualvektorns kvadratiska längd i grundmodellen hittar vi på raden Error i figur 2. Avståndet mellan de båda väntevärdesskattningarna (eller rättare sagt kvadraten på det) är enligt Pythagoras sats lika stor som skillnaden mellan residualvektorns kvadratiska längd i hypotesmodellen och i grundmodellen. Genom att utnyttja Error-raden i figur 3 kan vi nu ställa upp följande ANOVA-tabell, där raden Avvikelse från hypotes är erhållen genom subtraktion: Avvikelse från hypotes Residualer Totalt Eftersom > 3.16 = F 0.95 (3, 18) så förkastar vi hypotesen att priset saknar betydelse. b) Pris-effekten är lika stor för alla temperaturer om och endast om pris och temperatur är additiva effekter. För att x 1 och x 2 skall vara additiva får modellen inte innehålla några termer som innehåller produkter av x 1 och x 2. Hypotesen kan alltså formuleras β 12 = β 112 = 0, och den kan testas på samma sätt som hypotesen i (a)-uppgiften. Resultatet blir Avvikelse från hypotes Residualer Totalt Eftersom 7.12 > 3.55 = F 0.95 (2, 18) så förkastar vi hypotesen att priset har samma inverkan vid alla temperaturer. Problemdel: Uppgift 4 a) Ensidig variansanalys, och eftersom väntevärdeskolumnen inte efterfrågas så spelar det ingen roll om vi betraktar faktorn bad som systematisk eller slumpmässig. ANOVA-tabellen blir: Mellan bad Inom bad Totalt

4 Linjära statistiska modeller, 14 januari F-kvoter mindre än 1 är aldrig signifikanta, så slutsatsen är att vi inte har påvisat någon skillnad mellan bad. b) Den utbyggda ANOVA-tabellen ser ut såhär: KVSUM Frihetsgrader MKVSUM Mellan bad Mellan höjder Samspel Inom celler Totalt c) Eftersom vi är säkra på att samspelseffekter inte förekommer så kan vi slå ihop Samspel och Inom celler till en rad, Residualer. F-kvoter blir enligt följande tabell: KVSUM Frihetsgrader MKVSUM F-kvot Mellan bad Mellan höjder Residualer Totalt Den tillgängiga F-tabellen har ingen rad för F-fördelningar med f 2 = 86 frihetsgrader i nämnaren, men genom att jämföra raderna för f 2 = 80 och f 2 = 100 ser vi att 2.46 < F 0.95 (4, 86) < 2.49 och 1.97 < F 0.95 (9, 86) < Det finns alltså en säkerställd effekt av höjd, men inte av bad.

5 Linjära statistiska modeller, 14 januari Problemdel: Uppgift 5 a) Kopplingsmönstret är I = ABCDE. Det betyder att skattningarna i vänstra kolumnen i följande tabell egentligen är skattningar av de differenser mellan skattningar, som anges i högra kolumnen: A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD A BCDE B ACDE C ABDE D ABCE AB CDE AC BDE AD BCE BC ADE BD ACE CD ABE ABC DE ABD CE ACD BE BCD AE ABCD E b) Varje skattning har ett väntevärde som är en skillnad mellan två av 2 5 -försökets effekter. För att skattningens väntevärde säkert skall vara noll måste båda effekterna vara noll. Sex av paren uppfyller detta villkor, nämligen AC BDE = 1.53, AD BCE = 2.59, BC ADE = 4.16, BD ACE = 1.78, ACD BE = 3.84 och BCD AE = Medelvärdet av kvadraterna på dessa sex tal är 7.60, vilket ger skattningen av effektskattningarnas standardavvikelse ˆσ eff = 7.60 = Varje effektskattning är ju ett (teckenförsett) medelvärde av 16 mätvärden, så vi får sambandet σ 2 eff = σ 2 /16 där σ 2 är försöksfelets varians. Detta ger skattningen ˆσ = 4ˆσ eff = 11. c) Man ser direkt att D= är mycket större än alla andra effektskattningar. Skattningen ˆσ eff 2 som vi bestämde i b-uppgiften är χ2 -fördelad med 6 frihetsgrader. Med t-fördelningsmetoden kan vi alltså bestämma ett konfidensintervall för D-effekten som ± t (6) ˆσ eff = ± Den är alltså statistiskt säkerställd. d) Vi kan inte skatta CDE, bara AB-CDE, som skattas med Eftersom trefaktorsamspel oftast är försumbara är det mera troligt att det är tvåfaktorsamspelet AB som är ungefär 8.34.