Enkel och multipel linjär regression
|
|
- Viktoria Dahlberg
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TNG006 F Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x y Frågor som dyker upp är t.ex.:. Hur hittar vi den räta linje som passar till värdena? 2. Skulle en ny försöksserie ge ungefär samma linje? 3. Hur beskriver vi avvikelserna från linjen? Svaret på första frågan är att vi väljer den linje som minimerar avståndet som är summan av kvadraterna på avstånden i y-led från punkterna till den räta linjen. Denna metod kallas för minstakvadratmetoden. För punkterna ovan ger metoden linjen y 0.268x y x
2 Vi kommer som tidigare att låta x n x j vara medevärdet hos observationerna x, x 2,..., x n. Vi passar också på och påminner om ett viktigt resultat som vi kommer att använda flitigt framöver och det är att (x j x) x j x n x n x 0. (3.) Betrakta nu värdeparen (x j, y j ), j,..., n, där x j :na är givna tal och y j :na är observationer av s.v. Y J där Y j uppfyller följande modell: Modell : Y j α + β(x j x) + ε j (3.2) där ε j är oberoende normalfördelade s.v. med E(ε j ) 0 och V (ε j ) σ 2. Eftersom den s.v. Y j är en linjär funktion i ε j N(0, σ), så är. Y j N(µ j, σ) (3.3) 2. µ j E(Y j ) E(α + β(x j x) + ε j ) α + β(x j x) + E(ε j ) α + β(x j x). 3. V (Y j ) V (α + β(x j x) + ε j ) V (ε j ) σ 2. Modellen i (3.2) kan skrivas på matrisform y y 2 y är observationer av. y n Y Y 2. Y n eller kortare y är observationer av Y Xβ + ε. x x x 2 x.. x n x Metoden att ta fram skattningar ˆα och ˆβ av α och β genom att minimera Q(α, β) (y j µ j ) 2 ( α β ) + ε ε 2. ε n (y j α β(x j x)) 2 (3.4) kallas för minstakvadrat-metoden (MK-metoden). Funktionen Q i (3.4) är summan av kvadraterna i y-led från punkterna y j till den räta linjen µ j α + β(x j x). 2
3 3.2. Punktskattning Vi minimerar Q(α, β) (y j α β(x j x)) 2 i (3.4). Det följer att Q α 2 Q β 2 (y j α β(x j x)) 0 (x j x)(y j α β(x j x)) 0 (3.5) Första ekvationen i (3.5) ger då vi använder (3.) att 0 y j α β (x j x) nȳ nα, α ȳ (3.6) Andra ekvationen i (3.5) ger då vi använder (3.) att 0 (x j x)y j α (x j x) β (x j x) 2 som ger att 0 (x j x)y j β β (x j x) 2 (x j x)y j (x j x) 2. (3.7) Om vi utnyttjar resultatet i (3.) där former eller β (y j ȳ) 0 så kan vi uttrycka β även på följande Vi har därmed härlett följande skattningar. (x j x)(y j ȳ) (x j x) 2 (3.8) β x jy j n xȳ. (3.9) n x2 x2 j 3
4 Sats 3.. Skattningen av. α ges av 2. β ges av ˆβ ˆα Ȳ. (3.0) (x j x)y j (x j x) 2 (3.) 3. variansen σ 2 ges av ˆσ 2 S 2, där S 2 n 2 (Y j Ŷj) 2. (3.2) Anmärkning 3.2. Skattningen av variansen i (3.2) kan oavsett modell skrivas s 2 (y j ŷ j ) 2 ( (y j ȳ) 2 n 2 n 2 ˆβ 2 (x j x) ). 2 (3.3) Detta kan visas genom (n 2)s 2 (y j ŷ j ) (y j ˆα ˆβ(x j x)) 2 (y j ȳ ˆβ(x j x)) 2 (y j ȳ) 2 + ˆβ 2 (x j x) 2 2 ˆβ (y j ȳ)(x j x) (y j ȳ) 2 + ˆβ 2 (x j x) 2 2 ˆβ 2 (x j x) 2 (y j ȳ j ) 2 ˆβ 2 (x j x) 2. Med beteckningarna s 2 y n (x j x) 2 följer av sambandet i (3.3) följande resultat. (y j ȳ) 2 och s 2 x n Sats 3.3. Skattningen av variansen ges av s 2 n n 2 (s2 y β 2 s 2 x) 4
5 Sats 3.4. Skattningarna i (3.0) och (3.). är väntevärdesriktiga, E(ˆα) α resp. E( ˆβ) β. 2. har variansen V (ˆα) σ2 n resp. V ( ˆβ) σ 2 (x j x) är normalfördelade; ˆα N(α, σ/ n) resp. ˆβ N ( σ β, n ). (x j x) 2 4. är oberoende, ˆα och ˆβ är oberoende. För skattningen i (3.2) gäller att. den är väntevärdesriktig, E(ˆσ 2 ) σ Bevis: a. (n 2)S 2 σ 2 χ 2 (n 2). E(ˆα) E(Ȳ ) n E(Y j ) n µ j n (α + β(x j x)) α. b. E( ˆβ) (x j x)e(y j ) n (x j x) 2 (x j x)µ j (x j x) 2 (x j x)(α + β(x j x)) (x j x) 2 α (x j x) n (x j x) 2 + β (x j x) 2 (x j x) 2 β. 2a. Eftersom Y j är normalfördelade och oberoende, så är C(Y i, Y j ) 0 för i j. Därmed får vi ( V (ˆα) V (Ȳ ) V ) n Y j n 2 V (Y j ) + n 2 i C(Y i, Y j ) n 2 nσ2 σ n. 2b. ( V ( ˆβ) V (x ) j x)y j (x j x) 2 ( ) 2 V n (x j x) 2 ( (x j x)y j ), V ( ˆβ) ( ) 2 V ((x x)y + + (x 2 x)y n ) n (x j x) 2 5
6 ( ) 2 ((x x) 2 V (Y ) + + (x 2 x) 2 V (Y n ) n (x j x) 2 ( ) 2 n (x j x) 2 (x j x) 2 σ 2 σ 2 (x j x) 2 3a. Eftersom ˆα Ȳ är en linjärkombination i s.v. Y j N(µ j, σ) enligt (3.3), så är ˆα också normalfördelat. Väntevärde och varians följer av a och 2a ovan. 3b. Eftersom ˆβ k n Y j (x k x) i (x i x) 2 Y k är en linjärkombination i s.v. Y j N(µ j, σ) enligt (3.3), så är ˆβ också normalfördelat. Väntevärde och varians följer av b och 2b ovan. 4. Enligt Sats 2.6 i FÖ 2 så är två normalfördelade s.v. X och Y oberoende om och endast om C(X, Y ) 0. Detta ska vi använda på ˆα och ˆβ. Vi har att C(ˆα, ˆβ) k (x k x) n n i (x i x) 2 C(Y j, Y k ) Eftersom Y j är oberoende så är C(Y j, Y k ) 0 för j k och C(Y k, Y k ) V (Y k ). Vi får ty C(ˆα, ˆβ) k (x k x) i (x i x) 2 V (Y k) σ 2 i (x i x) 2 (x i x) 0, (x k x) 0 enligt (3.). Detta visar att ˆα och ˆβ är oberoende s.v. k k 6
7 Exempel 3.5. I följande tabell är y j observerade värden på en s.v. Y som antas satisfiera modellen med linjär regression. Motsvarande x-värden är x j. Beräkna punktskattningarna av α, β och σ. x y Lösning: 7
8 8
9 3.3. Konfidensintervall. Enligt Sats 3.4, så är ˆα N(α, σ/ n). Bilda en ny s.v. där s beräknas enligt (3.3). Då är ˆα α s/ n t(n 2), s I α ˆα ± t p/2 n ett konfidensintervall med konfidensgraden p. ( 2. Enligt Sats 3.4 följer att ˆβ σ N β, n ). Bilda en ny s.v. (x j x) 2 ˆβ β n t(n 2). s/ (x j x) 2 Ett konfidensintervall med konfidensgraden p är I β ˆβ s ± t p/2 n. (x j x) 2 3. Ett konfidensintervall med konfidensgraden p för y vid givet x x 0 är I α+β(x0 x) ˆα + ˆβ(x 0 x) ± t p/2 s n + (x 0 x) 2 (x j x) 2, ty det skattade värdet ˆµ 0 α + β(x 0 x). är väntevärdesriktig, E(ˆµ 0 ) µ 0 : E(ˆµ 0 ) E(ˆα + ˆβ(x 0 x)) α + β(x 0 x) µ 0. ( 2. har variansen V (ˆµ 0 ) σ n + (x 0 x) 2 n ): (x j x) 2 Eftersom ( ˆµ 0 ˆα + β(x 0 x) ( (x 0 x)) ˆαˆβ ) så är Cˆµ0 ( (x 0 x))c ˆαˆβ ( (x 0 x) ) 9
10 Då ˆα och ˆβ är oberoende så är C ˆαˆβ σ 2 /n 0 σ 2 0 (x j x) 2 och därmed Cˆµ0 σ2 n + σ2 (x 0 x) 2 n (x j x) 2. Exempel 3.6. Bestäm ett 95 % konfidensintervall för parametrarna α och β i Exempel 3.5. Exempel 3.7. Testa hypotesen att regressionslinjen går igeom punkten (5, 6) i Exempel
11 3.4. Multipel linjär regression Exempel 3.8. Låt y j vara observerade värden av Y j β 0 + β x j + + β k x jk + ε j j, 2,..., n (3.4) där x j,..., x j k är fixa tal, medan ε,..., ε n är oberoende normalfördelade s.v. med E(ε j ) 0 och V (ε j ) σ 2, och β 0,..., β k är okända parametrar. Modellen i (3.4) kan skrivas på matrisform enligt eller kortare Y Y 2 Y n x x k x 2 x 2k x n x nk Då gäller för den stokastiska vektorn Y att och Y Xβ + ε. E(Y ) Xβ C Y σ 2 I, β 0 β β k + där I betecknar enhetsmatrisen. MK-metoden innebär här att minimera kvadratsumman på avvikelsen, att minimera funktionen Q(β 0,..., β k ) där x j0, j, 2,..., n. (y j E(Y j )) 2 ε ε 2 ε n (y j µ j ) 2 (y j β 0 β x j... β k x jk ) 2 (y Xβ) t (y Xβ)
12 3.5. Punktskattning Sats 3.9. Under förutsättningarna i Exempel 3.8 och om det(x t X) 0, så är MK-skattningen av β. ˆβ (X t X) X t y Bevis: Den kvadratiska formen är alltid icke negativ, Q(β 0,..., β k ) (y Xβ) t (y Xβ) (y Xβ y Xβ) y Xβ 2 0, där beteckningarna ( ) och står för skalärprodukt resp. norm. Matrisen X i modellen är inte inverterbar och modellen är faktiskt ett överbestämt ekvationssystem, systemet y Xβ saknar lösningen. Vekktorn y är därmed inte en linjärkombination i kolonnerna i matrisen X. Däremot kan vi välja vektorn β, så att avståndet mellan y och Xβ blir så litet som möjligt genom att välja β så att (y Xβ) X (y Xβ) X 0 (y Xβ) t X 0 X t (y Xβ) 0 β (X t X) X t y. Anmärkning Om det(x t X) 0, så finns det minst ett linjärt samband mellan kolonnvektorerna i X-matrisen vilket betyder att minst en av förklaringsvariablerna kan tas bort. 2. MK-skattningen ˆβ är lösningen till normalekvationen X t (y X ˆβ) Antag att vi har observerade värden på två förklaringsvariabler x och x 2 och en responsvaribel y. Att anpassa modellen Y β 0 + β x + β 2 x 2 + ε enligt MK-metoden innebär att vi väljer det plan y ˆβ 0 + ˆβ x + ˆβ 2 x 2 + ε som passar bäst till observationspunkterna (x j, x j2, y j ), att summan av avstånden i kvadrat från observationspunkterna till planet blir så liten som möjligt. 2
13 Sats 3.. Låt Y j β 0 + β x j + + β k x jk + ε j j, 2,..., n, (3.5) där x j,..., x j k är fixa tal, medan ε,..., ε n är oberoende s.v. och N(0, σ). Då gäller att den stokastiska vektorn ˆβ (X t X) X t Y N(β, σ 2 (X t X) ). Bevis: ˆβ är normalfördelad eftersom den är linjärkombination av normalfördelade Y.. Väntevärdesvektorn är E(ˆβ) (X t X) X t E(Y ) (X t X) X t Xβ β.. 2. Vidare, kovariansmatrisen är C ˆβ (Xt X) X t Cy((X t X) X t ) t σ 2 (X t X) X t X((X t X) ) t σ 2 ((X t X) ) t Alltså C ˆβ σ2 ((X t X) t ) σ 2 (X t X) 3.6. Konfidensintervall Enligt Sats 3. ovan, så är ˆβ (X t X) X t Y N(β, σ 2 (X t X) ), vilket ger att ˆβ j N(β j, σ h jj ), där h jj är diagonalelementen i matrisen h 00 h 0 h 0k h 0 h h k (X t X) h k0 x k h kk Eftersom σ är okänt bildar vi en ny s.v. för kontruktion av I βj, där och ˆβ j β s h jj t(n k ) s 2 obs n k (y j µ j ) 2 µ j β 0 + β x j + + β k x jk 3
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merFöreläsning 12: Linjär regression
Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent
Läs merStokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merFöreläsning 7: Stokastiska vektorer
Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Johan Thim johanthim@liuse oktober 8 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX = µ X, V X = σx, EY = µ Y samt V Y = σy Kovariansen CX, Y definieras
Läs merF13 Regression och problemlösning
1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs mer5 Stokastiska vektorer 9. 6 Multipel regression Matrisformulering MK-skattning av β... 11
UTDRAG UR FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI LINJÄR REGRESSION OCH STOKASTISKA VEKTORER MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, Π; FMS 012 JOAKIM LÜBECK, MARS 2014 Innehåll 4 Enkel linjär regression
Läs merStokastiska vektorer och multivariat normalfördelning
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen
Läs merFöreläsning 8: Linjär regression del I
Föreläsning 8: Linjär regression del I Johan Thim (johanthim@liuse) 29 september 2018 Your suffering will be legendar, even in hell Pinhead Vi återgår nu till ett exempel vi stött på redan vid ett flertal
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Anna Lindgren 28+29 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F15: multipel regression 1/22 Linjär regression
Läs mer9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merFöreläsning 15, FMSF45 Multipel linjär regression
Föreläsning 15, FMSF45 Multipel linjär regression Stas Volkov 2017-11-28 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F15 1/23 Linjär regression Vi har n st par av mätvärden (x i, y i ), i = 1,..., n
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 augusti 2008 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus
Läs merFinansiell statistik. Multipel regression. 4 maj 2011
Finansiell statistik Föreläsning 4 Multipel regression Jörgen Säve-Söderbergh 4 maj 2011 Samband mellan variabler Vi människor misstänker ofta att det finns många variabler som påverkar den variabel vi
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 14
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merKovarians och kriging
Kovarians och kriging Bengt Ringnér November 2, 2007 Inledning Detta är föreläsningsmanus på lantmätarprogrammet vid LTH. 2 Kovarianser Sedan tidigare har vi, för oberoende X och Y, att VX + Y ) = VX)
Läs merFöreläsning 13: Multipel Regression
Föreläsning 13: Multipel Regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 9, 2017 Enkel linjär regression Vi har gjort mätningar av en responsvariabel Y för fixerade värden på
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merLösningar till tentamensskrivning för kursen Linjära statistiska modeller. 14 januari
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Lösningar till tentamensskrivning för kursen Linjära statistiska modeller 14 januari 2010 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se
Läs mer10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov
TNG006 F0-05-06 Konfidensintervall för linjärkombinationer 0. Konfidensintervall vid två oberoende stikprov Antag att X, X,..., X m är ett stikprov på N(µ, σ ) oh att Y, Y,..., Y n är ett stikprov på N(µ,
Läs merTAMS79 / TAMS65 - vt TAMS79 / TAMS65 - vt Formel- och tabellsamling i matematisk statistik. TAMS79 / TAMS65 - vt 2013.
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik c Martin Singull 2 Innehåll 3.3 Tukey s metod för parvisa jämförelser.................... 14 1 Sannolikhetslära 5 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 13 januari
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 13 januari 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida
Läs merTAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval
TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Repetition (t-test för H 0 : β i = 0) Residualanalys Modellval Framåtvalsprincipen
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 10 Johan Lindström 27 september 2017 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF70/MASB02 F10 1/26 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 17 februari
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 17 februari 2010 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312,
Läs merThomas Önskog 28/
Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 februari
STOCKHOLMS UIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 februari 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida
Läs merLycka till!
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B1503 STATISTIK MED FÖRSÖKSPLANERING FÖR K OCH B MÅNDAGEN DEN 25 AUGUSTI 2003 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar Englund, 790 7416. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och
Läs merHärledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen
Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem
Läs merUppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merFACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski
FACIT för Förberedelseuppgifter: SF9 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 206 KL 4.00 9.00. Examinator: Timo Koski - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0. FACIT Problem
Läs merTenta i Statistisk analys, 15 december 2004
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Johan Lindström Repetition Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 1/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Grundläggande begrepp (Kap.
Läs merMatematisk statistik, Föreläsning 5
Matematisk statistik, Föreläsning 5 Ove Edlund LTU 2011-12-09 Ove Edlund (LTU) Matematisk statistik, Föreläsning 5 2011-12-09 1 / 25 Laboration 4 Jobba i grupper med storlek 2 Ove Edlund (LTU) Matematisk
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merResidualanalys. Finansiell statistik, vt-05. Normalfördelade? Normalfördelade? För modellen
Residualanalys För modellen Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F7 regressionsanalys antog vi att ε, ε,..., ε är oberoende likafördelade N(,σ Då
Läs merREGRESSIONSANALYS. Martin Singull
REGRESSIONSANALYS Martin Singull 16 april 2018 Innehåll 1 Beroendemått och stokastiska vektorer 4 1.1 Beroendemått........................................... 4 1.2 Stokastiska vektorer.......................................
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 27 oktober
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 27 oktober 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida
Läs mer14. Minsta kvadratmetoden
58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?
Läs mer1/23 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet
1/23 REGRESSIONSANALYS F4 Linda Wänström Statistiska institutionen, Stockholms universitet 2/23 Multipel regressionsanalys Multipel regressionsanalys kan ses som en utvidgning av enkel linjär regressionsanalys.
Läs merBestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel-
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk
Läs merTillåtna hjälpmedel: Räknedosa. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Broman, Jesper Rydén TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Sannolikhet och statistik 1MS5 214-1-11 Skrivtid: 8.-13.. För betygen 3, 4 resp. 5 krävs 18, 25 resp.
Läs merFöreläsning 9: Linjär regression del II
Föreläsning 9: Linjär regression del II Johan Thim (johan.thim@liu.se) 29 september 2018 No tears, please. It s a waste of good suffering. Pinhead Vi fixerar en vektor u T = (1 u 1 u 2 u k ), där u i kommer
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 I Punktskattningar I Egenskaper I Väntevärdesriktig I E ektiv I Konsistent
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B508 MATEMATISK STATISTIK FÖR S TISDAGEN DEN 20 DECEMBER 2005 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 746. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFöreläsning 3: Konfidensintervall
Föreläsning 3: Konfidensintervall Johan Thim (johan.thim@liu.se) 5 september 8 [we are] Eplorers in the further regions of eperience. Demons to some. Angels to others. Pinhead Intervallskattningar Vi har
Läs merTentamentsskrivning: Matematisk Statistik TMA321 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik TMA Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik TMA Tid: den augusti, 7 Hjälpmedel: Typgodkänd miniräknare, egenhändigt skriven formelsamling om två A4 fram och
Läs merAMatematiska institutionen avd matematisk statistik
Kungl Tekniska Högskolan AMatematiska institutionen avd matematisk statistik TENTAMEN I 5B1503 STATISTIK MED FÖRSÖKSPLANERING FÖR B OCH K FREDAGEN DEN 11 JANUARI 2002 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar
Läs mer10.1 Enkel linjär regression
Exempel: Hur mycket dragkraft behövs för att en halvledare skall lossna från sin sockel vid olika längder på halvledarens ben. De halvledare vi betraktar är av samma storlek (bortsett benlängden). 70 Scatterplot
Läs merFöreläsning 8. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 8 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Enkel linjär regression (kap 17.1 17.5) o Skatta regressionslinje (kap 17.2) o Signifikant lutning? (kap 17.3, 17.5a) o Förklaringsgrad
Läs merMinsta kvadratmetoden
Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva
Läs merVäntevärde och varians
TNG6 F5 19-4-216 Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merTAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära
TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen TAMS65 - Mål Kursens övergripande mål är att ge
Läs mer8 Minsta kvadratmetoden
Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från
Läs merFöreläsning 6, Matematisk statistik Π + E
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs mer5 Stokastiska vektorer 9. 6 Multipel regression Matrisformulering MK-skattning av A.3 Skattningarnas fördelning...
UTDRAG UR FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI LINJÄR REGRESSION OCH STOKASTISKA VEKTORER MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, È; FMS 012 JOAKIM LÜBECK, SEPTEMBER 2008 Innehåll 4 Enkel linjär
Läs merESS011: Matematisk statistik och signalbehandling Tid: 14:00-18:00, Datum:
ESS0: Matematisk statistik och signalbehandling Tid: 4:00-8:00, Datum: 20-0-2 Examinatorer: José Sánchez och Bill Karlström Jour: Bill Karlström, tel. 070 624 44 88. José Sánchez, tel. 03 772 53 77. Hjälpmedel:
Läs merPreliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet
Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH INTERVALLSKATTNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 24 april 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 11 INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 24 april 2018 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Vad är en intervallskattning? (rep.) Den allmänna metoden för
Läs merTentamen MVE302 Sannolikhet och statistik
Tentamen MVE32 Sannolikhet och statistik 219-6-5 kl. 8:3-12:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Oskar Allerbo, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merLaboration 4: Lineär regression
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 4: Lineär regression 1 Syfte Denna laboration handlar om regressionsanalys och
Läs merTentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp
Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90/SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAG 5 JUNI 09 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs merTillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 11: Multipel linjär regression 2
Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 11: Multipel linjär regression 2 Ronnie Pingel Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 2015-11-23 Faktum är att vi i praktiken nästan alltid har en blandning
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 11 & 12 Johan Lindström 2 & 9 oktober 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MSB2 F11 1/32 Repetition Multipel linjär regression
Läs merTMS136. Föreläsning 10
TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis
Läs merTAMS65 - Seminarium 4 Regressionsanalys
TAMS65 - Seminarium 4 Regressionsanalys Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Problem 1 PS29 Vid ett test av bromsarna på en bil bromsades bilen upprepade gånger från en hastighet
Läs merTENTAMEN I SF2950 (F D 5B1550) TILLÄMPAD MATEMATISK STATISTIK, TORSDAGEN DEN 3 JUNI 2010 KL
TENTAMEN I SF950 (F D 5B1550) TILLÄMPAD MATEMATISK STATISTIK, TORSDAGEN DEN 3 JUNI 010 KL 14.00 19.00 Examinator : Gunnar Englund, tel. 790 7416, epost: gunnare@math.kth.se Tillåtna hjälpmedel: Formel-
Läs merFöreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall
Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F9: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett stickprov, x 1, x 2,...,
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 11 Johan Lindström 13 november 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F11 1/25 Repetition Stickprov & Skattning Maximum likelihood
Läs merFöreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2
Föreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2 Kasper K. S. Andersen 4 oktober 208 Jämförelse av två väntevärden Ofte vil man jämföra två eller fler) produkter, behandlingar, processer etc. med varandra.
Läs merFöreläsning 11, FMSF45 Konfidensintervall
Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, FMSF45 Konfidensintervall Stas Volkov 2017-11-7 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F11: Konfidensintervall
Läs merFormler och tabeller till kursen MSG830
Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE30 Sannolikhet, statistik och risk 207-06-0 kl. 8:30-3:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 03-7725348 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merMinstakvadratmetoden
Institutionen för matematik KTH Minstakvadratmetoden Komplettering till den linjära algebran i kursen 5B6 b A b o A o V Eike Petermann/HT Man ville bestämma ett approimativt värde på tyngdaccelerationen
Läs merFöreläsning 15: Försöksplanering och repetition
Föreläsning 15: Försöksplanering och repetition Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 19, 2015 Utfall och utfallsrum Slumpmässigt försök Man brukar säga att ett slumpmässigt försök
Läs meroberoende av varandra så observationerna är
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 1, 1-5-7 REGRESSION (repetition) Vi har mätningarna ( 1, 1 ),..., ( n, n
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merLÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Tentamen: 011 10 1 kl 14 00 19 00 Matematikcentrum FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp Lunds tekniska högskola MASB0, Matematisk statistik kemister, 7.5
Läs merFöreläsning 13, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Multipel linjär regression
Föreläsning 13, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Multipel linjär regression Anna Lindgren 14 december, 2015 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMSF20 F13 1/22 Linjär regression Vi har n st par av
Läs merStatistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1
Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning Kurskod: 732G7, 8 hp Lärare och examinator: Ann-Charlotte (Lotta) Hallberg Lärare och lektionsledare: Isak Hietala Labassistenter Kap 3,-3,6. Läs
Läs merExempel på tentamensuppgifter
STOCKHOLMS UNIVERSITET 4 mars 2010 Matematiska institutionen Avd. för matematisk statistik Mikael Andersson Exempel på tentamensuppgifter Uppgift 1 Betrakta en allmän I J-tabell enligt 1 2 3 J Σ 1 n 11
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 5 Johan Lindström 12 september 216 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 F5 1/23 Repetition Gauss approximation Delta metoden
Läs merStatistisk försöksplanering
Statistisk försöksplanering Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Skriftlig tentamen 3 hp 51SF01 Textilingenjörsutbildningen Tentamensdatum: 2 November Tid: 09:00-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs mer