TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder"

Transkript

1 TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen

2 Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent Punktskattning för väntevärde och varians Minsta-kvadrat-metoden Likelihoodfunktionen Maximum-Likelihood-Metoden TAMS65 - Fö2 1/53

3 Punktskattning Låt x 1,..., x n vara observationer av oberoende s.v. X 1,..., X n, vars sannolikhetsfunktion p(k; θ) eller täthetsfunktion f (x; θ) innehåller en okänd parameter θ. Vi söker ett approximativt värde på θ, dvs. en punktskattning baserad på x 1,..., x n. Definition En punktskattning är en funktion av de observerade mätvärdena, det vill säga ˆθ = g(x 1,..., x n ). I boken har vi notationen ˆθ = θ (x). TAMS65 - Fö2 2/53

4 Stickprovsvariabeln Det fixa värdet ˆθ (eng. estimate) är observation av stickprovsvariabeln (eng. estimator) Θ = g(x 1,..., X n ). I boken har vi notationen Θ = θ (X). Ibland kallar vi även Θ för skattningsvariabel eller (punkt-) skattning. Fördelningen för Θ beskriver vilka värden vi kan få på ˆθ för olika observationsserier. TAMS65 - Fö2 3/53

5 Exempel - Punktskattning Antag att vi har tre oberoende mätningar x 1, x 2, x 3 från en och samma population med väntevärdet µ och standardavvikelsen σ. Vi kan till exempel skatta µ på två olika sätt ˆµ 1 = 1 3 (x 1 + x 2 + x 3 ) ˆµ 2 = 1 6 (x 1 + 2x 2 + 3x 3 ). Antag att x 1, = 1.32, x 2 = 2.41 och x 3 = 1.97 då blir de observerade skattningarna ˆµ 1 = 1 ( ) = ˆµ 2 = 1 ( ) = TAMS65 - Fö2 4/53

6 Väntevärdesriktighet m.m. Definition Θ kallas väntevärdesriktig (vvr) (eng. unbiased) om E( Θ) = θ. Definition Ett systematiskt fel är definierat som E( Θ) θ = systematiskt fel (eng. bias). Definition Om Θ 1 och Θ 2 är väntevärdesriktiga skattningar av θ, så kallas Θ 1 effektivare än Θ 2 om var( Θ 1 ) < var( Θ 2 ). TAMS65 - Fö2 5/53

7 Exempel, forts. Väntevärdesriktiga? ( ) E( M 1 1 ) = E 3 (X 1 + X 2 + X 3 ) =... = µ, ( ) E( M 1 2 ) = E 6 (X 1 + 2X 2 + 3X 3 ) =... = µ Alltså, båda skattningarna är vvr skattningar av µ, men vilken skattning är effektivast? ( ) var( M 1 1 ) = var 3 (X 1 + X 2 + X 3 ) = 19 (σ2 + σ 2 + σ 2 ) = σ2 3, ( ) var( M 1 2 ) = var 6 (X 1 + 2X 2 + 3X 3 ) = 1 36 (σ2 + 4σ 2 + 9σ 2 ) = σ2. Alltså gäller att var( M 1 ) < var( M 2 ) och skattningen µ 1 ( M 1 ) är effektivare och bör användas. TAMS65 - Fö2 6/53

8 Exempel Låt x 1,..., x 7 vara ett stickprov från en slumpvariabel X med E(X ) = µ och var(x ) = σ 2. Betrakta skattningen av σ 2 enligt ˆσ 2 = x x 6 2 (x 2 + x 6 )/2. 2 Är denna skattning vvr? ( X E(ˆσ 2 2 ) = E X X 2 4 X 6 4 = E(X 2 2) + E(X 6 2) E(X 2) E(X 6) = / E(Z 2 ) = var(z) + (E(Z)) 2 / = var(x 2) + (E(X 2 )) 2 2 = σ2 + µ 2 + σ2 + µ Svar: Nej, skattningen är inte vvr. ) + var(x 6) + (E(X 6 )) 2 2 µ 2 = σ2 + µ 2 µ 2 σ2 µ 4 µ 4 TAMS65 - Fö2 7/53

9 Konsistent skattning Om man har stora stickprov är även asymptotiska egenskaper hos punktskattningar intressanta. Definition Anta att Θ n är definierad för varje stickprovsstorlek n. Om för varje ε > 0 gäller att P( Θ n θ > ε) 0 då n, så sägs Θ n vara en konsistent skattning. När man ska bevisa att en skattning är konsistent har man ofta nytta av följande sats. Sats Om E( Θ n ) = θ och var( Θ n ) 0 då n, så är Θ n en konsistent skattning av θ. TAMS65 - Fö2 8/53

10 Bevis Använd Tjeysjovs-olikhet P( Y µ Y > kσ Y ) 1 k 2. Låt ε > 0 vara givet. Då gäller att ε P( Θ n θ > ε) = P( Θ n θ > D(Θ n )) D(Θ n ) }{{} =k = var(θ n) ε 2 0 då n eftersom var( Θ n ) 0 då n. ( D(Θn ) ε ) 2 TAMS65 - Fö2 9/53

11 Skattning av väntevärdet Låt x 1,..., x n vara observationer av oberoende s.v. X 1,..., X n med E(X i ) = µ och var(x i ) = σ 2. Sats Det gäller att stickprovsmedelvärdet M = X = 1 n n X i är en väntevärdesriktig och konsistent skattning av µ. TAMS65 - Fö2 10/53

12 Bevis E( M) = E( X ) = 1 n var( M) = var( X ) = Alltså var( M) 0 då n. n E(X i ) = 1 }{{} n nµ = µ =µ ( ) 1 2 n n var(x i ) = }{{} =σ 2 M är en vvr och konsistens skattning av µ. 1 n 2 nσ2 = σ2 n TAMS65 - Fö2 11/53

13 Kom ihåg att definitionen på varians är ( var(x ) = E (X µ) 2). Vi har nu följande sats. Sats Det gäller att stickprovsvariansen S 2 = 1 n 1 n (X i X ) 2 är en väntevärdesriktig skattning av σ 2. TAMS65 - Fö2 12/53

14 Bevis Vi har att n (X i X ) 2 = = n n (X 2 i 2X i X + X 2 ) = X 2 i n X 2 n X 2 i 2 X n X i }{{} =n X +n X 2 och E(X 2 i ) = var(x i ) + (E(X i )) 2 = σ 2 + µ 2 E( X 2 ) = var( X ) + (E( X )) 2 = σ2 n + µ2 vilket ger TAMS65 - Fö2 13/53

15 Bevis forts. ( ) E(S 2 1 n ) = E (X i n 1 X ) 2 ( n = 1 n 1 E = 1 n 1 = 1 n 1 ( n X 2 i n X 2 ) E(Xi 2 ) n E( X }{{} =σ 2 +µ 2 ( n ) = 1 n 1 E (X i X ) 2 2 ) }{{} = σ2 n +µ2 ) ( n(σ 2 + µ 2 ) σ 2 nµ 2) = 1 n 1 (n 1)σ2 = σ 2. Alltså, S 2 är en vvr skattning av σ 2. TAMS65 - Fö2 14/53

16 Anm. S är inte en väntevärdesriktig skattning av σ, eftersom 0 < var(s) = E(S 2 ) [E(S)] 2 = σ 2 [E(S)] 2 dvs. [E(S)] 2 < σ 2 och då är E(S) < σ. Hemuppgift Leta upp s på din räknare och lär dig använda den rutinen. Heter ibland σ n 1. TAMS65 - Fö2 15/53

17 Minsta-kvadrat-metoden Låt x 1,..., x n vara observationer av oberoende stokastiska variabler X 1,..., X n med E(X i ) = µ i (θ) och var(x i ) = σ 2. Det värde ˆθ som minimerar Q(θ) = n (x i µ i (θ)) 2, kallas minsta-kvadrat-skattningen (MK-skattningen) av parametern θ. Här behöver inte θ vara endimensionell, se tex. avsnittet om regressionsanalys. Tänk på att när vi minimerar Q(θ), så betraktar vi θ som en variabel, medan x 1,..., x n är fixa tal (mätvärden). TAMS65 - Fö2 16/53

18 Exempel - Normalfördelning Låt x 1,..., x n vara observationer av oberoende s.v. X 1,..., X n, där X i N (µ, σ) och σ är känt. Skatta µ med minsta-kvadratmetoden. n Q(µ) = (x i µ) 2 dq n dµ = 2 (x i µ) = 0 0 = n (x i µ) = n x i nµ vilket ger ˆµ = 1 n n x i = x. TAMS65 - Fö2 17/53

19 Exempel - Linjär regression I en studie har man velat undersöka sambandet mellan skadekostnader och avstånd till närmaste brandstation vid bränder i bostadshus. Distance from Fire Station Fire Damage x, miles y, thousands of dollars TAMS65 - Fö2 18/53

20 Exempel, forts. Ett approximativt linjärt samband verkar fullt rimligt. TAMS65 - Fö2 19/53

21 Exempel, forts. Problem: (i) Hur hittar man den räta linje som passar bäst till punkterna? (ii) Skulle en ny försöksserie ge ungefär samma linje? (iii) Hur beskriver vi avvikelserna från linjen? Vi besvarar fråga (iii) genom att göra en modell för mätvärdena som innebär att vi betraktar avvikelserna från linjen som slumpvariabler. TAMS65 - Fö2 20/53

22 Exempel, forts. Vi har värdepar (x j, y j ), där y j är observation av den stokastiska variabeln Y j = µ j + ε j = β 0 + β 1 x j + ε j, för j = 1,..., n, där µ j = β 0 + β 1 x j och x 1,..., x n är fixa tal medan ε 1,..., ε n är oberoende stokastiska variabler med E(ε j ) = 0 och var(ε j ) = σ 2. Modellen ger att E(Y j ) = µ j = β 0 + β 1 x j och var(y j ) = σ 2. Vi skattar β 0 och β 1 med hjälp av minsta-kvadrat-metoden, d.v.s. minimerar Q(β 0, β 1 ) = n (y j E(Y j )) 2 = 1 n (y j β 0 β 1 x j ) 2 1 med avseende på β 0 och β 1. TAMS65 - Fö2 21/53

23 Exempel, forts. Detta innebär att vi väljer den räta linje som minimerar summan av kvadraterna på avstånden i y-led från punkterna till den den räta linjen. TAMS65 - Fö2 22/53

24 Exempel, forts. I vårt exempel har vi n = 15 och minimeringen ger ˆβ 0 = och ˆβ 1 = Vi får den skattade regressionslinjen y = ˆβ 0 + ˆβ 1 x = x som ger de skattade väntevärdena för olika x-värden. Därmed har vi besvarat även fråga (i). Vi återkommer till fråga (ii) senare i kursen. TAMS65 - Fö2 23/53

25 Exempel - Hypergeometrisk fördelning I en urna finns N kulor varav Np är vita och N(1 p) är svarta. Man väljer slumpmässigt n stycken utan återläggning och får då X vita kulor. Då gäller att X har hypergeometrisk fördelning, X Hyp(N, n, p) dvs. ) p X (x) = P(X = x) = ( Np x )( N(1 p) n x ( N n), för 0 x Np och 0 n x N(1 p). TAMS65 - Fö2 24/53

26 Exempel - Hypergeometrisk fördelning Bland 200 ekonomiska transaktioner i ett företag väljer man ut 25 st och finner bland dem 3 felaktiga. Uppskatta p = andelen felaktiga transaktioner. N = 200, n = 25, x = 3 är en observation från X Hyp(N, n, p) E(X ) = np mm ger n ˆp = x d.v.s. ˆp = x n. mkm ger Q(p) = n (x i np) 2 = (x np) 2 dq dp = 2n(x np) samt d 2 Q dp 2 = 2n2 > 0 (min) dq dp = 0 ger ˆp = x n. TAMS65 - Fö2 25/53

27 Exempel - Exponentialfördelning Under en kort geologisk period kan det vara rimligt att anta att tiderna mellan successiva utbrott för en vulkan är oberoende och exponentialfördelade med ett väntevärde µ som är karakteristiskt för den enskilda vulkanen. I tabellen nedan finns tiderna i månader mellan 37 successiva utbrott för vulkanen Mauna Loa på Hawaii TAMS65 - Fö2 26/53

28 Exempel forts. För att se hur datamaterialet ser ut gör vi ett histogram. Tiderna mellan utbrott varierar mycket. Histogrammets form antyder att exponentialfördelning kan vara ett lämpligt antagande. TAMS65 - Fö2 27/53

29 Exempel forts. Om X är tiden mellan två utbrott så skulle täthetsfunktionen vara f (x) = 1 µ e x/µ för x 0. Parametern µ är väntevärdet och vi vet att µ > 0. För att kunna beskriva variationerna i tidsavstånden mellan utbrotten och kunna beräkna intressanta sannolikheter behöver vi ett approximativt värde på µ. Alltså, vi behöver punkskatta µ. Förslag? TAMS65 - Fö2 28/53

30 Exempel forts. Anta t.ex. att ett utbrott just är över. Uppskatta, utgående från antagandet om exponentialfördelning, sannolikheten att det dröjer mer än sex månader till nästa utbrott. Alltså vi ska beräkna ˆp = P(X > 6) = 6 f (x)dx = Vi återkommer till det här exemplet senare. 6 1 ˆµ e x/ˆµ dx TAMS65 - Fö2 29/53

31 Exempel - Binomialfördelning För ett datorsystem är det önskvärt att svarstiden, då man ger en viss typ av kommando, är under tre sekunder. Vid 66 oberoende testningar fick man 14 svarstider som var längre än tre sekunder. Vi vill uppskatta p = sannolikheten att en svarstid är > 3s. Modell: x = 14 är observation av X Bin(n, p) där n = 66. Hur ska vi skatta p? Förslag? Vi återkommer också till det här exemplet senare. TAMS65 - Fö2 30/53

32 Maximum-Likelihood-Metoden Låt x 1,..., x n vara observationer av oberoende s.v. X 1,..., X n med täthetsfunktion f (x; θ) eller sannolikhetsfunktion p(x; θ). Definition Funktionen n f (x i; θ) = f (x 1 ; θ)... f (x n ; θ) L(θ) = n p(x i; θ) = p(x 1 ; θ)... p(x n ; θ) kontinuerlig s.v. diskret s.v. kallas likelihoodfunktionen. Definition Det värde på ˆθ som maximerar likelihoodfunktionen L(θ), då θ A = {tillåtna värden på θ}, kallas maximum-likelihoodskattningen (ML-skattningen) av θ. TAMS65 - Fö2 31/53

33 Exempel - ML-metoden Stickprov x = ( 0.5, 0, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8, 0.95, 1.15, 1.25, 1.30, 1.6, 1.9, 2.7, 3.5). Då θ ändras från θ 1 till θ 2 får vi en ny täthetsfunktion. ML-metoden väljer den täthetsfunktion som gör L(θ) så stor som möjligt. TAMS65 - Fö2 32/53

34 Anmärkningar Anm. 1 Vid maximeringen av L(θ) = n f (x i; θ) ska vi betrakta θ som en variabel och x i som konstant. Anm. 2 Det är oftare enklare att maximera ln L(θ) = n ln f (x i ; θ). Anm. 3 Skattningsvariabeln Θ som hör ihop med ML- skattningen har goda asymptotiska egenskaper vilket gör att man åtminstone för stora stickprov föredrar ML-skattningen framför andra typer av skattningar. Under ganska generella villkor gäller att den s.v. Θ är konsistent och asymptotiskt normalfördelad med optimal varians. TAMS65 - Fö2 33/53

35 Generaliseringar a) Parametern θ kan vara flerdimensionell, t.ex. två som i normalfördelningsfallet. b) Man har observationer x 1,..., x n och y 1,..., y m, där de s.v. X i har en fördelning och de s.v. Y j en annan fördelning, men båda fördelningarna innehåller samma parameter θ. Då är L(θ) = L 1 (θ) L 2 (θ). TAMS65 - Fö2 34/53

36 Exempel forts. - Exponentialfördelning I exemplet ovan har vi x 1,..., x n, n = 36 och f (x) = 1 µ e x/µ. L(µ) = n f (x i) = n 1 µ e x i /µ = 1 µ n e 1 µ n x i ln L(µ) = l(µ) = n ln µ 1 µ n x i dl dµ = n µ + 1 µ 2 n x i = 0 ger µ = x = Max? d 2 l dµ 2 = n µ 2 2 n µ 3 x i = µ= x n x 2 2 x 3 n x =... = n x 2 < 0 d.v.s. max. TAMS65 - Fö2 35/53

37 Exempel forts. p = P(X > 6) = 6 ˆp = e 6/ˆµ = e 6/ x µ e x/µ =... = e 6/µ TAMS65 - Fö2 36/53

38 Exempel forts. - Binomial Vi har att x = 14 är en observation av X Bin(n, p), där n = 66. p(k) = ( n k) p k (1 p) n k för k = 0, 1,..., n L(p) = ( ) n x p x (1 p) n x l(p) = ln L(p) = ln ( n x) + x ln p + (n x) ln(1 p) dl dp = x p n x 1 p = 0 ger p = x n (max?) ˆp = x n = TAMS65 - Fö2 37/53

39 ML-skattningarna i normalfördelningsfallet Vi har observationer x 1,..., x n av oberoende s.v. X 1,..., X n, där X i N(µ, σ). Fall 1: σ känd och µ okänd. Då är ˆµ = x. f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 L(µ) = n 1 σ (x i µ) 2 2π e 2σ 2 = 1 (σ 2 2π) 1 n e 2σ n/2 2 (x i µ) 2 Funktionen L(µ) uppnår maximum samtidigt som funktionen n (x i µ) 2 antar minimum, d.v.s. då µ = x (samma som MK). TAMS65 - Fö2 38/53

40 ML-skattningarna i normalfördelningsfallet Fall 2: σ okänd och µ känd. Då är ˆσ 2 = 1 n n (x i µ) 2. (Hemuppgift) Fall 3: Både µ och σ okända. Likelihoodfunktionen ges av [ 1 ] [ L(µ, σ) = σ 1 2π e (x 1 µ)2 /2σ2... σ 2π ( 1 ) nσ = n e 1 n 2σ 2 (x i µ) 2. 2π Vidare får vi l(µ, σ) = ln L(µ, σ) = konst n ln σ 1 2σ 2 e (xn µ)2 /2σ2 ] n (x i µ) 2. TAMS65 - Fö2 39/53

41 Både µ och σ okända Man kan visa att maximum antas i ett nollställe till de partiella derivatorna. ( l µ = 1 n n ) 2σ 2 2(x i µ)( 1) = 1 σ 2 x i nµ l σ = n σ + 1 n σ 3 (x i µ) 2 l µ = 0 l σ = 0 ger ˆµ = 1 n n x i = x (vvr) ˆσ 2 = 1 n n (x i x) 2 (ej vvr) TAMS65 - Fö2 40/53

42 E(ˆσ 2 ) = 1 n E( n (X i X ) 2 ) = / se ovan / = 1 n (n 1)σ2 = n 1 n σ2 d.v.s. om vi väljer n n 1 ˆσ2 =... = s 2 ok. n n 1 ˆσ2 som skattning så är den vvr. TAMS65 - Fö2 41/53

43 Korrigerad ML-skattning Korrigerad ML-skattning av σ 2 är den vanliga stickprovsvariansen s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2. Vid ett stickprov från normalfördelning har vi alltså skattningarna ˆµ = x och ˆσ 2 = s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2, då båda parametrarna µ och σ 2 är okända. TAMS65 - Fö2 42/53

44 Exempel - Normalfördelning En affär har bestämt bemanningen på lördagar så att man behöver sälja för kronor för att gå runt den enskilda lördagen. Man vill bedöma hur vanlig en försäljningssumma under är och även studera den genomsnittliga försälj- ningen för lördagar. Försäljningssiffror för 40 lördagar: TAMS65 - Fö2 43/53

45 Exempel forts.- Normalfördelning Modell: Försäljningen i tusentals kronor en slumpmässigt vald lördag är en s.v. X N(µ, σ). Här beskriver parametern µ den genomsnittliga försäljningen i det långa loppet. En annan intressant parameter är ( X µ p = P(X < 25000) = P < µ ) ( ) µ = Φ σ σ σ Vi behöver approximativa värden på µ och σ och de är ˆµ = x = 29323, ˆσ = s = 1 40 (x i x) 2 = TAMS65 - Fö2 44/53

46 Exempel forts.- Normalfördelning De approximativa värdena på µ och σ ger ( ) ˆµ ˆp = Φ = Φ( ) = 1 Φ(0.7835) 0.22 s Tolkning: Ungefär 22% av lördagarna ligger försäljningen under kronor. Den genomsnittliga försäljningen µ på lördagar är ungefär kronor. TAMS65 - Fö2 45/53

47 Hur säker information har vi om µ och σ 2 via våra punktskattningar? Vi behöver studera fördelningarna för de s.v. M och S 2. Vi har att M = X = 1 n ( ) σ X i N µ, n n S 2 = 1 n ( Xi X ) 2??? - se nästa föreläsning. n 1 Vi återkommer till detta i samband med intervallskattning. TAMS65 - Fö2 46/53

48 Flera stickprov från normalfördelning Antag nu att vi har flera stickprov från normalfördelning. Vi har observationer x 1,..., x m, där X 1,..., X m är oberoende och N(µ 1, σ) y 1,..., y n, där Y 1,..., Y n är oberoende och N(µ 2, σ) På liknande sätt som vid fallet med ett stickprov från normalfördelning kan man härleda skattningarna av de tre parametrarna. Använd a) och b) på sid. 34 så får man likelihoodfunktionen L(µ 1, µ 2, σ 2 ) = L(µ 1, σ 2 )L(µ 2, σ 2 ) = ( m ) ( 1 σ (x i µ 1 ) 2 n 2π e 2σ 2 ) 1 σ (y i µ 2 ) 2 2π e 2σ 2 TAMS65 - Fö2 47/53

49 Flera stickprov från normalfördelning Vid två stickprov från normalfördelningar med skilda väntevärden och en gemensam standardavvikelse har vi ML-skattningarna ˆµ 1 = x, ˆµ 2 = ȳ, samt den korrigerade σ 2 -skattningen där s 2 = (m 1)s2 1 + (n 1)s2 2 (m 1) + (n 1), s 2 1 = 1 m 1 m 1 (x i x) 2 och s 2 2 = 1 n 1 n (y i ȳ) 2, d.v.s. stickprovsvariansen för respektive stickprovet. Det här resultatet kan generaliseras till flera stickprov (se F-S). TAMS65 - Fö2 48/53

50 Medelfel för en skattning Vi har använt oss av variansen var( Θ) eller standardavvikelsen D( Θ) som ett precisionsmått för skattningen Θ. Ju mindre varians, desto bättre skattning. Problem Variansen och standardavvikelsen är ofta okända, då de kan bero på just den parameter som vi vill skatta (och kanske ytterligare andra okända parametrar). Definition En skattning av D( Θ) kallas medelfelet för Θ och betecknas d = d( Θ) TAMS65 - Fö2 49/53

51 Exempel Medelfel för en skattning N(µ, σ) Låt X 1,..., X n vara oberoende och N(µ, σ), där µ och σ okända. Vi vet att en skattning av µ är ˆµ = x. Denna skattning har standardavvikelsen D( M) = på σ som är okänt. σ n, vilken beror Vi skattar variansen σ 2 med s 2 och medelfelet blir d( M) = s n. TAMS65 - Fö2 50/53

52 Exempel Medelfel för en skattning Bin(n, p) Skatta p med ˆp = x n som är en observation från P = X n. var( P) = 1 n 2 var(x ) = 1 p(1 p) np(1 p) = n2 n D( P) = p(1 p) n och d( P) = ˆp(1 ˆp) n TAMS65 - Fö2 51/53

53 Appendix - Summor och Produkter Summor n x i = x 1 + x x n n ax i = ax 1 + ax ax n = a(x 1 + x x n ) = a n c = n c Produkter n x i = x 1 x 2... x n n (ax i ) = (ax 1 ) (ax 2 )... (ax n ) = a n x 1 x 2... x n = a n n n x i x i TAMS65 - Fö2 52/53

54 Appendix - Logaritmlagarna ln(a b) = ln a + ln b ln a b = ln a ln b ln a c = c ln a ln e a = a e ln b = b TAMS65 - Fö2 53/53

55

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

Enkel och multipel linjär regression

Enkel och multipel linjär regression TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0

Läs mer

Föreläsning 7. Statistikens grunder.

Föreläsning 7. Statistikens grunder. Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Jesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014

Jesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Föreläsning 1. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Varför tillämpad statistik? Användningsområden i medicin, naturvetenskap

Läs mer

Föreläsning 8: Konfidensintervall

Föreläsning 8: Konfidensintervall Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 7

MVE051/MSG Föreläsning 7 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande

Läs mer

Teoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005

Teoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005 Teoretisk statistik Gunnar Englund Matematisk statistik KTH Vt 2005 Inledning Vi skall kortfattat behandla aspekter av teoretisk statistik där framför allt begreppet uttömmande (ibland kallad tillräcklig

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret

Läs mer

Formler och tabeller till kursen MSG830

Formler och tabeller till kursen MSG830 Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Anna Lindgren 7+8 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F11: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett

Läs mer

Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Johan Lindström 27 Januari, 2015 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS012 F11 1/19 Repetition

Läs mer

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen

Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,

Läs mer

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2.

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90,SF907,SF908,SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK TORSDAGEN DEN 7:E JUNI 0 KL 4.00 9.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 7 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.

Läs mer

F9 Konfidensintervall

F9 Konfidensintervall 1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att

Läs mer

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i

Läs mer

Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare

Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare 1 Egenskaper hos punktskattare En skattare är en funktion av stickprovet och således en slumpvariabel. En bedömning av kvaliteten

Läs mer

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.

Läs mer

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Johan Lindström Repetition Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 1/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Grundläggande begrepp (Kap.

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning

TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö12 1/37 Det

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

Grundkurs i statistisk teori, del 2

Grundkurs i statistisk teori, del 2 Grundkurs i statistisk teori, del 2 Paul Blomstedt 2010 Reviderad 3.5.2012 Innehåll 1 Inledning 1 1.1 Inledande exempel........................ 2 1.1.1 Statistisk modell..................... 2 1.1.2 Vita

Läs mer

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p)

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF190 (f d 5B2501 ) SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR - ÅRIG MEDIA MÅNDAGEN DEN 1 AUGUSTI 2012 KL 08.00 1.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 21 7 45 Tillåtna

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga

Läs mer

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering

Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning

TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö12 1/37 Det

Läs mer

TMS136. Föreläsning 11

TMS136. Föreläsning 11 TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Lärare: Mikael Elenius, 2006-08-25, kl:9-14 Betygsgränser: 65 poäng Väl Godkänt, 50 poäng

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

Stokastiska vektorer

Stokastiska vektorer TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan

Läs mer

Föreläsning 4. Kapitel 5, sid Stickprovsteori

Föreläsning 4. Kapitel 5, sid Stickprovsteori Föreläsning 4 Kapitel 5, sid 127-152 Stickprovsteori 2 Agenda Stickprovsteori Väntevärdesriktiga skattningar Samplingfördelningar Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen 3 Statistisk inferens Population:

Läs mer

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,

Läs mer

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov TNG006 F0-05-06 Konfidensintervall för linjärkombinationer 0. Konfidensintervall vid två oberoende stikprov Antag att X, X,..., X m är ett stikprov på N(µ, σ ) oh att Y, Y,..., Y n är ett stikprov på N(µ,

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 14

MVE051/MSG Föreläsning 14 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska

Läs mer

Stokastiska processer med diskret tid

Stokastiska processer med diskret tid Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora

Läs mer

Sannolikheter och kombinatorik

Sannolikheter och kombinatorik Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter

Läs mer

Väntevärde och varians

Väntevärde och varians TNG6 F5 19-4-216 Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som

Läs mer

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

Våra vanligaste fördelningar

Våra vanligaste fördelningar Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 5 Johan Lindström 12 september 216 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 F5 1/23 Repetition Gauss approximation Delta metoden

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och

Läs mer

Bengt Ringnér. October 30, 2006

Bengt Ringnér. October 30, 2006 Väntevärden Bengt Ringnér October 0, 2006 1 Inledning 2 Väntevärden Låt X vara en stokastisk variabel som representerar ett slumpmässigt försök, t ex att mäta en viss storhet. Antag att man kan göra, eller

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson,

STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson, STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson, 5--9 Lösningförslag skriftlig hemtentamen i Fortsättningskurs i statistik, moment, Statistisk Teori, poäng. Deltentamen : Sannolikhetsteori

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 9 25 november 2016 1 / 32 Idag Inferensproblemet Punktskattningar (Kap. 11.3) Skattning av väntevärde och varians (Kap. 11.4) Metoder för

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: statistiska inferensproblem, maximum likelihood, minsta kvadrat

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: statistiska inferensproblem, maximum likelihood, minsta kvadrat SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 8. Statistik: statistiska inferensproblem, maximum likelihood, minsta kvadrat Jan Grandell & Timo Koski 10.02.2011 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) Aktuella avsnitt i boken: Kap 61 65 Lektionens mål: Du ska

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning P-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/33

Läs mer

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4) Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2014-06-05 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Jesper

Läs mer

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2015-10-23 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Jesper Martinsson,

Läs mer

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval

TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Repetition (t-test för H 0 : β i = 0) Residualanalys Modellval Framåtvalsprincipen

Läs mer

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8. Skattning av µ och Students T-fördelning Om σ är känd, kan man använda statistikan X µ σ/ n för att hitta konfidensintervall för µ. Om σ inte

Läs mer

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden

Läs mer

1/31 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet

1/31 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet 1/31 REGRESSIONSANALYS F1 Linda Wänström Statistiska institutionen, Stockholms universitet 2/31 Kap 4: Introduktion till regressionsanalys. Introduktion Regressionsanalys är en statistisk teknik för att

Läs mer

Varför statistik? det finns inga dumma frågor, bara dumma svar! Serik Sagitov

Varför statistik? det finns inga dumma frågor, bara dumma svar! Serik Sagitov Summer Science Camp, Tjärnö, 8 August 2012 Varför statistik? Serik Sagitov http://www.math.chalmers.se/ serik/ Avdelningen för matematisk statistik Matematiska Vetenskaper Chalmers Tekniska Högskola och

Läs mer

Laboration med Minitab

Laboration med Minitab MATEMATIK OCH STATISTIK NV1 2005 02 07 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Silvelyn Zwanzig, Tel. 471 31 84 Laboration med Minitab I denna laboration skall du få stifta bekantskap med ett statistiskt

Läs mer

I den här datorövningen ser vi hur R kan utnyttjas för att kontrollera modellantaganden och beräkna konfidensintervall.

I den här datorövningen ser vi hur R kan utnyttjas för att kontrollera modellantaganden och beräkna konfidensintervall. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Måns Thulin Statistik för ingenjörer 1MS008 VT 2011 DATORÖVNING 2: SKATTNINGAR OCH KONFIDENSINTERVALL 1 Inledning I den här datorövningen ser vi hur R kan

Läs mer

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs.

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 31:E MAJ 2012 KL 08.00 13.00. Examinator: Tobias Rydén, tel 790 8469. Kursledare: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466.

Läs mer

Detta formelblad får användas under både KS2T och KS2D, samt ordinarie tentamen. x = 1 n. x i. with(stats): describe[mean]([3,5]); 4.

Detta formelblad får användas under både KS2T och KS2D, samt ordinarie tentamen. x = 1 n. x i. with(stats): describe[mean]([3,5]); 4. Formelblad Detta formelblad får användas under både KST och KSD, samt ordinarie tentamen. Medelvärde x = 1 n x i with(stats): describe[mean]([3,5]); 4 Varians s = 1 (x i x) n 1 ( s = 1 x i n 1 1 n ) x

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B508 MATEMATISK STATISTIK FÖR S TISDAGEN DEN 20 DECEMBER 2005 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 746. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i Matematisk Statistik. Jan Grandell

Föreläsningsanteckningar i Matematisk Statistik. Jan Grandell Föreläsningsanteckningar i Matematisk Statistik Jan Grandell 2 Förord Dessa anteckningar gjordes för mitt privata bruk av föreläsningsmanuskript och har aldrig varit tänkta att användas som kursmaterial.

Läs mer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin thulin@math.uu.se Senast uppdaterad 20 februari 2013 Diskussionsproblem till Lektion 3 1. En projektledare i ett byggföretaget ska undersöka

Läs mer

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30 Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 20 FACIT: Tentamen L9MA0, LGMA0 Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 20-0-2

Läs mer