TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
|
|
- Sebastian Ola Lindström
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen
2 Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent Punktskattning för väntevärde och varians Minsta-kvadrat-metoden Likelihoodfunktionen Maximum-Likelihood-Metoden TAMS65 - Fö2 1/53
3 Punktskattning Låt x 1,..., x n vara observationer av oberoende s.v. X 1,..., X n, vars sannolikhetsfunktion p(k; θ) eller täthetsfunktion f (x; θ) innehåller en okänd parameter θ. Vi söker ett approximativt värde på θ, dvs. en punktskattning baserad på x 1,..., x n. Definition En punktskattning är en funktion av de observerade mätvärdena, det vill säga ˆθ = g(x 1,..., x n ). I boken har vi notationen ˆθ = θ (x). TAMS65 - Fö2 2/53
4 Stickprovsvariabeln Det fixa värdet ˆθ (eng. estimate) är observation av stickprovsvariabeln (eng. estimator) Θ = g(x 1,..., X n ). I boken har vi notationen Θ = θ (X). Ibland kallar vi även Θ för skattningsvariabel eller (punkt-) skattning. Fördelningen för Θ beskriver vilka värden vi kan få på ˆθ för olika observationsserier. TAMS65 - Fö2 3/53
5 Exempel - Punktskattning Antag att vi har tre oberoende mätningar x 1, x 2, x 3 från en och samma population med väntevärdet µ och standardavvikelsen σ. Vi kan till exempel skatta µ på två olika sätt ˆµ 1 = 1 3 (x 1 + x 2 + x 3 ) ˆµ 2 = 1 6 (x 1 + 2x 2 + 3x 3 ). Antag att x 1, = 1.32, x 2 = 2.41 och x 3 = 1.97 då blir de observerade skattningarna ˆµ 1 = 1 ( ) = ˆµ 2 = 1 ( ) = TAMS65 - Fö2 4/53
6 Väntevärdesriktighet m.m. Definition Θ kallas väntevärdesriktig (vvr) (eng. unbiased) om E( Θ) = θ. Definition Ett systematiskt fel är definierat som E( Θ) θ = systematiskt fel (eng. bias). Definition Om Θ 1 och Θ 2 är väntevärdesriktiga skattningar av θ, så kallas Θ 1 effektivare än Θ 2 om var( Θ 1 ) < var( Θ 2 ). TAMS65 - Fö2 5/53
7 Exempel, forts. Väntevärdesriktiga? ( ) E( M 1 1 ) = E 3 (X 1 + X 2 + X 3 ) =... = µ, ( ) E( M 1 2 ) = E 6 (X 1 + 2X 2 + 3X 3 ) =... = µ Alltså, båda skattningarna är vvr skattningar av µ, men vilken skattning är effektivast? ( ) var( M 1 1 ) = var 3 (X 1 + X 2 + X 3 ) = 19 (σ2 + σ 2 + σ 2 ) = σ2 3, ( ) var( M 1 2 ) = var 6 (X 1 + 2X 2 + 3X 3 ) = 1 36 (σ2 + 4σ 2 + 9σ 2 ) = σ2. Alltså gäller att var( M 1 ) < var( M 2 ) och skattningen µ 1 ( M 1 ) är effektivare och bör användas. TAMS65 - Fö2 6/53
8 Exempel Låt x 1,..., x 7 vara ett stickprov från en slumpvariabel X med E(X ) = µ och var(x ) = σ 2. Betrakta skattningen av σ 2 enligt ˆσ 2 = x x 6 2 (x 2 + x 6 )/2. 2 Är denna skattning vvr? ( X E(ˆσ 2 2 ) = E X X 2 4 X 6 4 = E(X 2 2) + E(X 6 2) E(X 2) E(X 6) = / E(Z 2 ) = var(z) + (E(Z)) 2 / = var(x 2) + (E(X 2 )) 2 2 = σ2 + µ 2 + σ2 + µ Svar: Nej, skattningen är inte vvr. ) + var(x 6) + (E(X 6 )) 2 2 µ 2 = σ2 + µ 2 µ 2 σ2 µ 4 µ 4 TAMS65 - Fö2 7/53
9 Konsistent skattning Om man har stora stickprov är även asymptotiska egenskaper hos punktskattningar intressanta. Definition Anta att Θ n är definierad för varje stickprovsstorlek n. Om för varje ε > 0 gäller att P( Θ n θ > ε) 0 då n, så sägs Θ n vara en konsistent skattning. När man ska bevisa att en skattning är konsistent har man ofta nytta av följande sats. Sats Om E( Θ n ) = θ och var( Θ n ) 0 då n, så är Θ n en konsistent skattning av θ. TAMS65 - Fö2 8/53
10 Bevis Använd Tjeysjovs-olikhet P( Y µ Y > kσ Y ) 1 k 2. Låt ε > 0 vara givet. Då gäller att ε P( Θ n θ > ε) = P( Θ n θ > D(Θ n )) D(Θ n ) }{{} =k = var(θ n) ε 2 0 då n eftersom var( Θ n ) 0 då n. ( D(Θn ) ε ) 2 TAMS65 - Fö2 9/53
11 Skattning av väntevärdet Låt x 1,..., x n vara observationer av oberoende s.v. X 1,..., X n med E(X i ) = µ och var(x i ) = σ 2. Sats Det gäller att stickprovsmedelvärdet M = X = 1 n n X i är en väntevärdesriktig och konsistent skattning av µ. TAMS65 - Fö2 10/53
12 Bevis E( M) = E( X ) = 1 n var( M) = var( X ) = Alltså var( M) 0 då n. n E(X i ) = 1 }{{} n nµ = µ =µ ( ) 1 2 n n var(x i ) = }{{} =σ 2 M är en vvr och konsistens skattning av µ. 1 n 2 nσ2 = σ2 n TAMS65 - Fö2 11/53
13 Kom ihåg att definitionen på varians är ( var(x ) = E (X µ) 2). Vi har nu följande sats. Sats Det gäller att stickprovsvariansen S 2 = 1 n 1 n (X i X ) 2 är en väntevärdesriktig skattning av σ 2. TAMS65 - Fö2 12/53
14 Bevis Vi har att n (X i X ) 2 = = n n (X 2 i 2X i X + X 2 ) = X 2 i n X 2 n X 2 i 2 X n X i }{{} =n X +n X 2 och E(X 2 i ) = var(x i ) + (E(X i )) 2 = σ 2 + µ 2 E( X 2 ) = var( X ) + (E( X )) 2 = σ2 n + µ2 vilket ger TAMS65 - Fö2 13/53
15 Bevis forts. ( ) E(S 2 1 n ) = E (X i n 1 X ) 2 ( n = 1 n 1 E = 1 n 1 = 1 n 1 ( n X 2 i n X 2 ) E(Xi 2 ) n E( X }{{} =σ 2 +µ 2 ( n ) = 1 n 1 E (X i X ) 2 2 ) }{{} = σ2 n +µ2 ) ( n(σ 2 + µ 2 ) σ 2 nµ 2) = 1 n 1 (n 1)σ2 = σ 2. Alltså, S 2 är en vvr skattning av σ 2. TAMS65 - Fö2 14/53
16 Anm. S är inte en väntevärdesriktig skattning av σ, eftersom 0 < var(s) = E(S 2 ) [E(S)] 2 = σ 2 [E(S)] 2 dvs. [E(S)] 2 < σ 2 och då är E(S) < σ. Hemuppgift Leta upp s på din räknare och lär dig använda den rutinen. Heter ibland σ n 1. TAMS65 - Fö2 15/53
17 Minsta-kvadrat-metoden Låt x 1,..., x n vara observationer av oberoende stokastiska variabler X 1,..., X n med E(X i ) = µ i (θ) och var(x i ) = σ 2. Det värde ˆθ som minimerar Q(θ) = n (x i µ i (θ)) 2, kallas minsta-kvadrat-skattningen (MK-skattningen) av parametern θ. Här behöver inte θ vara endimensionell, se tex. avsnittet om regressionsanalys. Tänk på att när vi minimerar Q(θ), så betraktar vi θ som en variabel, medan x 1,..., x n är fixa tal (mätvärden). TAMS65 - Fö2 16/53
18 Exempel - Normalfördelning Låt x 1,..., x n vara observationer av oberoende s.v. X 1,..., X n, där X i N (µ, σ) och σ är känt. Skatta µ med minsta-kvadratmetoden. n Q(µ) = (x i µ) 2 dq n dµ = 2 (x i µ) = 0 0 = n (x i µ) = n x i nµ vilket ger ˆµ = 1 n n x i = x. TAMS65 - Fö2 17/53
19 Exempel - Linjär regression I en studie har man velat undersöka sambandet mellan skadekostnader och avstånd till närmaste brandstation vid bränder i bostadshus. Distance from Fire Station Fire Damage x, miles y, thousands of dollars TAMS65 - Fö2 18/53
20 Exempel, forts. Ett approximativt linjärt samband verkar fullt rimligt. TAMS65 - Fö2 19/53
21 Exempel, forts. Problem: (i) Hur hittar man den räta linje som passar bäst till punkterna? (ii) Skulle en ny försöksserie ge ungefär samma linje? (iii) Hur beskriver vi avvikelserna från linjen? Vi besvarar fråga (iii) genom att göra en modell för mätvärdena som innebär att vi betraktar avvikelserna från linjen som slumpvariabler. TAMS65 - Fö2 20/53
22 Exempel, forts. Vi har värdepar (x j, y j ), där y j är observation av den stokastiska variabeln Y j = µ j + ε j = β 0 + β 1 x j + ε j, för j = 1,..., n, där µ j = β 0 + β 1 x j och x 1,..., x n är fixa tal medan ε 1,..., ε n är oberoende stokastiska variabler med E(ε j ) = 0 och var(ε j ) = σ 2. Modellen ger att E(Y j ) = µ j = β 0 + β 1 x j och var(y j ) = σ 2. Vi skattar β 0 och β 1 med hjälp av minsta-kvadrat-metoden, d.v.s. minimerar Q(β 0, β 1 ) = n (y j E(Y j )) 2 = 1 n (y j β 0 β 1 x j ) 2 1 med avseende på β 0 och β 1. TAMS65 - Fö2 21/53
23 Exempel, forts. Detta innebär att vi väljer den räta linje som minimerar summan av kvadraterna på avstånden i y-led från punkterna till den den räta linjen. TAMS65 - Fö2 22/53
24 Exempel, forts. I vårt exempel har vi n = 15 och minimeringen ger ˆβ 0 = och ˆβ 1 = Vi får den skattade regressionslinjen y = ˆβ 0 + ˆβ 1 x = x som ger de skattade väntevärdena för olika x-värden. Därmed har vi besvarat även fråga (i). Vi återkommer till fråga (ii) senare i kursen. TAMS65 - Fö2 23/53
25 Exempel - Hypergeometrisk fördelning I en urna finns N kulor varav Np är vita och N(1 p) är svarta. Man väljer slumpmässigt n stycken utan återläggning och får då X vita kulor. Då gäller att X har hypergeometrisk fördelning, X Hyp(N, n, p) dvs. ) p X (x) = P(X = x) = ( Np x )( N(1 p) n x ( N n), för 0 x Np och 0 n x N(1 p). TAMS65 - Fö2 24/53
26 Exempel - Hypergeometrisk fördelning Bland 200 ekonomiska transaktioner i ett företag väljer man ut 25 st och finner bland dem 3 felaktiga. Uppskatta p = andelen felaktiga transaktioner. N = 200, n = 25, x = 3 är en observation från X Hyp(N, n, p) E(X ) = np mm ger n ˆp = x d.v.s. ˆp = x n. mkm ger Q(p) = n (x i np) 2 = (x np) 2 dq dp = 2n(x np) samt d 2 Q dp 2 = 2n2 > 0 (min) dq dp = 0 ger ˆp = x n. TAMS65 - Fö2 25/53
27 Exempel - Exponentialfördelning Under en kort geologisk period kan det vara rimligt att anta att tiderna mellan successiva utbrott för en vulkan är oberoende och exponentialfördelade med ett väntevärde µ som är karakteristiskt för den enskilda vulkanen. I tabellen nedan finns tiderna i månader mellan 37 successiva utbrott för vulkanen Mauna Loa på Hawaii TAMS65 - Fö2 26/53
28 Exempel forts. För att se hur datamaterialet ser ut gör vi ett histogram. Tiderna mellan utbrott varierar mycket. Histogrammets form antyder att exponentialfördelning kan vara ett lämpligt antagande. TAMS65 - Fö2 27/53
29 Exempel forts. Om X är tiden mellan två utbrott så skulle täthetsfunktionen vara f (x) = 1 µ e x/µ för x 0. Parametern µ är väntevärdet och vi vet att µ > 0. För att kunna beskriva variationerna i tidsavstånden mellan utbrotten och kunna beräkna intressanta sannolikheter behöver vi ett approximativt värde på µ. Alltså, vi behöver punkskatta µ. Förslag? TAMS65 - Fö2 28/53
30 Exempel forts. Anta t.ex. att ett utbrott just är över. Uppskatta, utgående från antagandet om exponentialfördelning, sannolikheten att det dröjer mer än sex månader till nästa utbrott. Alltså vi ska beräkna ˆp = P(X > 6) = 6 f (x)dx = Vi återkommer till det här exemplet senare. 6 1 ˆµ e x/ˆµ dx TAMS65 - Fö2 29/53
31 Exempel - Binomialfördelning För ett datorsystem är det önskvärt att svarstiden, då man ger en viss typ av kommando, är under tre sekunder. Vid 66 oberoende testningar fick man 14 svarstider som var längre än tre sekunder. Vi vill uppskatta p = sannolikheten att en svarstid är > 3s. Modell: x = 14 är observation av X Bin(n, p) där n = 66. Hur ska vi skatta p? Förslag? Vi återkommer också till det här exemplet senare. TAMS65 - Fö2 30/53
32 Maximum-Likelihood-Metoden Låt x 1,..., x n vara observationer av oberoende s.v. X 1,..., X n med täthetsfunktion f (x; θ) eller sannolikhetsfunktion p(x; θ). Definition Funktionen n f (x i; θ) = f (x 1 ; θ)... f (x n ; θ) L(θ) = n p(x i; θ) = p(x 1 ; θ)... p(x n ; θ) kontinuerlig s.v. diskret s.v. kallas likelihoodfunktionen. Definition Det värde på ˆθ som maximerar likelihoodfunktionen L(θ), då θ A = {tillåtna värden på θ}, kallas maximum-likelihoodskattningen (ML-skattningen) av θ. TAMS65 - Fö2 31/53
33 Exempel - ML-metoden Stickprov x = ( 0.5, 0, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8, 0.95, 1.15, 1.25, 1.30, 1.6, 1.9, 2.7, 3.5). Då θ ändras från θ 1 till θ 2 får vi en ny täthetsfunktion. ML-metoden väljer den täthetsfunktion som gör L(θ) så stor som möjligt. TAMS65 - Fö2 32/53
34 Anmärkningar Anm. 1 Vid maximeringen av L(θ) = n f (x i; θ) ska vi betrakta θ som en variabel och x i som konstant. Anm. 2 Det är oftare enklare att maximera ln L(θ) = n ln f (x i ; θ). Anm. 3 Skattningsvariabeln Θ som hör ihop med ML- skattningen har goda asymptotiska egenskaper vilket gör att man åtminstone för stora stickprov föredrar ML-skattningen framför andra typer av skattningar. Under ganska generella villkor gäller att den s.v. Θ är konsistent och asymptotiskt normalfördelad med optimal varians. TAMS65 - Fö2 33/53
35 Generaliseringar a) Parametern θ kan vara flerdimensionell, t.ex. två som i normalfördelningsfallet. b) Man har observationer x 1,..., x n och y 1,..., y m, där de s.v. X i har en fördelning och de s.v. Y j en annan fördelning, men båda fördelningarna innehåller samma parameter θ. Då är L(θ) = L 1 (θ) L 2 (θ). TAMS65 - Fö2 34/53
36 Exempel forts. - Exponentialfördelning I exemplet ovan har vi x 1,..., x n, n = 36 och f (x) = 1 µ e x/µ. L(µ) = n f (x i) = n 1 µ e x i /µ = 1 µ n e 1 µ n x i ln L(µ) = l(µ) = n ln µ 1 µ n x i dl dµ = n µ + 1 µ 2 n x i = 0 ger µ = x = Max? d 2 l dµ 2 = n µ 2 2 n µ 3 x i = µ= x n x 2 2 x 3 n x =... = n x 2 < 0 d.v.s. max. TAMS65 - Fö2 35/53
37 Exempel forts. p = P(X > 6) = 6 ˆp = e 6/ˆµ = e 6/ x µ e x/µ =... = e 6/µ TAMS65 - Fö2 36/53
38 Exempel forts. - Binomial Vi har att x = 14 är en observation av X Bin(n, p), där n = 66. p(k) = ( n k) p k (1 p) n k för k = 0, 1,..., n L(p) = ( ) n x p x (1 p) n x l(p) = ln L(p) = ln ( n x) + x ln p + (n x) ln(1 p) dl dp = x p n x 1 p = 0 ger p = x n (max?) ˆp = x n = TAMS65 - Fö2 37/53
39 ML-skattningarna i normalfördelningsfallet Vi har observationer x 1,..., x n av oberoende s.v. X 1,..., X n, där X i N(µ, σ). Fall 1: σ känd och µ okänd. Då är ˆµ = x. f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 L(µ) = n 1 σ (x i µ) 2 2π e 2σ 2 = 1 (σ 2 2π) 1 n e 2σ n/2 2 (x i µ) 2 Funktionen L(µ) uppnår maximum samtidigt som funktionen n (x i µ) 2 antar minimum, d.v.s. då µ = x (samma som MK). TAMS65 - Fö2 38/53
40 ML-skattningarna i normalfördelningsfallet Fall 2: σ okänd och µ känd. Då är ˆσ 2 = 1 n n (x i µ) 2. (Hemuppgift) Fall 3: Både µ och σ okända. Likelihoodfunktionen ges av [ 1 ] [ L(µ, σ) = σ 1 2π e (x 1 µ)2 /2σ2... σ 2π ( 1 ) nσ = n e 1 n 2σ 2 (x i µ) 2. 2π Vidare får vi l(µ, σ) = ln L(µ, σ) = konst n ln σ 1 2σ 2 e (xn µ)2 /2σ2 ] n (x i µ) 2. TAMS65 - Fö2 39/53
41 Både µ och σ okända Man kan visa att maximum antas i ett nollställe till de partiella derivatorna. ( l µ = 1 n n ) 2σ 2 2(x i µ)( 1) = 1 σ 2 x i nµ l σ = n σ + 1 n σ 3 (x i µ) 2 l µ = 0 l σ = 0 ger ˆµ = 1 n n x i = x (vvr) ˆσ 2 = 1 n n (x i x) 2 (ej vvr) TAMS65 - Fö2 40/53
42 E(ˆσ 2 ) = 1 n E( n (X i X ) 2 ) = / se ovan / = 1 n (n 1)σ2 = n 1 n σ2 d.v.s. om vi väljer n n 1 ˆσ2 =... = s 2 ok. n n 1 ˆσ2 som skattning så är den vvr. TAMS65 - Fö2 41/53
43 Korrigerad ML-skattning Korrigerad ML-skattning av σ 2 är den vanliga stickprovsvariansen s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2. Vid ett stickprov från normalfördelning har vi alltså skattningarna ˆµ = x och ˆσ 2 = s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2, då båda parametrarna µ och σ 2 är okända. TAMS65 - Fö2 42/53
44 Exempel - Normalfördelning En affär har bestämt bemanningen på lördagar så att man behöver sälja för kronor för att gå runt den enskilda lördagen. Man vill bedöma hur vanlig en försäljningssumma under är och även studera den genomsnittliga försälj- ningen för lördagar. Försäljningssiffror för 40 lördagar: TAMS65 - Fö2 43/53
45 Exempel forts.- Normalfördelning Modell: Försäljningen i tusentals kronor en slumpmässigt vald lördag är en s.v. X N(µ, σ). Här beskriver parametern µ den genomsnittliga försäljningen i det långa loppet. En annan intressant parameter är ( X µ p = P(X < 25000) = P < µ ) ( ) µ = Φ σ σ σ Vi behöver approximativa värden på µ och σ och de är ˆµ = x = 29323, ˆσ = s = 1 40 (x i x) 2 = TAMS65 - Fö2 44/53
46 Exempel forts.- Normalfördelning De approximativa värdena på µ och σ ger ( ) ˆµ ˆp = Φ = Φ( ) = 1 Φ(0.7835) 0.22 s Tolkning: Ungefär 22% av lördagarna ligger försäljningen under kronor. Den genomsnittliga försäljningen µ på lördagar är ungefär kronor. TAMS65 - Fö2 45/53
47 Hur säker information har vi om µ och σ 2 via våra punktskattningar? Vi behöver studera fördelningarna för de s.v. M och S 2. Vi har att M = X = 1 n ( ) σ X i N µ, n n S 2 = 1 n ( Xi X ) 2??? - se nästa föreläsning. n 1 Vi återkommer till detta i samband med intervallskattning. TAMS65 - Fö2 46/53
48 Flera stickprov från normalfördelning Antag nu att vi har flera stickprov från normalfördelning. Vi har observationer x 1,..., x m, där X 1,..., X m är oberoende och N(µ 1, σ) y 1,..., y n, där Y 1,..., Y n är oberoende och N(µ 2, σ) På liknande sätt som vid fallet med ett stickprov från normalfördelning kan man härleda skattningarna av de tre parametrarna. Använd a) och b) på sid. 34 så får man likelihoodfunktionen L(µ 1, µ 2, σ 2 ) = L(µ 1, σ 2 )L(µ 2, σ 2 ) = ( m ) ( 1 σ (x i µ 1 ) 2 n 2π e 2σ 2 ) 1 σ (y i µ 2 ) 2 2π e 2σ 2 TAMS65 - Fö2 47/53
49 Flera stickprov från normalfördelning Vid två stickprov från normalfördelningar med skilda väntevärden och en gemensam standardavvikelse har vi ML-skattningarna ˆµ 1 = x, ˆµ 2 = ȳ, samt den korrigerade σ 2 -skattningen där s 2 = (m 1)s2 1 + (n 1)s2 2 (m 1) + (n 1), s 2 1 = 1 m 1 m 1 (x i x) 2 och s 2 2 = 1 n 1 n (y i ȳ) 2, d.v.s. stickprovsvariansen för respektive stickprovet. Det här resultatet kan generaliseras till flera stickprov (se F-S). TAMS65 - Fö2 48/53
50 Medelfel för en skattning Vi har använt oss av variansen var( Θ) eller standardavvikelsen D( Θ) som ett precisionsmått för skattningen Θ. Ju mindre varians, desto bättre skattning. Problem Variansen och standardavvikelsen är ofta okända, då de kan bero på just den parameter som vi vill skatta (och kanske ytterligare andra okända parametrar). Definition En skattning av D( Θ) kallas medelfelet för Θ och betecknas d = d( Θ) TAMS65 - Fö2 49/53
51 Exempel Medelfel för en skattning N(µ, σ) Låt X 1,..., X n vara oberoende och N(µ, σ), där µ och σ okända. Vi vet att en skattning av µ är ˆµ = x. Denna skattning har standardavvikelsen D( M) = på σ som är okänt. σ n, vilken beror Vi skattar variansen σ 2 med s 2 och medelfelet blir d( M) = s n. TAMS65 - Fö2 50/53
52 Exempel Medelfel för en skattning Bin(n, p) Skatta p med ˆp = x n som är en observation från P = X n. var( P) = 1 n 2 var(x ) = 1 p(1 p) np(1 p) = n2 n D( P) = p(1 p) n och d( P) = ˆp(1 ˆp) n TAMS65 - Fö2 51/53
53 Appendix - Summor och Produkter Summor n x i = x 1 + x x n n ax i = ax 1 + ax ax n = a(x 1 + x x n ) = a n c = n c Produkter n x i = x 1 x 2... x n n (ax i ) = (ax 1 ) (ax 2 )... (ax n ) = a n x 1 x 2... x n = a n n n x i x i TAMS65 - Fö2 52/53
54 Appendix - Logaritmlagarna ln(a b) = ln a + ln b ln a b = ln a ln b ln a c = c ln a ln e a = a e ln b = b TAMS65 - Fö2 53/53
55
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 I Punktskattningar I Egenskaper I Väntevärdesriktig I E ektiv I Konsistent
Läs merTAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära
TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen TAMS65 - Mål Kursens övergripande mål är att ge
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merEnkel och multipel linjär regression
TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0
Läs merFöreläsning 7. Statistikens grunder.
Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merUppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar Anna Lindgren 25 november 2015 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/17 Matematisk statistik slumpens matematik
Läs merFöreläsning 8: Konfidensintervall
Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga
Läs merFöreläsning 12: Linjär regression
Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera
Läs merJesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014
Föreläsning 1. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Varför tillämpad statistik? Användningsområden i medicin, naturvetenskap
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 7
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012
Läs merFöreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar
Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 8. Statistik: Mer om maximum likelihood, minsta kvadrat. Linjär regression, medelfel, felfortplantning Jan Grandell & Timo Koski 24.09.2008 Jan Grandell
Läs merF8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17
1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016
Läs mer9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merMATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, Π; FMS 012 FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I
MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, Π; FMS 012 FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI JOAKIM LÜBECK Mars 2014 Matematikcentrum Matematisk statistik CENTRUM SCIENTIARUM MATHEMATICARUM FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merFÖRELÄSNING 7:
FÖRELÄSNING 7: 2016-05-10 LÄRANDEMÅL Normalfördelningen Standardnormalfördelning Centrala gränsvärdessatsen Konfidensintervall Konfidensnivå Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är känd Samla
Läs merKap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen
Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x
Läs merMer om konfidensintervall + repetition
1/14 Mer om konfidensintervall + repetition Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/2 2011 2/14 Dagens föreläsning Skattningar som slumpvariabler Väntevärde Varians
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 augusti 2008 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 11 Johan Lindström 13 november 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F11 1/25 Repetition Stickprov & Skattning Maximum likelihood
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF194 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAG 1 AUGUSTI 019 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFöreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall
Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F9: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett stickprov, x 1, x 2,...,
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merTeoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005
Teoretisk statistik Gunnar Englund Matematisk statistik KTH Vt 2005 Inledning Vi skall kortfattat behandla aspekter av teoretisk statistik där framför allt begreppet uttömmande (ibland kallad tillräcklig
Läs merPROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90/SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAG 5 JUNI 09 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret
Läs merFormler och tabeller till kursen MSG830
Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merPunktskattning 1 Ett exempel
Matematisk statistik för STS vt 004 004-05 - 04 Bengt Rosén Punktskattning Ett exempel Vid utveckling av nannoelektronik vill man väga en mycket liten "pryl", med vikt någonstans mellan 00 och 50 mg. "Prylen"
Läs merMatematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall
Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Anna Lindgren 7+8 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F11: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFöreläsning 11, FMSF45 Konfidensintervall
Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, FMSF45 Konfidensintervall Stas Volkov 2017-11-7 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F11: Konfidensintervall
Läs merFöreläsning 11, Matematisk statistik Π + E
Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Johan Lindström 27 Januari, 2015 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS012 F11 1/19 Repetition
Läs merF13 Regression och problemlösning
1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell
Läs merHärledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen
Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merDel I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski
FACIT för Förberedelseuppgifter: SF9 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 206 KL 4.00 9.00. Examinator: Timo Koski - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0. FACIT Problem
Läs merLärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015
Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Johan Jonasson Februari 2016 Följande begrepp och metoder ska behärskas väl, kunna förklaras och tillämpas. Direkta bevis av satser från kursen kommer inte på
Läs merNågra extra övningsuppgifter i Statistisk teori
Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merTMS136. Föreläsning 10
TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis
Läs merF10 Problemlösning och mer om konfidensintervall
1/13 F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 22/2 2013 2/13 Dagens föreläsning Problemlösning Skattningar Konfidensintervall
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merThomas Önskog 28/
Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta
Läs merf(x) = 2 x2, 1 < x < 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90,SF907,SF908,SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK TORSDAGEN DEN 7:E JUNI 0 KL 4.00 9.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 7 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och
Läs mer1. En kortlek består av 52 kort, med fyra färger och 13 valörer i varje färg.
Tentamenskrivning för TMS63, Matematisk Statistik. Onsdag fm den 1 juni, 16, Eklandagatan 86. Examinator: Marina Axelson-Fisk. Tel: 7-88113. Tillåtna hjälpmedel: typgodkänd miniräknare, tabell- och formelhäfte
Läs merKap 3: Diskreta fördelningar
Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 TILLÄMPAD STATISTIK, ONSDAGEN DEN 7:E APRIL 09 KL 8.00 3.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 8649 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 augusti 218, klockan 8.-12. Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merF9 Konfidensintervall
1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att
Läs merSannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE31 Sannolikhet, statistik och risk 218-5-31 kl. 8:3-13:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merTentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp
Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.
Läs merTAMS79 / TAMS65 - vt TAMS79 / TAMS65 - vt Formel- och tabellsamling i matematisk statistik. TAMS79 / TAMS65 - vt 2013.
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik c Martin Singull 2 Innehåll 3.3 Tukey s metod för parvisa jämförelser.................... 14 1 Sannolikhetslära 5 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE30 Sannolikhet, statistik och risk 207-08-5 kl. 8:30-3:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 03-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs mer(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merESS011: Matematisk statistik och signalbehandling Tid: 14:00-18:00, Datum:
ESS0: Matematisk statistik och signalbehandling Tid: 4:00-8:00, Datum: 20-0-2 Examinatorer: José Sánchez och Bill Karlström Jour: Bill Karlström, tel. 070 624 44 88. José Sánchez, tel. 03 772 53 77. Hjälpmedel:
Läs merFöreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika
Läs merTAMS65 - Föreläsning 8 Test av fördelning χ 2 -test
TAMS65 - Föreläsning 8 Test av fördelning χ 2 -test Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö8
Läs merKapitel 9 Egenskaper hos punktskattare
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 9 Egenskaper hos punktskattare 1 Egenskaper hos punktskattare En skattare är en funktion av stickprovet och således en slumpvariabel. En bedömning av kvaliteten
Läs merJörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 8 Binomial-, hypergeometrisk- och Poissonfördelning Exakta egenskaper Approximativa egenskaper Jörgen Säve-Söderbergh Binomialfördelningen
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merSF1901: Medelfel, felfortplantning
SF1901: Medelfel, felfortplantning Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2011 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 15.09.2011 1 / 14 Felfortplantning Felfortplantning kallas propagation of error
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse
Läs merTenta i Statistisk analys, 15 december 2004
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-10-12 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merFöreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.
Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga
Läs merTentamen MVE300 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE300 Sannolikhet, statistik och risk 205-08-8 kl. 8.30-3.30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Johan Jonasson, telefon: 0706-985223 03-7723546 Hjälpmedel:
Läs merMatematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering
Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs mer