TAMS79 / TAMS65 - vt TAMS79 / TAMS65 - vt Formel- och tabellsamling i matematisk statistik. TAMS79 / TAMS65 - vt 2013.

Transkript

1 Formel- och tabellsamling i matematisk statistik c Martin Singull 2

2 Innehåll 3.3 Tukey s metod för parvisa jämförelser Sannolikhetslära Några diskreta fördelningar Några kontinuerliga fördelningar Variansanalys Enfaktorförsök Fix Enfaktorförsök Varianskomponentmodell Kovarians och Korrelation Linjärkombinationer av slumpvariabler Genererande funktioner Centrala gränsvärdessatsen Approximationer mellan olika fördelningar Samband mellan betingade och obetingade väntevärden och varianser Stokastisk vektor Markovkedjor och köteori Stationära fördelning Födelsedöds-process Utnyttjande M/M/1 system M/M/1/K system M/M/c system Erlang formel Randomiserad Block Design Tvåfaktorförsök Romersk kvadrat Linjär regression Multipel regression Enkel linjär regression χ 2 -test Fackinledning med k fack Homogenitetstest Tabeller Normalfördelning t-fördelning χ 2 -fördelning F-fördelning Studentized Range Statistic Tukey Statistisk teori Ett stickprov Binomialfördelning Poissonfördelning Två stickprov

3 1 Sannolikhetslära 1.2 Några kontinuerliga fördelningar 1.1 Några diskreta fördelningar Binomialfördelning X Bin(n, p) ( ) n p X (k) = p k (1 p) n k, k k = 0, 1,..., n E[X] = np, var(x) = np(1 p), G X (s) = (1 + p(s 1)) n Poissonfördelning Hypergeometriskfördelning X P o(µ) p X (k) = µk k! e µ, k = 0, 1, 2,... E[X] = µ, var(x) = µ, G X (s) = e (s 1)µ X Hyp(N, n, p) ( ) ( ) Np N(1 p) k n k p X (k) = ( ), k = 0, 1,..., n N E[X] = np, Geometrisk fördelning n var(x) = N n np(1 p) N 1 X Ge(p) p X (k) = (1 p) k p, k = 0, 1, 2,... E[X] = 1 p p, var(x) = 1 p p, G p 2 X (s) = 1 (1 p)s För första-gången-fördelning X F fg(p) p X (k) = (1 p) k 1 p, k = 1, 2, 3... E[X] = 1 p, var(x) = 1 p sp, G p 2 X (s) = 1 (1 p)s Negativ Binomialfördelning E[X] = ( k + r 1 p X (k) = r 1 r(1 p), var(x) = p X NB(r, p) ) p r (1 p) k r k = 0, 1, 2,... ( r(1 p), G X (s) = p p 1 (1 p)s ) r Likformig (rektangulär) fördelning på intervallet (a,b) E[X] = a + b 2 Exponentialfördelning X U(a, b) f X (x) = 1 b a, a x b (b a)2, var(x) =, M X (p) = epb e pa 12 p(b a) X Exp(λ), där λ betecknar intensiteten. Ibland används väntevärdet µ = 1 som parameter. λ Normalfördelning f X (x) = λe λx, x 0 E[X] = 1 λ, var(x) = 1 λ, M X(p) = λ 2 λ p, λ > p. X N(µ, σ 2 ) Observera att det är variansen var(x) = σ 2 som är angiven här och i resten av formelsamlingen när beteckningen för normalfördelning används. f X (x) = 1 } (x µ)2 exp {, < x < + 2πσ 2σ 2 χ 2 -fördelning E[X] = µ, var(x) = σ 2, M X (p) = exp {pµ + p2 Y χ 2 (n) Uppkomst: Om X 1,..., X n är oberoende, var och en N(0, 1), gäller att Y = X X 2 n får en χ 2 fördelning med n frihetsgrader. där Γ( ) är gammafunktionen f Y (x) = x(n/2) 1 e x/2 2 (n/2) Γ(n/2), x 0, Γ(c) = 0 x c 1 e x dx, där c > 0. E[Y ] = n, var(y ) = 2n, M Y (p) = 2 σ2 } 1 (1 p) n/2, p < 1 5 6

4 t-fördelning Z t(n) Uppkomst: Om X N(0, 1) och Y χ 2 (n) samt X och Y är oberoende, så gäller att Z = X får en t-fördelning med n frihetsgrader. Y/n Γ ( ) n+1 2 f Z (x) = ( nπγ n ) ( ) x 2 (n+1)/2, < x < + n 1.4 Linjärkombinationer av slumpvariabler 1. Generellt gäller att: E[a 1 X a n X n + b] = a 1 E[X 1 ] a n E[X n ] + b 2. För oberoende slumpvariabler X 1,..., X n gäller att var(a 1 X a n X n + b) = a 2 1 var(x 1 ) a 2 n var(x n ) F - fördelning Y F (n 1, n 2 ) Uppkomst: Om X 1 χ 2 (n 1 ) och X 2 χ 2 (n 2 ) samt X 1 och X 2 är oberoende, så gäller att Y = X 1/n 1 får en F -fördelning med n 1 och n 2 frihetsgrader. X 2 /n 2 Gammafördelning Γ ( ) ( ) n1/2 n 1+n 2 n 1 2 n 2 x (n 1/2) 1 f Y (x) = Γ ( ) ( n 1 2 Γ n2 ) ( ), x 0 (n1+n2)/2 n 1 2 n 2 x + 1 Y Γ(α, λ) Uppkomst: Om X 1,..., X n är oberoende, var och en Exp(λ), så blir Y = X X n gammafördelad med parametrarna n och λ. f Y (x) = λ(λx)α 1 e λx, x 0 Γ(α) Weibullfördelning f X (x) = c ( x ) c 1 e (x/a) c, x 0 a a ( ) ( ) ( ( )) ) 2 c + 1 c + 2 c + 1 E[X] = aγ, var(x) = a (Γ 2 Γ c c c 3. Generellt gäller att: var(a 1 X a n X n + b) = 1.5 Genererande funktioner n a 2 j var(x j ) + 2 j=1 1 j<k n a j a k cov(x j, X k ). En diskret icke-negativ, heltalsvärd slumpvariabel X har sannolikhetsgenererande funktion G X (s) = E[s X ] = s k p X (k). En kontinuerlig slumpvariabel X har momentgenererande funktion M X (p) = E[e px ] = k=0 e px f X (x)dx. Om (X j ) j=1 är oberoende och likafördelade diskreta icke-negativa heltalsvärda slumpvariabler, samma fördelning som X, och Z är en diskret icke negativ, heltalsvärd slumpvariabel, och Y = X X Z, gäller: G Y (s) = G Z (G X (s)). Om (X j ) j=1 är oberoende likafördelade slumpvariabler, samma fördelning som X och Z är en diskret icke negativ, heltalsvärd slumpvariabel, och Y = X X Z, gäller: M Y (s) = G Z (M X (s)). 1.3 Kovarians och Korrelation Kovarians: cov(x, Y ) = E[(X µ X )(Y µ Y )], där µ X = E[X] och µ Y = E[Y ] Korrelation: ρ(x, Y ) = cov(x, Y ) σ X σ Y, där σ 2 X = var(x) och σ2 Y = var(y ) Centrala gränsvärdessatsen Låt X 1,..., X n vara oberoende och likafördelade slumpvariabler, var och en med väntevärde E[X] = µ och varians var(x) = σ 2. Låt X n = 1 n (X X n ). Då gäller, approximativt, för stora n att 8

5 n( Xn µ) N(0, 1), σ ) X n N (µ, σ2, d.v.s., var( n X) = σ2 n, ( n j=1 X n ) j N(nµ, nσ 2 ), d.v.s., var j=1 X j = nσ 2. Prediktering: E[(Y a bx) 2 ] har minimum lika med var(y )(1 ρ 2 ) för Normalfördelning b = cov(x, Y ) var(x), a = E[Y ] b E[X]. Observera att det är väntevärde och varians som parametrar i normalfördelningen. 1.7 Approximationer mellan olika fördelningar X Hyp(N, n, p) och n 1 X Bin(n, p) N 10 X Hyp(N, n, p) och N nnp(1 N 1 X N ( np, N nnp(1, N 1 d.v.s., var(x) = N n np(1 p) N 1 X Bin(n, p) och n 10, p 0.1 X P o(np) X Bin(n, p) och np(1 p) 10 X N(np, np(1 p)), d.v.s., var(x) = np(1 p) X P o(µ) och µ 15 X N(µ, µ), d.v.s., var(x) = µ. Observera att det är väntevärde och varians som parametrar i normalfördelningen. 1.8 Samband mellan betingade och obetingade väntevärden och varianser E[X] = E Y [E[X Y ]], var(x) = E Y [var(x Y )] + var Y (E[X Y ]). 1.9 Stokastisk vektor Låt µ X och Σ X var väntevärdesvektorn och kovariansmatrisen för en stokastisk vektor X. Då gäller följande räknelagar: Y = AX + b ger µ Y = Aµ X + b och Σ Y = AΣ X A. ( n ) Specialfall: var j=1 a jx j = var (a X) = a Σ X a. En stokastiskvektor X = (X 1,..., X n ) som har täthetsfunktionen { 1 f X (x) = exp 1 } (2π) n/2 Σ 1/2 2 (x µ) Σ 1 (x µ), där x = (x 1,..., x n ), sägs vara en normalfördelad stokastiskvektor och betecknas X N n (µ, Σ) med väntevärdesvektor µ och kovariansmatris Σ. En normalfördelad stokastiskvektor har en momentgenererandefunktion som ges av { M X (p) = exp p µ + 1 } 2 p Σp. 2 Markovkedjor och köteori 2.1 Stationära fördelning För tidshomogen Markovkedja i diskret tid, låt p ij = p(x(n + 1) = j X(n) = i) och p 00 p 01 p p 10 p 11 p P = p 20 p 21 p Låt π = (π 0, π 1, π 2,...) beteckna stationära fördelning, sådan att π(i P) = 0. För tidshomogen ergodisk Markovkedja i kontinuerlig tid, låt ν i beteckna intensiteten för processen att lämna tillstånd i och låt (q ij ) ij beteckna transitionssannolikheterna för lagrad diskret tid Markovkedjan. Låt { νi q γ ij = ij j i ν i j = i 9 10

6 och Det följer att γ 00 γ 01 γ γ 10 γ 11 γ Γ = γ 20 γ 21 γ πγ = 0 och den stationära fördelningen uppfyller: π n = Födelsedöds-process n=0 En födelsedöds-process är en process där γ ij = 0 för i j > 1. För en födelsedöds process, låt λ i = γ i,i+1 och µ i = γ i,i 1. Stationära fördelningen π uppfyller: 2.3 Utnyttjande π n = λ 0λ 1... λ n 1 π 0. µ 1 µ 2... µ n För ett M/M/c kösystem, låt λ beteckna ankomstintensiteten och µ betjäningsintensiteten för en server. Det finns c server. Utnyttjande ρ definieras som ρ = λ cµ. Little s sats Låt N beteckna antalet kunder i systemet, λ ankomstsintensiteten och T den totala tiden att en kund finns i systemet. Little s sats är: E[N] = λ E[T ]. Låt N q antalet som står i kön och W väntetiden innan betjäning Little s sats ger: E[N q ] = λ E[W ]. 2.5 M/M/1/K system För en M/M/1/K kö och a = λ ges sannolikheten att kön är full av formeln µ 2.6 M/M/c system Fördelningsfunktion för W (kötid) är (1 a)a K, a 1. 1 ak+1 F W (t) = p(w t) = 1 1 ρ e cµ(1 ρ)t, där π c = p(n = c) är från stationärfördelning. 2.7 Erlang formel För en M/M/c kö med ankomstintensitet λ och betjäningsintensitet µ för en betjäning, låt a = λ. Sannolikheten att alla betjäningar är upptagna när en kund anländer givs av µ Erlang c formel: C(c, a) = π c 1 ρ = 1 a c 1 1 ρ c! c 1. a j 1 π c j=0 + ac j! c! 1 ρ För en M/M/c/c kö, med λ ankomstintensitet och µ betjäningsintensitet för en betjäning och a = λ, Erlang b formel ger sannolikheten att alla betjäningar är upptagna: µ a c /c! B(c, a) = c j=0 aj /j!. 2.4 M/M/1 system Fördelningsfunktioner för W (väntetid) och T (total tid) är F W (t) = p(w t) = 1 ρe µ(1 ρ)t, t 0 och F T (t) = p(t t) = 1 e µ(1 ρ)t, t

7 3 Statistisk teori 3.1 Ett stickprov och ( X Ȳ ) (µ 1 µ 2 ) t(m + n 2). S 1 m + 1 n Låt (X 1,..., X n ) vara ett slumpmässigt stickprov, X j har samma fördelning som X, med väntevärde E[X] = µ och varians var(x) = σ 2 för j = 1,..., n. Stickprovsmedelvärdet X := 1 n n j=1 X j skattar väntevärdet µ. Stickprovsvariansen S 2 := 1 n j=1 n 1 (X j X n ) 2 skattar variansen σ 2 om µ är okänt, i annat fall används σ 2 = 1 n n j=1 (X j µ) 2 som skattning av variansen σ 2. Om X N(µ, σ 2 ), d.v.s., var(x) = σ 2, gäller följande: 1. n( X µ) N(0, 1), σ 2. (n 1)S 2 n j=1 = j X n ) 2 χ 2 (n 1), σ 2 σ 2 3. n( X µ) t(n 1). S 3.2 Två stickprov Låt (X 1,..., X m ) vara ett slumpmässigt stickprov från X N(µ 1, σ1) 2 och (Y 1,..., Y n ) ett slumpmässigt stickprov från Y N(µ 2, σ2). 2 De båda stickproven antas vara oberoende. Låt S1 2 och S2 2 vara respektive stickprovsvarianser. Följande gäller, 1. S1/σ F (m 1, n 1), S2/σ Tukey s metod för parvisa jämförelser Antag modellen Y ij = µ i +ε ij, där ε ij N(0, σ 2 ) oberoende, i = 1,..., a och j = 1,..., n. Då ges de ( a 2) konfidensintervallen för µi µ k av ȳ i. ȳ k. q α (a, f) s, n där s 2 är en skattning av σ 2 med f frihetsgrader. Intervallen har den simultana konfidensgraden exakt 1 α 4 Variansanalys 4.1 Enfaktorförsök Fix Låt y ij vara observationer från Y ij = µ i + ε ij, där ε ij N(0, σ 2 ) oberoende, i = 1,..., a och j = 1,..., n i. Låt N = i n i. Då gäller kvadratsummeuppdelningen SS T OT = SS T REAT + SS E, SS T OT = ij SS T REAT = i E(SS T REAT ) = (a 1)σ 2 + i SS E = ij E(SS E ) = (N a)σ 2. (y ij ȳ.. ) 2, df = N 1, n i (ȳ i. ȳ.. ) 2, df = a 1, n i τ 2 i, (y ij ȳ i. ) 2, df = N a, 2. om σ 2 1 = σ 2 2 = σ 2, så används den sammanvägda σ 2 - skattningen S 2 = (m 1)S2 1 + (n 1)S 2 2 (m 1) + (n 1) m j=1 = (X j X) 2 + n j=1 (Y j Ȳ )2. m + n 2 Det gäller att: (m + n 2)S 2 σ 2 χ 2 (m + n 2) 13 14

8 4.4 Tvåfaktorförsök 4.2 Enfaktorförsök Varianskomponentmodell Låt y ijk vara observationer från Y ijk = µ + τ i + β j + (τβ) ij + ε ijk, där ε ijk N(0, σ 2 ) oberoende, i = 1,..., a, j = 1,..., b, k = 1,..., n och N = abn. Då gäller att Låt y ij vara observationer från Y ij = µ + τ i + ε ij där τ i N(0, σ 2 τ) och ε ij N(0, σ 2 ) oberoende, i = 1,..., a och j = 1,..., n. Då gäller att SS T OT = SS T REAT + SS E, SS T REAT = n(y i. y.. ) 2, df = a 1, i E(SS T REAT ) = (a 1)(nστ 2 + σ 2 ), SS E = ij E(SS E ) = a(n 1)σ Randomiserad Block Design (y ij y i. ) 2, df = a(n 1), Låt y ij vara observationer från Y ij = µ + τ i + β j + ε ij, där ε ij N(0, σ 2 ) oberoende, i = 1,..., a och j = 1,..., b. Då gäller att SS T OT = SS A + SS B + SS E, SS T OT = ij (y ij ȳ.. ) 2, df = ab 1, SS A = b i SS B = a j SS E = ij (ȳ i. ȳ.. ) 2, df = a 1, (ȳ.j ȳ.. ) 2, df = b 1, (y ij ȳ i. ȳ.j + ȳ.. ) 2, df = (a 1)(b 1). SS T OT = SS A + SS B + SS AB + SS E, SS T OT = (y ijk ȳ... ) 2, ijk df = N 1, SS A = b n(ȳ i.. ȳ... ) 2, i df = a 1, SS B = a n(ȳ.j. ȳ... ) 2, j df = b 1, SS AB = ij SS E = ijk 4.5 Romersk kvadrat (ȳ ij. ȳ i.. ȳ.j. + ȳ... ) 2, df = (a 1)(b 1), (y ijk ȳ ij. ) 2, df = ab(n 1). Givet en Romersk kvadrat p p med observationer y ij ges kvadratsummeuppdelningen av SS T OT = (y ij ȳ.. ) 2, ij df = p 2 1, SS A = p (ȳ i. ȳ.. ) 2, i df = p 1, SS B = p i SS C = p k (ȳ.j ȳ.. ) 2, df = p 1, (ȳ k ȳ.. ) 2, df = p 1, SS E = ij (y ij ȳ i. ȳ.j ȳ k + 2ȳ.. ) 2, df = (p 1)(p 2)

9 5 Linjär regression Kvadratsummeuppdelning Låt ȳ = 1 n n j=1 y j. Det gäller att 5.1 Multipel regression Modell Låt Y = (Y 1,..., Y n ) vara en normalfördelad stokastisk vektor med väntevärde Xβ och kovariansmatris σ 2 I, där X : n (k + 1) är en designmatris och β = (β 0,..., β k ) och σ 2 är okända parametrar. Modellen ges av där ε N n (0, σ 2 I). Y = Xβ + ε, Skattningar De okända parametrarna β och σ 2 skattas med ˆβ = (X X) 1 X Y N k (β, σ 2 (X X) 1 ), ˆσ 2 = s 2 SS E = n (k + 1), där SS E är residualkvadratsumman SS E = n j=1 (y j ˆµ j ) 2 med n (k + 1) frihetsgrader. Det skattade regressionsuttrycket ges av ˆµ j = ŷ(x j1,..., x jk ) = ˆβ 0 + ˆβ 1 x j ˆβ k x jk. Konfidensintervall Låt Y 0 = u β + ε 0, där u = (1 u 1... u k ) och ε 0 N(0, σ 2 ). Väntevärdet µ 0 = u β skattas med ˆµ 0 = u β N (u β, σ 2 u (X X) 1 u). Observera ( att det är väntevärde och varians som parametrar i normalfördelningen, d.v.s., var u β ) = σ 2 u (X X) 1 u. Prediktering Predikteringsfelet ges av Y 0 ˆµ 0 = Y 0 u β N (0, σ 2 (1 + u (X X) 1 u)). n SS T OT = (y j ȳ) 2, df = n 1, j=1 SS T OT = SS R + SS E, n SS R = (ŷ j ȳ) 2, df = k, SS E = j=1 n (y j ŷ j ) 2, df = n (k + 1). j=1 F -test av alla förklaringsvariabler H 0 : β 1 = = β k = 0 (alla förklaringsvariablerna är meningslösa) mot H 1 : minst ett β i 0 (minst en förklaringsvariabel gör nytta.) SS R /k Teststorhet: V = SS E /(n (k + 1)) F (k, n (k + 1)) om H 0 är sann. F -test för tillägg av p förklarande variabler Modell 1: Y = β 0 + β 1 x β k x k + ε Modell 2: Y = β 0 + β 1 x β k+p x k+p + ε H 0 : β k+1 =... = β k+p = 0 (nya förklaringsvariablerna meningslösa) mot H 1 : minst en av β k+1,..., β k+p är 0. (SS (1) E SS(2) SS (2) E Teststorhet: W = )/p E /(n (k + p + 1)) F (p, n (k + p + 1)) under H 0, där SS (i) är residualkvadratsumman för modell i = 1, 2. E Observera ( att det är väntevärde och varians som parametrar i normalfördelningen, d.v.s., var Y 0 u β ) = σ 2 (1 + u (X X) 1 u)

10 5.2 Enkel linjär regression 6 χ 2 -test Modell Vid enkel linjär regression ges modellen av 6.1 Fackinledning med k fack Y i = β 0 + β 1 x i + ε i, där ε i N(0, σ 2 ) i = 1,..., n och oberoende. Skattningar ( ) ˆβ 1 = i(x i x)y i i (x i x) N σ 2 β 2 1, i (x, i x) ( 2 )) ˆβ 0 = Y ˆβ 1 x N (β 0, σ 2 1 n + x 2 j (x, j x) 2 σ 2 = S 2 = 1 (Y j n 2 ˆβ 0 ˆβ 1 x j ) 2, j (n 2)S 2 (Yj = ˆβ 0 ˆβ 1 x j ) 2 χ 2 (n 2). σ 2 σ 2 De stokastiska variablerna Y, ˆβ 1 och S 2 är oberoende. Kvadratsummeuppdelning (y j y) 2 = ˆβ 1 2 (x j x) 2 + (y j ˆβ 0 ˆβ 1 x j ) 2 j j Konfidensintervall Konfidensintervall för µ 0 = β 0 + β 1 x 0 ges av ˆβ 0 + ˆβ 1 1 x 0 t s n + (x 0 x) 2 j (x j x). 2 j 1. H 0 : Fördelningsfunktioner är F 0 (x) (inga okänd parametrar). Låt p i = F 0 (a i ) F 0 (a i 1 ) och N i antalet x i i intervallet (a i 1, a i ]. Teststorhet: T = k (N i np i ) 2 i=1 χ 2 (k 1)-fördelad under H 0. np i 2. H 0 : Given parametrisk fördelningsklass med fördelningsfunktion F (x). Teststorheten: T = k i=1 (N i np i ) 2, np i där p i beräknas som i 1. sedan parametrarna i F (x) har skattats. T är approximativt χ 2 (k 1 r)-fördelad under H 0 där r = antalet skattade parametrar i F (x). För både 1. och 2. krävs att alla np i Homogenitetstest Datamaterial 1 N 11 N N 1k n 1 observationer 2 N 21 N N 2k n 2 observationer..... r N r1 N r2... N rk n r observationer Summa N 1 N 2... N k n där n = r i=1 n i, N j = r i=1 N ij, ˆp j = Nj n. H 0 : Datamaterialen är homogena, d.v.s., de kan anses komma från samma fördelning. Prediktering Prognosintervall (prediktionsintervall) för Y 0 = β 0 + β 1 x 0 + ɛ ges av ˆβ 0 + ˆβ 1 x 0 t s n + (x 0 x) 2 j (x j x) 2. Teststorhet: T = r k (N ij n iˆp j ) 2 i=1 j=1 χ 2 ((r 1)(k 1))-fördelad under H 0. n iˆp j Det krävs att alla n iˆp j

11 7 Tabeller 7.2 t-fördelning 7.1 Normalfördelning Tabell för F (x) = P (X x), där X t(f). För F (x) < 0.5, använd att F (x) = 1 F ( x). Tabell för Φ(x) = P (X x), där X N(0, 1). För x < 0, använd att Φ(x) = 1 Φ( x). x F (x) f

12 7.3 χ 2 -fördelning Tabell för F (x) = P (X x), där X χ 2 (f). Tabell för F (x) = P (X x), där X χ 2 (f). F (x) f F (x) f

13 7.4 F-fördelning Tabell för F (x) = P (X x), där X F (, r 2 ). Tabell för F (x) = P (X x), där X F (, r 2 ). För F (x) < 0.5 utnyttjar man att 1 X F (r 2, ). F (x) = 0.90 r r F (x) = 0.95 r r

14 Tabell för F (x) = P (X x), där X F (, r 2 ). F (x) = Tabell för F (x) = P (X x), där X F (, r 2 ). F (x) = 0.99 r r r r

15 Tabell för F (x) = P (X x), där X F (, r 2 ). F (x) = Tabell för F (x) = P (X x), där X F (, r 2 ). F (x) = r r r r

16 7.5 Studentized Range Statistic Tukey q 0.05 (a, f) Tabell för q(a, f), där a är antalet parametrar och f är frihetsgraderna för s 2. q 0.10 (a, f) a f f a f f

17 q 0.01 (a, f) 7.6 Binomialfördelning a f f Tabell för P (X k) där X Bin(n, p). För p > 0.5, använd att P (X k) = P (Y n k) där Y Bin(n, 1 p). p n k