Minstakvadratmetoden
|
|
- Stina Öberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Institutionen för matematik KTH Minstakvadratmetoden Komplettering till den linjära algebran i kursen 5B6 b A b o A o V Eike Petermann/HT
2
3 Man ville bestämma ett approimativt värde på tyngdaccelerationen g En sten slängdes från en hög byggnad och man noterade med hjälp av fotoceller placerade på höjderna 5,,, och 4 meter över marken när stenen passerade dessa nivåer. Mätresultaten blev y, nivå i meter 4 5 t, tid i sek Man bedömde att luftmotståndet inte hade någon nämnvärd inverkan på stenens rörelse varför man enligt Newtons lagar har sambandet y y + v t gt / mellan stenens höjd över marken y [m] och falltiden t [s]. Konstanten y är då stenens starthöjd, v [m/s] dess initiala hastighet i lodled och g [m/s ] den sökta tyngdaccelerationen. Dessa tre okända storheter borde då enligt mätresultaten, om dessa varit matematiskt eakta, uppfylla sambanden y +.4 v.4 / g 4 y +.6 v.6 / g y +. v. / g y +.67 v.67 / g y +.85 v.85 / g 5 Nu är mätvärdena förstås inte eakta vilket gör det osannolikt att systemet, som ju har flera ekvationer än obekanta, har några lösningar. En kalkyl, som inte redovisas här, visar också att eempelvis de värden på y, v och g som satisfierar de första tre sambanden inte satisfierar de två sista. Rimligt är då att man istället letar efter värden på y, v och g som insatta i ekvationerna ger vänsterleden värden som så litet som möjligt avviker från motsvarande högerled. Vad som menas med så litet som möjligt måste då förstås först preciseras. Flera tänkbara alternativ finns, till eempel att man bestämmer y, v och g så att den största av skillnaderna mellan höger och vänster led till beloppet är så liten som möjligt, eller summan av dessa skillnaders belopp är så liten som möjligt,. Minstakvadratmetoden eller summan av skillnadernas kvadrater är så liten som möjligt... Ett eempel Man har i alla dessa fall att lösa ett etremproblem. Vilket fall man väljer påverkar förstås väsentligt det räknearbete som behöver göras för att bestämma de bästa värdena på y, v och g. Det visar sig att det sistnämnda av alternativen ger ett etremproblem som är förhållandevis lätt att lösa och vi granskar den metoden, den s.k. minstakvadtratmetoden, närmare här. Litet terminologi Man säger att man minstakvadratanpassar polynomet y y + v t gt / till de uppmätta värdena. Värdena y, v och g kallas en minstakvadratlösning till systemet [] (eller en lösning till [] i minstakvadratmening). Vi tillämpar först metoden på eemplet ovan, men för att de speciella koefficienterna inte skall skymma sikten för förfarandets allmängiltighet, formulerar vi om problemet i termer av lösning av linjära ekvationssystem med hjälp av matrisräkning. Normalekvationen På matrisform kan systemet [] skrivas A b.4.4 /.6.6 där A / y.. /, v g och b / / Vi vill minimera funktionen F() A b. Ett analogt geometriskt problem antyds i figuren här bredvid Det gäller att minimera avståndet från det plan, som utgör värdemängden V till avbildningen y A, till en punkt b som inte ligger i planet. [] För minimipunkten skulle i så fall vektorn mellan b och den närmaste punkten A på värdemängden, vara vinkelrät mot varje vektor i denna värdemängd. b A o A o b V Kolonnvektorer i matrisen A. De, liksom A, är vinkelräta mot A b. o o Minimalvärdet av F kvadraten på minsta avståndet d från b till värdemängden för avbildningen y A b d 4 5 y A. V Värdemängden till den linjära avbildningen y A Eftersom V spänns upp av kolonnvektorerna i matrisen A, så måste skalärprodukten av var och en av dem med A b vara. Men kolonnerna i A är identiska med raderna i transponatet A T, så det nyss sagda innebär att A T (A b), dvs A T A A T b Minimipunkten måste alltså satisfiera detta ekvationssystem problemets så kallade normalekvation. För de fall där A T A är en inverterbar matris så gäller (A T A) A T b.
4 Vi leds alltså till påståendet Sats (Om minstakvadratanpassning) Om är minipunkt till funktionen F() A b, där A är en avbildning R n R m, så satisfierar normalekvationen A T A A T b I eemplet i avsnitt. är A.4.4 /.6.6 /.. / / / och b Detta ger (räknehjälpmedel som räknedosa eller matematikprogram som MatLab, Maple, Matematica underlättar!) A T A och A T b 5.75, Dvs normalekvationen är y v g 5.75, med lösning y v g vilket ger närmevärdet g 9.96 m/s för tyngdaccelerationen. Samtidigt avläser man att stenens höjd över marken i starten var 4. m och dess uppåtriktade hastighet i startögonblicket.98 m/s *. Härledning av det allmänna fallet Resonemanget ovan, som ledde till normalekvationen och sats kan verka allmängiltigt, men man bör notera att det byggde på en figur där b är en punkt i R, medan b i räkneeemplet ligger i R 5, så påståendet är inte självklart riktigt. Generaliseringen till det helt allmänna fallet, då b ligger i R m och i R n är ännu mindre självklar. I detta avsnitt visas att sats är sann också i dessa fall. Eftersom det beviset inte kan bygga på någon figur, måste det göras med enbart algebraiska och/eller analytiska metoder.. Några hjälpsamma observationer Först en variant av kvadreringsregeln Hjälpsats Om u och v är kolonnvektorer (dvs n -matriser) u u u u m och v v v v m så är u + v u + v + u T v. Bevis Man har nämligen att u + v (u + v) T (u + v) (u T + v T )(u + v) u T u + u T v + v T u + v T v. Men alla dessa produkter är skalärer ( -matriser) varför v T u (v T u) T u T v och u T u u, v T v v, alltså u + v u + v + u T v. För stenens höjd som funktion av falltiden får man då sambandet Sedan en observation om nollställena till A T A y t 4.98t Följande diagram visar grafen för denna funktion tillsammans med mätpunkterna Hjälpsats A T A om och endast om A. Ett mått på anpassningens godhet är det så kallade kvadratiska medelfelet A b / m, där m är antalet ekvationer i systemet,vilket här kan Bevis Man har kedjan av implikationer beräknas till.6. Anmärkning Det kvadratiska medelfelet kan tolkas statistiskt. Om man antar Påståendet är självklart sant om A T (och därmed även A) är inverterbar, men poängen är att detta är riktigt för godtyckliga matriser A av godtyckligt format. A A T A A T A T A att de mätfel man gjort, har orsakats av många små, sinsemellan oberoende störningar, så är sannolikheten för att dvs A T A A. komponenterna i avviker från de korrekta med mindre än medelfelet ungefär 68%. Mätningarna ovan skulle alltså innebära att det korrekta värdet av tyngdaccelerationen g med ca 68%s sannolikhet ligger i intervallet 9.96 ±. [m/s ]
5 .. Härledningen Hjälpsats Vi visar följande precisering av satsen ovan Den kvadratiska matrisen A T A är inverterbar om och endast om kolonnvektorerna i A är linjärt oberoende. Sats (Minsta-kvadrat-metoden) Bevis Den kvadratiska matrisen A T A är inverterbar Ekvationssystemet A T A För varje matris A och kolonnvektor b med samma antal rader som A har har enbart den triviala lösningen Hjälpsats Ekvationssystemet A normalekvationen har enbart den triviala lösningen Kolonnvektorerna i A är linjärt oberoende. (minst) en lösning. A T A A T b För varje sådan lösning gäller att A b A b, dvs är minimipunkt till funktionen F() A b. Bevis. Att normalekvationen alltid har lösningar kan inses genom ett indirekt resonemang Anta att systemet inte har några lösningar. I så fall måste det finnas någon linjär kombination av raderna i matrisen A T A som är identiskt, dvs c T A T A för någon kolonnvektor c, För minstakvadratmetoden innebär detta Sats (Entydighet hos minimipunkten) medan samma linjära kombination av raderna i högerledet b är, dvs c T A T b. ( Sats 4 (Om polynomanpassning) Kolonnvektorerna i matrisen Men eftersom c T A T A (A T Ac) T, har vi enligt hjälpsatsen att Ac och därmed också c T A T. Detta ger motsägelsen c T A T b antagandet att systemet inte har några lösningar är alltså felaktigt.. Låt nu vara en godtycklig lösning till normalekvationen. Sätter vi + h, där h är en godtycklig vektor (av samma dimension som ) så är F() A( + h) b (A b) + Ah Sätt u A b och v Ah i hjälpsatsen. A b + Ah + h T A T (A b) Men A T (A b). A b + Ah A b F( )..4 När finns det bara en minimipunkt? I räkneeemplet ovan är matrisen A T A inverterbar varför normalekvationen har en enda lösning. Ett rätt enkelt ekvivalent villkor, som dessutom i praktiken ofta är uppfyllt ges av Funktionen F() A b, har en enda minimipunkt om och endast om kolonnvektorerna i A är linjärt oberoende. Minimipunkten ges av (A T A) A T b. En viktig typ av problem, där minimipunkten alltid är unik, är när man minstakvadratanpassar ett polynom av grad n y c + c t + c t + c n t n till mätdata (t, y ), (t, y ),, (t m, y m ) vid olika tidpunkter som är fler än gradtalet n, dvs t i t j om i j och m > n. Det inledande eemplet är av denna typ. A t t t n t t t n M M M M M M M M M M M M t m t m t n m där t i t j om i j och m > n är linjärt oberoende. Bevis Om Ac för någon vektor c c c M M c n så har polynomet p(t) c + c t + c t + c n t n de m > n olika nollställena t, t,, t m. Eftersom inget polynom förutom nollpolynomet kan ha fler nollställen än sitt gradtal, så måste p vara nollpolynomet, dvs c. Om man eempelvis löser systemet med hjälp av Gausselimination vilket inte är något annat än att man efter ett visst mönster linjärkombinerar ekvationerna i systemet till nya ekvationer så måste förfarandet generera en ekvation av typen k, annars skulle ekvationssystemet A T A b ha en lösning.
6 .5 Övningar.8 Bestäm ekvationen för den räta linje y k + l som i minstakvadratmening bäst anpassar till punkterna (,), (, ) och (, 8). Bestäm också medelfelet.. Skriv upp normalekvationerna till systemen a. c. e. g b d. (,, ) f. h. 4. För vilka av systemen i uppgift. finns det bara en enda minstakvadratlösning?. Ange en minstakvadratlösning för var och en av systemen i uppgift...4 a. Punkterna (, y, z) (,, 5)t + (, 4, 6)s, bildar ett plan genom origo. Vilken är den vinkelräta projektionen av punkten (,, ) på detta plan? b. Punkterna (, y, z) (,, )t, bildar en rät linje genom origo. Vilken är den vinkelräta projektionen av punkten (,, ) på denna linje?.5 Låt u och v vara två vektorer i R och låt L vara den mängd punkter vars ortsvektorer är linjära kombinationer av u och v. (L är ett plan om u och v inte är parallella och en linje om de är parallella och ej båda.) Låt vidare A vara matrisen som har u och v som kolonner. Verifiera dels att den på L belägna punkt y, som ligger närmast punkten b ges av y A, där är någon lösning till A T A A T b och dels att det minimala avståndet b y..6 a. Vilken av punkterna på planet i uppgift.4a ligger närmast punkten (,, ) och vilket är det minimala avståndet? b. Vilken av punkterna på den räta linjen i uppgift.4b ligger närmast punkten (,, ) och vilket är det minimala avståndet?.7 a. Visa att raderna i matrisen A är linjärt oberoende om och endast om matrisen AA T är inverterbar. b. Visa att om raderna i matrisen A är linjärt oberoende så har normalekvationen A T A A T b samma lösningar som det ursprungliga systemet A b..9 Bestäm ekvationen för den räta linje y k + l som i minstakvadratmening bäst anpassar till punkterna (, ), (, ), (, ) och (, 8). Bestäm också medelfelet.. Bestäm ekvationen för den parabel y a + b + c som i minstakvadratmening bäst anpassar till punkterna (, ), (, ), (, ) och (, 8). Bestäm också medelzfelet.. Bestäm ekvationen för det plan z a + by + c som i minstakvadratmening bäst anpassar till punkterna (,, ), (,, ), (,, ) och (,, 6). Bestäm också medelfelet.. Den verksamma substansen, theophyllin, hos ett läkemedel mot astma försvinner enligt en matematisk modell ur kroppen enligt sambandet c(t) Ae kt, där c(t) och A är koncentrationerna av theophyllinet i blodet vid tiderna t och och k är en konstant, som är relaterad till individens utsöndringsförmåga. I syfte att kunna planera doceringen hos läkemedlet koncentrationen av theophyllin måste hela tiden ligga i ett visst intervall för att läkemedlet skall ha avsedd effekt vill man för en viss person empiriskt bestämma konstanten k. Läkemedlet injicerades i pacienten och man mätte sedan theophyllinkoncentrationerna i blodet vid olika tidpunkter. Mätningarna sammanfattas i tabellen här bredvid Antal timmar Koncentration [ma/l] Relationen ovan kan efter logaritmering skrivas ln c ln A kt Minstakvadratanpassa konstanterna ln A och k till de givna mätvärdena. 4
7 Svar.8 y ( )/4. Kvadratiska medelfelet / 4.. (Normalekvationen är 5 5 k l 6 9. ) a b y (4 )/. Kvadratiska medelfelet 6/ (Normalekvationen är 4 6 c d k l 7. ). y / / + /5. Kvadratiska medelfelet / e. 4 4 f a 77 (Normalekvationen är g. h b 7. ) c. z y /. Kvadratiska medelfelet / a 6 (Normalekvationen är b 5. ). De där kolonnerna är linjärt oberoende, dvs. a, e f och h. c. a. / b. 5/ 5/ + t T.e. 4/, (allmän lösn. 4/ t ). t c. 5/ 5/ + t T.e. 4/, (allmän lösn. 4/ t ). t d. s t, (allmän lösn. s ). T.e. t e. /7. f. /, (Obs att matrisen för systemet i f är inverterbar, så normalekvationen har samma lösning som det givna systemet). g. T.e., (allmän lösn. /5 t t ). h..4 Ledning Lämpligt att använda resultaten från uppgifterna..a och e. a. (/, /, /). b. (/7, 4/7, 6/7)..6 Ledning Lämpligt att använda resultaten från uppgifterna..a och e. a. (/, /, /), minimalavståndet /. b. (/7, 4/7, 6/7), minimalavståndet 6/7..7 Ledningar a. Tillämpa hjälpsats. på A s transponat. b. Multiplicera relationen A T A A T b med A från vänster och tillämpa resultatet från a-uppgiften.. ln A.448 och k.67. (Normalekvationen är ln A k ) 5
8.5 Minstakvadratmetoden
8.5 Minstakvadratmetoden 8.5. Ett exempel Man ville bestämma ett approximativt värde på tyngdaccelerationen g: En sten slängdes från en hög byggnad och man noterade med hjälp av fotoceller placerade på
Läs mer8 Minsta kvadratmetoden
Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från
Läs merMinsta kvadratmetoden
Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva
Läs mer14. Minsta kvadratmetoden
58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merx 2 x 1 W 24 november, 2016, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Projektionssatsen Minsta-kvadratmetoden
24 november, 206, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Projektionssatsen Minsta-kvadratmetoden. Projektionssatsen - ortogonal projektion på generella underrum Om W är ett underrum till R n,
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs mer15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra
5 september, 5 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition och beräkning av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs mer1.1 MATLABs kommandon för matriser
MATLABs kommandon för matriser Det finns en mängd kommandon för att hantera vektorer, matriser och linjära ekvationssystem Vi ger här en kort sammanfattning av dessa kommandon För en mera detaljerad diskussion
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs merFöreläsning 5. Approximationsteori
Föreläsning 5 Approximationsteori Låt f vara en kontinuerlig funktion som vi vill approximera med en enklare funktion f(x) Vi kommer använda två olika approximationsmetoder: interpolation och minstrakvadratanpassning
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 2
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Omfattning och Innehåll 2.1 Matrisoperationer: addition av matriser, multiplikation av matris med skalär, multiplikation av matriser. 2.2-2.3 Matrisinvers, karakterisering
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merVeckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 207 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.. För
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs mer1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser
Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs merOrtogonal dekomposition. Minstakvadratmetoden.
Ortogonal dekomposition. Minstakvadratmetoden. Nästa sats är en utvidgning av begreppet ortogonal projektion av en vektor på en annan vektor. Ortogonal projektion på ett underrum. Satsen om ortogonal dekomposition
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merMer om texter i MATLAB och om iterativ lösning av linjära ekvationssystem
Mer om texter i MATLAB och om iterativ lösning av linjära ekvationssystem Texter (strängar) i MATLAB skrivs omgivna av '' och behandlas som vektorer, med samma operationer: text = 'iss'; disp(['m' text
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merMULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = =
Matematiska institutionen Stockholms universitet CG Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 5 MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET
Läs merStora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)
Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Linjär algebra består av tre grenar eller koncept: geometriska begreppet av vektorrum, analysbegreppet
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merSF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 21 november 2016 Dagens och veckans ämnen Idag: Allmänna vektorrum, baser, koordinater, kap 4.1-4.4: Vektorrum och delrum, igen Bas, igen Koordinater med
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs mer(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jörgen Östensson Prov i matematik X, geo, frist, lärare LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 200 0 08 Skrivtid: 8.00.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 3 januari 206 Skrivtid: 08:00 3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del
Läs mer1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,
Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs mer8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0
Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merIsometrier och ortogonala matriser
Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället
Läs mer2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s
Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Lösning: (x,y,z) = (1+t, 1+t,t)
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs mer14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra
14 september, 2016 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess lösningar
Läs mer4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs merMinsta-kvadratmetoden
CTH/GU STUDIO b TMV036c - 01/013 Matematiska vetenskaper Minsta-kvadratmetoden Analys och Linjär Algebra, del C, K1/Kf1/Bt1 1 Inledning Ett ofta förekommande problem inom teknik och vetenskap är att koppla
Läs merTentamen TMV140 Linjär algebra Z
Tentamen TMV40 Linjär algebra Z 307 kl. 08.30 2.30 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, 0703 088 304 Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa För godkänt
Läs merAnalys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65
Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna -. Föreläsningarna, 6/9 /9 : I sammanfattningen kommer en del av det vi tagit
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem
Läs merTentamen i ETE305 Linjär algebra , 8 13.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk ( p) ( p) ( p) ( p) ( p) ( p) Tentamen i ETE Linjär algebra, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara
Läs merDel A. Lösningsförslag, Tentamen 1, SF1663, CFATE,
Lösningsförslag, Tentamen, SF, CFATE, -- Del A a Om matrisekvationen skrivs AXB C och matriserna A och B är inverterbara så kan ekvationen lösas genom att båda led vänstermultipliceras med A och högermultipliceras
Läs merSF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 6 Institutionen för matematik KTH 11 november 2016 Feedback Innan vi börjar: En liten feedback-övning Vad menas med rangen av en matris? Vad menas med ett homogent linjärt ekvationssystem?
Läs merMVE520 Linjär algebra LMA515 Matematik, del C
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen MVE52 Linjär algebra LMA55 Matematik, del C Hjälpmedel: inga Datum: 28-8-29 kl 8 2 Telefonvakt: Sebastian Jobjörnsson ankn 6457 Examinator: Håkon Hoel Tentan
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merTENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor
TENTAMEN Matematik Kurskod HF903 Skrivtid 3:5-7:5 Onsdagen 5 september 03 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av 3 uppgifter som totalt kan
Läs merEnkel och multipel linjär regression
TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merDagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer
Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,
Läs merLinjär algebra och geometri I
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Jörgen Östensson Vårterminen 2010 Kurslitteratur Linjär algebra och geometri I för X, geo, frist, lärare H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra (Application
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014
SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF64 Algebra och geometri Sjätte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 5 januari, 07 Repetition Ett delrum i R n är slutet under addition x + y V om x, y V multiplikation med skalär a
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs mer2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3
ATM-Matematik Pär Hemström 7 6572 Sören Hector 7 4686 Mikael Forsberg 74 42 För studerande i linjär algebra Linjär algebra ma4a 225 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merSF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 16 Institutionen för matematik KTH 5 december 2017 Modul 6 Veckans arbete 1. Idag: Ortonormalt, kap 7.1-7.2 a. Ortogonala och ortonormala baser b. Gram-Schmidts metod c. Ortogonala matriser
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra TATA/TEN) 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter
Läs merAlgebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U
Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs mer1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merMer om analytisk geometri
1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Tjugofemte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 10 december, 2009 Tentamens struktur Tentamen består av tio uppgifter uppdelade på två delar, Del A och Del
Läs merP Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,
Läs merNovember 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan
Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination
Läs merkvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =
MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 9-- kl 8 Tentamen Telefonvakt: Aron Lagerberg tel 76-786 Linjär Algebra Z (tmv4) Skriv tentamenskod tydligt på samtliga
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 1
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF164 för D, den 5 juni 21 kl 9.- 14.. Examinator: Olof Heden. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merLinjär algebra och geometri 1
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2009 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear
Läs mer