Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs"

Transkript

1 Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005

2 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 ) = antalet delmängder av storlek k ur en C(X, Y ) = E ( (X E(X))(Y E(Y )) ) = E(XY ) E(X)E(Y ) ρ(x, Y ) = C(X, Y ) D(X)D(Y ) 3. Diskreta fördelningar Binomialfördelningen X är Bin(n, p) om p X (k) = E(X) = np, V (X) = np( p) ( n k ) p k ( p) n k, k = 0,,..., n, där 0 < p <. För-första-gangen -fördelningen X är ffg(p) om p X (k) = p( p) k, k =, 2, 3,..., där 0 < p <. E(X) = p, V (X) = p p 2 Hypergeometriska fördelningen ( )( ) Np N( p) k n k X är Hyp(N, n, p) om p X (k) = ( ), 0 k Np, Nn 0 n k N( p), där N, Np och n är positiva heltal samt N 2, n < N, 0 < p <. E(X) = np, V (X) = N n np( p) N Poissonfördelningen X är Po(µ) där µ > 0 om p X (k) = µk k! e µ, k = 0,, 2,... E(X) = µ, V (X) = µ 4. Kontinuerliga fördelningar Likformig fördelning { för a < x < b X är U(a, b) där a < b om f X (x) = b a 0 annars E(X) = a + b 2, V (X) = (b a)2 2

3 2 Exponentialfördelningen { X är Exp(λ) där λ > 0 om f X (x) = λ e λx för x > 0 0 annars E(X) = λ, V (X) = λ 2 Normalfördelningen X är N(µ, σ) om f X (x) = E(X) = µ, V (X) = σ 2 X är N(µ, σ) om och endast om X µ σ (x µ)2 2σ e 2, < x <, σ > 0. 2π σ är N(0, ). Om Z är N(0, ) sa har Z fördelningsfunktionen Φ(x) enligt tabell och täthetsfunktionen ϕ(x) = 2π e x2 /2, < x <. En linjär sammansättning a i X i + b av oberoende, normalfördelade stokastiska variabler är normalfördelad. 5. Centrala gränsvärdessatsen Om X, X 2,..., X n är oberoende likafördelade stokastiska variabler med väntevärde µ och standardavvikelse σ > 0 sa är Y n = X + + X n approximativt N(nµ, σ n ) om n är stort. 6. Approximation Hyp(N, n, p) Bin(n, p) om n N 0. Bin(n, p) Po(np) om p 0. Bin(n, p) N ( np, np( p) ) om np( p) 0 Po(µ) N(µ, µ) om µ 5 7. Tjebysjovs olikhet Om E(X) = µ och D(X) = σ > 0 sa gäller för varje k > 0 att P ( X µ > kσ) k 2 8. Statistiskt material x = n x n j j= s 2 = n (x n j x) 2 = [ n x n j 2 ( n ) ] 2 x n j j= j= j=

4 3 9. Punktskattningar 9. Maximum-likelihood-metoden Lat x i vara en observation pa X i, i =, 2,..., n, där fördelningen för X i beror pa en okänd parameter θ. Det värde θobs som maximerar L -funktionen { px,...,x (x n,..., x n ; θ) = (om oberoende) = p X (x ; θ) p Xn (x n ; θ) L(θ) = f X,...,X n (x,..., x n ; θ) = (om oberoende) = f X (x ; θ) f Xn (x n ; θ) kallas maximum-likelihood-skattningen (ML-skattningen) av θ. 9.2 Minsta-kvadrat-metoden Lat x i vara en observation pa X i, i =, 2,..., n, och antag att E(X i ) = µ i (θ, θ 2,..., θ k ) och V (X i ) = σ 2, där θ, θ 2,..., θ k är okända parametrar och X, X 2,..., X n är oberoende. Minsta-kvadrat-skattningarna (MK-skattningarna) av θ, θ 2,..., θ k är de värden (θ ) obs, (θ 2) obs,..., (θ k) obs som minimerar kvadratsumman n ( Q = Q(θ, θ 2,..., θ k ) = xi µ i (θ, θ 2,..., θ k ) ) Medelfel En skattning av D(θ ) kallas medelfelet för θ och betecknas d(θ ). 9.4 Felfortplantning Med beteckningar och förutsättningar enligt läroboken gäller a) E(g(θ )) g(θ obs ) D(g(θ )) g (θobs ) D(θ ) b) E(g(θ,..., θn)) g ( (θ ) obs,..., (θ n) ) obs [ V (g(θ,..., θn) n n C(θi, θ g j ) g ] x j= i x j x k =(θ k ) obs,k=,...,n 0. Nagra vanliga fördelningar i statistiken χ 2 -fördelningen Om X, X 2,..., X f är oberoende och N(0, ) sa gäller att f Xk 2 är χ2 (f) -fördelad. k= t -fördelningen Om X är N(0, ) och Y är χ 2 (f) samt om X och Y är oberoende sa gäller att X Y/f är t(f) -fördelad.

5 . Stickprovsvariablernas fördelningar vid normalfördelade stickprov. Lat X,..., X n vara oberoende stokastiska variabler som alla är N(µ, σ). Da gäller: a) X är N b) ( ) σ µ, n n (X i X) 2 (n )S2 σ 2 = σ 2 är χ 2 (n ) c) X och S 2 är oberoende d) X µ S/ n är t(n ) 4.2 Lat X,..., X n vara N(µ, σ) och Y,..., Y n2 vara N(µ 2, σ) och samtliga stokastiska variabler antas oberoende. Da gäller: ( a) X Y är N µ µ 2, σ n + ) n2 b) (n + n 2 2)S 2 σ 2 är χ 2 (n + n 2 2) där S 2 = (n 2 )S + (n 2 )S2 2 n + n 2 2 S 2 = n (X n i X) 2 och S2 2 = n 2 (Y n 2 i Y ) 2 c) X Y och S 2 är oberoende d) X Y (µ µ 2 ) är t(n + n 2 2) S n + n 2,.3 Lat X,..., X n vara N(µ, σ ) och Y,..., Y n2 vara N(µ 2, σ 2 ) och samtliga stokastiska variabler antas oberoende. Da gäller: ( σ 2 ) X Y är N µ µ 2, + σ2 2 n n 2 2. Konfidensintervall 2. λ -metoden Lat θ vara N(θ, D) där D är känd och θ okänd. Da är θ obs ± D λ α/2 ett konfidensintervall för θ med konfidensgraden α.

6 5 2.2 t -metoden Lat θ vara N(θ, D) där D och θ är okända och D inte beror pa θ. Lat Dobs vara en punktskattning av D sadan att θ θ D är t(f). Da är θobs ± D obs t α/2 (f) ett konfidensintervall för θ med konfidensgraden α. 2.3 Approximativa metoden Lat θ vara approximativt N(θ, D). Antag att D obs är en lämplig punktskattning av D. Da är θ obs ± D obs λ α/2 ett konfidensintervall för θ med den approximativa konfidensgraden α. 2.4 Metod baserad pa χ 2 -fördelning Lat θobs vara en punktskattning av en parameter θ sadan att ( θ ) 2 f är χ 2 (f). Da är θ ( ) θobs f χ 2 α/2 (f), θ f obs χ 2 α/2 (f) ett konfidensintervall för θ med konfidensgraden α. 3. Linjär regression 3. Fördelningar Lat Y i vara N(α + βx i, σ), i =, 2,..., n, och oberoende. Da gäller: ( ) n a) β (x = i x)(y i Y ) σ n (x i x) 2 är N β, n (x i x) 2 b) α = Y β x är N c) α + β x 0 är N ( ( α, σ α + βx 0, σ ) n + (x) 2 n (x i x) 2 ) n + (x 0 x) 2 n (x i x) 2 d) (n 2)S2 σ 2 är χ 2 (n 2) där S 2 = n 2 e) S 2 är oberoende av α och β n (Y i α β x i ) 2

7 6 3.2 Konf idensintervall I α : α obs ± t p/2 (n 2)s n + (x) 2 n (x i x) 2 I β : βobs ± t s p/2 (n 2) n (x i x) 2 I α+βx0 : α obs + β obs x 0 ± t p/2 (n 2)s n + (x 0 x) 2 n (x i x) Beräkningsaspekter n n n n S xy = (x i x)(y i y) = (x i x)y i = x i (y i y) = x i y i nx y n S xx = (x i x) 2 n = x 2 i nx2 n S yy = (y i y) 2 (n 2)s 2 = S yy (βobs )2 S xx = S yy βobs n S xy = min (y i α βx i ) 2 α,β 4. Hypotesprövning 4. Def initioner Signifikansnivan (felrisken) α är (det maximala värdet av) P (förkasta H 0 ) da hypotesen H 0 är sann. Styrkefunktionen h(θ) = P (förkasta H 0 ) da θ är rätt parametervärde. 4.2 Konf idensmetoden Förkasta H 0 : θ = θ 0 pa nivan α om θ 0 ej faller inom ett lämpligt valt konfidensintervall med konfidensgraden α. 4.3 χ 2 -test Man gör n oberoende upprepningar av ett försök som ger nagot av resultaten A, A 2,..., A r med respektive sannolikheter P (A ), P (A 2 ),..., P (A r ). Lat för j =, 2,..., r den stokastiska variabeln X j beteckna antalet försök som ger resultatet A j.

8 7 Test av given fördelning: Vi vill testa H 0 : P (A ) = p, P (A 2 ) = p 2,..., P (A r ) = p r för givna sannolikheter p, p 2,..., p r. Da blir r (x j np j ) 2 Q = np j= j ett utfall av en approximativt χ 2 (r ) -fördelad stokastisk variabel om H 0 är sann och np j 5, j =, 2,..., r. Om vi skattar k parametrar ur data, θ = (θ,..., θ k ), för att skatta p, p 2,..., p r med p (θobs ), p 2 (θ obs ),..., p r (θ obs ) sa är ( r xj np Q j (θobs = )) 2 j= np j (θobs ) ett utfall av en approximativt χ 2 (r k ) -fördelad stokastisk variabel. r x 2 j Beräkningsaspekt: Q = n, Q = np j= j r j= x 2 j np j (θ obs ) n Homogenitetstest: Man vill testa om sannolikheterna för resultaten A, A 2,..., A r är desamma i s försöksserier. Inför beteckningar enligt nedanstaende tabell: Serie Antal observationer av Antal försök A A 2 A 3... A r x x 2 x 3... x r n 2. x 2. x 22 x x 2r n 2. s x s x s2 x s3... x sr n s Kolonnsumma m m 2 m 3... m r N ( s r x ij n i m ) j 2 N Bilda Q =. n i m j j= N Q är ett utfall av en approximativt χ 2 ((r )(s )) -fördelad stokastisk variabel. Kontingenstabell (test av oberoende mellan rader och kolonner): Samma teststorhet och fördelning som ovan.

9 5. Markovprocesser 5. Markovkedjor i diskret tid 5.. Grundläggande begrepp Tillstandsrum: E Ȯ vergangsmatris: P = (p ij ) i,j E där p ij = P (X n = j X n = i) p (n) = (p (n), p(n) 2,...) där p(n) i = P (X n = i). Initialfördelning: p (0) Stationär fördelning: π Gränsfördelning: p 5..2 Chapman-Kolmogorovs ekvationer a) p (m+n) ij = p (m) ik p(n) kj k E b) P (m+n) = P (m) P (n) c) P (n) = P n d) p (n) = p (0) P (n) = p (0) P n Stationära sannolikheter 8 Om π = (π, π 2,..., π N ) är en stationär sannolikhetsfördelning till en irreducibel markovkedja (ändlig eller oändlig), är π i = /E(T i ) där T i är tiden mellan tva besök i tillstand i. π j /π i är förväntat antal besök i tillstand j mellan tva besök i tillstand i Ergodicitet. En markovkedja kallas ergodisk om den har en asymptotisk fördelning som är oberoende av startfördelningen. 2. En ändlig markovkedja är ergodisk om och endast om dess tillstandsmängd E innehaller en enda sluten irreducibel deltillstandsmängd och denna är aperiodisk. Speciellt är en ändlig, irreducibel och aperiodisk markovkedja ergodisk. 3. En irreducibel, aperiodisk markovkedja (ändlig eller oändlig) är ergodisk 5..5 Absorption om och endast om det existerar en stationär fördelning. En markovkedja kallas en A-kedja om E = A G, där alla tillstand i A är absorberande och alla tillstand i G leder till ett absorberande tillstand i A. Sannolikheten för absorption i tillstand j A, da den startar i tillstand i: a ij. Tiden till absorption, da den startar i tillstand i G: T i, t i = E(T i ).

10 9 För en ändlig A-kedja gäller för alla j A att a ij = p ij + k G p ik a kj, i G, och t i = + k G p ik t k, i G. 5.2 Markovprocesser i kontinuerlig tid 5.2. Grundläggande begrepp Ȯ vergangsmatris: P (t) = ( p ij (t) ) i,j E där p ij (t) = P (X(s + t) = j X(s) = i) p(t) = (p 0 (t), p (t),...) där p i (t) = P (X(t) = i) Uthoppsintensitet fran tillstand i: q i Ȯ vergangsintensitet fran tillstand i till tillstand j : q ij Stationär fördelning: π Gränsfördelning: p Intensitetsmatrisen (eller generatorn): Q = där q ii = q i Chapman-Kolmogorovs ekvationer a) p ij (s + t) = p ik (s)p kj (t) k E b) P (s + t) = P (s)p (t) c) p(t) = p(0)p (t). P (h) I lim h 0+ h = (q ij ) i,j E Kolmogorovs framat- resp. bakat-ekvation: P (t) = P (t)q = QP (t) Stationära sannolikheter. π är en stationär fördelning till en markovprocess om och endast om πq = Om π = (π 0, π,...) är en stationär sannolikhetsfördelning till en ändlig Ergodicitet (eller reguljär oändlig) irreducibel markovprocess, är π i = /q i E(T i ) där T i π j är tiden mellan tva inträden i tillstand i. är förväntad tid i tillstand q i π i j mellan tva inträden i tillstand i.. En ändlig och irreducibel markovprocess är ergodisk. 2. En reguljär, irreducibel markovprocess (ändlig eller oändlig) är ergodisk om och endast om det existerar en stationär fördelning.

11 Absorption Definitioner se För en ändlig A-process gäller för alla j A att a ij = q ij + q ik a q i q kj, i G, och t i = + i q i k G\{i} k G\{i} Poissonprocesser Om {N(t); t 0} är en poissonprocess med intensitet λ sa är q ik q i t k, i G. N(t) N(s) Po(λ (t s)), för t > s, och processens ökningar i disjunkta tidsintervall är oberoende. {N(t); t 0} är en födelseprocess med alla λ i = λ Födelseprocesser En födelseprocess med födelseintensiteter λ 0, λ,... är en markovprocess med X(0) = 0 och med övergangsintensiteter λ i, j = i +, i = 0,, 2,... q ij = λ i, j = i, i = 0,, 2,... 0, annars. En födelseprocess med födelseintensiteter λ 0, λ,... är reguljär, d.v.s. exploderar ej, om och endast om =. λ i=0 i Födelse-döds-processer En födelse-döds-process med födelseintensiteter λ 0, λ,... och dödsintensiteter µ, µ 2,... är en markovprocess med övergangsintensiteter λ i, j = i +, i = 0,, 2,... µ i, j = i, i =, 2,... q ij = λ i µ i, i = j, i =, 2,... λ 0, i = j = 0 0, annars. Lat ρ 0 = och ρ i = λ 0 λ λ i µ µ 2 µ i. En födelse-döds-process är reguljär om och endast om k=0 λ k ρ k k ρ i =. i=0 En födelse-döds-process har en stationär fördelning π om och endast om ρ i < och =. λ i=0 i=0 i ρ i Den stationära fördelningen π är given av π j = ρ j. ρ i i=0

12 6. Köteori 6. Allmänt system Vi förutsätter att inblandade gränsvärden existerar. Beskrivning av systemet λ = ankomstintensitet. U = betjäningstiden för en godtycklig kund. B(t) = P (U t) = betjäningstidens fördelningsfunktion. c = antalet betjäningsstationer. Beteckningar µ = /E(U) = betjäningsintensitet för en godtycklig kund. ρ = λ = trafikintensiteten (betjäningsfaktorn). Vi förutsätter att ρ <. cµ X(t) = antalet kunder i systemet vid tid t. p = (p 0, p,...) = gränsfördelningen för antalet kunder i systemet, d.v.s. p i = lim P (X(t) = i). t l(t) = E(X(t)) = förväntat antal kunder i systemet vid tid t. l = lim l(t) = ip t i = förväntat antal kunder i systemet (efter lang tid). i=0 X q (t) = antalet kunder i kön vid tid t. l q (t) = E(X q (t)) = förväntat antal kunder i kön vid tid t. l q = lim l q (t) = förväntat antal kunder i kön (efter lang tid). t Q n = n:te kundens kötid. G q (τ) = lim n P (Q n τ). U n = n:te kundens betjäningstid, P (U n t) = B(t). S n = Q n + U n = n:te kundens tid i systemet. G(τ) = lim n P (S n τ). Lat Q vara en s.v. med fördelningsfunktion G q (τ). w q = E(Q) = förväntad tid i kön. w = E(Q + U) = förväntad tid i systemet. Under mycket allmänna villkor gäller att l = cρ + l q, w q = l q λ och w = l λ. Da c = gäller under mycket allmänna villkor att sannolikheten att en kund maste sta i kö = p 0 = λ µ = ρ.

13 2 6.2 System med Poissonankomster och exponentialfördelade betjäningstider System med c ( c (cρ) n ) p 0 = + (cρ)c. n! c!( ρ) n=0 p p n = 0 (cρ)n, n =, 2,..., c, n! p c ρ n c, n = c +, c + 2,... l q = p c ρ ( ρ) 2. G q (τ) = p c ρ e cµ( ρ)τ, τ 0. Sannolikheten att en kund maste sta i kö = System med c = p n = ( ρ)ρ n, n = 0,,... l q = ρ2 ρ. G q (τ) = ρe µ( ρ)τ, τ 0. G(τ) = e µ( ρ)τ, τ 0. System med c = 2 p n = l q = ρ + ρ, n = 0, 2( ρ)ρ n + ρ 2ρ3 ρ 2., n =, 2,... G q (τ) = 2ρ2 + ρ e 2µ( ρ)τ, τ 0. Förlustsystem med c p c ρ. Detta innebär att en kund, som inte far betjäning omedelbart, lämnar systemet. p n = (cρ) n n! + cρ! + (cρ)2 + + (cρ)c 2! c!, n = 0,,..., c.

14 3 6.3 System med Poissonankomster och godtyckligt fördelade betjäningstider System med c = ρ 2 l q = 2( ρ) 6.4 Jacksonnätverk ( + V (U) (E(U)) 2 ). Ett könätverk som har m noder kallas ett Jacksonnätverk om följande villkor är uppfyllda:. Varje nod har identiska betjäningsstationer med exponentialfördelade betjäningstider. Nod i har c i betjäningsstationer, vardera med betjäningsintensitet µ i. 2. Kunder som kommer till nod i utifran kommer enligt en Poissonprocess med intensitet λ i. (Kunder kan även komma till nod i fran andra noder i systemet.) 3. Sa snart en kund är betjänad i nod i sa gar kunden till nod j med sannolikheten p ij för j =,..., m eller lämnar systemet med sannolik- m heten p i = p ij. Alla förflyttningar sker ögonblickligen. j= 4. Alla ankomstprocesser, betjäningstider och förflyttningar är oberoende av varandra och av systemet i övrigt. m Ankomstintensiteten till nod i ges av Λ i = λ i + p ji Λ j för i =,..., m. j= Lat X i (t) vara antalet kunder som befinner sig i nod i. För ett Jacksonnätverk med Λ i /(c i µ i ) < för i =,..., m gäller att lim P (X (t) = n, X 2 (t) = n 2,..., X m (t) = n m ) = t p() n p (2) n 2 p (m) n m, där (p (i) 0, p(i), p(i) 2,...) är sannolikhetsfördelningen för ett M/M/c i -system i stationärt tillstand med ankomstintensitet Λ i och förväntad betjäningstid /µ i.

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 13 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 13 maj 2015 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Begrepp inom hypotesprövning (rep.) Tre metoder för att avgöra om H 0 ska

Läs mer

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Johan Lindström Repetition Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 1/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Grundläggande begrepp (Kap.

Läs mer

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS,

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, TORSDAGEN DEN 7 JUNI 2012 KL 14.00 19.00 Examinator:Gunnar Englund, 073 3213745 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST Jan Grandell & Timo Koski 25.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25.02.2016 1 / 46 INNEHÅLL Hypotesprövning

Läs mer

Enkel och multipel linjär regression

Enkel och multipel linjär regression TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0

Läs mer

Sannolikheter och kombinatorik

Sannolikheter och kombinatorik Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, De stora talens lag Jan Grandell & Timo Koski 04.02.2016 Jan Grandell & Timo

Läs mer

b) Beräkna sannolikheten att en mottagen nolla har sänts som en nolla. (7 p)

b) Beräkna sannolikheten att en mottagen nolla har sänts som en nolla. (7 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 OCH SF905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, FREDAGEN DEN 4:E MARS 204 KL 4.00 9.00. Kursledare: För D och Media: Gunnar Englund, 073 32 37 45 Kursledare: För F:

Läs mer

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2.

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90,SF907,SF908,SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK TORSDAGEN DEN 7:E JUNI 0 KL 4.00 9.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 7 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Uppgift 1 Andrej och Harald roar sig med en standardkortlek med 52 kort uppdelade på fyra färger (spader, klöver, hjärter och ruter).

Uppgift 1 Andrej och Harald roar sig med en standardkortlek med 52 kort uppdelade på fyra färger (spader, klöver, hjärter och ruter). Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, FREDAGEN DEN 13:E MARS 2015 KL 14.00 19.00. Kursledare för F och E: Timo Koski, tel: 070 237 00 47 Kursledare för D

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH. PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 12 oktober 2015

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH. PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 12 oktober 2015 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 14 PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. Tatjana Pavlenko 12 oktober 2015 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Icke-parametsriska metoder. (Kap. 13.10) Det grundläggande

Läs mer

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen

Läs mer

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i Matematisk Statistik. Jan Grandell

Föreläsningsanteckningar i Matematisk Statistik. Jan Grandell Föreläsningsanteckningar i Matematisk Statistik Jan Grandell 2 Förord Dessa anteckningar gjordes för mitt privata bruk av föreläsningsmanuskript och har aldrig varit tänkta att användas som kursmaterial.

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning

TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö12 1/37 Det

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B508 MATEMATISK STATISTIK FÖR S TISDAGEN DEN 20 DECEMBER 2005 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 746. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Anna Lindgren 7+8 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F11: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 8. Approximationer av sannolikhetsfördelningar Jan Grandell & Timo Koski 11.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 11.02.2016 1 / 40 Centrala

Läs mer

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för

Läs mer

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p)

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF190 (f d 5B2501 ) SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR - ÅRIG MEDIA MÅNDAGEN DEN 1 AUGUSTI 2012 KL 08.00 1.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 21 7 45 Tillåtna

Läs mer

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna

Läs mer

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SF905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E AUGSTI 204 KL 08.00 3.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK 9HP, FMS012 [UPPDATERAD ] Sannolikhetsteorins grunder

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK 9HP, FMS012 [UPPDATERAD ] Sannolikhetsteorins grunder LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK 9HP, FMS02 [UPPDATERAD 2007-09-2] Sannolihetsteori Sannolihetsteorins grunder Följande gäller för sannoliheter:

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 14:E AUGUSTI 2017 KL 08.00 13.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 4 oktober 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Intervallskattning med normalfördelade data: två stickprov (rep.) Intervallskattning

Läs mer

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora

Läs mer

Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Johan Lindström 27 Januari, 2015 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS012 F11 1/19 Repetition

Läs mer

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,

Läs mer

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i

Läs mer

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning

TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö12 1/37 Det

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Jesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014

Jesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Föreläsning 1. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Varför tillämpad statistik? Användningsområden i medicin, naturvetenskap

Läs mer

Våra vanligaste fördelningar

Våra vanligaste fördelningar Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver

Läs mer

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs.

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 31:E MAJ 2012 KL 08.00 13.00. Examinator: Tobias Rydén, tel 790 8469. Kursledare: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466.

Läs mer

Formler och tabeller till kursen MSG830

Formler och tabeller till kursen MSG830 Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)

Läs mer

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 205 KL 4.00 9.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Blandade problem från elektro- och datateknik

Blandade problem från elektro- och datateknik Blandade problem från elektro- och datateknik Sannolikhetsteori (Kapitel 1-10) E1. En viss typ av elektroniska komponenter anses ha exponentialfördelade livslängder. Efter 3000 timmar brukar 90 % av komponenterna

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning P-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/33

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande

Läs mer

Föreläsning 7. Statistikens grunder.

Föreläsning 7. Statistikens grunder. Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande

Läs mer

k x om 0 x 1, f X (x) = 0 annars. Om Du inte klarar (i)-delen, så får konstanten k ingå i svaret. (5 p)

k x om 0 x 1, f X (x) = 0 annars. Om Du inte klarar (i)-delen, så får konstanten k ingå i svaret. (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2009 KL 08.00 13.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 74 16. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärld funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1907, SF1908 samt SF1913 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONS- DAGEN DEN 9:E JANUARI 2013 KL 14.00 19.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

1 Stokastiska processer. 2 Poissonprocessen

1 Stokastiska processer. 2 Poissonprocessen 1 Stokastiska processer En stokastisk process är en stokastisk variabel X(t), som beror på en parameter t, kallad tiden. Tiden kan vara kontinuerlig, eller diskret (i vilket fall man brukar beteckna processen

Läs mer

Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer

Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer TNG006 F7 25-04-2016 Centrala gränsvärdessatsen (CGS. Approximationer 7.1. Centrala gränsvärdessatsen Vi formulerade i Sats 6.10 i FÖ6 en vitig egensap hos normalfördelningen som säger att en linjär ombination

Läs mer

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/200, HT-03 Laboration 5: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den här

Läs mer

Faderns blodgrupp Sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Faderns blodgrupp Sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B1504 MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS FÖR E3 LÖRDAGEN DEN 30 AUGUSTI 2003 KL 08.00 13.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 7416. Tillåtna hjälpmedel : Formel- och

Läs mer

Stokastiska vektorer

Stokastiska vektorer TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan

Läs mer

Väntevärde och varians

Väntevärde och varians TNG6 F5 19-4-216 Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level

Läs mer

1 Föreläsning V; Kontinuerlig förd.

1 Föreläsning V; Kontinuerlig förd. Föreläsning V; Kontinuerlig förd. Ufallsrummet har hittills varit dsikret, den stokastisk variabeln har endast kunnat anta ett antal värden. Ex.vis Poissonfördeln. är antal observationer inom ett tidsintervall

Läs mer

Uppgift 3: Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen 0 10 f(x) =

Uppgift 3: Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen 0 10 f(x) = Tentamen i Matematisk statistik för DAI och EI den 3 mars. Tid: kl 4. - 8. Hjälpmedel: Chalmersgodkänd ( typgodkänd ) räknedosa, Tabell- och formelsamling, Håkan Blomqvist, Matematisk statistik, Ulla Dahlbom,

Läs mer

TAMS79: Matematisk statistik vt 2013

TAMS79: Matematisk statistik vt 2013 TAMS79: Matematisk statistik vt 3 Föreläsningsanteckningar Johan Thim, MAI.5. 5 3 3 TAMS79: Föreläsning Grundläggande begrepp Johan Thim 3 januari 3. Begrepp Ett slumpförsök är ett försök där resultatet

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 2 augusti 217, klockan 8-12 Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827 Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 13 oktober 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2017-01-13 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Niklas

Läs mer

Extrauppgifter i matematisk statistik

Extrauppgifter i matematisk statistik Extrauppgifter i matematisk statistik BT 2014 1. Mängden A är dubbelt så sannolik som B. Hur förhåller sig P(A B) till P(B A)? 2. Två händelser A och B har sannolikheter skilda från noll. (a) A och B är

Läs mer

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)

Läs mer

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 Gripenberg I1. Vi antar att antalet telefonsamtal som kommer till ett servicenummer under en tidsperiod med längden

Läs mer

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13.

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK69, 26--7, kl 8 3. Hjälpmedel är räknare med tömda minnen samt formelsamling utgiven

Läs mer

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga

Läs mer

Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.''

Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Tentamen'i'TMA321'Matematisk'Statistik,'Chalmers'Tekniska'Högskola.'' Hjälpmedel:'Valfri'räknare,'egenhändigt'handskriven'formelsamling'(4''A4Esidor'på'2'blad)' och'till'skrivningen'medhörande'tabeller.''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

Lösningar till uppgifter från Milton-Arnold, kap 3 4 Matematisk statistik

Lösningar till uppgifter från Milton-Arnold, kap 3 4 Matematisk statistik Sida 1 Lösningar till uppgifter från Milton-Arnold, kap 3 4 Matematisk statistik 3.7, 3.11 Ympning används för att få en planta att växa på ett rotsystem tillhörande en annan växt. Elementarsannolikheterna

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 14 13 december 2016 1 / 20 Idag χ 2 -metoden Test av given fördelning Homogenitetstest 2 / 20 Idag χ 2 -metoden Test av given fördelning

Läs mer

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Lärare: Mikael Elenius, 2006-08-25, kl:9-14 Betygsgränser: 65 poäng Väl Godkänt, 50 poäng

Läs mer

F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P.

F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P. Stat. teori gk, ht 2006, JW F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.4-5.6) Binomialfördelningen Används som modell i situation av följande slag: Ett slumpförsök upprepas n gånger (oberoende upprepningar). Varje

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

Stokastiska processer och simulering I 24 augusti

Stokastiska processer och simulering I 24 augusti STOCKHOLMS UNIVERSITET LÖSNINGAR MATEMATISKA INSTITUTIONEN Stokastiska processer och simulering I Avd Matematisk statistik 24 augusti 2016 Lösningar Stokastiska processer och simulering I 24 augusti 2016

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik Matematik tatitik KTH Formelamlig i matematik tatitik Vårtermie 07 Kombiatorik! = k k! ( k)!. Tolkig: mägd med elemet. = atalet delmägder av torlek k ur e k Stokatika variabler V (X) = E X (E (X)) C (X;

Läs mer

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2 Tentamen den april 7 i Statistik och sannolikhetslära för BI Uppgift : Låt händelserna A, B, C och D vara händelser i samband med ett försök. a) Anta att P(A)., P(A B)., P(A B).6. Beräkna sannolikheten

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 23:E MAJ 2013 KL 14.00 19.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt Tillåtna hjälpmedel: miniräknare, lathund

Läs mer

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Statistiska metoder för säkerhetsanalys F10: Intensiteter och Poissonmodeller Frågeställningar Konstant V.v.=Var Cyklister Poissonmodeller för frekvensdata Vi gör oberoende observationer av de (absoluta) frekvenserna n 1, n 2,..., n k från den

Läs mer

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = 1 0.34. ξ = 2ξ 1 3ξ 2

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = 1 0.34. ξ = 2ξ 1 3ξ 2 Lösningsförslag TMSB18 Matematisk statistik IL 101015 Tid: 12.00-17.00 Telefon: 101620, Examinator: F Abrahamsson 1. Varje dag levereras en last med 100 maskindetaljer till ett företag. Man tar då ett

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer