Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 13 januari

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 13 januari Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/ , ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida och webbaserat kursforum. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och formelsamling delas ut vid tentamenstillfället. Tabell över F-kvantiler återfinns nedan. Det gäller även att χ (1) 3.8. Resonemang skall vara tydliga och lätta att följa. Varje korrekt och fullständigt löst uppgift ger 10 poäng. Följande gränser gäller för betygen A-E: A B C D E Uppgift 1 För att undersöka prisutvecklingen hos en viss typ av äpplen uppskattades det genomsnittliga kilopriset y i i Sverige under nio på varandra följande år (x 1 = 2006, x 2 = 2007,..., x 9 = 2014). Man ansatte en enkel linjär regressionsmodell Y i = α + β(x i x) + ε i, i = 1,..., 9, där y i är en observation av Y i, x = 9 i=1 x i /9 och ε i N(0, σ 2 ) är oberoende feltermer. a) Beräkna en skattning av det förväntade kilopriset år 2016 om ȳ = 9i=1 y i /9 = 16.9 och 9 i=1 y i (x i x) = (4 p) b) Beräkna medelfelet d för skattningen i a), om kvadratsumman för variationskällan Residual i variansanalystabellen ges av Kvs = (3 p) c) Ange ett 95% konfidensintervall för det förväntade kilopriset år (Ledning: Intervallet innehåller kvantilen t (7) = ) (3 p)

2 Linjära statistiska modeller, 13 januari Uppgift 2 Ett läkemedelsföretag har sedan länge astmamedicinen 1 på marknaden och vill undersöka om en annan, nyutvecklad medicin 2 har samma effekt. För respektive medicin uppmättes syreupptagningsförmågan Y hos 5 patienter en timme efter att de tagit en dos (olika för de 5 patienterna). Sedan antogs en linjär dos respons-kurva för respektive medicin. Det svarar mot en linjär modell Y ij = α i + β i x j + ε ij, i = 1, 2, j = 1,..., 5, (1) för syreupptagningsförmågan hos den patient som tagit dosen x j mg av medicin i, där feltermerna ε ij N(0, σ 2 ) antas vara oberoende. a) Ange observationsvektor Y, designmatris A, parametervektor θ och feltermsvektor ε för den linjära modellen Y = Aθ + ε. som svarar mot (1). (Ledning: θ har fyra element, två intercept och två effektparametrar.) (3 p) b) Nollhypotesen H 0 : α 1 = α 2, β 1 = β 2 att de två medicinerna har samma effekt kan formuleras som θ = Bλ för lämpligt valda B och λ. Ange B och λ. (3 p) c) Nedan anges ett utdrag ur variansanalystabellen för försöket. Använd det för att testa nollhypotesen på nivån 5%. Variationskälla Kvs Avvikelse från H Residual Totalt (4 p) Uppgift 3 Ett byggföretag utför en kvalitetskontroll genom att mäta fuktigheten i ett betongparti som består av ett antal olika betongblock. Man väljer ut ett stickprov på 5 block och genomför 3 mätningar på varje block. De uppmätta fuktigheterna Y i1, Y i2, Y i3 för block i = 1,..., 5 antas följa en ensidig variansanalysmodell Y ij = µ + δ i + ε ij av typ II, med väntevärde µ, oberoende blockeffekter δ i N(0, σδ 2) och mätfel ε ij N(0, σε). 2 Resultatet sammanfattas i följande tabell, i form av stickprovsmedelvärden Ȳi och stickprovsvarianser s 2 i för mätningarna inom respektive betongblock:

3 Linjära statistiska modeller, 13 januari Block Ȳ i s 2 i a) Skatta de två varianskomponenterna σδ 2 och σ2 ε. (5 p) b) Ange ett 95% konfidensintervall för µ. (5 p) Uppgift 4 De två tabellerna nedan visar var sitt fraktionellt försök, som utgår från samma fullständiga 2 3 -försök utan replikat. Responsvariabeln Y ijk beror av tre faktorer A, B och C som var och en varieras på två nivåer, låg (-) och hög (+). De tre indexen i, j, k {, +} markerar om A, B respektive C är på sin låga eller höga nivå. A B C Y ijk A B C Y ijk a) Bestäm kopplingsschemat för de båda försöken. (3 p) b) Vi antar nu att alla interaktioner av ordning 2 och 3 mellan de tre faktorerna kan försummas, och ansätter en additiv modell Y ijk = µ + Ā i + B j + C k + ε ijk, där µ anger försökens totala väntevärde, och Ā, B, C effekten av respektive faktor. Feltermerna ε ijk N(0, σ 2 ) antas vara oberoende. För vilket av de två fraktionella försöken ovan kan minsta kvadrat-skattningar av de tre huvudeffekterna Ā, B, C beräknas? Beräkna dessa skattningar Â, ˆB, Ĉ för det försök du valde. (4 p) c) Beräkna variansen för de tre skattningarna i deluppgift b). Går det att skatta denna varians utifrån det givna fraktionella försöket? (3 p) Uppgift 5 Anta att vi har en multipel linjär regressionsmodell Y = Aθ + ε med observationsvektor Y = (Y 1,..., Y N ) T, designmatris A, regressionsparametrar θ = (α, β 1,..., β k 1 ) T och feltermsvektor ε N(0, σ 2 I N ), där

4 Linjära statistiska modeller, 13 januari I N är en identitetsmatris av ordning N. Minsta kvadrat-skattningen ˆµ = (ˆµ 1,..., ˆµ N ) T av väntevärdesvektorn µ = Aθ kan skrivas med hjälp av hattmatrisen H = (h ij ) N i,j=1 som ˆµ = HY. (2) a) Visa att hattmatrisen kan uttryckas endast med hjälp av designmatrisen enligt H = A(A T A) 1 A T. b) Låt e i = Y i ˆµ i vara residualen för observation i. Visa att (3 p) E(e 2 i ) = σ 2 (1 h ii ). (3) (Ledning: Det kan vara enklast att utnyttja (2) och först undersöka kovariansmatrisen för hela residualvektorn e = (e 1,..., e N ) T = Y ˆµ.) (3 p) c) Härled hattmatrisen för enkel linjär regression, där de förklarande variablerna före centrering har värdena x 1,..., x N. Använd sedan (3) för att först ge ett uttryck för E(e 2 i ), och sedan diskutera vilka observationspunkter (x i, Y i ) som kan förväntas vara inflytelserika. (Ledning: Börja med att ställa upp designmatrisen. När du gör det får du enklast räkningar om du först centrerar de förklarande variablerna i regressionsmodellen.) (4 p)

5 Linjära statistiska modeller, 13 januari f 1 = f 2 = Table 1: F-kvantiler F 0.05 (f 1, f 2 ) avrundade till en decimals noggrannhet