Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister"

Transkript

1 Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Johan Lindström Repetition Johan Lindström - FMS86/MASB2 1/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Grundläggande begrepp (Kap. 3.1) Utfall resultatet av ett slumpmässigt försök. Bet. ω 1, ω 2,... Händelse en samling av ett eller flera utfall. Bet. A, B,... Utfallsrum mängden av möjliga utfall. Bet Ω Oberoende händelser (Kap ) Händelserna A och B är oberoende av varandra P(A B) = P(A)P(B) Johan Lindström - FMS86/MASB2 2/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Stokastisk variabel (Kap. 3.3) En stokastisk variabel eller slumpvariabel är ett tal vars värde styrs av slumpen. Bet X, Y,.... En stokastisk variabel beskrivs av: Sannolikhetsfunktion För en diskret s.v. X p X (k) = P(X = k) Täthetsfunktion För en kontinuerlig s.v X har vi f X (x). P(a X b) = b a f X (x) dx Fördelningsfunktion Summa av p X (k) eller integral av f X (x). F X (x) = P(X x) Johan Lindström - FMS86/MASB2 3/44

2 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Fördelningsfunktioner (Kap. 3.3) Diskret b P(a < X b) = p X(k) P(a < X b) = F X(b) F X(a) k=a+1 p X (k) F X (x) P(a < X b) = a b a b k k b a f X(x) dx Kontinuerligt P(a < X b) = F X(b) F X(a) f X (x) F X (x) a b x a b x Johan Lindström - FMS86/MASB2 4/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Standardfördelningar (Kap. 3.6 & 6) Diskret fördelning: Binomialfördelning Ett slumpmässigt försök som lyckas med slh. p upprepas n oberoende ggr, X = Antal ggr försöket lyckas. Poissonfördelning Räknar antal händelser. Kontinuerlig fördelning: Rektangel- eller likformig fördelning Lika fördelade händelser i intervall. Exponentialfördelning Ofta överlevnadstid, eller tid till/mellan händelser. Normalfördelning Summor av många oberoende, vanligt antagande om för mätfel. Johan Lindström - FMS86/MASB2 5/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Väntevärde, E(X), μ, μ X, m,... (Kap. 3.5) Väntevärdet anger tyngdpunkten för fördelningen och kan tolkas som det värde man får i medeltal i långa loppet. { E(X) = xf X(x) dx Kont. k kp X(k) Diskr. Varians, V(X), σ 2, σ 2 X (Kap. 3.5) Variansen anger hur utspridd X är kring sitt väntevärde. [ ] } 2 V(X) = E{ X E(X) = E(X 2 ) E(X) 2 Standardavvikelse:, D(X), σ, σ X D(X) = V(X) Johan Lindström - FMS86/MASB2 6/44

3 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Räkneregler för Väntevärde och Varians (Kap & 4.4) E ( n ) a i X i = ( n ) a i X i = V n a i E(X i ) n a 2 i V(X i) om oberoende Johan Lindström - FMS86/MASB2 7/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Linjärisering av g(x) kring punkten μ = E(X) g(x) g(µ) + g (µ)(x µ) g(µ) g(x) µ Johan Lindström - FMS86/MASB2 8/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Gauss approximationsformler i en variabel (Kap. 5.2) Y = g(x). Taylorutveckla funktionen g kring μ = E(X) g(x) g(μ) + (X μ)g (μ) = E(Y) g(e(x)) V(Y) g [E(X)] 2 V(X) Johan Lindström - FMS86/MASB2 9/44

4 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Summa av tärningar.2 p X (k) Antal tärningar k Johan Lindström - FMS86/MASB2 1/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Centrala gränsvärdessatsen CGS (Kap. 4.5) Om X 1, X 2,..., X n är oberoende likafördelade stokastiska variabler med E(X i ) = μ, V(X i ) = σ 2 så är n ( X i N nμ, nσ 2) då n stort (n ) 1. Om Y = n X i gäller Y N ( nμ, nσ 2) 2. Om X n = 1 n n ( ) X i gäller X n N μ, σ2 n Johan Lindström - FMS86/MASB2 11/44 Statistikteori översikt Punktskattning Hur gör man en bra gissning av en okänd storhet? Hur vet man att den är bra? Intervallskattning Hitta istället ett intervall som täcker den okända storheten med en given (stor) sannolikhet. Hypotestest Om gissningen blev.13, kan rätt värde på den okända storheten ändå vara.1? Regression Hur vet vi om två variabler påverkar varandra? Försöksplanering & Faktorförsök Hur konstruerar man studier som på bäst sätt (minst antal mätningar) undersöker effekten av olika faktorer (behandlingar)? Johan Lindström - FMS86/MASB2 12/44

5 Statistikteori, grundläggande begrepp (Kap. 7.1) Stickprov Ett stickprov, x 1, x 2,..., x n, är observationer av s.v. X 1,..., X n från någon fördelning X i F(θ) där θ är en okänd parameter. Skattning En skattning av θ, θ (x 1,..., x n ) är en observation av den s.v. θ (X 1,..., X n ). Båda betecknas oftast bara med θ. Bra egenskaper för en skattning är Väntevärdesriktig: E(θ ) = θ, inget systematiskt fel. Effektiv: liten varians (osäkerhet) V(θ ). Johan Lindström - FMS86/MASB2 13/44 Konfidensintervall (Kap. 7.3 & 9) Ett konfidensintervall för en parameter θ täcker rätt värde på θ med sannolikheten 1 α. 1 α kallas konfidensgrad. Vanliga värden är.95,.99 och.999. Normalfördelad skattning, θ N (θ, V(θ )) D(θ ) känd: I θ = θ ± λ α/2 D(θ ) D(θ ) okänd: I θ = θ ± t α/2 (f)d(θ ) Normalapproximation, θ N (θ, V(θ )) (Ex: CGS) D(θ ) känd: I θ = θ ± λ α/2 D(θ ) D(θ ) okänd: I θ = θ ± λ α/2 d(θ ) (alltid λ-kvantil) Johan Lindström - FMS86/MASB2 14/44 Konfidensintervall för σ 2 i N ( μ, σ 2) (Kap. 8.1) x 1,..., x n observationer av X i N ( μ, σ 2) Ett 1 α konfidensintervall för σ 2 ges av ( ) (n 1)s 2 (n 1)s 2 I σ 2 = χ 2 α/2 (n 1), χ 2 1 α/2 (n 1) I allmänhet har vi ( ) f s 2 f s 2 I σ 2 = χ 2 α/2 (f), χ 2 1 α/2 (f) där f är antalet frihetsgrader Johan Lindström - FMS86/MASB2 15/44

6 Sammanvägd variansskattning (Kap. 7.4 & 7.7) Om vi har x 1,..., x nx y 1,..., y ny obs. av X i N (μ x, σ 2) obs. av Y i N (μ y, σ 2) kan den gemensamma variansen σ 2 skattas med s 2 p = (n x 1)s 2 x + (n y 1)s 2 y = Q ( ) Q n x 1 + n y 1 f, σ 2 χ2 (f) Ett konfidensintervall för μ x μ y blir t.ex. I μx μ y = x ȳ ± t α/2 (f) s p 1 n x + 1 n y eftersom μ x μ y = X Ȳ N ( μ x μ y, σ 2 ( 1 n x + 1 n y )). Johan Lindström - FMS86/MASB2 16/44 Stickprov i par (Kap. 7.8) Vid många mätsituationer är det vanligt att man mäter före och efter en behandling på n inbördes olika föremål. Modell: Före: X i N ( μ i, σ 2 ) 1 Efter: Y i N ( μ i + Δ, σ 2 ) 2 Bilda Z i = Y i X i N ( Δ, σ 2) och skatta Δ med z. Gör konfidensintervall som vanligt för ett stickprov, dvs I Δ = z ± t α/2 (n 1) s n, s 2 = 1 n 1 n (z i z) 2. Johan Lindström - FMS86/MASB2 17/44 Hypotesprövning (Kap. 7.5 & 9) H förkastas om observationerna, θ, avviker för mycket från nollhypotesen θ. Testa nollhypotesen H : θ = θ mot mothypotesen (tex) H 1 : θ θ på nivån α; felrisken α ges av α = P(H förkastas trots att den är sann) De vanligaste mothypoteserna är H 1 : θ θ H förkastas om θ avviker för långt från θ både uppåt och nedåt. H 1 : θ < θ H förkastas om θ är tillräckligt mycket < θ. H 1 : θ > θ H förkastas om θ är tillräckligt mycket > θ. Johan Lindström - FMS86/MASB2 18/44

7 Olika metoder för att utföra hypotestest 1. Direktmetoden eller P-värde (Def. 7.35) Antag att H är sann Räkna ut P-värdet p = P(Få det vi fått eller värre) Om p < α förkastas H 2. Konfidensmetoden (Kap ) Gör ett konfidensintervall med konfidensgraden 1 α och förkasta H på nivån α om intervallet ej täcker θ. Intervallen skall, beroende på H 1, vara Test H 1 : θ < θ H 1 : θ θ H 1 : θ > θ Intervall: uppåt begr tvåsidigt nedåt begr 3. Testkvantitet T(X) och kritiskt område C (Kap ) Förkasta H om testskvantiteten hamnar i det kritiska området. C och T skall väljas så att α = P(T(X) C) = P( Förkasta H om H är sann ) Johan Lindström - FMS86/MASB2 19/44 Hypotestest Vilken metod? Normalfördelad skattning. σ känd: Vilken som helst. σ okänd: Direktmetoden kräver t-fördelningens fördelningsfunktion. Fördelning där μ = X N (μ, V(μ ))... enl. CGS. Vilken som helst Bin, Po,... där D(θ ) innehåller θ. Direktmetoden Går alltid att använda, ibland med normalapproximation. Konfidensmetoden Fungerar inte. Testkvantitet Kräver normalt normalapproximation. Vid styrkefunktion är det naturligt att utgå från testkvantitet. Johan Lindström - FMS86/MASB2 2/44 Testkvantiter Antag att vi vill testa H : θ = θ. Model Skattning T(X) D(θ )/d(θ ) kvantil X i N ( μ, σ 2) σ känd μ = X μ μ λ X Bin(n, p) X i Po(μ) Notera: σ okänd p = X n μ = X D(μ ) μ μ d(μ ) p p D (p ) μ μ D (μ ) 1. Standardavvikelse/medelfel räknas under H. 2. Bin och Po fallet kräver normalapproximation. 3. α-kvantil om ensidigt, α/2-kvantil om tvåsidigt. σ n s n p (1 p ) n μ n t(f) λ λ Johan Lindström - FMS86/MASB2 21/44

8 Styrkefunktion (Kap. 7.6) Användas för att avgöra hur bra testet skiljer H från H 1. h(θ) = P( Förkasta H om θ är rätt värde ) Typ 1 fel: Typ 2 fel: α = P(H förkastas om H sann) β = P(H förkastas ej om H ej sann) Johan Lindström - FMS86/MASB2 22/44 Styrkefunktion för testet av promillehalt (H : μ =.2) h(µ) = P(Förkasta H ) n = 3, σ = faktisk alkoholhalt µ n fördubblad resp. σ halverad faktisk alkoholhalt µ Den okända sanningen Nykter Olovligt påverkad Mätresultat μ = x Säkerhetsmarginal Kritiskt område Slutsats från test Frikänns Döms μ.2.27 Johan Lindström - FMS86/MASB2 23/44 Linjär regression Modell (Kap. 1.2) Vi har n st par av mätvärden (x i, y i ), i = 1,..., n där y i är observationer av Y i = α + βx i + ε i där ε i är oberoende av varandra, och ε i N (, σ 2). Johan Lindström - FMS86/MASB2 24/44

9 Observationer Skattad regressionslinje Verklig regressionslinje Fördelning för Yi Johan Lindström - FMS86/MASB2 25/44 Parameterskattningarna (Kap ) Skattningarna av α, β β = n (x i x)(y i ȳ) n (x i x) 2 α = ȳ β x och s 2 = (σ 2 ) är s 2 = Q n 2 där Q = Q σ 2 χ2 (n 2) = S xy n N (β, σ2 ) ( )) 1n N (α, σ 2 + x2 (y i α β x i ) 2 = S yy S2 xy Skattningarna α och β är dock inte oberoende av varandra. Johan Lindström - FMS86/MASB2 26/44 Konfidens-, prediktions- och kalibreringsintervall: I β = β s ± t a/2 (n 2) I α = α 1 ± t a/2 (n 2)s Sxx n + x2 I μ = α + β 1 x ± t a/2 (n 2)s n + (x x) 2. I Y(x ) = α + β x ± t a/2 (n 2)s n + (x x) 2 I x = x ± t s a/2(n 2) β n + (x x)2 Johan Lindström - FMS86/MASB2 27/44

10 Konfidens- och prediktionsintervall.5 Konfidensintervall för µ(x) och prediktionsintervall.4.3 Absorption Kopparkoncentration Johan Lindström - FMS86/MASB2 28/44 Kalibreringsintervall.5 Kalibreringsintervall då y = Absorption Kopparkoncentration Johan Lindström - FMS86/MASB2 29/44 Residualanalys/Modellvalidering (Kap. 1.1) För att undersöka hur bra modellen stämmer kan vi kan studera residualerna, dvs avvikelserna mellan observerade y-värden och den skattade linjen. e i = y i α β x i, i = 1,..., n Dessa är observationer av ε i, och residualerna bör alltså: se ut att komma från en och samma normalfördelning vara oberoende av varandra vara oberoende av alla x i. Johan Lindström - FMS86/MASB2 3/44

11 Residualplottar 1 Residualer 1 Residualer mot x 5 5 e e :n Probability x Normal Probability Plot 5 5 Data Johan Lindström - FMS86/MASB2 31/44 Multipel linjär regression (Kap. 11.2) Modellen y i = β + β 1 x 1i β p x pi + ε i, kan skrivas på matrisform som Y = Xβ + E ( ε i N, σ 2) oberoende där Y och E är n 1-vektorer, β en (p + 1) 1-vektor och X en n (p + 1)-matris y 1 1 x 11 x p1 β y 2 y =., X = 1 x 21 x p , β = β 1.,E = y n 1 x 1n x pn β p ε 1. ε n Johan Lindström - FMS86/MASB2 32/44 Johan Lindström - FMS86/MASB2 33/44

12 Skattning av β och σ 2 (Kap. 11.3) MK-skattningar av β,..., β p (elementen i β) blir β = (X X) 1 X Y V (β ) = σ 2 (X X) 1 och skattning av σ 2 är s 2 = där residualkvadratsumman ges av Q = Q n (p + 1) n ( yi β β 1 x 1i... βpx ) 2 pi Johan Lindström - FMS86/MASB2 34/44 Konfidensintervall och hypotestest för β i Konfidensintervall för β i blir alltså I βi = βi ± t a/2 (f) d(βi ) = [(X = βi ± t a/2 (n p 1) s X) 1] i,i Ett konfidensintervall för μ (x ) blir således 1 I μ (x ) = x β ± t a/2 (n p 1)s x (X X) x För prediktionsintervallet får man, som tidigare, lägga till en etta under kvadratroten 1 I Y(x ) = x β ± t a/2 (n p 1)s 1 + x (X X) x Johan Lindström - FMS86/MASB2 35/44 Kolinjäritet (ex. två variabler) (Kap. 11.6) Man bör om möjligt välja sina (x 1i, x 2i )-värden så att de blir utspridda i (x 1, x 2 )-planet och inte klumpar ihop sig längs en linje. Detta ger en mer stabil grund åt regressionsplanet. Johan Lindström - FMS86/MASB2 36/44

13 CO 2 halt CO 2 halt Förstagradsmodell Tid [år] Andragradsmodell Residualer Residualer Förstagradsmodell :n Andragradsmodell Tid [år] :n Linjär y = α + βx, och kvadratisk, y = β + β 1 x + β 2 x 2, anpassning av årlig CO 2 -halten vid Mauna Loa som funktion av året (sedan 196). Johan Lindström - FMS86/MASB2 37/44 Undersökningar Faktorförsök Model Konfidensintervall Statistiska undersökningar (Kap. 12.1) Deskriptiv undersökning Syftar till att beskriva egenskaper hos en population. Analytisk undersökning Syftar till att undersöka effekter av olika förklarande variabler eller faktorer på en population. Johan Lindström - FMS86/MASB2 38/44 Undersökningar Faktorförsök Model Konfidensintervall Analytisk undersökning (Kap. 12.1) Observationsstudie Ett antal objekt observeras tillsammans med en behandling. Vi har ingen möjlighet att påverka behandlingen. Kontrollerat experiment Behandlingen av olika objekt kan kontrolleras och bestäms på förhand Faktorer Variabler som vi kan styra i experimentet Kovariater Variabler som kan mätas men inte styras. Övriga variabler Kallas på engelska confounding factors Johan Lindström - FMS86/MASB2 39/44

14 Undersökningar Faktorförsök Model Konfidensintervall 2 2 -försök (Kap. 12.3) I ett 2 2 -försök har man 2 faktorer som alla kan varieras på 2 nivåer. B Hög μ 12 μ 22 Låg μ 11 μ 21 Låg Hög A Enkel effekt Effekten av en faktor om den andra faktorn är fix. Huvudeffekt Effekten av en faktor för alla värden på den andra faktorn. Samspelseffekten Skillnaden mellan de enkla effekterna. Johan Lindström - FMS86/MASB2 4/44 Undersökningar Faktorförsök Model Konfidensintervall Teckenschema för 2 2 -försök (Kap ) Försök Respons μ A B AB A och B låg (1) μ A hög a μ B hög b μ A och B hög ab μ Johan Lindström - FMS86/MASB2 41/44 Undersökningar Faktorförsök Model Konfidensintervall Model för 2 2 -försök (Kap ) Vid n mätningar (replikat) av varje faktorkombination ges varje observation av y ijk = μ ij + ε ijk, i = 1, 2; j = 1, 2; k = 1,..., n och felen antas vara oberoende ε ijk N (, σ 2). n ( 2 yijk ȳ ij ) μ ij = ȳ ij, s 2 ij = Â = ȳ 11 + ȳ 21 ȳ 12 + ȳ , k=1 s 2 = s s s s , f = 2 2 (n 1) n, Johan Lindström - FMS86/MASB2 42/44

15 Undersökningar Faktorförsök Model Konfidensintervall Johan Lindström - FMS86/MASB2 43/44 Undersökningar Faktorförsök Model Konfidensintervall Konfidensintervall för 2 2 -försök (Kap ) Givet n replikat blir konfidensintervallen för effekterna I A = Â ± t α/2(2 2 s (n 1)) 22 n I B = B ± t α/2 (2 2 s (n 1)) 22 n I A B = ÂB ± t α/2(2 2 s (n 1)) 22 n Johan Lindström - FMS86/MASB2 44/44

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 5 Johan Lindström 12 september 216 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 F5 1/23 Repetition Gauss approximation Delta metoden

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 8 Johan Lindström 21 september 2016 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 1/21 för diskret data : Poisson & Binomial för

Läs mer

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Anna Lindgren 7+8 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F11: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett

Läs mer

Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Johan Lindström 27 Januari, 2015 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS012 F11 1/19 Repetition

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 11 & 12 Johan Lindström 5 & 14 oktober 2015 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F11 1/27 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se

Läs mer

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Anna Lindgren 28+29 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F15: multipel regression 1/22 Linjär regression

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P

Läs mer

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 13 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 13 maj 2015 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Begrepp inom hypotesprövning (rep.) Tre metoder för att avgöra om H 0 ska

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 4 oktober 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Intervallskattning med normalfördelade data: två stickprov (rep.) Intervallskattning

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning P-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/33

Läs mer

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

5 Stokastiska vektorer 9. 6 Multipel regression Matrisformulering MK-skattning av β... 11

5 Stokastiska vektorer 9. 6 Multipel regression Matrisformulering MK-skattning av β... 11 UTDRAG UR FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI LINJÄR REGRESSION OCH STOKASTISKA VEKTORER MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, Π; FMS 012 JOAKIM LÜBECK, MARS 2014 Innehåll 4 Enkel linjär regression

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,

Läs mer

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov TNG006 F0-05-06 Konfidensintervall för linjärkombinationer 0. Konfidensintervall vid två oberoende stikprov Antag att X, X,..., X m är ett stikprov på N(µ, σ ) oh att Y, Y,..., Y n är ett stikprov på N(µ,

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

Enkel och multipel linjär regression

Enkel och multipel linjär regression TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0

Läs mer

TMS136. Föreläsning 11

TMS136. Föreläsning 11 TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för

Läs mer

Sannolikheter och kombinatorik

Sannolikheter och kombinatorik Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent

Läs mer

Föreläsning 7. Statistikens grunder.

Föreläsning 7. Statistikens grunder. Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST Jan Grandell & Timo Koski 25.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25.02.2016 1 / 46 INNEHÅLL Hypotesprövning

Läs mer

5 Stokastiska vektorer 9. 6 Multipel regression Matrisformulering MK-skattning av A.3 Skattningarnas fördelning...

5 Stokastiska vektorer 9. 6 Multipel regression Matrisformulering MK-skattning av A.3 Skattningarnas fördelning... UTDRAG UR FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI LINJÄR REGRESSION OCH STOKASTISKA VEKTORER MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, È; FMS 012 JOAKIM LÜBECK, SEPTEMBER 2008 Innehåll 4 Enkel linjär

Läs mer

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik Kungl Tekniska Högskolan AMatematiska institutionen avd matematisk statistik TENTAMEN I 5B1503 STATISTIK MED FÖRSÖKSPLANERING FÖR B OCH K FREDAGEN DEN 11 JANUARI 2002 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar

Läs mer

FORMELSAMLING HT-15 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMS086 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data

FORMELSAMLING HT-15 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMS086 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-15 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMS086 & MASB0 Sannolkhetsteor Följande gäller för sannolkheter: 0

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler

Läs mer

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)

Läs mer

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.

Läs mer

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Erik Lindström 25 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 1/16 Repetition Stok. Var. Diskret

Läs mer

Statistisk försöksplanering

Statistisk försöksplanering Statistisk försöksplanering Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Skriftlig tentamen 3 hp 51SF01 Textilingenjörsutbildningen Tentamensdatum: 2 November Tid: 09:00-13 Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik

Läs mer

F9 Konfidensintervall

F9 Konfidensintervall 1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att

Läs mer

Formler och tabeller till kursen MSG830

Formler och tabeller till kursen MSG830 Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 14

MVE051/MSG Föreläsning 14 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.

Läs mer

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 3: Transformation och simulering

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 3: Transformation och simulering Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 3: Transformation och simulering Anna Lindgren 8+9 september 216 Anna Lindgren - anna@maths.lth.se FMS12/MASB3: transform 1/11 Stokastisk variabel Kvantil Stokastisk

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Statistik för Teknologer, 5 poäng (TNK, ET, BTG) Peter Anton, Per Arnqvist Anton Grafström TENTAMEN 7-8-9 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2.

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90,SF907,SF908,SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK TORSDAGEN DEN 7:E JUNI 0 KL 4.00 9.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 7 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

TMS136. Föreläsning 13

TMS136. Föreläsning 13 TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4) Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson,

STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson, STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson, 5--9 Lösningförslag skriftlig hemtentamen i Fortsättningskurs i statistik, moment, Statistisk Teori, poäng. Deltentamen : Sannolikhetsteori

Läs mer

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK 9HP, FMS012 [UPPDATERAD ] Sannolikhetsteorins grunder

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK 9HP, FMS012 [UPPDATERAD ] Sannolikhetsteorins grunder LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK 9HP, FMS02 [UPPDATERAD 2007-09-2] Sannolihetsteori Sannolihetsteorins grunder Följande gäller för sannoliheter:

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

4.1 Grundläggande sannolikhetslära

4.1 Grundläggande sannolikhetslära 4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan

Läs mer

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar

Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad

Läs mer

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för

Läs mer

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola.

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tid: Måndagen den 2015-06-01, 8.30-12.30. Examinator och Jour: Olle Nerman, tel. 7723565, rum 3056, MV, Chalmers. Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

Prediktera. Statistik för modellval och prediktion. Trend? - Syrehalt beroende på kovariater. Sambands- och trendanalys

Prediktera. Statistik för modellval och prediktion. Trend? - Syrehalt beroende på kovariater. Sambands- och trendanalys Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren Prediktera Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/28 Statistik för modellval

Läs mer

Datorövning 3 Hypotesprövning och styrka

Datorövning 3 Hypotesprövning och styrka Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, HT-16 Datorövning 3 Hypotesprövning och styrka Syftet med den här laborationen är att du skall bli

Läs mer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin thulin@math.uu.se Senast uppdaterad 20 februari 2013 Diskussionsproblem till Lektion 3 1. En projektledare i ett byggföretaget ska undersöka

Läs mer

4.2.1 Binomialfördelning

4.2.1 Binomialfördelning Ex. Kasta en tärning. 1. Vad är sannolikheten att få en 6:a? 2. Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? 3. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a? 4. Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten

Läs mer

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat

Läs mer

Föreläsning 4, Matematisk statistik för M

Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Erik Lindström 1 april 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 1/19 Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) Förekomst: Ett slumpmässigt försök med

Läs mer

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Statistiska metoder för säkerhetsanalys F3: Slumpvariaber och fördelningar Diskret Kontinuerlig Slumpvariabler Slumpvariabler = stokastiska variabler = random variables = s.v. Heter ofta X, Y, T. Diskreta kan anta ändligt eller uppräkneligt

Läs mer

Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E Repetition Kvantil Presentation Slumptal Transformer Inversmetoden Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 13 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F3 1/19 Repetition

Läs mer

Extrauppgifter i matematisk statistik

Extrauppgifter i matematisk statistik Extrauppgifter i matematisk statistik BT 2014 1. Mängden A är dubbelt så sannolik som B. Hur förhåller sig P(A B) till P(B A)? 2. Två händelser A och B har sannolikheter skilda från noll. (a) A och B är

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1907, SF1908 samt SF1913 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONS- DAGEN DEN 9:E JANUARI 2013 KL 14.00 19.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i

Läs mer

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder.

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tentamen 2014-12-05 i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling med tabeller. C1. (6 poäng) Ange för

Läs mer

Föreläsning 8: Konfidensintervall

Föreläsning 8: Konfidensintervall Föreläsning 8: Konfidensintervall Matematisk statistik Chalmers University of Technology Maj 4, 2015 Projektuppgift Projektet går ut på att studera frisättningen av dopamin hos nervceller och de två huvudsakliga

Läs mer

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SF905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E AUGSTI 204 KL 08.00 3.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB ÖVNING 7 (25-4-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (25-5-4) Aktuella avsnitt i boken: 6.6 6.8. Lektionens mål: Du ska kunna sätta

Läs mer

Examinationsuppgifter del 2

Examinationsuppgifter del 2 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för Matematik och Matematisk statistisk Statistik för ingenjörer, poäng, Anders Lundquist 7-- Examinationsuppgifter del Redovisas muntligt den / (Ö-vik) samt / (Lycksele).

Läs mer

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p)

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF190 (f d 5B2501 ) SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR - ÅRIG MEDIA MÅNDAGEN DEN 1 AUGUSTI 2012 KL 08.00 1.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 21 7 45 Tillåtna

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Laboration 3: Enkla punktskattningar, styrkefunktion och bootstrap

Laboration 3: Enkla punktskattningar, styrkefunktion och bootstrap LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 3, HT -06 MATEMATISK STATISTIK FÖR F, PI OCH NANO, FMS 012 MATEMATISK STATISTIK FÖR FYSIKER, MAS 233 Laboration 3: Enkla punktskattningar,

Läs mer

dvs. Trots att arbetslaget arbetar tillsammans antages skadorna hos de olika medlemmarna

dvs. Trots att arbetslaget arbetar tillsammans antages skadorna hos de olika medlemmarna Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK I Uppgift 1 I en byggnad sitter ett brandlarm monterat. Under en tidsperiod är sannolikheten att larmet går 3%. Man vet att 98%

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2015-10-23 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Jesper Martinsson,

Läs mer

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Liksom konfidensintervall ett hjälpmedel för att

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-08-31 Tid:

Läs mer

Teoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005

Teoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005 Teoretisk statistik Gunnar Englund Matematisk statistik KTH Vt 2005 Inledning Vi skall kortfattat behandla aspekter av teoretisk statistik där framför allt begreppet uttömmande (ibland kallad tillräcklig

Läs mer

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 205 KL 4.00 9.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Matematisk statistik for B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Beskriva Data Florence Nightingale. Forel.

Matematisk statistik for B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Beskriva Data Florence Nightingale. Forel. Matematisk statistik for B, K, N, BME och Kemister asning Forel 1 Johan Lindstrom 29 augusti 2016 Johan Lindstr om - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/21 Till ampningar Matematisk statistik slumpens

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2014-06-05 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Jesper

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

Kapitel 10 Hypotesprövning

Kapitel 10 Hypotesprövning Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 10 Hypotesprövning 1 Vad innebär hypotesprövning? Statistisk inferens kan utföras genom att ställa upp hypoteser angående en eller flera av populationens parametrar.

Läs mer