TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

Transkript

1 TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Vektorberäkningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur:

2 1 Introduktion I denna övning skall vi träna på att använda Matlab för att utföra enklare beräkningar I de flesta fall skall både Matlab program och grafer redovisas. Enklast är därför att skriva de Matlab kommandon som löser uppgiften i editorn. Då blir det enkelt att skriva ut det som skall redovisas efter att uppgiften är löst. För att skriva ut Matlab program kan kommandot a2ps användas. Du använder då ett terminalfönster och skriver a2ps *.m så skrivs alla Matlab program i aktuell katalog ut till skrivaren. 2 Approximation av π Det är känt att x2dx = π. Vi kan alltså hitta en approximation av π förutsatt att vi kan beräkna integralens värde. Vi skall implementera en metod att beräkna π som baseras på denna observation. Uppgift 2.1 Implementera följande metod för att beräkna π i Matlab. 1. Dela in intervallet [0, 1] i N st delintervall. 2. Uppskatta integralens värde för varje delintervall genom att multiplicera funktionsvärdet i intervallets mittpunkt med delintervallets längd. Då du är färdig skall du kunna beräkna en approximation av π vars noggrannhet beror på antalet delintervall som används, dvs på N. Ange det värde på π du får med N = 100 delintervall. Svar: Tips I Matlab finns en standard funktion pi som ger ett värde på π med ungefär 15 decimalers noggrannhet. Du kan använda denna för att hitta felet i din approximation. 1

3 Uppgift 2.2 Vi skall nu studera hur felet i den beräknade approximationen av π beror på antalet delintervall som används. Fyll i tabellen. N π Felet Vi antar att felet kan uttryckas som C(1/N) p för något heltal p. Utgå ifrån tabellen och bestäm heltalet p så bra som möjligt. Redovisa beräkningarna. Svar: Redovisa Skriv ut och lämna in ditt Matlab program. 3 Ett snötäckt tak Q E = Pa I = m 4 x δ(x) L Figur 1: En balk som belastas av en jämt fördelad last Q. En balk som belastas kommer att böjas. Hur stor nedböjningen blir beror dels på balkens dimensioner, material, och hur lasten ser ut. I denna uppgift skall vi försöka dimensionera taket på en uteplats så att det klarar av att bära upp ett tjockt snötäcke utan att nedböjningen märks allt för mycket. Snötäcket approximeras med en jämt fördelad last vilket ger en formel ( ) δ(x) = QL3 x EI 24L x3 12L 3 + x4 24L 4, där δ(x) är nedböjningen, Q är den totala lasten, E är materialets elasticitetsmodul, I är balkens tröghetsmoment, och L är balkens länd. Situationen illustreras i Figur 1. I fallet med snötäcket 2

4 antar vi att vi har en konstant last på varje längdenhet. Vi har alltså en last q [N/m] och den totala lasten beräknas som Q = ql. Uppgift 3.1 Låt balkens egenskaper vara givna enligt Figur 1. Välj dessutom en lastq = 4500N/m och en längd L = 1.2 m.för att illustrera nedböjningsfallet så skall vi plotta både funktionen δ(x) och utgångsläget utan last i en graf. Skriv ett script RitaBalk som gör detta. Din graf skall ha samma utseende som i Figur 2. Ditt script skall dessutom beräkna, och skriva ut, den största nedböjningen som fås av belastningsfallet. Utskriften skall göras enligt mönstret: Fallet L=1.2 m och Q=4700 N ger en nedböjning högst 2.78 mm. Tips För att få en lagom stor utsträckning på koordinataxlarna beräkna c = 0.1 δ max och låt axlarna ha gränser 0.05L x 1.05L och c δ max y c. Läs hjälptexten till axis-funktionen för att se hur du skall göra. Tips För att få grekiska tecken på y-axeln skriv ylabel( Nedböjning \delta(x) [mm] ); Nedböjning δ(x) [mm] Position x [m] Figur 2: Den graf som ritas upp av RitaBalk för fallet då L = 1.2m och q = 4500N/m. Den maximala nedböjningen blir här 3.0mm. 3

5 Uppgift 3.2 Vi vill att ett tak skall klara ett snölager som motsvarar en last q = 1370N/m. Balken som skall bära upp snötäcket är 4m lång och nedböjningen blir som störst 111.5mm. Det är en större nedböjning än vi är beredda att acceptera och skall därför placera ut extra stolpar som stödjer upp balken. Den maximala nedböjningen för detta belastningsfall inträffar vid x = L/2. Formulera det uttryck som beskriver den maximala nedböjningen δmax som funktion av L Svar För att kunna välja rätt antal stödpelare skall vi rita upp en graf över maximal nedböjning δmax(l), för 1m L 4m. Din graf skall ha lämplig text som förklarar vad som visas på axlarna. Lämpligt är att enhet för längden L är m och nedböjningen δmax visas i mm. Vi är beredda att acceptera en maximal nedböjning på 10 mm. Detta ger oss ett maximalt avstånd mellan två stolpar som du kan läsa av i din graf. Hur många extra stolpar krävs för att stödja balken? Svar: Redovisa Skriv ut dina program. Redovisa även dina två grafer som visar δ(x), för fallet q = 4500N/m och L = 1.2m, samt δ max (L) för fallet q = 1370N/m och 1m L 4m. 4 Tärningskast I ett spel får man förflytta en pjäs ett antal steg. För att avgöra hur många steg man får förflytta sig slår man två tärningar och tittar på det högsta värde som erhålls. Slår man alltså en sexa och en fyra får man förflytta sig totalt sex steg. Vill man analysera hur ett sådant spel går till är det viktigt att studera den statistiska fördelningen för det antal steg en spelare kan förflytta sig under en spelomgång. Vi kan antigen beräkna denna fördelning teoretiskt eller undersöka den med experiment. I denna uppgift skall vi simulera ett stort antal omgångar tärningskast och illustrera fördelningen i ett histogram. Uppgift 4.1 Simulera N = 1000 omgångar tärningskast genom att utnyttja följande metod: - Skapa en N 2 matris med slumpmässiga heltal i intervallet [1,6]. Varje rad i matrisen representerar då två tärningskast. - Beräkna max över raderna i matrisen. Vi får då en vektor med Nst heltal som representerar det antal steg vi får ta i varje spelomgång. - Rita upp ett histogram som illustrerar antalet förekomster av de olika utfallen 1,2,...,6. Skriv ett Matlab script som implementerar ovanstående metod. 4

6 Tips Slumptalen genereras enklast med funktionen randi. För att rita upp histogrammet används funktionen histogram. Läs dokumentationen, dvs help histogram, för att ta reda på hur du skall lösa uppgiften. Tänk på att lägga till förklarande text på histogrammets koordinataxlar. Uppgift 4.2 Enda chansen att få resultatet ett steg är att bägge tärningarna visar resultatet ett. Sannolikheten för detta är (1/6) 2 = Stämmer detta med ditt experimentella resultat ovan? Svar Redovisa Skriv ut ditt program och ditt histogram. 5