Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Transkript

1 Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt 3 poäng. 3 poäng: U. 4 3 poäng: G. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.. Bestäm (a) e cos t sin t dt Fall för substitution: ucos t e cos t sin t dt du sin t dt dusin t dt e u du e u C e cos t C (3p) Rättningsnorm: Valt lämplig substitution: p. Korrekt genomfört substitutionen: p. Korrekt löst och återsubstituerat i den integral man kom fram till: p. x x (b) 4x 4x x 3 dx (5p) Fall för partialbråksuppdelning. Börja med att faktorisera nämnaren: 4x 4x x 3 x(x 4x4) x(x ) En upprepad förstagradsfaktor. Ansätt, och sätt så tillbaka på gemensamt bråkstreck: x x x(x ) A x B x C A (x ) xb(x ) (x ) x(x ) x(x )(x ) xc x(x ) Ax 4Ax4A Bx BxCx x(x ) Identifiering av koefficienter ger A B A3 4A BC B 4 4A C Nu går det att lösa integralen: x x ( 3 4x 4x x dx 3 x 4 ) x dx (x ) (A B)x ( 4A BC)x(4A) x(x ) 3 ln x 4 ln x (x ) C Rättningsnorm: Faktorisering och ansats: p. Multiplikation och separation efter gradtal: p. Ekvationssystemslösning: p. Integrering: p, p om man misslyckats med en av termerna. Inga avdrag för följdfel; gör man t.ex. fel i multiplikationen får man ju fel ekvationssystem, men får poäng om det är korrekt löst.

2 MAA4 Lösning Sida (av 5). Vi har m staket, och ska använda detta till att avgränsa en hage med fyra lika stora rektangulära fållor på en stor äng. Det verkar gå att göra detta på två olika sätt: Vilket av alternativen ska vi välja, och vilka mått bör vi ge fållorna, om vi vill hägna in ett så stort område som möjligt? (8p) Vi ser efter vad som är det maximala möjliga området i de båda alternativen: Alternativ : Kalla bredden på en fålla för x och höjden för y. Vi ska maximera A4xy givet att 8x5y. A(x)4x 8x 5 8x 3 5 x Detta är ett andragradsuttryck, med negativ koefficient på andragradstermen. Ett sådant ( ledsen mun ) har ett max med derivatan noll. (Maxpunkten ligger mitt emellan nollställena, och kan därför tas fram utan derivering, om man vill det.) A (x) x x ,5 m y m 4 Maxarean blir 4 6,5 5 m. Alternativ : Använd samma beteckningar. Vi ska maximera A 4xy givet att 6x 6y. A(x)4x 6x 6 Samma argument om maximum: A (x) 3 3 x 4x 8x x ,33 m y 3 3 8,33 m Den här hagen ska alltså göras kvadratisk. Maxarean blir 4( 5 /3) 5 /9 m. Det andra alternativet gav ett max på 5 5 / m, så detta är något bättre. Svar: Ta alternativ, och gör allt kvadratiskt. Rättningsnorm: Korrekt analys av ena alternativet: p för formulerande av korrekt funktion, p för analysen av den. Korrekt analys av andra alternativet: p. Svar konsistent med de resultat man kommit fram till: p. 3. Kurvorna y x x och yx 4x 3 avgränsar tillsammans ett ändligt område. (a) Skissa området, och bestäm skärningspunkterna mellan kurvorna. (3p) Uttrycket med absolutbelopp ger en kurva som ser ut som y x x med de delar som är nere i det negativa området uppvikta, så det kan vara enklast att utgå därifrån. Annars kan man göra upp värdetabell på vanligt sätt. Det andra uttrycket hanteras enklast med värdetabell.

3 MAA4 Lösning Sida 3 (av 5) Skärningspunkterna är (, 3) och (3, 3); framgår ur bild, och ur det välkända utseendet hos parablar framgår att det inte kan finnas flera. Rättningsnorm: Kurvor: p. (p för delvis korrekta bilder, t.ex. en där de skarpa hörnen på den röda kurvan är snygga böjar.) p för skärningspunkterna. (b) Bestäm områdets area. (5p) Den röda kurvan är överkurva i hela området, men beräkningen måste ändå delas upp p.g.a. absolutbeloppet: A ( x x (x 4x 3) ) dx ( (x x) (x 4x 3) ) dx ( (x x) (x 4x 3) ) dx ( (x x) (x 4x 3) ) dx Symmetri ger dock att första och sista integralen är lika, så det räcker att beräkna den ena av dem och fördubbla. I I 3 I ( (x x) (x 4x 3) ) dx ( x x3) dx [ 3 x3 x 3x ] 3 ( ) ( ) 5 3 ( (x x) (x 4x 3) ) dx ( 3x 6x3) dx [ x 3 3x 3x ] ( ) ( ) Svar: Arean är ,3 a.e. (Anm. Decimalapproximationen kan vara bra om man vill göra en rimlighetskontroll genom att räkna rutor i figuren.) Rättningsnorm: Inga avdrag för rena räknefel i sista steget, om man inte får ett fullständigt orimligt resultat. Rättningsnorm: Kan man inte hantera absolutbeloppet men gör allt annat rätt så ges p. Annars: Rätt integral: p. Uppdelning: p. Lösning och sammanställning av svar: 3p, avdrag vid integreringsfel och teckenfel men inte vid rena räknefel.

4 MAA4 Lösning Sida 4 (av 5) 4. Integralen f (x) dx approximeras med summan (a) Beräkna summan. Svaret ska förenklas. Låt i gå från till 6: 6 cos( iπ 6 ) 6 i 6 cos( iπ 6 ) 6 cos(π 6 ) 6 cos(π 6 ) 6 cos(3π 6 ) 6 i (p) cos( 4π 6 ) 6 cos(5π 6 ) 6 cos(6π 6 ) 6 3 ( )( 3 )( ) 6 6 Rättningsnorm: Rätt tolkning av summauttrycket: p. Korrekt beräkning av det man tolkat uttrycket som (förutsatt att det är ungefär jämnsvårt med det korrekta uttrycket): p. (b) Funktionen f i approximationen ovan är strängt avtagande på intervallet [, ], och approximationen är gjord med hjälp av funktionsvärdena i delintervallens högra ändpunkter. Är det approximerade värdet större eller mindre än det verkliga värdet på integralen? Motivera, rita gärna figur. (p) Illustration: Då man tar funktionsvärdet i högerkanten på delintervallet på en avtagande funktion så får man det lägsta värdet i delintervallet. Då blir summan en underskattning. Så det här värdet är lägre än det verkliga. Rättningsnorm: Rätt svar ( mindre ): p. Begriplig och korrekt motivering: p. Funktionen g definieras som g(x) x (t t ) dt x (c) För vilket värde på x antar g(x) sitt största värde? Motivera noga, rita gärna figur. (4p) Metod : Integralen motsvarar arean under kurvan yt t, från t till tx, med delar under x-axeln räknade som negativa. Kurvan ser ut så här:

5 MAA4 Lösning Sida 5 (av 5) Vi måste få maximalt värde om vi ser till att få med hela det positiva området och inget av det negativa. Detta får vi om vi sätter övre gränsen till. Metod : Ska man maximera en funktion så bör man studera dess derivata. Enligt fundamentalsatsen del är g (x) d dx x (t t ) dt x x Derivatan är för x och x ; x är dessutom ändpunkt på definitionsmängden. Tabell: x g (x) g(x) ր ց g(x) antar sitt största värde för x. Rättningsnorm: Metod : svaret p, vattentät motivering 3p, delpoäng för motiveringar med luckor. Metod : Derivatan: p, derivataanalysen: p.