Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Transkript

1 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion. 104 Definitionsmängden = de tillåtna x-värdena. Avläs på x-axeln mellan vilka värden grafen ligger. Definitionsmängd: 1 x < x = tillhör inte intervallet eftersom den ringen är ofylld Värdemängden = de erhållna y-värdena. Avläs på y-axeln mellan vilka värden grafen ligger. Värdemängd: y Även y = tillhör intervallet 105 a) Den vertikala linjen skär grafen på två ställen. Grafen beskriver inte en funktion eftersom det finns mer än ett y-värde för minst ett x-värde. 106 a) Nej, man kan inte dra en vertikal (lodrät) linje som skär grafen på mer än ett ställe. Ja, detta är en funktion. 107 a) Minsta tillåtna x-värde är, största tillåtna x-värde är Se facit 109 Se facit Funktionens definitionsmängd är x 5. c) Minsta antagna y-värde är, största antagna y-värde är 6. d) Funktionens värdemängd är y , 111 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 11, 113 Exempel som löses i boken. 114 f ( x) = x+ 3 a) Att bestämma f (0) betyder att vi ska bestämma funktionens värde då x = 0. Det gör vi genom att byta ut x mot 0 i uttrycket för funktionen f (0) = = 3 Svar: f (0) = 3 f () = + 3 = 5 Svar: f () = 5

2 115 f ( x) = x + 3x a) f (5) = = = 40 f ( 6) = ( 6) + 3( 6) = 36 + ( 18) = = Vilket värde får gx då x = 6? Kom ihåg räkneordningen: - Först potenser, - sedan multiplikation och division - sist plus och minus 117 a) Om f ( x) = 5x 3x och x = 4 så blir f (4) = c) Värdet på f (4) = = = 80 1 = 68. f (4) = f ( x) = 4x 3 a) f (0) = 4 0 3= 0 3= 3 c) f ( 1) = 4( 1) 3= 4 3= 7 f (5) = = 0 3 = 17 d) f ( 6) = 4( 6) 3= 4 3= f ( x) = 7x 3x a) c) d) f (1) = = 7 3 = 4 f (4) = = = 8 48 = 0 f ( 1) = 7( 1) 3( 1) = 7 3 1= 7 3= 10 f ( 6) = 7( 6) 3( 6) = = = a) f (3) = värdet på y då x = 3 f( x ) = 3 betyder att y = 3. Vilket värde har x då y = 3? c) f( x+ 1) = 11 betyder att y = 11. Avläs ur tabellen vilket värde som svarar mot y = 11 Där står 3, vilket betyder att x + 1= 3 och vi får x = 11 Gå från x = 3 till grafen och sedan åt vänster till y-axeln och avläs värdet. 1 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 13 a) Bestäm värdet på y då x = Bestäm de x-värden där y = 0 14 Se facit. 15 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 16 Se lösningsförslag i facit..

3 Kapitel. 101 Exempel som löses i boken. 0 a) 7 + ( 3) = 7 3 = 4 c) 9 ( 3) = 9+ 3= ( 8) = 6 8 = 14 d) 10 ( ) = 10 + = 8 03 a) 4 ( 3) 1 c) = ( 7) 6= 4 = ( ) ( ) ( 10) ( 5) 50 d) 6 = 1 = 1 04 Se facit. Minnesregel: lika tecken ger plus, olika tecken ger minus 05 Se facit. Kom ihåg hur det ser ut på tallinjen: - minus innebär att gå åt vänster på tallinjen. Tar man plus går man åt höger. - det mindre talet ligger alltid till vänster om det större på tallinjen. 06 a) = = = = = = a) = = = = = = a) = = = = = = a) 7 = 6 m c) 1 = m 7 = 1 + m 1 = 18 + m 7 1 = m 1 18 = m m = 5 m = 6 m 4 = = 15 + m = m m = 19 + m 3 ( 1) 9 = + m 3 9 = 14 + m d) 9 = ( 1) 9 14 = m m = 5 10 Se lösningsförslag i facit.

4 11, 1 Exempel som löses i boken. ( + ) = + = a) x 5 x 5 x c) ( ) = = 6 x 3 x 3 x d) 14 a) 3 x+ = 3 x+ 3 = 3 6 c) 3 x 1 = 3 x 3 1= 6x 3 34 x+ 3= 34 x+ 33 = 1x+ 9 5 x+ 6 = 5 x+ 5 6= 10x 30 x 3( x ) = 3 x ( 3) = 3x+ 6 d) 15 a) 5 x 9 5 x 5 9 5x 4 c) 47x 5= 47 x 4 5= 8x+ 0 ( + ) = + ( ) = 5 73x 73x 7 1x 14 d) 63x+ 4= 63 x+ 6 4= 18x 4 ( ) = = 16 Se lösningsförslag i facit. 85x 6 = 85 x 8 6= 40x a) y 10x = 0 addera 10x till båda leden c) 9x 3y = 0 addera 3y till båda leden y = 10x dela båda leden med 9x = 3y dela båda leden med 3 y = 5x 3x = y eller y = 3x 4y + 1x = 0 subtrahera 1x d) 3x 7y = 0 addera 7y till båda leden 4y = 1x dela båda leden med 4 3x = 7y dela båda leden med 7 y = 3x 3 7 x = y eller y = 3 7 x 18 a) y + x 3 = 0 subtrahera x, addera 3 y + 3x = 0 subtrahera 3x, addera y = 3 x y = 3x 19 a) x y 1 = 0 addera y till båda leden x y + 5 = 0 addera y till båda leden x 1 = y eller y = x 1 x + 5 = y eller y = x Se ledning och lösningsförslag i facit. 1 a) 4x + 4y = 0 addera 4x och 0 x 5y 40 = 0 addera 5y 4y = 4x + 0 dela allt med 4 x 40 = 5y dela allt med 5 y = x + 5 0,4x 8 = y eller y = 0,4x 8 Se lösningsförslag i facit. 3, 4 Exempel som löses i boken. 5 y y 5 3 = = 6 1 = 5 y y k = = = = a) k 6 a) Utgå från punkten (0, 3). Gör trappsteg upp åt höger med höjden och bredden 3. k = /3 anger att förändringen i y-led är och förändringen i x-led är 3. Se facit

5 Utgå från punkten ( 1, 3). Gör trappsteg ned åt höger med höjden och bredden 1. k = anger att förändringen i y-led är steg nedåt för varje steg åt höger. Se facit 7 y y = = = = a) k y x y = x k = = = = 8 a) y k = = x 3 y k = = x 5 9 a) x= x x1 = 3 0= 3, y = y y1 = 9 3= 6, y 6 k = = = x 3 = = ( ) = + =5 x x x , y 1 k = = =, 4 x 5 y = y y1 = 8 4 = 8+ 4= 1, 30 a) k y y1 4 = = k = = = = Alltid värdet i den högra punkten, den med högre x-värde, minus värdet i den vänstra. 31 Se facit. 3 y y k = = = = Lutningen = k-värdet. k y x = = y = x Se facit 35 a) och Se facit. Om linjens ekvation står på formen y = kx + m, där k och m är siffror, så är lutningen siffran framför x. c) Linjen y = 5 innebär att y har värdet 5 för alla värden på x. Vi har alltså en vågrät linje med lutningen k = 0 (Testa med formeln för k) d) Linjen x = 5 innebär att x har värdet 5 för alla värden på y. Här har vi en lodrät linje och k kan inte beräknas. (Det skulle innebära division med 0) 36 y y y y = = = = 5 c) k = = = = a) k

6 k y x y y 1 y = d) k = = = = k saknas x = = = = Pricka in punkterna i ett koordinatsystem och kontrollera att lutningen stämmer. 37 Välj två punkter på respektive linje där koordinaterna är lätta att avläsa. Andra punkter än de vi valt här ska ge samma k-värde. a) (3, 3) och (-3, 0) k y x y = x = = = = (3, 5) och (0, -1) c) (-1, ) och (1, -4) k k y x y = x = = = = y x y x = = = = = 3 y y d) (0, 3) och (3, 0) k = = = = Kontrollera med trappstegsmetoden att svaret stämmer med figuren. 38 Se bokens ledning och facit. 39 A (-4, -), B (5, 7) och C (8, 10) k AB = = = = k AC Svar: Punkterna ligger i rät linje eftersom kab = k = = = = Lös på motsvarande sätt som uppgift Se facit. Kontakta läraren om du vill diskutera din lösning. 4 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 43 Kontakta läraren. 44 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 45 Exempel som löses i boken. 46 a) Parallella linjer har samma lutning. Här är k = siffran framför x k1 k = 1 för vinkelräta linjer k = = = k k 47 Bestäm först k för alla linjer AC 1 1

7 y y1 3 1 L 1 : k = = = = y y1 5 7 L : k = = = = y y L 3 : k = = = = = y y L 4 : k = = = = = Svar: a) L 1 och L 3 är parallella (samma k-värde) L och L 4 är vinkelräta ( k 1 k = 1) 48, 49, 50 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 51, 5, 53 Exempel som löses i boken. 54 Vid bestämning av linjens ekvation använder vi här endast metod 1 på sid 49 i boken y y = k( x x ) 1 1 a) (3, 4) och k = 5 (-, 6) och k = 5 y 4 = 5 3 y 6 = ( x ) 5( x ( ) ) y 4 = 5x 15 plus 4 på båda sidor y 6 = 5x + 10 y = 5x 11 y = 5x a) (5, 4) och k = 3 (5, 4) och k = -6 y 4 = 3 5 y 4 = 6 x 5 56 y y1 = k( x x1) ( x ) y 4 = 3x 15 y 4 = -6x + 30 y = 3x 11 y = -6x + 34 a) (, 3) och k = 6 c) (-5, ) och k = 0 y 4 = 6( x ) En vågrät linje genom punkten (-5, ) y 4 = 6x 1 y = y = 6x 8 (4, -1) och k = d) (3, ) och lutning saknas. 1 x 4 y ( ) = En lodrät linje genom punkten (3, ). y + 1 = x 8 x = 3 y = x 9 57 a) och Se facit och exempel på sid 45. c) (-, 8) och k = 3 y y1 = k( x x1) y 8 = 3( x ( ) )

8 y 8 = 3x + 6 y = 3x Parallella linjer har samma k-värde. Siffran framför x. y y1 = k( x x1) a) (7, ) och k = 5 från den givna linjen (7, ) och k = 0,5 y = 5( x 7) y = 0,5( x 7) y = 5x + 35 y = 0,5x 3,5 y = 5x + 37 y = 0,5x 1,5 59 Parallella linjer har samma k-värde. Hämta k-värdet från den givna linjen. Siffran framför x. Avläs värdet på m ur grafen. y-värdet där linjen skär y-axeln. Skriv linjens ekvation på formen y = kx + m där k och m ersätts av siffrorna 60 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 61 Vi bestämmer först linjens ekvation med formeln y y1 = k( x x1) (3, ) och k = Där linjen skär y-axeln är x = 0 och y = m y ( ) = ( x 3) Direkt ur linjens ekvation ser vi att m = 8 y + = x 6 0, 8 y = x 8 Svar: Linjen skär y-axeln i 6 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 63 Kontakta läraren. 64 Se facit. Kontakta läraren om du vill diskutera din lösning. 65 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 66 Se facit. Kontakta läraren om du vill diskutera din lösning. 67 Se lösningsförslag i facit. 68 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 69 Se lösningsförslag i facit. 70 Se lösningsförslag i facit. 71, 7, 73 Exempel som löses i boken 74 a) 8x y + 16 = 0 Addera y Avläs ur linjens ekvation: 8x + 16 = y Dela med k = 4 och m = 8 y = 4x + 8

9 75 Skriv linjens ekvation på k-form genom att lösa ut y. Avläs sedan k och m. a) 7x + y + 4 = 0 x + y 9 = 0 y = -7x 4 y = -x + 9 k = 7, m = 4 k =, m = 9 c) 15x + 5y + 10 = 0 e) -3x + 3y 15 = 0 5y = -15x 10 3y = 3x + 15 y = -3x y = x + 5 k = 3, m = k = 1, m = 5 d) 4x + 4y 1 = 0 f) -6x + y + 36 = 0 4y = -4x + 1 y = 6x 36 y = -x + 3 y = 3x 18 k = 1, m = 3 k = 3, m = Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 77 Om likheten stämmer när vi sätter in värdena på x och y så ligger punkten på linjen. 3x + y 1 = 0 a) (, 3) VL = = = 0 VL = HL Punkten ligger på linjen. (6, -3) VL = = = 0 VL = HL Punkten är på linjen. c) (-1, 7) VL = 3( 1 ) + 7 1= = 1 VL HL Punkten ej på linjen. d) (0, 6) VL = = = 0 VL = HL Punkten ligger på linjen 78 3x 5y + 15 = 0 A: (101, 63) VL = = = 3 VL HL A är inte på linjen B: (-40, -7) VL = = = 30 VL HL Inte B C: (35, 1398) VL = = = 0 VL = HL Ja D: (0,009; 3,0016) VL = 3 0, , = 0, , = 0, 0007 VL HL D är inte på linjen Svar: Endast punkten C ligger på linjen 79 a) 5x + y + a = 0 och (3, 7) 3x + ay 4 = 0 och (3, 1) 53 7 a = a 1 4= a = 0 5 a = 0 a = 9 a = 5 Svar: För a = 9 ligger (3, 7) på linjen Svar: För a = 5 ligger (3, 1) på linjen 80, 81 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 8 Kontakta läraren.

10 83 Kontakta läraren. 84, 85, 86 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 87 Exempel som löses i boken. 88 y = 4,5 + 0,5x, y = höjden i cm, x = tiden i dygn a) 4,5 är värdet på y då x = 0, alltså startvärdet, höjden på plantan då mätningen började. y förändringen i y k-värdet är siffran framför x alltså 0,5. Eftersom k = = x förändringen i x enheten för y så är k tillväxttakten i cm/dygn Enheten för k fås direkt som enheten för x 89 N =,3 t N = USA:s folkmängd i miljoner, t = antalet år efter 1960 a) k-värdet är siffran framför x alltså,3 Enheten för k är milj/år (Se 88) och anger hur snabbt befolkningen i genomsnitt har ökat per år under perioden. 90 y = x y = folkmängden, x = antalet år efter 1980 a) är folkmängden Värdet på y då x = 0 k = 00 Befolkningsminskningen är 00 personer per år (Enheten är folkmängd/år) 91 y = 0 6,5x y = temperaturen i ºC, x = höjden över havet i km a) 0 är temperaturen vid havsytan Värdet på y då x = 0 k = 6,5 innebär att temperaturen sjunker med 6,5 ºC/km när höjden ökar 9 y = 0,37x + 37,5 y = kastets längd i m, x = antalet år efter 1900 y a) Förändringshastigheten av y med avseende på x är x = k = 0,37 k är förändringen av längden per år, alltså längdökningen/år Mellan två olympiader, alltså på 4 år, bör längden öka med 4 0,37 m = 1,48 m 93 Se facit. 94 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 95, 96 Se facit. Kapitel Exempel som löses i boken.

11 30 a) y = x Genom avläsning i figuren ser vi att x + y = den punkt som är gemensam för båda linjerna är (1, 1) Prövning i ekvationssystemet ger för den övre ekvationen HL : x = 1 HL = VL stämmer exakt VL : y = 1 Prövning i ekvationssystemet ger för den nedre ekvationen HL : HL = VL stämmer exakt VL : x + y = 1+ 1= Lösningen x = 1 och y = 1 stämmer exakt för båda ekvationerna, dvs det är en exakt lösning. x + y = 0 Genom avläsning i figuren ser vi att y x = 0 den punkt som är gemensam för båda linjerna är (0,7; 1, 3) Prövning i ekvationssystemet ger för den övre ekvationen HL :0 HL = VL stämmer exakt VL : x + y = 0,7+ 1,3 = 0 Prövning i ekvationssystemet ger för den nedre ekvationen HL :0 HL VL stämmer inte VL : y x = 1,3 0,7= 0,1 Lösningen x = 0,7 och y = 1,3 stämmer inte för båda ekvationerna, dvs det är en approximativ lösning. 303 a) Rita in linjerna i ett koordinatsystem. Utgå från punkten där linjen skär y-axeln Avläs skärningspunkten. Se facit x + y 3 = 0 (1) För att kunna rita in linjerna i ett koordinatsystem skriver x y + 1 = 0 () vi först om dem i k-form (1) x + y 3 = 0 y = x + 3 m = 3 och k = 1 Linjen skär y-axeln i punkten (0, 3) och lutningen är 1. Utgå från 3 på y-axeln och dra linjen åt. båda hållen. () x y + 1 = 0 x + 1 = y y = x + 1 m = 1 och k = 1 Linjen skär y-axeln i punkten (0, 1) och lutningen är 1. Utgå från 1 på y-axeln Se facit

12 304 a) Grafisk avläsning: Skärningspunkten är (1, 3), det vill säga x = 1 och y = 3. Prövning i ekvationssystemet ger för den övre ekvationen HL : y = 3 HL = VL stämmer exakt VL :3x = 3 1= 3 Prövning i ekvationssystemet ger för den nedre ekvationen HL : y = 3 HL = VL stämmer exakt VL : 4 x = 4 1 = 3 Lösningen x = 1 och y = 3 stämmer exakt för båda ekvationerna, dvs det är en exakt lösning. Grafisk avläsning: Skärningspunkten verkar vara (1,; 1,6), det vill säga x = 1, och y = 1,6. Prövning i ekvationssystemet ger för den övre ekvationen HL : 4x 3y = 4 1, 3 1,6 = 0 HL = VL stämmer exakt VL : 0 Prövning i ekvationssystemet ger för den nedre ekvationen HL : x y + = 1, 1,6 + = 0 HL = VL stämmer exakt VL : 0 Lösningen x = 1, och y = 1, 6 stämmer exakt för båda ekvationerna, dvs det är en exakt lösning. OBS! Denna uppgift är lite missvisande eftersom grafiska lösningar för det mesta är approximativa (ungefärliga). 305, 306 Se facit 307 Se lösningen till 30. I uppgift c) och d) löser du först ut y och skriver om ekvationerna i k-form för att kunna rita in linjerna i koordinatsystemet. 308 Se facit. Kontakta din lärare om du vill diskutera din lösning. 309 Se lösningsförslag i facit. 310, 311 Exempel som löses i boken. 31 = 3 (1) a) Byt ut x mot 3 i ekvation () = x + 3 () = 3 Svar: lösningen är = 9 y = x+ 3= 3+ 3= 9 y = 5 (1) = x 1 () Byt ut y mot 5= x 1 4= x x = 5 i ekvation ()

13 Svar: lösningen är x = = y = x+ 3 (1) a) Byt ut y mot x + 3 i ekvation () x+ y = 9 () x + x + 3 = 9 3x = 6 x = Sätt in x = i exempelvis ekvation (1) y = + 3 = 5 = Svar: lösningen är = 5 y x= (1) x+ y = 8 () Ekvation (1) ger y = x+ Sätt in detta i ekvation () x + x + = 8 3x = 6 x = Sätt in x = i ekvation (1) y = y = + = 4 Svar: lösningen är x = = Koordinaterna för skärningspunkten hittar vi genom att lösa ekvationssystemet. Lösningen är den punkt som är gemensam för båda linjerna. y = x+ ( 1) a) Byt ut y mot x + i ekvation () = 8 x () x + = 8 x addera x till båda sidor och subtrahera på båda sidor 3x = 6 x = Sätt in x = i exempelvis ekvation (1) y = + = 4 = Svar: lösningen är = 4 = 5 (1) 315 a) Byt ut x mot 5 i ekvation () = 4x () = 5 Svar: lösningen är = 0 y = 6 (1) Byt ut y mot 6 i ekvation () = 3x () = Svar: lösningen är = 6 y = 4 x = 4 5 = = 3x x = = 3

14 316 a) y = x (1) = x + 7 () Sätt in y = x + 7 i ekvation (1) x + 7 = x x = 7 Sätt nu in x = 7 i någon av ekvationerna, t ex i () y = = 14 = 7 Svar: lösningen är. = 14 y = x 1 (1) = 3x + 9 () Sätt in y = x 1 i ekvation () x 1 = 3x + 9 x = 10 Sätt in x = 5 i exempelvis ekvation (1) y = 5 1 = 6 = 5 Svar: lösningen är = 6 x = 5 När vi har två okända måste vi först göra oss av med den ena. - Välj en av ekvationerna och lös ut den ena variabeln - Byt ut den variabeln i den andra ekvationen mot det uttryck du fick fram - Lös ekvationen, som nu har bara en obekant - Sätt in värdet på den variabel du nu har bestämt i någon av de ursprungliga ekvationerna - Lös ekvationen för att få värdet på andra variabeln. 317 y = 4 (1) a) Byt ut y mot 4 i ekvation () 5x y = 7 () 5x 4 = 7 addera 8 till båda leden 5x = 15 dela båda leden med 5 x = 3 Svar: lösningen är x = 3 = x + y = 1 subtrahera 5x från båda sidor y = 1 5x 13x 4y Byt ut y mot 1 5x 13x 4y = 13x 4(1 5 x) = 13x (4 0 x) = 13x 4 + 0x= 33x Se lösningsförslag i facit. 30 x+ 3y = 8 (1) a) Ur () får vi att 4x+ y = 4 () x + 3( 4 4 x) = 8 x + ( 1 1 x) = 8 x 1 1x = 8 y = 4 4x. Byt ut y mot 4 4x i (1)

15 10x = 0 x = Sätt in x = i y 4 4x = Svar: lösningen är = 4 = y = 4 4 = 4+ 8= 4 5y = 3 (1) Ur (1) får vi att 4x 3y = 5 () x = 3+ 5y. Byt ut x mot 3 + 5y i () 4( 3+ 5 y) 3y = y 3y = 5 17y = 17 y = 1 Sätt in y = 1 i x = 3+ 5y x = = 3+ 5= Svar: lösningen är x = = 1 31 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 3 Kontakta läraren. 33 Se lösningsförslag i facit. 34, 35, 36 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 37, 38 Exempel som löses i boken. 39 a) + y = 5 (1) x y = 7 () Ta (1) + () y x= 3 (1) + x = 9 () Ta (1) + () x + y+ ( x y) x + y+ x y x = 1 x = 6 Sätt in x = 6 i ekvation (1) 6 + y = 5 y = 1 = 6 Svar: lösningen är = 1 y x+ ( y+ x) y = 1 y = 6 Sätt in y = 6 i ekvation (1) 6 x = 3 6 = 3 + x x = 3 Svar: lösningen är x = 3 = 6

16 330 a) x y = 5 (1) x + y = 10 () Ta (1) + () a b= 11 (1) 3a+ b= 13 () Ta (1) + () x y+ x+ y 3x = 15 x = 5 Sätt in 5 + y = 10 y = 5 x = 5 i t ex ekvation () Svar: lösningen är = 5 = a) a+ b= 5 (1) Ta (1) + () 7a b= 11 () a+ b+ 7a b 9a = 36 a = 4 Sätt in a = 4 i ekvation (1) 4 + b = 5 b = 17 a = 4 Svar: lösningen är b = Se facit a b+ 3a+ b 4a = 4 a = 6 Sätt in a = 6 i t ex ekvation (1) 6 b = 11 6 = 11 + b b = 5 a = 6 Svar: lösningen är b = 5 11y 13z = 18 (1) Ta (1) + () + 13z = 30 () 11y 13z+ y+ 13z= y = 48 y = 4 Sätt in y = 4 i ekvation (1) z = 18 13z = 6 z = Svar: lösningen är y = 4 z = Även om du tycker det är lättare på annat sätt ska du nu träna på additionsmetoden - Multiplicera ekvationerna med tal så att ena variabeln får positiv koefficient i den ena ekvationen och lika stor men negativ koefficient i den andra. - Addera ekvationerna. Ta vänster led plus vänster led och höger led plus höger led. En variabeln försvinner nu och du kan lösa ekvationen. - Sätt in det värde du fick i en av de ursprungliga ekvationerna och lös den. Det finns flera sätt att lösa uppgifterna. Lösningarna här visar bara ett exempel x+ 3y = 31 (1) a) Ta 5x y = 1 () 3 ( ) x+ 3y = 31 (1) 3(5 x y) = 3 1 (3) x+ 3y = 31 (1) 15x 3y = 3 (3) Ta (1) + (3) x + 3y+ 15x 3y = x = 34 x =

17 Sätt in x = 5 i ekvation () 55 y = 1 10 = 1 + y y = 9 Svar: lösningen är x = 5 = 5 a+ b 3 = 0 (1) Ta 7a+ 3b 10 = 0 () 7a 14b+ 1 = 0 (3) 7a+ 3b 10 = 0 () 7( a+ b 3) = 7 0 (3) 7 ( 1) 7a+ 3b 10 = 0 () Ta (3) + () 14b+ 1+ 3b 10 = b = 11 b = 1 Sätt in b =1 i ekvation (1) a + 1 3= 0 a = 1 = 5 Svar: lösningen är = Se facit 335 a) 4s+ 9t = 43 (1) 3s+ 7t = 6 () () 1 och 4 ( ) 3 ( s t) = 3 43 (3) 4(3s + 7 t) = 4 6 (4) 1s+ 7t = 19 (3) 1s 8t = 104 (4) 7t 8t = t = 5 t = 5 Sätt in t = 5 i ekvation (1) 4s + 9 ( 5) = 43 4s = s = 67 Ta (3) + (4) Svar: lösningen är s = 67 t = 5

18 4x+ 7 y = 9 (1) 5x+ 8y = 10 () 5 ( 1 ) och 4 ( ) ( x+ y) = ( ) ( x y) (3) = 4 10 (4) 0x+ 35y = 45 (3) 0x 3y = 40 (4) Ta (3) + (4) 35y 3y = y = 5 y = 53 Sätt in y = 53i ekvation (1) 4x + 7( 5 3) = 9 4x = x = 3 Svar: lösningen är = 3 = Se lösningsförslag i facit. 337 Kontakta din lärare om du behöver hjälp. 338 Lös ekvationssystemet 6x 5y = 11 9x 10y = Se lösningsförslag i facit. 340 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 341, 34, 343 Exempel som löses i boken. 344 y = kostnaden att hyra cykel (kr), x = antalet dagar, A och B är två olika firmor För att se när kostnaden är samma för båda företagen löser vi ekvationssystemet. A: y = 45 x (1) () 1 = ( ) 45x = x B: y = x () 10x = 90 x = 9 Svar: Om man hyr cykel 9 dagar är kostnaden lika stor i båda företagen (405 kr) 345 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 346 Efterfrågan: 3p + q = 19 där p är priset i kr/enhet och q är antal tusen enheter/månad Utbud: p q = 1 p och q som ovan. Jämviktspriset är där utbud = efterfrågan d v s lösningen till ekvationssystemet

19 3p+ q= 19 ( 1) p q = 1 () () 1 + ( ) 3p + p = p = 0 p = 5 Jämviktspriset är 5 kr/enhet. Sätt in i (1) 35 + q = 19 q = 4 Svar: Jämviktspriset är 5 kr/enhet. Då är efterfrågan 4000 enheter/månad 347 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 348 f ( ) = 4 ( ) innebär att då x = är y = 4 f = 0 innebär att då x = är y = 0 Linjens ekvation är y = kx + m Om vi sätter in värdena på x och y får vi: 4 = k + m (1) 0 = k( ) + m () m = 4 m = Ta (1) + () 4+ 0 = m + m Sätt in m = i exempelvis ekvation (1) 4 = k + k = k = 1 Svar: Linjens ekvation är y = x Se även lösningen till = k + m (1) Ta 1 () 1 = k 3 + m () ( k m) 1 3 = 1 + (3) = k 3 + m () 3 = k m (3) = k 3 + m () Ta (3) + () 3+ = k+ 3k k = 1 Sätt in k = 1 i exempelvis ekvation (1) 3 = Svar: f ( x) = x+ 5 ( 1) m 350 x = antalet personbilar, y = antalet lastbilar. Totalt 40 bilar a) + m = 5 = y+ 30 (1) antalet personbilar = antalet lastbilar + 30 x + y = 40 () antalet personbilar + antalet lastbilar = 40

20 = y+ 30 (1) Ta 1 ( 1) x + y = 40 () 1 1( 30 ) x= y+ ( 3) x + y = 40 () x= y 30 (3) Ta (3) + () x + y = 40 () y = y y = 10 y = 70 Sätt in y = 70 i exempelvis ekvation () x + 70 = 40 x = 170 Svar: Det var 170 personbilar 351 Kontakta din lärare för hjälp. 35 Kontakta din lärare för hjälp. 353 Kontakta din lärare för hjälp. 354, 355 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. Kapitel Exempel som löses i boken. 40 Exempel som löses i boken. 403 a) x 10 8 c) x + > 3 x 18 x > 1 x 10 8 d) 3x + > 3 x 18 3x > 1 x 9 x > a) x + > 9 c) 4 x + 7 x > 7 3 x eller x 3 3x 5 4 d) 5 > 4x 11 3x 9 16 > 4x x 3 4 > x eller x < a) x + 3 < 10 c) x 5 > 11 x < 7 x > 16 x d) 5x + 4 < 4 x 1 5x < 0 dela med 5, x 6 x > 4 vänd tecknet

21 406 a) x 5 > x ta minus x och plus 5 c) 9x 0 5x ta minus 5x och plus 0 x > 5 4x 0 x 5 7x + 3 4x ta minus 4x och minus 3 3x 3 d) 4x 3 > x + 5 x 1 x > 8 x > Se facit 408 a) 10x + 17 < 0 c) 5x + 1 > 4 x 10x < 17 6x > 3 x < 1,7 x > 0,5 3x 8x + 8 d) 10x < 7x 5 8 5x 3x < 5 x 1, 6 x < Antalet invånare = x x är antalet år efter år 000. a) x = = 500x x = 10 Svar: År 010 är antalet invånare x > > 500x x < 10 Svar: Före år 010 är antalet invånare större än Kontakta läraren om du behöver hjälp. 411, 41 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 413 Se facit 414 Exempel som löses i boken. 415 Se facit 416 Se facit För vilka värden på x ligger linjen för intäkt ovanför linjen för total kostnad? 417 Se facit a) För vilka värden på x ligger linjen y = 0,5x+ 0,5 ovanför x-axeln? För vilka värden på x är y-värdet < 0,5 när du följer linjen y = x 1? c) För vilka värden på x ligger linjen y = x 1 ovanför linjen y = 0, 5x+ 0,5? 418 Kontakta läraren.