Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2"

Transkript

1 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion. 104 Definitionsmängden = de tillåtna x-värdena. Avläs på x-axeln mellan vilka värden grafen ligger. Definitionsmängd: 1 x < x = tillhör inte intervallet eftersom den ringen är ofylld Värdemängden = de erhållna y-värdena. Avläs på y-axeln mellan vilka värden grafen ligger. Värdemängd: y Även y = tillhör intervallet 105 a) Den vertikala linjen skär grafen på två ställen. Grafen beskriver inte en funktion eftersom det finns mer än ett y-värde för minst ett x-värde. 106 a) Nej, man kan inte dra en vertikal (lodrät) linje som skär grafen på mer än ett ställe. Ja, detta är en funktion. 107 a) Minsta tillåtna x-värde är, största tillåtna x-värde är Se facit 109 Se facit Funktionens definitionsmängd är x 5. c) Minsta antagna y-värde är, största antagna y-värde är 6. d) Funktionens värdemängd är y , 111 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 11, 113 Exempel som löses i boken. 114 f ( x) = x+ 3 a) Att bestämma f (0) betyder att vi ska bestämma funktionens värde då x = 0. Det gör vi genom att byta ut x mot 0 i uttrycket för funktionen f (0) = = 3 Svar: f (0) = 3 f () = + 3 = 5 Svar: f () = 5

2 115 f ( x) = x + 3x a) f (5) = = = 40 f ( 6) = ( 6) + 3( 6) = 36 + ( 18) = = Vilket värde får gx då x = 6? Kom ihåg räkneordningen: - Först potenser, - sedan multiplikation och division - sist plus och minus 117 a) Om f ( x) = 5x 3x och x = 4 så blir f (4) = c) Värdet på f (4) = = = 80 1 = 68. f (4) = f ( x) = 4x 3 a) f (0) = 4 0 3= 0 3= 3 c) f ( 1) = 4( 1) 3= 4 3= 7 f (5) = = 0 3 = 17 d) f ( 6) = 4( 6) 3= 4 3= f ( x) = 7x 3x a) c) d) f (1) = = 7 3 = 4 f (4) = = = 8 48 = 0 f ( 1) = 7( 1) 3( 1) = 7 3 1= 7 3= 10 f ( 6) = 7( 6) 3( 6) = = = a) f (3) = värdet på y då x = 3 f( x ) = 3 betyder att y = 3. Vilket värde har x då y = 3? c) f( x+ 1) = 11 betyder att y = 11. Avläs ur tabellen vilket värde som svarar mot y = 11 Där står 3, vilket betyder att x + 1= 3 och vi får x = 11 Gå från x = 3 till grafen och sedan åt vänster till y-axeln och avläs värdet. 1 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 13 a) Bestäm värdet på y då x = Bestäm de x-värden där y = 0 14 Se facit. 15 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 16 Se lösningsförslag i facit..

3 Kapitel. 101 Exempel som löses i boken. 0 a) 7 + ( 3) = 7 3 = 4 c) 9 ( 3) = 9+ 3= ( 8) = 6 8 = 14 d) 10 ( ) = 10 + = 8 03 a) 4 ( 3) 1 c) = ( 7) 6= 4 = ( ) ( ) ( 10) ( 5) 50 d) 6 = 1 = 1 04 Se facit. Minnesregel: lika tecken ger plus, olika tecken ger minus 05 Se facit. Kom ihåg hur det ser ut på tallinjen: - minus innebär att gå åt vänster på tallinjen. Tar man plus går man åt höger. - det mindre talet ligger alltid till vänster om det större på tallinjen. 06 a) = = = = = = a) = = = = = = a) = = = = = = a) 7 = 6 m c) 1 = m 7 = 1 + m 1 = 18 + m 7 1 = m 1 18 = m m = 5 m = 6 m 4 = = 15 + m = m m = 19 + m 3 ( 1) 9 = + m 3 9 = 14 + m d) 9 = ( 1) 9 14 = m m = 5 10 Se lösningsförslag i facit.

4 11, 1 Exempel som löses i boken. ( + ) = + = a) x 5 x 5 x c) ( ) = = 6 x 3 x 3 x d) 14 a) 3 x+ = 3 x+ 3 = 3 6 c) 3 x 1 = 3 x 3 1= 6x 3 34 x+ 3= 34 x+ 33 = 1x+ 9 5 x+ 6 = 5 x+ 5 6= 10x 30 x 3( x ) = 3 x ( 3) = 3x+ 6 d) 15 a) 5 x 9 5 x 5 9 5x 4 c) 47x 5= 47 x 4 5= 8x+ 0 ( + ) = + ( ) = 5 73x 73x 7 1x 14 d) 63x+ 4= 63 x+ 6 4= 18x 4 ( ) = = 16 Se lösningsförslag i facit. 85x 6 = 85 x 8 6= 40x a) y 10x = 0 addera 10x till båda leden c) 9x 3y = 0 addera 3y till båda leden y = 10x dela båda leden med 9x = 3y dela båda leden med 3 y = 5x 3x = y eller y = 3x 4y + 1x = 0 subtrahera 1x d) 3x 7y = 0 addera 7y till båda leden 4y = 1x dela båda leden med 4 3x = 7y dela båda leden med 7 y = 3x 3 7 x = y eller y = 3 7 x 18 a) y + x 3 = 0 subtrahera x, addera 3 y + 3x = 0 subtrahera 3x, addera y = 3 x y = 3x 19 a) x y 1 = 0 addera y till båda leden x y + 5 = 0 addera y till båda leden x 1 = y eller y = x 1 x + 5 = y eller y = x Se ledning och lösningsförslag i facit. 1 a) 4x + 4y = 0 addera 4x och 0 x 5y 40 = 0 addera 5y 4y = 4x + 0 dela allt med 4 x 40 = 5y dela allt med 5 y = x + 5 0,4x 8 = y eller y = 0,4x 8 Se lösningsförslag i facit. 3, 4 Exempel som löses i boken. 5 y y 5 3 = = 6 1 = 5 y y k = = = = a) k 6 a) Utgå från punkten (0, 3). Gör trappsteg upp åt höger med höjden och bredden 3. k = /3 anger att förändringen i y-led är och förändringen i x-led är 3. Se facit

5 Utgå från punkten ( 1, 3). Gör trappsteg ned åt höger med höjden och bredden 1. k = anger att förändringen i y-led är steg nedåt för varje steg åt höger. Se facit 7 y y = = = = a) k y x y = x k = = = = 8 a) y k = = x 3 y k = = x 5 9 a) x= x x1 = 3 0= 3, y = y y1 = 9 3= 6, y 6 k = = = x 3 = = ( ) = + =5 x x x , y 1 k = = =, 4 x 5 y = y y1 = 8 4 = 8+ 4= 1, 30 a) k y y1 4 = = k = = = = Alltid värdet i den högra punkten, den med högre x-värde, minus värdet i den vänstra. 31 Se facit. 3 y y k = = = = Lutningen = k-värdet. k y x = = y = x Se facit 35 a) och Se facit. Om linjens ekvation står på formen y = kx + m, där k och m är siffror, så är lutningen siffran framför x. c) Linjen y = 5 innebär att y har värdet 5 för alla värden på x. Vi har alltså en vågrät linje med lutningen k = 0 (Testa med formeln för k) d) Linjen x = 5 innebär att x har värdet 5 för alla värden på y. Här har vi en lodrät linje och k kan inte beräknas. (Det skulle innebära division med 0) 36 y y y y = = = = 5 c) k = = = = a) k

6 k y x y y 1 y = d) k = = = = k saknas x = = = = Pricka in punkterna i ett koordinatsystem och kontrollera att lutningen stämmer. 37 Välj två punkter på respektive linje där koordinaterna är lätta att avläsa. Andra punkter än de vi valt här ska ge samma k-värde. a) (3, 3) och (-3, 0) k y x y = x = = = = (3, 5) och (0, -1) c) (-1, ) och (1, -4) k k y x y = x = = = = y x y x = = = = = 3 y y d) (0, 3) och (3, 0) k = = = = Kontrollera med trappstegsmetoden att svaret stämmer med figuren. 38 Se bokens ledning och facit. 39 A (-4, -), B (5, 7) och C (8, 10) k AB = = = = k AC Svar: Punkterna ligger i rät linje eftersom kab = k = = = = Lös på motsvarande sätt som uppgift Se facit. Kontakta läraren om du vill diskutera din lösning. 4 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 43 Kontakta läraren. 44 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 45 Exempel som löses i boken. 46 a) Parallella linjer har samma lutning. Här är k = siffran framför x k1 k = 1 för vinkelräta linjer k = = = k k 47 Bestäm först k för alla linjer AC 1 1

7 y y1 3 1 L 1 : k = = = = y y1 5 7 L : k = = = = y y L 3 : k = = = = = y y L 4 : k = = = = = Svar: a) L 1 och L 3 är parallella (samma k-värde) L och L 4 är vinkelräta ( k 1 k = 1) 48, 49, 50 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 51, 5, 53 Exempel som löses i boken. 54 Vid bestämning av linjens ekvation använder vi här endast metod 1 på sid 49 i boken y y = k( x x ) 1 1 a) (3, 4) och k = 5 (-, 6) och k = 5 y 4 = 5 3 y 6 = ( x ) 5( x ( ) ) y 4 = 5x 15 plus 4 på båda sidor y 6 = 5x + 10 y = 5x 11 y = 5x a) (5, 4) och k = 3 (5, 4) och k = -6 y 4 = 3 5 y 4 = 6 x 5 56 y y1 = k( x x1) ( x ) y 4 = 3x 15 y 4 = -6x + 30 y = 3x 11 y = -6x + 34 a) (, 3) och k = 6 c) (-5, ) och k = 0 y 4 = 6( x ) En vågrät linje genom punkten (-5, ) y 4 = 6x 1 y = y = 6x 8 (4, -1) och k = d) (3, ) och lutning saknas. 1 x 4 y ( ) = En lodrät linje genom punkten (3, ). y + 1 = x 8 x = 3 y = x 9 57 a) och Se facit och exempel på sid 45. c) (-, 8) och k = 3 y y1 = k( x x1) y 8 = 3( x ( ) )

8 y 8 = 3x + 6 y = 3x Parallella linjer har samma k-värde. Siffran framför x. y y1 = k( x x1) a) (7, ) och k = 5 från den givna linjen (7, ) och k = 0,5 y = 5( x 7) y = 0,5( x 7) y = 5x + 35 y = 0,5x 3,5 y = 5x + 37 y = 0,5x 1,5 59 Parallella linjer har samma k-värde. Hämta k-värdet från den givna linjen. Siffran framför x. Avläs värdet på m ur grafen. y-värdet där linjen skär y-axeln. Skriv linjens ekvation på formen y = kx + m där k och m ersätts av siffrorna 60 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 61 Vi bestämmer först linjens ekvation med formeln y y1 = k( x x1) (3, ) och k = Där linjen skär y-axeln är x = 0 och y = m y ( ) = ( x 3) Direkt ur linjens ekvation ser vi att m = 8 y + = x 6 0, 8 y = x 8 Svar: Linjen skär y-axeln i 6 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 63 Kontakta läraren. 64 Se facit. Kontakta läraren om du vill diskutera din lösning. 65 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 66 Se facit. Kontakta läraren om du vill diskutera din lösning. 67 Se lösningsförslag i facit. 68 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 69 Se lösningsförslag i facit. 70 Se lösningsförslag i facit. 71, 7, 73 Exempel som löses i boken 74 a) 8x y + 16 = 0 Addera y Avläs ur linjens ekvation: 8x + 16 = y Dela med k = 4 och m = 8 y = 4x + 8

9 75 Skriv linjens ekvation på k-form genom att lösa ut y. Avläs sedan k och m. a) 7x + y + 4 = 0 x + y 9 = 0 y = -7x 4 y = -x + 9 k = 7, m = 4 k =, m = 9 c) 15x + 5y + 10 = 0 e) -3x + 3y 15 = 0 5y = -15x 10 3y = 3x + 15 y = -3x y = x + 5 k = 3, m = k = 1, m = 5 d) 4x + 4y 1 = 0 f) -6x + y + 36 = 0 4y = -4x + 1 y = 6x 36 y = -x + 3 y = 3x 18 k = 1, m = 3 k = 3, m = Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 77 Om likheten stämmer när vi sätter in värdena på x och y så ligger punkten på linjen. 3x + y 1 = 0 a) (, 3) VL = = = 0 VL = HL Punkten ligger på linjen. (6, -3) VL = = = 0 VL = HL Punkten är på linjen. c) (-1, 7) VL = 3( 1 ) + 7 1= = 1 VL HL Punkten ej på linjen. d) (0, 6) VL = = = 0 VL = HL Punkten ligger på linjen 78 3x 5y + 15 = 0 A: (101, 63) VL = = = 3 VL HL A är inte på linjen B: (-40, -7) VL = = = 30 VL HL Inte B C: (35, 1398) VL = = = 0 VL = HL Ja D: (0,009; 3,0016) VL = 3 0, , = 0, , = 0, 0007 VL HL D är inte på linjen Svar: Endast punkten C ligger på linjen 79 a) 5x + y + a = 0 och (3, 7) 3x + ay 4 = 0 och (3, 1) 53 7 a = a 1 4= a = 0 5 a = 0 a = 9 a = 5 Svar: För a = 9 ligger (3, 7) på linjen Svar: För a = 5 ligger (3, 1) på linjen 80, 81 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 8 Kontakta läraren.

10 83 Kontakta läraren. 84, 85, 86 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 87 Exempel som löses i boken. 88 y = 4,5 + 0,5x, y = höjden i cm, x = tiden i dygn a) 4,5 är värdet på y då x = 0, alltså startvärdet, höjden på plantan då mätningen började. y förändringen i y k-värdet är siffran framför x alltså 0,5. Eftersom k = = x förändringen i x enheten för y så är k tillväxttakten i cm/dygn Enheten för k fås direkt som enheten för x 89 N =,3 t N = USA:s folkmängd i miljoner, t = antalet år efter 1960 a) k-värdet är siffran framför x alltså,3 Enheten för k är milj/år (Se 88) och anger hur snabbt befolkningen i genomsnitt har ökat per år under perioden. 90 y = x y = folkmängden, x = antalet år efter 1980 a) är folkmängden Värdet på y då x = 0 k = 00 Befolkningsminskningen är 00 personer per år (Enheten är folkmängd/år) 91 y = 0 6,5x y = temperaturen i ºC, x = höjden över havet i km a) 0 är temperaturen vid havsytan Värdet på y då x = 0 k = 6,5 innebär att temperaturen sjunker med 6,5 ºC/km när höjden ökar 9 y = 0,37x + 37,5 y = kastets längd i m, x = antalet år efter 1900 y a) Förändringshastigheten av y med avseende på x är x = k = 0,37 k är förändringen av längden per år, alltså längdökningen/år Mellan två olympiader, alltså på 4 år, bör längden öka med 4 0,37 m = 1,48 m 93 Se facit. 94 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 95, 96 Se facit. Kapitel Exempel som löses i boken.

11 30 a) y = x Genom avläsning i figuren ser vi att x + y = den punkt som är gemensam för båda linjerna är (1, 1) Prövning i ekvationssystemet ger för den övre ekvationen HL : x = 1 HL = VL stämmer exakt VL : y = 1 Prövning i ekvationssystemet ger för den nedre ekvationen HL : HL = VL stämmer exakt VL : x + y = 1+ 1= Lösningen x = 1 och y = 1 stämmer exakt för båda ekvationerna, dvs det är en exakt lösning. x + y = 0 Genom avläsning i figuren ser vi att y x = 0 den punkt som är gemensam för båda linjerna är (0,7; 1, 3) Prövning i ekvationssystemet ger för den övre ekvationen HL :0 HL = VL stämmer exakt VL : x + y = 0,7+ 1,3 = 0 Prövning i ekvationssystemet ger för den nedre ekvationen HL :0 HL VL stämmer inte VL : y x = 1,3 0,7= 0,1 Lösningen x = 0,7 och y = 1,3 stämmer inte för båda ekvationerna, dvs det är en approximativ lösning. 303 a) Rita in linjerna i ett koordinatsystem. Utgå från punkten där linjen skär y-axeln Avläs skärningspunkten. Se facit x + y 3 = 0 (1) För att kunna rita in linjerna i ett koordinatsystem skriver x y + 1 = 0 () vi först om dem i k-form (1) x + y 3 = 0 y = x + 3 m = 3 och k = 1 Linjen skär y-axeln i punkten (0, 3) och lutningen är 1. Utgå från 3 på y-axeln och dra linjen åt. båda hållen. () x y + 1 = 0 x + 1 = y y = x + 1 m = 1 och k = 1 Linjen skär y-axeln i punkten (0, 1) och lutningen är 1. Utgå från 1 på y-axeln Se facit

12 304 a) Grafisk avläsning: Skärningspunkten är (1, 3), det vill säga x = 1 och y = 3. Prövning i ekvationssystemet ger för den övre ekvationen HL : y = 3 HL = VL stämmer exakt VL :3x = 3 1= 3 Prövning i ekvationssystemet ger för den nedre ekvationen HL : y = 3 HL = VL stämmer exakt VL : 4 x = 4 1 = 3 Lösningen x = 1 och y = 3 stämmer exakt för båda ekvationerna, dvs det är en exakt lösning. Grafisk avläsning: Skärningspunkten verkar vara (1,; 1,6), det vill säga x = 1, och y = 1,6. Prövning i ekvationssystemet ger för den övre ekvationen HL : 4x 3y = 4 1, 3 1,6 = 0 HL = VL stämmer exakt VL : 0 Prövning i ekvationssystemet ger för den nedre ekvationen HL : x y + = 1, 1,6 + = 0 HL = VL stämmer exakt VL : 0 Lösningen x = 1, och y = 1, 6 stämmer exakt för båda ekvationerna, dvs det är en exakt lösning. OBS! Denna uppgift är lite missvisande eftersom grafiska lösningar för det mesta är approximativa (ungefärliga). 305, 306 Se facit 307 Se lösningen till 30. I uppgift c) och d) löser du först ut y och skriver om ekvationerna i k-form för att kunna rita in linjerna i koordinatsystemet. 308 Se facit. Kontakta din lärare om du vill diskutera din lösning. 309 Se lösningsförslag i facit. 310, 311 Exempel som löses i boken. 31 = 3 (1) a) Byt ut x mot 3 i ekvation () = x + 3 () = 3 Svar: lösningen är = 9 y = x+ 3= 3+ 3= 9 y = 5 (1) = x 1 () Byt ut y mot 5= x 1 4= x x = 5 i ekvation ()

13 Svar: lösningen är x = = y = x+ 3 (1) a) Byt ut y mot x + 3 i ekvation () x+ y = 9 () x + x + 3 = 9 3x = 6 x = Sätt in x = i exempelvis ekvation (1) y = + 3 = 5 = Svar: lösningen är = 5 y x= (1) x+ y = 8 () Ekvation (1) ger y = x+ Sätt in detta i ekvation () x + x + = 8 3x = 6 x = Sätt in x = i ekvation (1) y = y = + = 4 Svar: lösningen är x = = Koordinaterna för skärningspunkten hittar vi genom att lösa ekvationssystemet. Lösningen är den punkt som är gemensam för båda linjerna. y = x+ ( 1) a) Byt ut y mot x + i ekvation () = 8 x () x + = 8 x addera x till båda sidor och subtrahera på båda sidor 3x = 6 x = Sätt in x = i exempelvis ekvation (1) y = + = 4 = Svar: lösningen är = 4 = 5 (1) 315 a) Byt ut x mot 5 i ekvation () = 4x () = 5 Svar: lösningen är = 0 y = 6 (1) Byt ut y mot 6 i ekvation () = 3x () = Svar: lösningen är = 6 y = 4 x = 4 5 = = 3x x = = 3

14 316 a) y = x (1) = x + 7 () Sätt in y = x + 7 i ekvation (1) x + 7 = x x = 7 Sätt nu in x = 7 i någon av ekvationerna, t ex i () y = = 14 = 7 Svar: lösningen är. = 14 y = x 1 (1) = 3x + 9 () Sätt in y = x 1 i ekvation () x 1 = 3x + 9 x = 10 Sätt in x = 5 i exempelvis ekvation (1) y = 5 1 = 6 = 5 Svar: lösningen är = 6 x = 5 När vi har två okända måste vi först göra oss av med den ena. - Välj en av ekvationerna och lös ut den ena variabeln - Byt ut den variabeln i den andra ekvationen mot det uttryck du fick fram - Lös ekvationen, som nu har bara en obekant - Sätt in värdet på den variabel du nu har bestämt i någon av de ursprungliga ekvationerna - Lös ekvationen för att få värdet på andra variabeln. 317 y = 4 (1) a) Byt ut y mot 4 i ekvation () 5x y = 7 () 5x 4 = 7 addera 8 till båda leden 5x = 15 dela båda leden med 5 x = 3 Svar: lösningen är x = 3 = x + y = 1 subtrahera 5x från båda sidor y = 1 5x 13x 4y Byt ut y mot 1 5x 13x 4y = 13x 4(1 5 x) = 13x (4 0 x) = 13x 4 + 0x= 33x Se lösningsförslag i facit. 30 x+ 3y = 8 (1) a) Ur () får vi att 4x+ y = 4 () x + 3( 4 4 x) = 8 x + ( 1 1 x) = 8 x 1 1x = 8 y = 4 4x. Byt ut y mot 4 4x i (1)

15 10x = 0 x = Sätt in x = i y 4 4x = Svar: lösningen är = 4 = y = 4 4 = 4+ 8= 4 5y = 3 (1) Ur (1) får vi att 4x 3y = 5 () x = 3+ 5y. Byt ut x mot 3 + 5y i () 4( 3+ 5 y) 3y = y 3y = 5 17y = 17 y = 1 Sätt in y = 1 i x = 3+ 5y x = = 3+ 5= Svar: lösningen är x = = 1 31 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 3 Kontakta läraren. 33 Se lösningsförslag i facit. 34, 35, 36 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 37, 38 Exempel som löses i boken. 39 a) + y = 5 (1) x y = 7 () Ta (1) + () y x= 3 (1) + x = 9 () Ta (1) + () x + y+ ( x y) x + y+ x y x = 1 x = 6 Sätt in x = 6 i ekvation (1) 6 + y = 5 y = 1 = 6 Svar: lösningen är = 1 y x+ ( y+ x) y = 1 y = 6 Sätt in y = 6 i ekvation (1) 6 x = 3 6 = 3 + x x = 3 Svar: lösningen är x = 3 = 6

16 330 a) x y = 5 (1) x + y = 10 () Ta (1) + () a b= 11 (1) 3a+ b= 13 () Ta (1) + () x y+ x+ y 3x = 15 x = 5 Sätt in 5 + y = 10 y = 5 x = 5 i t ex ekvation () Svar: lösningen är = 5 = a) a+ b= 5 (1) Ta (1) + () 7a b= 11 () a+ b+ 7a b 9a = 36 a = 4 Sätt in a = 4 i ekvation (1) 4 + b = 5 b = 17 a = 4 Svar: lösningen är b = Se facit a b+ 3a+ b 4a = 4 a = 6 Sätt in a = 6 i t ex ekvation (1) 6 b = 11 6 = 11 + b b = 5 a = 6 Svar: lösningen är b = 5 11y 13z = 18 (1) Ta (1) + () + 13z = 30 () 11y 13z+ y+ 13z= y = 48 y = 4 Sätt in y = 4 i ekvation (1) z = 18 13z = 6 z = Svar: lösningen är y = 4 z = Även om du tycker det är lättare på annat sätt ska du nu träna på additionsmetoden - Multiplicera ekvationerna med tal så att ena variabeln får positiv koefficient i den ena ekvationen och lika stor men negativ koefficient i den andra. - Addera ekvationerna. Ta vänster led plus vänster led och höger led plus höger led. En variabeln försvinner nu och du kan lösa ekvationen. - Sätt in det värde du fick i en av de ursprungliga ekvationerna och lös den. Det finns flera sätt att lösa uppgifterna. Lösningarna här visar bara ett exempel x+ 3y = 31 (1) a) Ta 5x y = 1 () 3 ( ) x+ 3y = 31 (1) 3(5 x y) = 3 1 (3) x+ 3y = 31 (1) 15x 3y = 3 (3) Ta (1) + (3) x + 3y+ 15x 3y = x = 34 x =

17 Sätt in x = 5 i ekvation () 55 y = 1 10 = 1 + y y = 9 Svar: lösningen är x = 5 = 5 a+ b 3 = 0 (1) Ta 7a+ 3b 10 = 0 () 7a 14b+ 1 = 0 (3) 7a+ 3b 10 = 0 () 7( a+ b 3) = 7 0 (3) 7 ( 1) 7a+ 3b 10 = 0 () Ta (3) + () 14b+ 1+ 3b 10 = b = 11 b = 1 Sätt in b =1 i ekvation (1) a + 1 3= 0 a = 1 = 5 Svar: lösningen är = Se facit 335 a) 4s+ 9t = 43 (1) 3s+ 7t = 6 () () 1 och 4 ( ) 3 ( s t) = 3 43 (3) 4(3s + 7 t) = 4 6 (4) 1s+ 7t = 19 (3) 1s 8t = 104 (4) 7t 8t = t = 5 t = 5 Sätt in t = 5 i ekvation (1) 4s + 9 ( 5) = 43 4s = s = 67 Ta (3) + (4) Svar: lösningen är s = 67 t = 5

18 4x+ 7 y = 9 (1) 5x+ 8y = 10 () 5 ( 1 ) och 4 ( ) ( x+ y) = ( ) ( x y) (3) = 4 10 (4) 0x+ 35y = 45 (3) 0x 3y = 40 (4) Ta (3) + (4) 35y 3y = y = 5 y = 53 Sätt in y = 53i ekvation (1) 4x + 7( 5 3) = 9 4x = x = 3 Svar: lösningen är = 3 = Se lösningsförslag i facit. 337 Kontakta din lärare om du behöver hjälp. 338 Lös ekvationssystemet 6x 5y = 11 9x 10y = Se lösningsförslag i facit. 340 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 341, 34, 343 Exempel som löses i boken. 344 y = kostnaden att hyra cykel (kr), x = antalet dagar, A och B är två olika firmor För att se när kostnaden är samma för båda företagen löser vi ekvationssystemet. A: y = 45 x (1) () 1 = ( ) 45x = x B: y = x () 10x = 90 x = 9 Svar: Om man hyr cykel 9 dagar är kostnaden lika stor i båda företagen (405 kr) 345 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 346 Efterfrågan: 3p + q = 19 där p är priset i kr/enhet och q är antal tusen enheter/månad Utbud: p q = 1 p och q som ovan. Jämviktspriset är där utbud = efterfrågan d v s lösningen till ekvationssystemet

19 3p+ q= 19 ( 1) p q = 1 () () 1 + ( ) 3p + p = p = 0 p = 5 Jämviktspriset är 5 kr/enhet. Sätt in i (1) 35 + q = 19 q = 4 Svar: Jämviktspriset är 5 kr/enhet. Då är efterfrågan 4000 enheter/månad 347 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 348 f ( ) = 4 ( ) innebär att då x = är y = 4 f = 0 innebär att då x = är y = 0 Linjens ekvation är y = kx + m Om vi sätter in värdena på x och y får vi: 4 = k + m (1) 0 = k( ) + m () m = 4 m = Ta (1) + () 4+ 0 = m + m Sätt in m = i exempelvis ekvation (1) 4 = k + k = k = 1 Svar: Linjens ekvation är y = x Se även lösningen till = k + m (1) Ta 1 () 1 = k 3 + m () ( k m) 1 3 = 1 + (3) = k 3 + m () 3 = k m (3) = k 3 + m () Ta (3) + () 3+ = k+ 3k k = 1 Sätt in k = 1 i exempelvis ekvation (1) 3 = Svar: f ( x) = x+ 5 ( 1) m 350 x = antalet personbilar, y = antalet lastbilar. Totalt 40 bilar a) + m = 5 = y+ 30 (1) antalet personbilar = antalet lastbilar + 30 x + y = 40 () antalet personbilar + antalet lastbilar = 40

20 = y+ 30 (1) Ta 1 ( 1) x + y = 40 () 1 1( 30 ) x= y+ ( 3) x + y = 40 () x= y 30 (3) Ta (3) + () x + y = 40 () y = y y = 10 y = 70 Sätt in y = 70 i exempelvis ekvation () x + 70 = 40 x = 170 Svar: Det var 170 personbilar 351 Kontakta din lärare för hjälp. 35 Kontakta din lärare för hjälp. 353 Kontakta din lärare för hjälp. 354, 355 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. Kapitel Exempel som löses i boken. 40 Exempel som löses i boken. 403 a) x 10 8 c) x + > 3 x 18 x > 1 x 10 8 d) 3x + > 3 x 18 3x > 1 x 9 x > a) x + > 9 c) 4 x + 7 x > 7 3 x eller x 3 3x 5 4 d) 5 > 4x 11 3x 9 16 > 4x x 3 4 > x eller x < a) x + 3 < 10 c) x 5 > 11 x < 7 x > 16 x d) 5x + 4 < 4 x 1 5x < 0 dela med 5, x 6 x > 4 vänd tecknet

21 406 a) x 5 > x ta minus x och plus 5 c) 9x 0 5x ta minus 5x och plus 0 x > 5 4x 0 x 5 7x + 3 4x ta minus 4x och minus 3 3x 3 d) 4x 3 > x + 5 x 1 x > 8 x > Se facit 408 a) 10x + 17 < 0 c) 5x + 1 > 4 x 10x < 17 6x > 3 x < 1,7 x > 0,5 3x 8x + 8 d) 10x < 7x 5 8 5x 3x < 5 x 1, 6 x < Antalet invånare = x x är antalet år efter år 000. a) x = = 500x x = 10 Svar: År 010 är antalet invånare x > > 500x x < 10 Svar: Före år 010 är antalet invånare större än Kontakta läraren om du behöver hjälp. 411, 41 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 413 Se facit 414 Exempel som löses i boken. 415 Se facit 416 Se facit För vilka värden på x ligger linjen för intäkt ovanför linjen för total kostnad? 417 Se facit a) För vilka värden på x ligger linjen y = 0,5x+ 0,5 ovanför x-axeln? För vilka värden på x är y-värdet < 0,5 när du följer linjen y = x 1? c) För vilka värden på x ligger linjen y = x 1 ovanför linjen y = 0, 5x+ 0,5? 418 Kontakta läraren.

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2 Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=

Läs mer

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35

Läs mer

Lathund, samband & stora tal, åk 8

Lathund, samband & stora tal, åk 8 Lathund, samband & stora tal, åk 8 Den vågräta tallinjen kallas x-axeln och den lodräta tallinjen kallas y-axeln. Punkten där tallinjerna skär varandra kallas origo (0,0). När man beskriver en punkt i

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext. PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90 2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

Träningsprov funktioner

Träningsprov funktioner Träningsprov funktioner 1. Använd koordinatsystemet nedan a) Vilka koordinater är markerade? b) Markera följande koordinater E: 0,6, F: 3, 2, G: 1, 2 och H: ( 3,2). 2. Skriv en berättelse som överensstämmer

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Z

Sammanfattningar Matematikboken Z Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

y = x x = Bestäm ekvationen för en linje där k = 2 och som går genom punkten ( 1, 3). 2/0/0

y = x x = Bestäm ekvationen för en linje där k = 2 och som går genom punkten ( 1, 3). 2/0/0 Del A: Digitala verktyg är tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. 1) En TV reparatörs arbete kostar kronor, där antalet arbetstimmar. y = 200 + 150x x = a) Ange och tolka den linjära funktionens

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1 Tal Räknelagar Prioriteringsregler I uttryck med flera räknesätt beräknas uttrycket i följande ordning: 1. Parenteser 2. Potenser. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: 5 22 1.

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Facit Läxor. Tal. Tian Siffrans värde blir tio gånger mindre. 40 till 04 11 67, 69 och 71 12 a) 10, 22 och 15, 14 b) 15, 27 och 10, 9

Facit Läxor. Tal. Tian Siffrans värde blir tio gånger mindre. 40 till 04 11 67, 69 och 71 12 a) 10, 22 och 15, 14 b) 15, 27 och 10, 9 Tal Läxa 1 1 a) 307 b) 55 c) 00 003 a) 131 > 113 b) 1 > 1 c) 99 < 9 99 3 a) 1 170 b) 5 75 c) 91 a) 3 hundra b) 3 ental c) 3 tusen 5 a) 370 b) 0 a) 31 b) 1 3 c) 1 3 7 a) 99 b) 13 a) 37 b) 19 00 9 5 15 50

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn: 9- Koordinatsystem och funktioner. Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig vad ett koordinatsystem är och vilka egenskaper det har. I ett koordinatsystem kan man representera matematiska funktioner

Läs mer

Förändringshastighet ma C

Förändringshastighet ma C DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 1 Givet funktionen f() 2 + 8 Beräkna f() Uppgift nr 2 Givet funktionen f() 9 + 1 Beräkna f(7) Uppgift nr 6 Uppgift nr

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Utforskande aktivitet med GeoGebra

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Utforskande aktivitet med GeoGebra GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Utforskande aktivitet med GeoGebra GeoGebra 0 Utforskande aktivitet med GeoGebra 1 Börja med att ta bort koordinataxlarna

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen. MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 4 juni Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken X

Sammanfattningar Matematikboken X Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för

Läs mer

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)

Vektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p) 1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten

Läs mer

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek. PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade

Läs mer

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1. PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än

Läs mer

Statistiska samband: regression och korrelation

Statistiska samband: regression och korrelation Statistiska samband: regression och korrelation Vi ska nu gå igenom något som kallas regressionsanalys och som innebär att man identifierar sambandet mellan en beroende variabel (x) och en oberoende variabel

Läs mer

Rep 1 NÅGOT EXTRA. Sidan 88. Sidan 85. Sidan 89. Sidan 86. Sidan 87. Sidan 90

Rep 1 NÅGOT EXTRA. Sidan 88. Sidan 85. Sidan 89. Sidan 86. Sidan 87. Sidan 90 2 VOLYM OCH SKALA / REP 1 FACIT TILL ELEVBOKEN 125 a dl b ml c cl d l 126 5 st 127 200 cm 3 (2 dl = 0,2 l = 0,2 dm 3 = 200 cm 3 ) Sidan 85 128 A B C D Vas tom 235 g 528 g 0,85 kg 1,250 kg Vas med vatten

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

Tal Räknelagar Prioriteringsregler

Tal Räknelagar Prioriteringsregler Tal Räknelagar Prioriteringsregler Uttryck med flera räknesätt beräknas i följande ordning: 1. Parenteser 2. Exponenter. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: Beräkna 10 5 7. 1.

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan.

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan. Godisförsäljning För att samla in pengar till en klassresa har Klass 9b på Gotteskolan bestämt sig för att hyra ett bord och sälja godis på Torsbymarten. Det kostar 100 kr att hyra ett bord. De köper in

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Facit Läxor. hur många areaenheter som får plats cm 2 cm och 12 4 cm samt 3 cm 16 cm och 6 cm 8 cm.

Facit Läxor. hur många areaenheter som får plats cm 2 cm och 12 4 cm samt 3 cm 16 cm och 6 cm 8 cm. Läa a) b) c) a) 6,8 b) 8, c) 66 a),99,09,,8,8 b) 0,0 Hon får 9 kr tillbaka. a) 00 b) 00 c) 00 6 a) 0 längder b) 7 m c) kr 7 Decimaltecknet skiljer heltalen från decimaltalen. Placeringen avgör om siffran

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-14. Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans.

Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-14. Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans. Delprov B Delprov C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-14. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Complex numbers. William Sandqvist

Complex numbers. William Sandqvist Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den

Läs mer

Planering Funktioner och algebra år 9

Planering Funktioner och algebra år 9 Planering Funktioner och algebra år 9 Innehåll Övergripande planering... 2 Begrepp... 3 Metoder... 4 Bedömning... 4 Kommer du ihåg dessa begrepp från årskurs 8?... 5 Facit till Diagnos... 6 Arbetsblad...

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5 freeleaks NpMaB vt00 1(8) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 00 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5 Förord Uppgifter till den äldre

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr. Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel

Läs mer

Lokala mål i matematik

Lokala mål i matematik Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel Kapitel.1 101, 10, 10 Eempel som löses i boken. 104, 105, 10, 107, 108, 109 Se facit 110 a) Ledning: Alla punkter med positiva

Läs mer

7E Ma Planering v45-51: Algebra

7E Ma Planering v45-51: Algebra 7E Ma Planering v45-51: Algebra Arbetsform under en vecka: Måndagar (40 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa: Läsa på anteckningar

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng. NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov

Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov År Startvecka 2013 2 Planering för matematik 2a OBS: Provdatumen är endast förslag, kontakta läraren innan du kommer och vill ha prov Vecka Lektion (2h) Datum Kapitel Avsnitt 2 Ti 08-jan Kap 1: Räta linjen

Läs mer

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0) Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) = x 5 (1/0/0).

Läs mer

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor 5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 1 Här presenteras förslag på lösningar och tips till många uppgifter i läroboken Matematik 3000 kurs A som vi hoppas kommer att vara till hjälp när du arbetar dig framåt i kursen. Vi har valt att inte göra

Läs mer

Hur länge ska fisken vara i dammen?

Hur länge ska fisken vara i dammen? Hur länge ska fisken vara i dammen? Frågeställning Uppgift 10 fiskodling Uppgiften går ut på att ta reda på hur länge ett stim fisk ska växa upp i en fiskodling för att få den maximala vikten tillsammans.

Läs mer

Algebra, kvadreringsregler och konjugatregeln

Algebra, kvadreringsregler och konjugatregeln Algebra, kvadreringsregler och Uppgift nr 1 Multiplicera in i parentesen x(9 + 2y) Uppgift nr 2 Multiplicera in i parentesen 3x(7 + 5y) Uppgift nr 3 x² + 3x Uppgift nr 4 xy + yz Uppgift nr 5 5yz + 2xy

Läs mer

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare.

En uppgift eller text markerad med * betyder att uppgiften kan uppfattas som lite svårare. ** ännu svårare. Matematik b, repetition Kan du det här? Primitiva funktioner och integraler o o o Vad menas med primitiv funktion? Kan du hitta en primitiv funktion? Vad menas med en integral? Kan du beräkna en integral?

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

TAL OCH RÄKNING HELTAL

TAL OCH RÄKNING HELTAL 1 TAL OCH RÄKNING HELTAL Avsnitt Heltal... 6 Beräkningar med heltal...16 Test Kan du?... 1, 27 Kapiteltest... 28 Begrepp addition avrundning bas differens division exponent faktor kvadratroten ur kvot

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

Lathund algebra och funktioner åk 9

Lathund algebra och funktioner åk 9 Lathund algebra och funktioner åk 9 För att bli en rackare på att lösa ekvationer är det viktigt att man kan sina förutsättningar, dvs vilka matematiska regler som gäller. Prioriteringsreglerna (vilken

Läs mer

Facit åk 6 Prima Formula

Facit åk 6 Prima Formula Facit åk 6 Prima Formula Kapitel 1 Omkrets och area Sidan 7 1 A och C 2 D och E 3 a G, H och J b I och J c J Sidan 8 4 a 1 b 1 c 1 d 4 5 A = 0 B = 2 C = 4 D = 2 6 a 8 0 8 b 1 0 1 c 3 8 3 d 1 3 8 F7 A B

Läs mer

Räknarinstruktioner för CASIO FX-9750GII till Matematik Origo 3b

Räknarinstruktioner för CASIO FX-9750GII till Matematik Origo 3b Räknarinstruktioner för CASIO FX-9750GII till Matematik Origo 3b Sidan 19 Lös ekvationen grafiskt. Genom att rita upp vänster- och högerled i samma koordinatsystem, så kan vi lösa uppgiften grafiskt. Vi

Läs mer

Tips 1. Skolverkets svar 14

Tips 1. Skolverkets svar 14 JENSEN vux utbildning Np Mac vt01 1(0) Kursprov Mac Innehåll Förord 1 Tips 1 Kursprov Mac vt01 Del B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. #1 10...... 3 Del C: Digitala verktyg är inte

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

Ett tal kan vara en eller flera siffror men en siffra är alltid ensam. - + Talsort ental, tiotal, hundratal osv siffran 7 är tiotal

Ett tal kan vara en eller flera siffror men en siffra är alltid ensam. - + Talsort ental, tiotal, hundratal osv siffran 7 är tiotal TEORI Pixel 4A kapitel 1 Heltal Siffror 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tal skrivs med en eller flera siffror Ett tal kan vara en eller flera siffror men en siffra är alltid ensam. Tallinje mindre färre sjunker -

Läs mer

PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER

PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER ADDERA RÄTT 1. Bestäm vilka siffror bokstäverna A, B, C, och D bör bytas ut mot i additionen nedan för att additionen ska vara riktig. A 6 3 7 B 2 + 5 8 C D 0 4 2 2. Gör ett eget

Läs mer

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0) Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) = x 5 (1/0/0).

Läs mer

Blandade uppgifter om tal

Blandade uppgifter om tal Blandade uppgifter om tal Uppgift nr A/ Beräkna värdet av (-3) 2 B/ Beräkna värdet av - 3 2 Uppgift nr 2 Skriv (3x) 2 utan parentes Uppgift nr 3 Multiplicera de de två talen 2 0 4 och 4 0 med varandra.

Läs mer

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna

Läs mer

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1.

LYCKA TILL! //Mattehjälpen. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Hej! Här kommer ett dokument till dig som pluggar inför envarre1. Det är viktigt att du inför tentan kan alla standardgränsvärden/derivator/primitiver utan till så att dessa inte stoppar dig på vägen mot

Läs mer

Räknarinstruktioner för CASIO FX-9750GII till Matematik Origo 2c

Räknarinstruktioner för CASIO FX-9750GII till Matematik Origo 2c Räknarinstruktioner för CASIO FX-9750GII till Matematik Origo 2c Sidan 17 Lös ekvationen med hjälp av den grafritande räknaren Vi löser uppgiften med hjälp av grafprogrammet GRAPH. Skriv först om ekvationen

Läs mer

GeoGebra. Sonja Kovalevsky- dagarna Utforskande aktivitet med GeoGebra. Karlstads universitet 11 november. Karlstads universitet

GeoGebra. Sonja Kovalevsky- dagarna Utforskande aktivitet med GeoGebra. Karlstads universitet 11 november. Karlstads universitet Sonja Kovalevsky- dagarna 2016 11 november Utforskande aktivitet med GeoGebra GeoGebra 0 Utforskande aktivitet med GeoGebra 1 Gå in på www.geogebra.org och välj Starta GeoGebra. Börja med att ta bort koordinataxlarna

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer