Linjära ekvationssystem
|
|
- Birgit Jonasson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor. Då har Pelle 2x kulor, som leder till ekvationen som ger x = 100 Svar: Kalle har 100 kulor och Pelle har 200. x+2x = 00 Detta problem ledde till en ekvation av första graden. Här ett alternativt sätt att lösa problemet Lösning: Antag att Kalle har x kulor och Pelle y kulor. Vi får då två ekvationer som vi sätter samman till ett ekvationssystem x+y = 00 y = 2x Då vi vet att y = 2x från den andra ekvationen kan vi substituera detta i den första och får x+2x = 00 som är identisk med den första lösningen. När vi löst ut och fått x = 100, sätter vi in detta resultat i den andra ekvationen och får y = Samma svar förstås. Om du skriver om ekvationerna i systemet till y = 00 x y = 2x ser du att detta är två räta linjer. Lösningen kan då åskådliggöras med hjälp av en graf Lösningen hittar vi där linjerna skär varandra, (100,200). Klassificering av ekvationssystem Det inledande ekvationssystemet ovan är ett linjärt ekvationssystem med 2 obekanta. Det är linjärt därför att det de obekanta har gradtalet ett. Håkan Strömberg 1 KTH STH
2 Här har vi ett linjärt ekvationssystem med obekanta. x+y+z = 6 2x y+z = 9 x+4y 2z = med lösningen x = 1, y = 2, z =. Systemet är lite svårare att lösa än det med 2 obekanta och mycket svårare att åskådliggöra i en graf. Det finns förstås ingen övre gräns för hur många obekanta man kan ha i ett ekvationssystem. Det finns tillämpningar där antalet obekanta är flera tusen! Då är man förstås tvungen att använda en dator för att hitta lösningen. Här har vi ett icke linjärt ekvationssystem med 2 obekanta. Systemet är icke linjärt därför att x (och även y) förekommer med graden 2. (x 2) 2 +(y ) 2 = 6 2y+x = 10 Den första ekvationen beskriver en ellips och den andra en rät linje. Vi kan läsa av de två rötterna på ett ungefär, ( 1.78,7.66) och (4.85, 2.28) Som tur är kommer vi här bara att syssla med linjära ekvationssystem av 2 obekanta. En, ingen eller oändligt många lösningar Ett linjärt ekvationssystem kan ha en, ingen eller oändligt många lösningar. Detta är ett system med en lösning 2x+y = 12 4x 6y = 0 Med substitutionsmetoden löser vi ut x eller y ur en av ekvationerna och substituerar dess värde i den andra ekvationen. Vi löser ut x ur den andra ekvationen 4x 6y = 0 x = y 2 Vi sätter in y 2 för x i den första ekvationen 2 y 2 +y = 12 6y = 12 y = 2 Från x = y 2 får vi x = 2 2. Om vi löser ut y ur de två ekvationerna får vi: y = 2x +4 y = 2x Håkan Strömberg 2 KTH STH
3 Två räta linjer som vi kan plotta Svar: x =, y = 2 Det här systemet har ingen lösning. y 9x 9 = 0 4y 12x+8 = 0 Hur kan man se det? Vi löser ut y ur första ekvationen och får y = x+. Resultatet substituerar vi i den andra ekvationen och får: 4(x+) 12x+8 = 0 12x+12 12x+8 = 0 20 = 0 vilket bevisar detta. Hade vi kunna se det på något annat sätt? Om vi löser ut y även ur den andra ekvationen får vi y = x+ y = x 2 Ekvationerna representerar nu två räta linjer. Att de inte skär varandra förstår vi då båda linjerna har k =. Här har vi grafen Det här systemet har oändligt många lösningar y x 6 = 0 6y 6x 12 = 0 Hur kan man se det då? Vi gör som i förra exemplet löser ut y i första ekvationen och får y = x+2, sätter in det i andra ekvationen 6(x+2) 6x 12 = 0 6x+12 6x 12 = 0 0 = 0 Detta betyder att för varje värde på x så finns det ett värde på y som satisfierar båda ekvationerna. Hade vi kunna se det på något annat sätt? Om vi löser ut y även ur den andra ekvationen får vi y = x+2 y = x+2 Håkan Strömberg KTH STH
4 De båda ekvationerna representerar samma linje! Grafen ger då endast en linje och självklart finns det då till varje x-värde ett y-värde. Problem 1. Givet x 2 +ax+b = 0 Bestäm a och b, som är reella tal då man vet att ekvationen har rötterna x 1 = 7 och x 2 = 9. Bestäm Substitutionsmetoden och Additionsmetoden I systemen vi löst ovan har vi använt oss av substitutionsmetoden som innebär 1 Lös ut en obekant ur den ena ekvationen 2 Ersätt denna lösning med den denna obekanta i den andra ekvationen Lös denna ekvation som nu består av en obekant 4 Sätt in denna lösning i lösningen från steg 2 Vi löser detta system 2y 6x = 10 6x y 12 = 0 efter schemat ovan. (1) Vi löser ut y ur den första ekvationen 2y 6x = 10 2y = 10+6x y = 5+x (2) Vi ersätter y med 5+x i den andra ekvationen och löser ekvationen (). (4) Vi sätter in x = 9 i lösningen från (1) Svar: x = 9 och y = 22 6x (5+x) 12 = 0 6x 15 9x 12 = 0 6x 15 9x 12 = 0 27 = x x = 9 y = 5+( 9) y = 22 Vi löser så samma system med additionsmetoden. Först städar vi lite grann. 2y 6x = 10 y+6x = 12 Håkan Strömberg 4 KTH STH
5 När vi nu adderar V.L. i första ekvationen med V.L. i andra och H.L. i första ekvationen med med H.L. i den andra får vi y = 22 y = 22 Med lite tur fick vi direkt y = 22. Detta värde sätter vi så in i vilken som helst i ekvationerna. Vi väljer den första: 2( 22) 6x = 10 6x = x = 9 Svar: x = 9 och y = 22 Så där enkelt blir det förstås inte alltid. Vi tar ett exempel till: y 5x 2 = 0 y+2x 40 = 0 Här multiplicerar vi först båda sidor av första ekvationen med, innan vi adderar (y 5x 2) = 0 y+2x 40 = 0 och får y+15x+6 = 0 y+2x 40 = 0 Efter additionen har vi 17x 4 = 0 x = 2 Vi sätter in x = 2 i den andra ekvationen y = 0, som ger y = 12. Svar: x = 2 och y = 12. Ett ännu mer krävande exempel 7x y = 1 x+2y = 1 Här multiplicerar vi båda leden i första ekvationen med 2 och båda leden i den andra med 2(7x y) = 2 ( 1) Vi får Efter additionen har vi (x+2y) = 1 14x 6y = 26 9x+6y = 2x = 2 x = 1 x = 1 insatt i den andra ekvationen ger 9( 1)+6y = ger y = 2. Svar: x = 1 och y = 2. Vilken metod ska man då välja? Ibland leder den ena till enklare räkningar än den andra. Eftersom båda leder till rätt svar kan man låta smaken avgöra. Håkan Strömberg 5 KTH STH
6 Läxa 1. Lös ekvationssystemet grafiskt 4y 2x = 0 2y+x = 21 Läxa 2. Lös ekvationssystemet (x 2) 4(y+5) = y 2x+5y+x = 11 Läxa. Lös ekvationssystemet 1x+15y = 19 6x+8y = 12 Läxa 4. Bonden Per Olsson har har på sin gård kor och höns. Räknar han huvudena på sina djur kommer han fram till 2. Räknar han benen kommer han fram till 66. Hur många kor och hur många höns har Per Olsson? Läxa 5. HT Lös ekvationssystemet exakt x+ 15y 10 = 7 5x y = 1 Läxa 6. En arbetare arbetade en vecka dels 48 timmar efter en viss timlön och dels 5 timmar övertid. Totalt fick han då ut 19 kr. En annan vecka arbetade han 40 timmar med samma timlön och 4 timmar övertid med samma övertidsersättning. Denna vecka tjänade han 160 kr. Beräkna timlönen för det ordinarie arbetet och för övertidsarbetet. Läxa 7. VT Lös ekvationssystemet exakt x 5 + 4y 7 = 8 5 5x 6 + y 8 = 61 8 Läxa 8. Lös ekvationssystemet x+y+z+u = 10 y+z+u = 6 z+u = u = 1 Läxa 9. Adam kunde ta sig från A-stad till D-stad på två olika sätt. Dels kunde han gå de 12 km till B-stad och därefter cykla 24 km till D-stad. Eller så kunde han gå 14 km till C-stad och fortsätta 16 km på cykel till D-stad. Resan tog i båda fallen 4.5 timmar. Bestäm Adams hastighet till fots och på cykel. Håkan Strömberg 6 KTH STH
7 Läxa 10. En linje med k = går genom punkten (0, 14). En annan med k = 2 går genom punkten (8,0). I vilken punkt skär de två linjerna varandra? Läxa 11. Kalle köpte bananer för 7 kr/st och apelsiner för 6 kr/st. Totalt handlade han för 4 kr. Hur många bananer och apelsiner köpte han? Läxa 12. Lös de två ekvationssystemen grafiskt x+y = 2 x 2y = 1 x+4y = 5 x+y = 2 x 2y = 1 x+6y = 5 Läxa 1. VT 191. En person har åtagit sig att fullborda ett arbete på 50 arbetsdagar och använder i början man vid detsamma. När 28 arbetsdagar förgått, är endast halva arbetet verkställt. Hur mycket behöver han öka arbetsstyrkan för att kunna fullgöra sitt åtagande? Läxa 14. Vid en utställning sänktes inträdesbiljetten med 25% efter första veckan. Under andra veckan ökades inkomsten med 8%. Med hur många procent hade antalet besökare ökat? Läxa Lösning 1. Vi utläser lösningen x = och y = 9 från diagrammet. Genom att sätta in lösningen i ekvationerna ser vi att avläsningen är korrekt. Svar: x = och y = 9. Läxa Lösning 2. Uppgiften är inte svårare än de tidigare efter att vi förenklat ekvationerna x 6 4y 20 = 8y+x = 11 så får vi 4y+x = 2 8y+x = 11 Additionsmetoden ger 2( 4y+x) = 2 2 8y+x = 11 och 8y+6x = 46 8y+x = 11 Efter addition får vi 7x = 5 x = 5 Håkan Strömberg 7 KTH STH
8 Så får vi fram y = 8y+5 = 11 som ger y = 2 Svar: x = 5, y = 2. Läxa Lösning. Vilken metod ska vi välja? Varför inte substitutionsmetoden. Vi löser ut x ur andra ekvationen 6x+8y = 12 Som vi så sätter in in första som till sist ger x = Svar: y = och x = 2. 1(6 4y) x = 12 8y 6 x = 6 4y +15y = 19 ( ) 1(6 4y) +15y = y+45y = 57 7y = 21 y = Läxa Lösning 4. Antag att han har k kor och h höns. Vi får då följande ekvationssystem. x+y = 2 4x+2y = 66 Från första ekvationen får vi y = 2 x som vi sätter in i den andra och får Insatt i y = 2 10, ger y = 1 Svar: Han har 10 kor och 1 höns. 4x+2(2 x) = 66 4x+46 2x = 66 2x = 20 x = 10 Läxa Lösning 5. Vi startar med att fixa bort nämnarna ( ) 10 x+ 15y 10 = 10 7 ( 5x y ) = 1 som ger 0x+15y = 70 15x y = 1 Genom additionsmetoden får vi som ger 0x+15y = 70 2(15x y) = y = 68 y = 4 y = 4 insatt i någon av de tidigare ekvationerna får vi 15x 4 = 1 x = 1 Svar: y = 4 och x = 1 Håkan Strömberg 8 KTH STH
9 Läxa Lösning 6. Antag att han tjänade x kronor/timmen under ordinarie arbete och y kronor/timmen under övertidsarbetet. Vi får då följande system: 48x+5y = 19 40x+4y = 160 Additionsmetoden ger 4(48x+5y) = (40x+4y) = eller som ger Övertidsersättningen är 192x 20y = x + 20y = 800 8x = 28 x = y = 160 4y = y = 5 Svar: De olika timlönerna är.50 kr respektive 5.00 kr Läxa Lösning 7. Först gör vi oss av med nämnarna ( x y 7 ( 5x y 8 ) ) = 5 ( ) 8 5 = 48 ( ) 61 8 som övergår i 21x+20y = x + 18y = 66 Nu tillämpar vi additionsmetoden 18(21x +20y) = (40x+18y) = som ger 78x+60y = x 60y = 720 och Till sist får vi så Svar: x = 6 och y = x = 252 x = x+20y = y = y = 7 Läxa Lösning 8. Detta är ett linjärt ekvationssystem med 4 obekanta, trots att vi lovat att det inte skulle förekomma fler än 2 obekanta. Nu är det ju så att detta system kan lösas med huvudräkning. Tekniken som man ska använda är så kallad bakåtsubstitution. Eftersom u = 1 ser vi enkelt, från den tredje ekvationen, att z = 2. Lika enkelt ser vi från den andra ekvationen att y = och från den första får vi då x++2+1= 10, ger x = 4. Bakåtsubstitution ingår som ett moment i lösandet av större ekvationssystem. Mer om detta i er matematiska framtid. Svar: x = 4, y =, z = 2 och u = 1. Håkan Strömberg 9 KTH STH
10 Läxa Lösning 9. Antag att han gick med x km/tim och cyklade med y km/tim. Från den bekanta formeln s = t v, kan vi lösa ut t = s v. Vi får då ekvationssystemet 12 x + 24 y = x + 16 y = 4.5 Bästa sättet att lösa detta system är att substituera a = 1 x och b = 1 y. Vi får 12a+24b = a+16b = 4.5 Med additionsmetoden får vi 7(12a+24b) = (14a+16b) = eller 84a 168b = a+96b = 27 Då b = 1 y 72b = 4.5 b = får vi y = 16. Sätter vi in y = 16 direkt i 12 x = x = x = 12 x = 4 Svar: Gånghastigheten är 4 km/tim. Cykelhastigheten är 16 km/tim. Läxa Lösning 10. Vi kan utan vidare bestämma ekvationerna för de två linjerna. Den första har m-värde 14 = 0 + m, ger m = 14 och ekvationen y = x 14. Den andra har m-värde 0 = ( 2) 8 + m, ger m = 16 och ekvationen y = 2x Återstår att lösa ekvationssystemet y = x 14 Enkel substitution ger y = 2x+16 x 14 = 2x+16 5x = 0 x = 6 x = 6 insatt i första ekvationen ger y = 6 14 ger y = 4. Att vi troligtvis räknat rätt ser vi i grafen Håkan Strömberg 10 KTH STH
11 Läxa Lösning 11. Antag att han köpte x bananer och y apelsiner. Det är inte svårt att teckna ekvationen 7x+6y = 4 Men sen? Att problemet är meningsfullt beror på att antalet bananer och apelsiner måste vara heltal. Denna typ av ekvationer kallas diofantiska och nämns aldrig i gymnasiematematiken. Här har vi grafen Hur kan vi utläsa svaret? Jo, en lösning finns där linjen skär en gitterpunkt. Gitterpunkterna i diagrammet är skärningen mellan blå linjer. I dessa punkter är alltid antalet bananer och apelsiner heltal. Vi avläser svaret 4 bananer och 1 apelsin. Normalt finns det flera lösningar. Ja, det finns för vår ekvation oändligt många lösningar om man tillåter ett negativt antal bananer och/eller apelsiner. Nog om diofantiska ekvationer. Läxa Lösning 12. Vi får följande grafer Båda systemen har tre ekvationer men endast två obekanta. Ett sådant system kallas överbestämt. För att det ska finnas en lösningen måste alla tre linjerna gå genom en gemensam punkt. Så är fallet i det vänstra systemet Punkten är (1,1). I det högra systemet finns ingen gemensam punkt för de tre linjerna och systemet saknar därför lösning. Läxa Lösning 1. Antag att han behövde anställa x man ytterligare. 28 mandagar fixade hälften av jobbet. Den andra häften klarades av på (+x) 22 mandagar. Vi får ekvationen Svar: Han behövde anställa 9 man till. 28 = (+x) = x x = x = 9 Läxa Lösning 14. Vi vet inget om biljettpriset (p), eller antalet besökare (b) men kan ändå ställa upp en ekvation. Antag att antalet besökare ökade med tillväxtfaktorn x. Första veckan var intäkten p b. Andra veckan 0.75p x b. Detta ger ekvationen Svar: Antalet besökare steg med 44% p b = 0.75 p x b 1.08 = 0.75 x x = x = 1.44 Håkan Strömberg 11 KTH STH
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a
Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merx+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5
Uppgifter med linjära ekvationssystem Tips för att lösa linjära ekvationssystem Då systemet saknar parametrar ställer man direkt upp totalmatrisen. Detta är endast av administrativa skäl, blir mer lättöverskådligt.
Läs merMoment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merEkvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merSidor i boken Figur 1: Sträckor
Sidor i boken 37-39 Vektorer Det vi ska studera här är bara en liten del av den teori du kommer att stifta bekantskap med i dina fortsatta studier i kursen Linjär algebra. Många av de objekt man arbetar
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merANDREAS REJBRAND NV1A Matematik Linjära ekvationssystem
ANDREAS REJBRAND NVA 004-04-05 Matematik http://www.rejbrand.se Linjära ekvationssystem Innehållsförteckning LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM... INNEHÅLLSFÖRTECKNING... DEFINITION OCH LÖSNINGSMETODER... 3 Algebraiska
Läs merKomplexa tal med Mathematica
Komplexa tal med Mathematica Vi startar med att lösa en andragradsekvation Solve[x^ - x + == 0] Vi får de komplexa rötterna x 1 = 1 i och x = 1 + i. När vi plottar funktionen f(x) = x x+ ser vi tydligt
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merSidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen
Läs merEkvationer och system av ekvationer
Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.
Läs merLinjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser Pelle 2016-01-18 Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser kursfakta hemsida frågelåda Fakta om Linjär
Läs merMoment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.
Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2., 4.2.4 Viktiga exempel 4.1, 4., 4.4, 4.5, 4.6, 4.1, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4., 4.4, 4.5, 4.7 Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen
Läs merRepetition inför tentamen
Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8
Läs merx = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z
Ett nytt försök med att ta fram inversen till en matris Innan vi startar med att bestämma inversen till en matris måste vi veta varför vi skulle kunna behöva den. Vi har A x b som är resultatet av en omskrivning
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs merMoment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så
Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor
Läs mer2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s
Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Lösning: (x,y,z) = (1+t, 1+t,t)
Läs merx+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2
Problem 1. Avgör för vilka värden på a som ekvationssystemet nedan har oändligt antal lösningar. Ange lösningarna i dessa fall! Lösning: Genom x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2 1 2 3 1 a 11 2 1 1 =
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merDär a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att
Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2
Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merf(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:
Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs merKonsten att lösa icke-linjära ekvationssystem
Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse
Läs mer2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =
Problem 1. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska avgöra om linjen är vinkelrät mot planet. x = 2 4t y = 3 2t z = 1+2t 2x+y z 5 = 0 Lösning: Linjen har riktningsvektorn
Läs merTENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum:
TENTAMEN Kursnummer: HF0021 Matematik för basår I Moment: TEN1 Program: Tekniskt basår Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: 2015-03-10 Tid: 13:15-17:15 Hjälpmedel:
Läs merMatematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merMoment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6
Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.
Läs merMoment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument
Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs merkvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.
Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att
Läs merProblemlösning Lösningar
Problemlösning Lösningar Lösning Problemlösning. Julpromenaden (2) Vi antar först att sträckan på slät mark är km och att backen är y km lång. Från det kända sambandet får vi t = s/v och kan nu teckna
Läs merRepetition kapitel 1, 2, 5 inför prov 2 Ma2 NA17 vt18
Repetition kapitel,, 5 inför prov Ma NA7 vt8 Prov tisdag 5/6 8.00-0.00 Algebra När man adderar eller subtraherar uttryck, så räknar man ihop ensamma siffror för sig, x-termer för sig, och eventuella x
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs merDeterminant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22
Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom
Läs merÖvningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0
Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga
Läs merDagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer
Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,
Läs merTENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor
TENTAMEN Matematik Kurskod HF903 Skrivtid 3:5-7:5 Onsdagen 5 september 03 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av 3 uppgifter som totalt kan
Läs mer5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e
5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs mer1 Förändingshastigheter och derivator
Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merVektorn w definieras som. 3. Lös ekvationssystemet algebraiskt: (2p) 4. Förenkla uttrycket så långt det går. (2p)
1. Linjerna y=2x+4, y=4 och x=3 innesluter tillsammans en triangel. Linjen y=5,5 skär triangeln i två punkter. Beräkna sträckan mellan dessa två punkter. 2. Vektorn w definieras som w = 2u v där u = (7,1)
Läs merÖVNINGSTENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 10:15-13:15. Torsdagen 20 maj Tentamen består av 4 sidor.
ÖVNINGSTENTAMEN HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik Skrivtid 10:15-13:15 Torsdagen 20 maj 2010 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel Den kurslitteratur som använts under kursen, samt egna anteckningar,
Läs merInga vanliga medelvärden
Inga vanliga medelvärden Vanligtvis när vi pratar om medelvärden så menar vi det aritmetiska medelvärdet. I en del sammanhang så kan man dock inte räkna med det. Vi går här igenom olika sätt att tänka
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merMoment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.13 Handräkning 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7 Datorräkning 1-9 i detta dokument
Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.2.4 Viktiga exempel 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.13 Handräkning 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7 Datorräkning 1-9 i detta dokument Många av de objekt man arbetar med i matematiken och
Läs merVeckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också
Läs mer3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd
I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merKvalificeringstävling den 30 september 2008
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.2 2202 Beräkna Detta ger f(3 + h) f(3) då f(x) x 2 (3 + h) 2 3 2 h 2 + 6h 6 + h 6 h 0 Vi har därmed bestämt riktningskoefficienten (k-värdet) för tangenten
Läs merÖvningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a
Övningstenta 6 Problem 1. Vilket är det största antalet olika element en symmetrisk matris A(n n kan ha? Problem. Bestäm de reella talen a,b,c och d då man vet att a b d c = 109 a c d b = 389 c d a b =
Läs mer13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till
3 Potensfunktioner 3. Dagens teori Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merKTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl Version: A Namn:... Personnr:...
KTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl. 8.00-10.00 Version: A Namn:... Personnr:... Inga hjälpmedel är tillåtna. Kontrollskrivningen har
Läs merProvet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.
Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består
Läs merProvet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.
NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser
Läs merMathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x
Mathematica Första kapitlet kommer att handla om Mathematica det matematiska verktyg, som vi ska lära oss hantera under denna kurs. Indata När du arbetar med Mathematica ger du indata i form av kommandon
Läs merLästal från förr i tiden
Lästal från förr i tiden Nedan presenteras ett antal problem som normalt leder till ekvationer av första graden. Inled din lösning med ett antagande. Teckna sedan ekvationen. Då ekvationen är korrekt uppställt
Läs mer10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer
10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer Här ska vi studera linjära första ordningens differentialekvationer som kan skrivas y (x) + g(x)y(x) = h(x) Om g(x) har en primitiv funktion G(x) så
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merSekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?
I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient
Läs mervarandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.
PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät
Läs merDel A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.
NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje
Läs merNotera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal.
OLIKHETER Egenskaper:.Om a < b då gäller a+ c < b +c. Om a < b < c då gäller a+d < b+d < c+d. Om a < b och k > 0 då gäller ka < kb. 4. Om a < b och k < 0 då gäller ka > kb. Notera att tecknet < ändras
Läs mer8-5 Ekvationer, fördjupning. Namn:.
8-5 Ekvationer, fördjupning. Namn:. Inledning Du har nu lärt dig en hel del om vad en ekvation är och hur man löser ekvationer som innehåller en eller fler x-termer (om vi betecknar den okända med x).
Läs merRepetition inför kontrollskrivning 2
Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.
Läs merNovember 6, { b1 = k a
Fö 7: November 6, 2018 Linjära ekvationssystem Inledande exempel: Finn ekv för linjen L som går genom punkterna P a 1, b 1 och Qa 2, b 2 sådana att a 1 a 2. Lsg: Linjen L kan beskrivas av ekv y = k x +
Läs merVi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)
Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion
Läs merSidor i boken 8-9, 90-93
Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta
Läs mer