Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner

Transkript

1 Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner Del B Utan miniräknare Endast svar krävs! 1. Lös ekvationen (x + 3)(x 2) = 0 Svar: (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 4(x 3)(x + 3) så långt som möjligt Svar: (1/0/0) 3. Till höger visas grafen till andragradsfunktionen f. Ett av alternativen A F nedan visar funktionsuttrycket till f Vilket av alternativen är det? (1/0/0) A f(x) = x 2 1 B f(x) = 1 x 2 C f(x) = x D f(x) = x 2 1 E f(x) = x 2 F f(x) = x 2 4. Förenkla uttrycket (x + 4) 2 + 4x så långt som möjligt Svar: (1/0/0) 5. För andragradsfunktionen f gäller att f(x) = x 2 + 4x + C Grafen till funktionen visas till höger a) Bestäm värdet på konstanten C f Svar: (1/0/0) b) Bestäm symmetrilinjens ekvation P Svar: (1/0/0) c) Bestäm koordinaterna för punkten P Svar: (0/1/0) 6. Ge förslag på vad som ska stå i de tomma parenteserna för att likheten ska gälla (0/1/0) 2( + )( ) = 18x 2 72

2 7. För funktionen g gäller att g(x) = 5 x 2 a) Bestäm värdet av g(2) Svar: (1/0/0) b) Bestäm värdet av g(1) + g( 1) Svar: (0/1/0) 8. För en viss andragradsfunktion gäller att symmetrilinjens ekvation är x = 8. Avståndet mellan de båda nollställena är 5. Bestäm funktionens största nollställe. Svar: (1/0/0) 9. Ange en valfri andragradsfunktion som a) saknar reella lösningar Svar: (1/0/0) b) har symmetrilinje vid x = 2 och har en maxpunkt Svar: (0/1/0) c) har en dubbelrot vid x = 3 Svar: (0/1/0) d) passerar punkterna (2,4) och (8, 4) Svar: (0/0/1) 10. Figuren nedan visar delar av grafen till andragradsfunktionen f(x). Använd figuren för att lösa uppgifterna. f(x) a) Lös ekvationen f(x) = 3 Svar: (2/0/0) b) Bestäm båda nollställena till f(x) Svar: (0/1/0)

3 11. Rita i de tomma koordinatsystemen nedan grafen till en valfri andragradsfunktion som uppfyller villkoret som står nedanför koordinatsystemet. (2/2/0) a) Har ett maxvärde på y-axeln och två reella nollställen b) Innehåller faktorerna (x 2)(x + 5) c) Saknar reella nollställen d) Har nollpunktsavståndet noll 12. Figuren visar en rektangel som delats i två delar. Måtten på respektive del visas i figuren. Vilket alternativ visar ett uttryck som beskriver arean av den vänstra rektangelformade delen? (0/1/0) x + 6 x 2x A (x + 6) 2x B (x + 6) 2 x 2 C 6x D x 2 E (x + 6) 2x 2x 2

4 13. Till höger visas tre grafer till andragradsfunktioner (I III) och 8 förslag på funktionsuttryck (A H). a) Para ihop graferna (I, II, III) med rätt alternativ bland uttrycken (A H). Det är ett alternativ till varje graf, så fem alternativ blir över (1/2/0) Graf I A x 2 2x + 1 B x 2 2x + 1 C x D x 2 1 E x Graf II F x 2 1 G x 2 + 2x + 1 H - x 2 + 2x + 1 b) Vilken eller vilka av graferna har reella nollställen? Graf III Svar: (0/1/0) 14. I bilden visas graferna till de två funktionerna, f och g. Använd bilden för att lösa uppgifterna nedan. g a) Lös ekvationen f(x) = g(x) Svar: (1/1/0) b) Lös olikheten g(x) > f(x) f Svar: (1/1/0) c) Ange de värden på x som löser både f(x) < 0 och g(x) > 0 samtidigt Svar: (0/0/1)

5 Del C Utan miniräknare Fullständiga uträkningar krävs! 15. Lös ekvationerna med algebraisk metod a) x 2 + 6x 7 = 0 (2/0/0) b) x 2 2x + 5 = 0 (2/0/0) c) 5x(x 4) = 60 (0/2/0) 16. Förenkla uttrycket (x 3)(x + 3) (x + 2) 2 så långt som möjligt (2/1/0) 17. Grafen till höger visar funktionen f(x) = x 2 8x + 12 Bestäm måttet r i figuren (2/1/0) r

6 18. Nedan visas två kvadrater där den ena är inuti den andra. Den större kvadraten har sidan x + 2 och den mindre har sidan x. Ta fram ett förenklat uttryck för det grönmarkerade området. (2/0/0) 2 x 2 x 19. Mattias försöker lösa nedanstående matteuppgift: Förenkla (x + 3) 2 så långt som möjligt Mattias lösning visas nedan, men lösningen är tyvärr felaktig. Vilka fel finns i lösningen? (2/0/0) 20. Skissa ett ungefärligt utseende på grafen till funktionerna. Använd alla kunskaper om funktion-graf-relationen, d.v.s. både max/min, symmetrilinjen, symmetriegenskaper i allmänhet samt skärningspunkt med y-axeln. a) f(x) = x 2 2x + 3 (1/2/0) b) f(x) = 2x 2 8x + 6 (1/2/0)

7 21. Figuren nedan visar två figurer - en kvadrat med sidan x - och en rektangel där en sida är 2 cm längre än kvadratens och en sida är 2 cm kortare än kvadratens. En elev påstår att areorna hos de båda figurerna borde vara lika stora eftersom långsidan ökar med lika mycket som kortsidan minskas med. x (cm) x Undersök om eleven har rätt. (2/1/0) 22. Elin har fått följande matteuppgift att lösa Funktionen nedan visar grafen till andragradsfunktionen f Vilket värde är störst av f( 5) och f(5). f Motivera ditt svar! Elin har ingen aning hur man gör, men en kompis berättar att det finns två sätt att lösa denna uppgift. Det ena med hjälp av symmetrin, och det andra med hjälp av att ta fram funktionsuttrycket. Visa att Elins kompis har rätt genom att lösa uppgiften på båda sätten. (1/2/2)

8 23. Undersök hur antalet nollställen hos funktionen f varierar med värdet på konstanten c om f(x) = 0,5x 2 + 2x + c (0/2/0) 24. En bonde ska bygge en rektangelformad hage där en sida utgörs av en lång stenmur. Till de övriga sidorna finns 300 meter stängsel att tillgå. Vilka mått ska hagen ha för att få så stor area som möjligt? (0/2/1). 25. Hos en rätvinklig triangel gäller att höjden är 3 cm längre än basen och att hypotenusan är 6 cm längre än höjden. Använd Pythagoras sats för att bestämma måtten hos triangeln. Svara exakt! (0/2/2)

9 Del D Med miniräknare Fullständiga uträkningar krävs! 26. Figuren visar ett katapultskott. 0,4 meter längre fram från där skottet avfyrades uppnåddes högsta höjden. Efter att åkt 0,55 meter från där skottet avfyrades är skottet på höjden 70 cm. Ange ytterligare en färdad sträcka då skottet är på 70 cm. (1/0/0) 27. Under en fotbollsmatch gör Emma ett inkast. Bollens bana kan beskrivas med den förenklade modellen h(x) = 0,02x 2 + 0,2x + 2,0 där h(x) är bollens höjd över marken och x är det horisontella avståndet i meter längs marken från kastets start. a) Förklara vad talet 2,0 betyder i det här sammanhanget. (1/0/0) b) Bestäm det horisontella avståndet mellan kastets start och där bollen landar på marken. (2/0/0) 28. Gräshoppan Gullig gör ett hopp, enligt figuren. Hoppets höjd över marken, y, kan beskrivas med andragradsfunktionen y(x) = 0,5x 2 + 0,8x a) Hur långt hoppade Gullig i sitt hopp? (2/0/0) b) Undersök om Gullig med ett likadant hopp skulle kunna hoppa över en sten som är 25 cm hög. (0/1/0)

10 S j ö n 29. En fårbonde ska bygga tre lika stora rektangulära hagar åt sina får. Hagarna byggs mot en sjö, och byggs enligt skissen till höger. Totalt finns 360 meter stängsel att tillgå. Hage 1 Hage 2 Hage 3 a) Vilka värden är möjliga för bredden, x? (1/1/0) x b) Hur stor är den största möjliga totala arean hos hagarna? (0/2/1) 30. En fontän sprutar vatten snett uppåt i en båge. Vattnet landar då på samma höjd men 80 cm längre fram. Vattnets högsta punkt är 120 cm ovanför utgångspunkten ( se figur till höger ) 120 cm a) Ta fram ett funktionsuttryck som beskriver vattnets höjd över utgångshöjden på det horisontella avståndet x cm, räknat från utgångspunkten. (0/1/1) 80 cm b) Walter vill samla in vatten i en 60 cm hög smal behållare. Hur långt ifrån nedslagspunkten ska Walter ställa denna behållare för att vattenstrålen ska träffa den? (0/0/2)

11 31. Lös uppgiften ifrån det gamla NP nedan. 32. Gräshoppan Gullig från uppgift 28 gör ännu ett hopp. Denna gång från en 0,4 meter hög sten. Gullig landar då 2 meter längre fram. Högsta punkten i hoppet nåddes 0,8 meter från stenen, räknat längs marken. Se figuren nedan. 0,4 m 0,8 m 2,0 m Hur mycket längre skulle hoppet ha blivit om Gullig istället hoppat från en annan sten som var 1 meter hög om hoppet i övrigt följt samma funktion som hoppet i figuren ovan? (0/0/3)

12 33. Lös uppgiften ifrån det gamla NP nedan. 34. Figuren visar graferna till de två andragradsfunktionerna f och g där, f(x) = 1,5x 2 + 6x 4,5 och g(x) = 2,5x 2 5x + 3,3. I figuren visas även sträckan d(x) som motsvarar det vertikala avståndet mellan funktionerna. Detta avstånd varierar med olika värden på x d(x) Bestäm det minsta möjliga värdet på d(x). Svara med 3 decimaler.