Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner."

Transkript

1 Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x) = x 0.41x 2 där h(x) meter är bollens höjd över golvet x meter är avståndet från utkastet räknat längs golvet. Hur högt når bollen? Lösning: Det är en ledsen andragradsfunktion, så vi vet redan från början att funktionen har en maxpunkt. Men vi låtsas inte om det. Istället ska vi använda oss av h (x) för att bestämma extrempunktens typ. Vi startar med att derivera funktionen h (x) = x När vi nu sätter h (x) = 0 får vi reda på för vilket x som det finns en extrempunkt hos h(x). h (x) = 0 har en rot x = 2.56 Vi vet nu att då x = 2.56 så har h(x) antingen en maxpunkt eller en minpunkt. Vi har två möjligheter att avgöra vilket. Det enklaste är kanske att titta på andraderivatan h (x) h (x) = 0.82 som ju förstås är < 0 för alla x. Detta betyder att då x = 2.56 befinner sig bollen på sin högsta höjd. Vilken är då denna höjd? Får vi genom Svar: Bollen når höjden 4.84 meter h(2.56) = (Bokens nr 3205) Enligt en enkel modell för befolkningsutvecklingen i Sverige under åren 2000 till 2050 kan folkmängden y(x) miljoner uppskattas med formeln y(x) = x x där tiden x är tiden i år räknat från Vilket är enligt modellen det största värdet på Sveriges folkmängd under denna period? Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Lösning: Här har vi för första gången ett intervall 2000 x 2050 att ta hänsyn till. Vad som händer med funktionen utanför detta intervall ska vi inte bry oss om. Åter ett andragradspolynom med minus framför x 2 -termen. Vi vet redan nu att det handlar om en maxpunkt. Vad vi inte vet är om maxpunkten ligger inuti intervallet. Vi startar med att ta reda på y (x) och sedan extrempunkten genom y (x) = 0. y (x) = 0 ger y (x) = x x = 0 som har roten x = För detta x-värde finns en extrempunkt hos y(x), som dessutom ligger i det givna intervallet. Genom andraderivatan y (x) kan vi ta reda på om det är en max- eller minpunkt. y (x) = y (x) < 0, alltså en maxpunkt. Vi kan nu bestämma folkmängden vid denna tidpunkten x = genom y( ) = Det betyder att befolkningen år 2034 är ungefär själar, om vi nu ska tro på det. Är detta en globalt maxpunkt om vi tittar på hela intervallet? Ja, det måste det vara, så vi bryr oss inte om att bestämma y(0) och y(50) eftersom vi är säkra på att dessa är mindre än y( ). Förresten vad betyder år? 34 år är helt klart, men år är ju = dygn. Eftersom månaderna januari till april har = 120 dygn så bör detta maximum inträffa 11 maj Överskjutande tid det vill säga = betyder ungefär kl 5 : 14 på morgonen. Detta får oss osökt att tänka på antalet värdesiffror. Självklart är denna tidsbestämning uppåt väggarna. Förhoppningsvis har ni fått tillräckligt kunskap om detta genom fysiken. 3 (Bokens nr 3206) Christian studerade en sommar tillväxthastigheten y cm/dygn för en solros och fann att den följde en enkel andragradsmodell y(x) = x(260 x) där x är solrosens höjd i centimeter. Bestäm den största tillväxthastigheten. Hur lång är solrosen då? Lösning: Ordet modell, eller matematisk modell används, för till exempel en formel, som här, som beskriver ett naturfenomen. Man måste förstå att den bara är tillämplig på ett ungefär. Här nämns till exempel inte om solrosen står på en skuggig eller solig plats. Inte heller hur mycket det regnade denna sommar. Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Det här är en liten finurlig uppgift. Normalt förknippar vi hastighet, eller tillväxthastighet med derivatan till given funktion. Men eftersom y(x) är hastighet, så måste y (x) vara någon form av tillväxtacceleration. Solrosen axar! Man behöver kanske inte filosofera över detta, även om det känns bättre när man vet vad man håller på med. Vår plan blir, som vanligt just nu, att ta fram y (x). Lösa ekvationen y (x) = 0. Ta reda på vilken typ av extrempunkter som finns. Bestämma y(x) för dessa. Men hur deriverar man y(x) = x(260 x) Vi klarar det inte på något annat sätt än att utveckla parentesen och få som vi nu deriverar y (x) = 0 ger y(x) = 0.091x x 2 y (x) = x x = 0 som har roten x = 130. Vi vet att y(x) har en maxpunkt eftersom y (x) = Återstår att bestämma y(130) = 5.9. Vad betyder nu detta. Att solrosen växer som snabbast, 5.9 cm/dygn när den har en längd av 130 cm. 4 (Bokens nr 3211) Av en plåt som är 36 cm bred ska man bocka en öppen ränna med rektangulärt tvärsnitt. Vilka mått ger största möjliga tvärsnittsarea? Lösning: Detta är en ny kategori av problem. Vi ska alltså bestämma en maxpunkt. Men ingen funktion är given! Det handlar om geometri och genom att studera figuren kan vi lista oss till funktionen Figur 1: Den eftersökta arean är A = B H. Vi vet att H + H + B = 36. Om H = x så måste B = 36 2x och då kan vi skriva arean som A(x) = x(36 2x) = 36x 2x 2 eller hur? Vi har funktionen. Frågan är nu för vilket x som arean är som störst? Vi gör väl som vanligt, beräknar A (x) och löser ekvationen A (x) = 0 A (x) = 36 4x Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 A (x) = 0 ger oss nu 36 4x = 0 med roten x = 9. För x = 9 har funktionen en maxpunkt. A(18) = 162, som är rännans största tänkbara area. Finns det något intervall här, inom vilka värden på x kan variera? x största möjliga värde är 18, men då blir det inte mycket över till rännans bas, B = 0 och arean blir 0. x minsta värde är 0, det vill säga man viker inte upp någon kant alls. Då är också arean 0. Alla andra värden däremellan är möjliga för x. Intervallet för x blir då 0 x 18. Vi avslutar med att visa grafen Figur 2: 5 (Bokens nr 3212) Figuren visar grafen y = f(x) i intervallet a x f. Figur 3: a) När är funktionen f(x) växande? b) När är funktionen f(x) avtagande? c) I vilka punkter har f(x) lokala extrempunkter? d) När har f(x) globalt maximum? e) När har f(x) globalt minimum? Lösning: a) b < x < c d < x < e Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 b) a < x < b c < x < d e < x < f c) Maxpunkter i a, c, e. Minpunkter i b, d, f d) e e) b 6 (Bokens nr 3213) Vilka punkter på kurvan y = f(x) har horisontell tangent. a) f(x) = x 3 x 2 x + 1 b) f(x) = 2x 3 3x 2 12x + 87 Lösning: En horisontell tangent innebär att f(x) har en extrempunkt: max-, min- eller terrasspunkt. Nu bör det vara självklart hos alla att dessa punkter, får man genom att ta fram f (x) och lösa ekvationen f (x) = 0 a) f (x) = 3x 2 2x 1 3x 2 2x 1 = 0 har rötterna x 1 = 1 och x 3 2 = 1. det står inget om att vi behöver avgöra vilken typ av extrempunkter det handlar om, så då glömmer vi det. Däremot vill man veta f( 1 ) och f(1) 3 f( 1 3 ) = ( 1 3 )3 ( 1 3 )2 ( 1 3 ) + 1 = f(1) = = 0 b) Vi har då punkterna ( 1, 32 ) och (1, 0) 3 27 f (x) = 6x 2 6x 12 6x 2 6x 12 = 0 har rötterna x 1 = 1 och x 2 = 2 f( 1) = 2( 1) 3 3( 1) 2 12( 1) + 87 = 94 f(1) = = 67 Vi har då punkterna ( 1, 94) och (1, 67) Jag tror att ni sett mig lösa minst 100 andragradsekvationer på tavlan denna termin, så nu tänkte jag inte plåga er längre med det. Alla vet ju hur det går till, eller hur? Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 1 Bestäm arean hos den största triangel man kan skapa där summan av triangelns höjd h och dess bas b, b + h = 12 cm. 2 Figur 4: En låda ska tillverkas av en kvadratisk pappskiva som har sidan 12 dm. I skivans fyra hörn klipps lika stora kvadratiska bitar bort. Det som återstår viks så att en låda, med idel, räta vinklar bildas. Hur stora ska de kvadratiska bitarna vara för att lådans volym ska bli så stor som möjligt? 3 Om priset för en parfym sätts till x kr/liter kan man räkna med att det under ett år säljs f(x) = 100 5x 100 liter, så länge priset x är 800 x Teckna en funktion I(x) för intäkten, det belopp man får från ett års försäljning. Beräkna sedan med hjälp av I(x) den maximala intäkten. 1 Om höjden h sätts till x, så återstår 12 x till basen b, h = x, b = 12 x. Med hjälp av formeln för triangelns area A = b h 2 får vi x(12 x) A(x) = = 6x x2 2 2 Det är denna funktion vi ska finna en maxpunkt hos. Vi kan på vägen konstatera att 0 x 12. Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Vi deriverar och får A (x) och löser sedan ekvationen A (x) = 0 A (x) = 6 x 6 x = 0 ger x = 6. Vi deriverar en gång till och får A (x) = 1 Alltså är extrempunkten i x = 6 en maxpunkt, men det visste du ju redan. Hur som helst ser vi nu att då h = 6 och b = 6 får vi den maximala arean A = Vi ska bestämma volymen av lådan med hjälp av formeln V = b h l där b är bredden, l längden och h höjden. Men just i denna uppgift är l = b. Lådans botten är kvadratisk. De små kvadraterna som ska klippas bort antar vi har sidan x. Sidan hos den stora kvadraten vi har från början är 12. Hur stor är då bredden b? Jo, b = 12 2x och då är också l = 12 2x. Höjden är förstås h = x. Vi har tecknat alla måtten och kan nu teckna lådans volym V(x) = x(12 2x)(12 2x) = x(12 2x) 2 Sedan är det bara att tuffa på som vanligt. Derivera V(x). Sätta V (x) = 0 och lösa ekvationen för att få extrempunkterna. Vilket intervall befinner sig x i? 0 x 6, större kan ju inte x vara. Fört utvecklar vi parenteserna i V(x) V(x) = x(12 2x) 2 = x(144 48x + 4x 2 ) = 144x 48x 2 + 4x 3 Nu är det dags att derivera V (x) = x + 12x 2 Ekvationen x + 12x 2 = 0 har rötterna x 1 = 2 och x 2 = 6. Två extrempunkter! Vi ska nu avgöra vilken typ punkterna x = 2 och x = 4 tillhör, genom att derivera en andra gång. V (x) = x Då V (2) = = 48 < 0 som betyder att vi funnit en maxpunkt. Då V (6) = = 48 > 0 som betyder att det här handlar om en minpunkt. V(4) = 2(12 2 2) 2 = 128 Svar: Den maximala volymen är 128 cm 3, som vi får när de de små kvadraterna har sidan 2 cm. Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 3 Om parfymen till exempel kostar x = 900 kr, så kommer man att sälja f(900) = = 55 liter 100 Intäkten blir då I = = kr. Den funktion vi är ute efter kan skrivas: ( I(x) = x 100 5x ) = 100x 5x Det är den här funktionen vi ska finna en maxpunkt hos. Det luktar inte parfym, men det luktar derivering Sedan löser vi ekvationen I (x) = 0 I (x) = x 100 = 100 x x 10 = 0 som har roten Vi tar fram andraderivatan för att bestämma typen hos extrempunkten. I (x) = 1 10 som alltid är negativ. Alltså är speciellt I (1000) < 0 vilket betyder att vi funnit, som väntat, en maxpunkt. Räkna bokens uppgifter: 3202, 3203, 3207, 3208, 3209, 3210 KTH: Jaha, då sätter vi väl igång då. Är du pigg idag? 3202 TB: Så där. Det börjar bli lite mycket nu, men jag ska försöka samla mig och göra mitt bästa. En funktion är given. Jag väljer lite andra beteckningar än de som föreslås i boken. h(t) = 4.8t t Genom den här funktionen kan jag ta reda på hur högt över vattnet raketen befinner sig. Efter till exempel t = 10 blir h(10) = = Oj då, raketen är på väg mot botten, om det nu överhuvudtaget är så djupt där. Men nu var det inte det vi skulle ta reda på. Vid vilken tid som raketen når sin högsta punkt får jag reda på genom att derivera h(t) och lösa h (t) = 0 h(t) = 4.8t t h (t) = 9.6t h (t) = 0 då 9.6t = 0 t = 1 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Snälla värden eller hur. Redan efter 1 sekund vänder raketen och börjar falla igen. Hur högt den då befinner sig över vattenytan får jag reda på genom att beräkna h(1) = = 43 meter. Det var inte högt. KTH: Kan du se hur högt över havet själva startrampen ligger? TB: Då t = 0, innan uppskjutningen, befinner sig raketen h(0) = 38.2 meter över havet. Så själva skuttet är inte högre än knappa 5 meter! KTH: Om du fick i uppgift att bestämma när raketen slår i vattnet, hur skulle du göra då? TB: Nu frågas det faktiskt inte om det, men antagligen skulle jag lösa ekvationen h(t) = 0. KTH: h(t) = 0 är en andragradsekvation och en sådan har ju som bekant två rötter. Betyder det att raketen landar två gånger? TB: Nu går vi till nästa uppgift föreslår jag. KTH: Jag vill bara berätta att rötterna är t 1 = och t 2 = och att funktionen inte är definierad för t < 0. Detta förklarar min fråga. TB: Vi kommer aldrig att bli klara om du ska hålla på och utvidga uppgifterna på det här sättet TB: Finns det sådana här funktioner i verkligheten? Funktioner med vars hjälp man kan bestämma vilken vinst man får för olika priser. KTH: Jo man försöker nog bestämma sådana inom ekonomin, men de bygger förstås på psykologi och blir därför ganska osäkra. TB: Hur som helst har vi funktionen v(p) = 1000p 5p 2. Vinsten v, som funktion av priset p. Jag är på jakt efter ett maximum. Jag vet sedan tidigare andragradspolynom med en negativ koefficient till x 2 har just ett maximum. För vilket pris p som maximal vinst uppkommer, får jag genom att bestämma v (p) = 0 v(p) = 1000p 5p 2 v (p) = p v (p) = 0 då p = 0 p = Svaret är att den maximala vinsten får jag om biljettpriset sätts till 100 kr. Jag behöver inte beräkna v(100) som skulle ge mig den maximala vinsten. Tack för det. TB: Det är förunderligt att det finns funktioner för en sådan här sak. KTH: Egentligen så finns det ju inte det. Den här funktionen är på sin höjd en modell av verkligheten. Kanske tillräckligt bra för att kunna användas i någon situation. TB: Funktionen T(t) = 0.5t 2 5t + 10 har ett minimum, det vet jag säkert. Om detta minimum ligger i intervallet 0 t 12 kan jag inte omedelbart säga. Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 3208 Om inte så är det värdet vid något av intervallets ändpunkter som ger det sökta värdet. T(t) = 0.5t 2 5t + 10 T (t) = t 5 T (t) = 0 då t 5 = 0 t = 5 Minimat ligger i intervallet. 5 timmar efter midnatt, alltså kl 5 : 00 är temperaturen som lägst T(5) = 2.5 C TB: Jag ritar inte om figuren som finns i boken. Det finns ingen funktion given den här gången, men allt är ganska väl tillrättalagt. Jag kan skriva A(x), x som funktion av arean som 3209 A(x) = x(28 x) A(x) = 28x x 2 A (x) = 28 2x A (x) = 0 då 28 2x = 0 x = 14 Det är inte speciellt överraskande att x = 14 m, det vill säga att båda sidorna av staket är lika långa så att hagen blir en kvadrat. A(14) = 196 m 2 TB: Återigen en inhägnad, men nu vill man ha skilda hagar får (förlåt för) tackor och baggar! Figuren säger allt och jag får följande funktion A(x) = x(420 3x) A(x) = 420x 3x 2 A (x) = 420 6x A (x) = 0 då 420 6x = 0 x = 70 Långsidan skrivs 420 3x eftersom det behövs tre kortsidor, var och en med längden x m. Då x = 70 m får vi den maximala arean A(70) = 70( ) = m 2. Var den här uppgiften svårare än den förra eller? KTH: Nej, men eftersom upprepning är pedagogikens moder så gör vi detta endast för att det ska sitta TB: Konstigt villkor: Summan av höjden h och radien r ska vara r + h = 12. Men jag bryr mig inte. Men nu blir jag lite osäker. Vi ska beräkna volymen för en cylinder. Hur gjorde man det nu igen? KTH: Här har du formeln Den kan du hitta i formelsamlingen. V c = π r 2 h TB: Tack. Ja, här finns två storheter h och r!? Nu vet jag. Jag ska använda r + h = 12. Skriva om det som h = 12 r och substituera h med detta uttryck i den formel du gav mig. Lite småklurigt faktiskt. Är det rätt tänkt? Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 KTH: Javisst, bra TB: Jag kommer nu in på samma spår som i tidigare uppgifter. Jag får V c (r) = π r 2 (12 r) V c (r) = 12πr 2 πr 3 V c(r) = 24πr 3πr 2 V c (r) = 0 då 24πr 3πr2 = 0 r 1 = 0, r 2 = 8 Funktionen kan bara fungera för 0 < r < 12. Här kommer två grafer. Först V c (r) och sedan V c(r). V c (r) är ett polynom av tredje graden, som verkar ha ett maximum vid r = 8 vilket stämmer med mina beräkningar Figur 5: Det finns två extrempunkter i det aktuella intervallet, allt enligt teorin. Vi vet att V c (r) = 0, som är en andragradsekvation, ska ha (kan ha) två (reella) rötter. Den första är ett minimum då r = 0, som är ointressant här Figur 6: TB: De efterlyser för vilka värden på r och h som burken har maximal volym under gällande villkor. Svaret är r = 8 som ger h = 4 och volymen V c (8) (för den som har lust att räkna ut den). Håkan Strömberg 11 KTH Syd

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da

Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Uppgift 2. Maximal låda. I de fyra hörnen på en rektangulär pappskiva klipper man bort lika stora kvadrater. Flikarna viks sedan upp så att vi får en öppen

Läs mer

Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2 Så har vi då nått fram till sista avsnittet före tentamen. Uppgifterna i detta avsnitt är ganska trevliga, därför att de ofta har en, åtminstone påhittad,

Läs mer

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.

Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

b) Beräkna rektangelns omkrets. 3/0/0 b) Hur högt når kulan som högst? 4/0/0

b) Beräkna rektangelns omkrets. 3/0/0 b) Hur högt når kulan som högst? 4/0/0 Del A: Digitala verktyg är tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. 1) Rektangeln nedan har arean 77 cm 2. Längden är 4 cm längre än bredden. a) Teckna ett uttryck för att beräkna rektangelns

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

1.1 Polynomfunktion s.7-15

1.1 Polynomfunktion s.7-15 1.1 Polynomfunktion Vad är då en funktion? En funktion är en regel i matematiken som beskriver sambandet mellan två storheter. T.ex. Hur många hjul har 3 bilar? 3 4 = 12 Hur många hjul har 4 bilar? 4 4

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson (2013). Ändringar av Jakob Larsson och Emelie Fogelqvist (2014). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer

Tillämpad Matematik I Övning 3

Tillämpad Matematik I Övning 3 HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 3 1 Tillämpad Matematik I Övning 3 Allmänt Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är eempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson, Jakob Larsson, Emelie Fogelqvist och Simon Winter (2013 2016). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Lästal från förr i tiden

Lästal från förr i tiden Lästal från förr i tiden Nedan presenteras ett antal problem som normalt leder till ekvationer av första graden. Inled din lösning med ett antagande. Teckna sedan ekvationen. Då ekvationen är korrekt uppställt

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1:

f(t 2 ) f(t 1 ) = y 2 y 1 Figur 1: Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t 1 och t kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten,

Läs mer

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203

Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Övningsuppgifter omkrets, area och volym

Övningsuppgifter omkrets, area och volym Stockholms Tekniska Gymnasium 01-0-0 Övningsuppgifter omkrets, area och volym Uppgift 1: Beräkna arean och omkretsen av nedanstående figur. 4 7 Uppgift : Beräkna arean och omkretsen av nedanstående figur.

Läs mer

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning

Läs mer

Lokala mål i matematik

Lokala mål i matematik Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer. 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 6. 7. 8. 9. 10. 2. Derivator 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer. 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 6. 7. 8. 9. 10. 2. Derivator 1. 2. 3. 4. 5. 6. KTH matematik Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer Harald Lang 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Svar: 1. 2. 5 3. 1 4. 5 5. 1 6. 6 7. 1 8. 0 9.

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

a) 4a + a b) 4a 3a c) 4(a + 1)

a) 4a + a b) 4a 3a c) 4(a + 1) REPETITION 2 A 1 Förenkla uttrycken. a) 4a + a b) 4a 3a c) 4(a + 1) 2 Johannas väg till skolan är a m lång. a) Robins skolväg är 200 m längre än Johannas. Teckna ett uttryck för hur lång skolväg Robin

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 5

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 5 freeleaks NpMaE vt2000 för Ma4 1(6) Innehåll Förord 1 Kursprov i matematik, kurs E vt 2000 2 Del I: Uppgifter utan miniräknare 3 Del II: Uppgifter med miniräknare 5 Förord Kom ihåg Matematik är att vara

Läs mer

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG)

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) 0 ÖVNINGSTENTAMEN DEL C p Beräkna sidan AC p Bestäm f ( 0 ) då f ( ) ( ) p Ange samtliga etrempunkter till funktionen f ( ) 6. Ange även om det är

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. Ägna inte för lång

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Rep 1 NÅGOT EXTRA. Sidan 88. Sidan 85. Sidan 89. Sidan 86. Sidan 87. Sidan 90

Rep 1 NÅGOT EXTRA. Sidan 88. Sidan 85. Sidan 89. Sidan 86. Sidan 87. Sidan 90 2 VOLYM OCH SKALA / REP 1 FACIT TILL ELEVBOKEN 125 a dl b ml c cl d l 126 5 st 127 200 cm 3 (2 dl = 0,2 l = 0,2 dm 3 = 200 cm 3 ) Sidan 85 128 A B C D Vas tom 235 g 528 g 0,85 kg 1,250 kg Vas med vatten

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Z

Sammanfattningar Matematikboken Z Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform

Läs mer

MATEMATIK 5 veckotimmar

MATEMATIK 5 veckotimmar EUROPEISK STUDENTEXAMEN 2010 MATEMATIK 5 veckotimmar DATUM : 4 Juni 2010 SKRIVNINGSTID : 4 timmar (240 minuter) TILLÅTNA HJÄLPMEDEL : Skolans formelsamling Icke-programmerbar, icke-grafritande räknedosa

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.

Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data Geometri och statistik Blandade övningar Sannolikhetsteori och statistik 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data 27, 30, 32, 25, 41, 52, 39, 21, 29, 34, 55,

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. XYZ Matematisk problemlösning

Läs mer

Lipschitz-kontinuitet

Lipschitz-kontinuitet Kapitel 2 Lipschitz-kontinuitet Vi börjar med att presentera den formella definitionen av gränsvärde och kontinuitet. Vi presenterar sedan en variant av kontinuitet som är lättare att använda och som ger

Läs mer

4. Gör lämpliga avläsningar i diagrammet och bestäm linjens ekvation.

4. Gör lämpliga avläsningar i diagrammet och bestäm linjens ekvation. Repetitionsuppgifter inför prov 2 Ma2 NASA15 vt16 E-uppgifter 1. Beräkna sträckan i triangeln nedan. 3,8 m 37 o 2. En seglare ser en fyr på ett berg. Hon mäter höjdvinkeln till fyrljuset till 7,3 o. På

Läs mer

150 cm 2 m 70 dm. 280 cm 3,5 m 40 dm 3,50 0,50. 200 cm 1,5 2,5. 6 m. 30 cm 4 dm 500 mm. 2 m. 70 dm. 150 cm. 3,5 m. 40 dm. 280 cm.

150 cm 2 m 70 dm. 280 cm 3,5 m 40 dm 3,50 0,50. 200 cm 1,5 2,5. 6 m. 30 cm 4 dm 500 mm. 2 m. 70 dm. 150 cm. 3,5 m. 40 dm. 280 cm. Skriv sträckorna i storleksordning. Längdenheter: meter (m), decimeter (dm), centimeter (cm) och millimeter (mm). Längden 15 cm kan skrivas på olika sätt: 15 cm = 1 m 5 cm = 1,5 m eller 15 dm cm eller

Läs mer

4-4 Parallellogrammer Namn:..

4-4 Parallellogrammer Namn:.. 4-4 Parallellogrammer Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat bl.a. med linjer och vinklar. En linje är ju någonting som bara har en dimension, längd. Men när två linjer skär varandra och det bildas

Läs mer

Detta prov består av del 1 och 2. Här finns också facit och förslag till poängsättning

Detta prov består av del 1 och 2. Här finns också facit och förslag till poängsättning Allmänt om proven Detta prov består av del 1 och. Här finns också facit och förslag till poängsättning och bedömning. Provet finns på lärarwebben, dels som pdf-fil och dels som redigerbar Word-fil. Del

Läs mer

Lathund, geometri, åk 9

Lathund, geometri, åk 9 Lathund, geometri, åk 9 I årskurs 7 och 8 räknade ni med sträckor och ytor i en dimension (1D) respektive två dimensioner (2D). Nu i årskurs 9 har ni istället börjat räkna volymer av geometriska kroppar

Läs mer

Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler

Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler Matematik 3c Kap 3 Kurvor, derivator och integraler Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Repetitionsuppgifter 1

Repetitionsuppgifter 1 Repetitionsuppgifter 1 Beräkna 1 a) 0,5 + 0,7 b) 0,45 + 1,6 c) 2,76 0,8 2 a) 4,5 10 b) 30,5 10 c) 0,45 1 000 3 Vilka av produkterna är a) större än 6 1,09 6 0,87 6 1 6 4,3 6 0,08 6 b) mindre än 6 4 Skriv

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap1-3.1. 150513 (Lärare: Ingemar Carlsson) Anvisningar Del B, C och Del D Provtid Hjälpmedel Del A Del B Del C och D Kravgränser Övrigt 140 minuter för Del B, C och Del D. Du

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

8-6 Andragradsekvationer. Namn:..

8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. 8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1998. Anvisningar

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning

Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Eleven skall år 1 Begrepp Jämförelse- och storleksord, t.ex. stor, större, störst. Positionssystemet

Läs mer

Helsingfors universitet, Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning

Helsingfors universitet, Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning Helsingfors universitet, 18.5.2015 Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning DEL 2 Matematik (max 0 p.) 7. a) Matti och Maija börjar vandra från samma punkt i motsatta

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

4. I lagret finns 24, 23, 17 och 16 kg:s säckar. På vilket sätt kan man leverera en beställning på exakt 100 kg utan att öppna någon säck?

4. I lagret finns 24, 23, 17 och 16 kg:s säckar. På vilket sätt kan man leverera en beställning på exakt 100 kg utan att öppna någon säck? Grundskolans matematiktävling Finaltävling fredagen den 3 februari 2012 DEL 1 Tid 30 min Maximal poängsumma 20 Räknare används inte i denna del. Skriv ner beräkningar, rita bilder eller ange andra motiveringar

Läs mer

Inledning...3. Kravgränser...21. Provsammanställning...22

Inledning...3. Kravgränser...21. Provsammanställning...22 Innehåll Inledning...3 Bedömningsanvisningar...3 Allmänna bedömningsanvisningar...3 Bedömningsanvisningar Del I...4 Bedömningsanvisningar Del II...5 Bedömningsanvisningar uppgift 11 (Max 5/6)...12 Kravgränser...21

Läs mer

MATEMATIK KURS A Våren 2005

MATEMATIK KURS A Våren 2005 MATEMATIK KURS A Våren 2005 1. Vilket tal pekar pilen på? 51 52 53 Svar: (1/0) 2. Skugga 8 3 av figuren. (1/0) 3. Vad är 20 % av 50 kr? Svar: kr (1/0) 4. Hur mycket vatten ryms ungefär i ett dricksglas?

Läs mer

Övningsuppgifter på derivator för sf1627, matematik för ekonomer (rev. 1) Produktregeln: derivera 1. 2. 3. 4.

Övningsuppgifter på derivator för sf1627, matematik för ekonomer (rev. 1) Produktregeln: derivera 1. 2. 3. 4. Övningsuppgifter på derivator för sf627, matematik för ekonomer (rev. ) Produktregeln: derivera. 2. 3. 4. 5. 6. Kvotregeln: derivera. 2. 3. 4. 5. Kedjeregeln: derivera. 2. 3. 4. 5. 6. Logaritmisk derivering

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken X

Sammanfattningar Matematikboken X Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för

Läs mer

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c

Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Fria matteboken: Matematik 2b och 2c Det här dokumentet innehåller sammanfattning av teorin i matematik 2b och 2c, för gymnasiet. Dokumentet är fritt att använda, modifiera och sprida enligt Creative Commons

Läs mer

Kap Dubbelintegraler.

Kap Dubbelintegraler. Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 23.9.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 23.9.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 3.9.05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska

Läs mer

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0) Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) = x 5 (1/0/0).

Läs mer

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1)

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) NATUR OCH KULTURS PROV VÅRTERMINEN 1997 MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) Provets omfattning: t o m kapitel 5.6 i Matematik 2000 NV kurs AB. Provets omfattning: t o m kapitel 3.5

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

Tips 1. Skolverkets svar 14

Tips 1. Skolverkets svar 14 JENSEN vux utbildning Np Mac vt01 1(0) Kursprov Mac Innehåll Förord 1 Tips 1 Kursprov Mac vt01 Del B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. #1 10...... 3 Del C: Digitala verktyg är inte

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Gruppledtrådar 6-2A (i samband med sidorna 50-60) Ledtråd 2 Den har 4 begränsningsytor (B). Ledtråd 1 Polyedern är regelbunden.

Gruppledtrådar 6-2A (i samband med sidorna 50-60) Ledtråd 2 Den har 4 begränsningsytor (B). Ledtråd 1 Polyedern är regelbunden. Gruppledtrådar 6-2A (i samband med sidorna 50-60) Polyedern är regelbunden. Den har 4 begränsningsytor (B). Polyedern har 4 hörn (H). Antal kanter (K) kan beräknas med formeln B + H K = 2 Begränsningsytorna

Läs mer

Optimering av isoleringstjocklek på ackumulatortank

Optimering av isoleringstjocklek på ackumulatortank Optimering av isoleringstjocklek på ackumulatortank Projektarbete i kursen Simulering och optimering av energisystem, 5p Handledare: Lars Bäckström Tillämpad fysik och elektronik 005-05-7 Bakgrund Umeå

Läs mer

Matematik CD för TB. tanv = motstående närliggande. tan34 = x 35. x = 35tan 34. x 23.6. cosv = närliggande hypotenusan. cos40 = x 61.

Matematik CD för TB. tanv = motstående närliggande. tan34 = x 35. x = 35tan 34. x 23.6. cosv = närliggande hypotenusan. cos40 = x 61. Föreläning 8 Problem hämtade från boken idan 15 A 510 a) Rätvinklig triangel med vinkel och katet given. Mottående katet efterfråga. tan4 = x 5 x = 5tan 4 Svar:.6 cm x.6 A 510 b) Vinkel och hypotenuan

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:.. Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman

Läs mer

Komvux/gymnasieprogram:

Komvux/gymnasieprogram: Namn: Skola: Komvux/gymnasieprogram: Anvisningar: Tidsbunden del består av två delar, Del I och Del II. Den sammanlagda provtiden är 120 minuter varav högst 30 minuter för Del I. Till uppgifterna i Del

Läs mer