Räta linjens ekvation & Ekvationssystem

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Räta linjens ekvation & Ekvationssystem"

Transkript

1 Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = = -35 Uppgift nr 9 Lös ekvationssstemet eakt + 6 = = 10 Uppgift nr 3 Lös ekvationssstemet eakt + = = -1 Uppgift nr 10 Uppgift nr Lös ekvationssstemet eakt 3 + = = 7 Uppgift nr 5 Lös ekvationssstemet eakt 13 - = = -6 Uppgift nr 6 Lös ekvationssstemet eakt = = 37 Uppgift nr 7 Lös ekvationssstemet eakt = = -21 Här visas linjerna (graferna) till ekvationerna 3-2 = 2 och + = -6 A/ Avläs punkten, som ligger på båda linjerna. B/ Ange lösningen till ekvationssstemet 3-2 = 2 + = -6 med hjälp av koordinatsstemet. Sid 1

2 Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 11 Uppgift nr 13 Mamma Gun gick med fra barn på museum. Totalt kostade det 110 kr. För dagisfröknarna Cia, Fred, Jane och Per med tio barn blev avgiften 335 kr. Hur stor var entréavgiften för en vuen och hur stor för ett barn? Skall lösas med ekvationssstem. Här visas linjerna (graferna) till ekvationerna - = 3 och 3 + = 16 A/ Avläs punkten, som ligger på båda linjerna. B/ Ange lösningen till ekvationssstemet - = = 16 med hjälp av koordinatsstemet. Uppgift nr 12 Lös ekvationssstemet grafiskt = 3-1 = ,5 Uppgift nr 1 Pricka in följande punkter i ett koordinatsstem (3,), (-5,5), (-3,-5) och (1,0) Uppgift nr 15 Du har följande ekvation (med både - och -termer) = 3-3 Beräkna värdena på, dels om = 0 och dels om = 3. Uppgift nr 16 Lös ut ur ekvationen 0 = Uppgift nr 17 Lös ut ur ekvationen 0 = Uppgift nr 18 Lös ut ur ekvationen = 0 Sid 2

3 Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 19 Rita grafen till ekvationen = -0,5-3 Uppgift nr 25 Uppgift nr 20 Rita grafen till ekvationen = 1,5-1 Uppgift nr 21 Rita grafen till ekvationen = -1,5 + 2 Uppgift nr 22 Rita grafen till ekvationen = -0,5 + 2 Uppgift nr 23 Undersök utan att använda koordinatstem om punkten (-3,2) ligger på linjen = -6-3 Uppskatta denna linjes lutning. Uppgift nr 26 Uppgift nr 2 Vad menas med en linjes lutning? Uppskatta denna linjes lutning. Sid 3

4 Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 27 Uppgift nr 32 Beräkna lutningen för linjen genom punkterna (16,10) och (1,2) med hjälp av k-formeln. Uppgift nr 33 Beräkna lutningen för linjen genom punkterna (-6,9) och (3,-2) med hjälp av k-formeln. Uppskatta denna linjes lutning. Uppgift nr 28 Rita på rutigt papper en linje med lutningen 5 med trappmetoden. Uppgift nr 29 Rita på rutigt papper en linje med lutningen med trappmetoden. Uppgift nr 30 Rita en linje med k = 1 med trappmetoden. Uppgift nr 31 Beräkna lutningen för linjen genom punkterna (8,12) och (,5) med hjälp av k-formeln. Uppgift nr 3 Beräkna lutningen för linjen genom punkterna (-2,) och (6,-9) med hjälp av k-formeln. Uppgift nr 35 Beräkna var linjen = 6 + skär -aeln. Uppgift nr 36 Beräkna var linjen = 0 skär -aeln. Uppgift nr 37 Ekvationen för en linje är given = -0,5 + 1 A/ Var skär linjen -aeln. B/ Ange linjens lutning. Uppgift nr 38 En linje skär -aeln i punkten (0,-3) och har lutningen -1,5. Skriv linjens ekvation i k-form. Sid

5 Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 39 Ange lutningen k för linjen = - Uppgift nr 2 Uppgift nr 0 Vilken lutning har linjen som ges av följande ekvation? 0 = Uppgift nr 1 Uppskatta ekvationen för den här linjen i koordinatsstemet. Svara med linjens ekvation i k-form. Uppgift nr 3 Uppskatta ekvationen för den här linjen i koordinatsstemet. Svara med linjens ekvation i k-form. Uppskatta ekvationen för den här linjen i koordinatsstemet. Svara med linjens ekvation i k-form. Sid 5

6 Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr Är linjerna = -5,5 + 0,5 och = 5,5 + 1 parallella? Motivera ditt svar. Uppgift nr 5 Är linjerna = 6 + 0,5 och = -6-0,5 parallella? Motivera ditt svar. Uppgift nr 6 Beräkna ekvationen för linjen, som går genom punkterna (-3,6) och (,-2). Uppgift nr 7 Beräkna ekvationen för linjen, som går genom punkterna (-3,-2) och (1,-1). Uppgift nr 8 Beräkna ekvationen för linjen, som går genom punkterna (2,5) och (7,). Uppgift nr 50 Ge ekvationen för en linje, som är parallell med linjen = + 1 och som går genom punkten (8,6). Uppgift nr 51 Rita på rutigt papper en linje med lutningen och en linje med lutningen 5 3. A/ Hur stor blir vinkeln mellan linjerna? B/ Vad blir produkten, om man multiplicerar linjernas k-värden? Uppgift nr 52 En linje har lutningen 1 3. Vilken lutning har en linje, som är vinkelrät mot den? Uppgift nr 53 Ange ekvationen för en linje, som är vinkelrät mot linjen = + 6 och går genom punkten (,5). Uppgift nr 9 Ge ekvationen för en linje, som är parallell med linjen = och som går genom punkten (3,). Sid 6

7 Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 [Första ekvationen visar att har samma värde som 3.] i andra ekvationen ersätts (substitueras) med 3. [Då fås en ekvation, som kan lösas, eftersom den bara innehåller variabeln ] + 3 = 28 = 28 = 7 = 7 insättes i = 3 [eller i andra ekvationen om man tcker det är lättare] Svar: = 7 och = 21 Uppgift nr 2 [Första ekvationen visar att har samma värde som (5-15).] i andra ekvationen bts mot (5-15) + (5-15) = = = = 18 = 2 insättes te i första ekvationen = Svar: = 2 och = -5 Uppgift nr 3 I första ekvationen är det lätt att lösa ut = (A) i andra ekvationen ersätts med (3 - ). 3(3 - ) + 2 = = = = -10 = 1 insättes i ekvationen (A) = 3-1 = 3 - Svar: = -1 och = 1 Uppgift nr [Värden söks på och så att 3 + blir 17 och 5 - blir 7, Det innebär att (3 + ) + (5 - ) skall bli ] Ekvationerna adderas [I ekvationen] (3 + ) + (5 - ) = [tar -termerna ut varandra] = = 2 = 3 insättes (te) i första ekvationen = 17 = 17-9 = 8 Svar: = 3 och = 2 Uppgift nr 5 [-termerna tar ut varandra om] ekvationerna adderas (13 - ) + ( - 5) = = = -16 = -2 insättes i (te) andra ekvationen - 5 (-2) = = -6 = -16 Svar: = och = -2 Uppgift nr 6 En ekvation multipliceras med -1 (alla termer bter tecken) = = -37 Ekvationerna adderas = = -8 = insättes i (TEX) första ekvationen = = 29 5 = -15 Svar: = -3 och = Sid 1

8 Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 7 Andra ekvationen multipliceras med = = -105 Ekvationerna adderas = = 2 = -1 insättes (te) i andra ekvationen 11 (-1) - 2 = = = -10 Svar: = 5 och = -1 Uppgift nr 8 Första ekv. mult. med 5 och andra med = = -210 Ekvationerna adderas (-termerna ut varandra) = = -555 = -5 insättes i (te) första ekvationen 9 (-5) - 6 = = = -2 Svar: = och = -5 Uppgift nr 9 Multiplicera första ekv. med 5 och andra med = = 0 En ekvation multipliceras med -1 (alla termer bter tecken) = = 0 Ekvationerna adderas = = 60 = 6 insättes i (te) första ekv = 20 = = -16 Svar: = och = 6 Uppgift nr 10 Svar: A/ Punkten (-2,) ser ut att ligga på båda linjerna. B/ -2 och (Eftersom skärningspunkten ligger på båda linjerna gör dessa värden att båda ekvationerna stämmer eakt eller nästan eakt om de sätts in i stället för och i ekvationerna. OBSERVERA att avläsningar ALDRIG kan vara EXAKTA! Värdena måste prövas i båda ekvationerna innan man får ange ifall värdena är eakta.) Uppgift nr 11 Svar: A/ Punkten (,1) ser ut att ligga på båda linjerna. B/ och 1 (Eftersom skärningspunkten ligger på båda linjerna gör dessa värden att båda ekvationerna stämmer eakt eller nästan eakt om de sätts in i stället för och i ekvationerna. OBSERVERA att avläsningar ALDRIG kan vara EXAKTA! Värdena måste prövas i båda ekvationerna innan man får ange ifall värdena är eakta.) Uppgift nr 12 (Ta ut talpar till ekvationerna. Rita linjerna. Läs av skärningspunkten.) Svar: 1,5 och 3,5 Sid 2

9 Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 13 Antag att avgiften var kr för vuen och kr för barn. Ekvationssstem + = = 335 Första ekvationen ger = (A) i andra ekvationen bts mot (110 - ) + 10 = = = = -105 = 17,5 insättes i ekvation (A). Svar: Entréavgifterna var för vuna 0 kr och barn 17,50 kr. Uppgift nr 1 (-5,5) (-3,-5) (1,0) De fra punkternas lägen (3,) Uppgift nr 15 ( = 3-3 0) Svar: = 3 om = 0 och ( = 3-3 3) Svar: = -6 om = 3 [Av ekvationen har vi fått två par av tal. TALPAREN skrivs kortare (0,3) och (3,-6) Alltid -värdet först i parentesen.] Uppgift nr 16 (Fltta först så att -termen blir ensam. Bt tecken på termer, som bter sida.) -5 = [Om du vill så bt först tecken på alla termer, dvs mult ekv med -1 5 = ] (Dividera alla termer med talet framför.) Svar: = 3 + Uppgift nr 17 (Fltta först så att -termen blir ensam. Bt tecken på termer, som bter sida.) -3 = [Om du vill så bt först tecken på alla termer, dvs mult ekv med -1 3 = 15-9] (Dividera alla termer med talet framför.) Svar: = 5-3 Uppgift nr 18 (Fltta först så att -termen blir ensam. Bt tecken på termer, som bter sida.) 2 = (Dividera alla termer med talet framför.) Svar: = Uppgift nr 19 Eempel på punkter (-6,0), (-5;-0,5), (,-1), (-3;-1,5), (-2,-2), (-1;-2,5), (0,-3), (1;-3,5), (2,), (3;,5), (,-5), (5;-5,5) och (6,-6) Uppgift nr 20 Eempel på punkter (-3;-5,5), (-2,), (-1;-2,5), (0,-1), (1;0,5), (2,2), (3;3,5) och (,5) Sid 3

10 Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 21 Eempel på punkter (-2,5), (-1;3,5), (0,2), (1;0,5), (2,-1), (3;-2,5), (,) och (5;-5,5) Uppgift nr 22 Uppgift nr 23 Vänstra ledet = (-3) = -12 Högra ledet -6-3 = = -6-6 = -12 Leden får lika värden. Svar: Punkten ligger på linjen. Uppgift nr 2 Svar: Om man går från en punkt på linjen till en annan, menas med lutningen talet man får, om man dividerar förflttningen i höjdled med förflttningen i sidled. Flttning nedåt eller åt vänster anges negativ. Linjens lutning betecknas med bokstaven k. Uppgift nr 25 B [Räknar man rutor te från punkt A ned till B så blir det 5 rutor nedåt (dvs -5 i täljaren) och 3 rutor vänster (dvs -3 i nämnaren).] Trappmetoden från punkt A till B ger -5-3 Svar: k = Uppgift nr 26 A A Eempel på punkter (-6,5), (-5;,5), (,), (-3;3,5), (-2,3), (-1;2,5), (0,2), (1;1,5), (2,1), (3;0,5), (,0), (5;-0,5) och (6,-1) B [Räknar man rutor te från punkt A ned till B så blir det 5 rutor nedåt (dvs -5 i täljaren) och 9 rutor vänster (dvs -9 i nämnaren).] Trappmetoden från punkt A till B ger -5-9 Svar: k = 5 9 Sid

11 Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 27 Uppgift nr 29 Uppgift nr 30 B A A B k = 1 [Räknar man rutor te från punkt A upp till B så blir det 6 rutor uppåt (dvs 6 i täljaren) och rutor vänster (dvs i nämnaren).] Trappmetoden från punkt A till B ger 6 Svar: k = ( = -1,5) Uppgift nr 28 A B skrivs antingen -5 8 eller 5-8 [Fltta från en punkt A, 5 rutor NEDÅT (täljare -5) och sedan 8 rutor HÖGER (nämnare +8) Eller: Fltta från en punkt B, 5 rutor UPPÅT (täljare +5) och sedan 8 rutor VÄNSTER (nämnare -8) ger samma lutning på linjen.] (Heltalet görs till ett bråk.) 1 skrivs 1 1 (en hel). [Med trappmetoden gå från en punkt en ruta uppåt och en ruta åt höger, för att komma till en n punkt på linjen med denna lutning.] Uppgift nr 31 k-formeln ger k = = 7 (Eller med andra punkten först i formeln k = = -7 = 7 ) Svar: k = 7 [Markera ett hörn på papperet (A). Fltta steg UPPÅT (täljaren är + ). Därifrån 5 steg HÖGER (nämnaren är +5). Markera var du hamnat (B). Dra linjen.] Uppgift nr 32 k-formeln ger k = = 8 15 (Eller med andra punkten först i formeln k = = = 8 15 ) Svar: k = 8 15 Sid 5

12 Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 33 k-formeln ger k = 9 - (-2) -6-3 = = 11-9 Svar: k = Uppgift nr 3 Uppgift nr 37 (Linjen är skriven i k-form dvs man har löst ut.) A/ Linjen skär -aeln i (0,1) (talet sist i ekvationen m = 1). B/ Lutningen k = -0,5 (talet framför ). Uppgift nr 1 k-formeln ger k = - (-9) -2-6 = = 13-8 Svar: k = Uppgift nr 35 (Alla punkter på -aeln har -koordinaten = 0.) Sätt = 0 i linjens ekvation = (med lösningen) = -1 Svar: Linjen skär -aeln i (-1,0). (En kurvas skärning med -aeln kallas NOLLSTÄLLE.) Uppgift nr 36 (Alla punkter på -aeln har -koordinaten = 0.) Sätt = 0 i linjens ekvation 3-12 = 0 (med lösningen) = Svar: Linjen skär -aeln i (0,). (I matematiken brukar en linjes skärning med -aeln betecknas med bokstaven m. Här är alltså m =.) Uppgift nr 38 Svar: Linjens ekvation blir = -1,5-3 Uppgift nr 39 [Lutningen är talet framför -termen, när ekvationen som här är skriven på k-form (dvs börjar =...). Ettor skrivs inte ut.] Svar: k = 1 Uppgift nr 0 (Ekvationen skrivs på k-form dvs löses ut. ) = = + 1 (Lutningen är talet framför när man löst ut.) Svar: Lutningen är (Linjens lutning uppskattas antingen med trappmetoden mellan två punkter eller att man sätter in två punkters koordinater i k-formeln.) Här är lutningen k = 2 Linjens skärning med -aeln ger m-värdet i ekvationen = k + m. Svar: Linjens ekvation är = Sid 6

13 Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 2 Uppgift nr 3 Uppgift nr 5 Båda linjernas ekvationer är skrivna på k-formen ( har lösts ut). Lutningen är talet framför. Första linjen har k = 6 och den andra k = -6. Svar: Nej linjerna är inte parallella. (Linjens lutning uppskattas antingen med trappmetoden mellan två punkter eller att man sätter in två punkters koordinater i k-formeln.) Här är lutningen k = -1 Linjens skärning med -aeln ger m-värdet i ekvationen = k + m. Svar: Linjens ekvation är = (Linjens lutning uppskattas antingen med trappmetoden mellan två punkter eller att man sätter in två punkters koordinater i k-formeln.) Här är lutningen k = -0,5 Linjens skärning med -aeln ger m-värdet i ekvationen = k + m. Svar: Linjens ekvation är = -0,5 - Uppgift nr Båda linjernas ekvationer är skrivna på k-formen ( har lösts ut). Lutningen är talet framför. Första linjen har k = -5,5 och den andra k = 5,5. Svar: Nej linjerna är inte parallella. Uppgift nr 6 k-formeln ger k = (-3) = = -8-1 = 8 Insättning av k = 8, = -3 och = 6 i linjens ekvation i k-form ( = k + m) ger m 6 = 8 (-3) + m 6 = -2 + m -m = m = -30 m = 30 Svar: = Uppgift nr 7 k-formeln ger -1 - (-2) k = 1 - (-3) = = 1 = 0,25 Insättning av k = 0,25, = -3 och = -2 i linjens ekvation i k-form ( = k + m) ger m -2 = 0,25 (-3) + m -2 = -0,75 + m -m = -0, m = 1,25 m = -1,25 Svar: = 0,25-1,25 Sid 7

14 Facit - Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 8 k-formeln ger k = = = -1 5 = -0,2 Insättning av k = -0,2, = 2 och = 5 i linjens ekvation i k-form ( = k + m) ger m 5 = (-0,2) 2 + m 5 = -0, + m -m = -0, - 5 -m = -5, m = 5, Svar: = -0,2 + 5, Uppgift nr 9 (Givna linjen är redan skriven på k-formen.) k för sökta linjen skall alltså vara 5 för att linjerna skall vara parallella. k = 5 och punkten (3,) insättes i enpunktsformeln - = 5( - 3) - = 5-15 = Svar: = 5-11 Uppgift nr 50 (Givna linjen är redan skriven på k-formen.) k för sökta linjen skall alltså vara för att linjerna skall vara parallella. k = och punkten (8,6) insättes i linjens k-form 6 = 8 + m -m = 8-6 m = I sökta linjens ekvation är alltså k = och m = -26. Svar: = - 26 Uppgift nr 51 (- 3 5 ) 5 3 = = -1 Svar: A/ Vinkeln blir 90. B/ Produkten är -1. (Produkten blir alltid -1 om linjerna bildar rät vinkel. Kan skrivas som en formel k 1 k 2 = -1) Uppgift nr 52 Kalla sökta linjens lutning. Formeln k 1 k 2 = -1 ger 1 3 = - 1 Båda leden divideras med 1 3. = (-1) / 1 3 = (-1) 3 1 = - 3 Svar: Vinkelräta linjen har lutningen - 3. Uppgift nr 53 Givna linjen har lutningen (talet framför när ekvationen för linjen är i k-form). Formeln k 1 k 2 = -1 ger sökta linjens k-värde. k = (-1) / k = -0,25 (k-värdet och punktens koordinater i) = k + m ger linjens m-värde. 5 = (-0,25) + m -m = -1-5 m = 6 Svar: Vinkelräta linjen har ekvationen = -0, Sid 8

Förändringshastighet ma C

Förändringshastighet ma C DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 1 Givet funktionen f() 2 + 8 Beräkna f() Uppgift nr 2 Givet funktionen f() 9 + 1 Beräkna f(7) Uppgift nr 6 Uppgift nr

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.

Läs mer

Ekvationssystem - Övningar

Ekvationssystem - Övningar Ekvationssystem - Övningar Uppgift nr 1 y = 5x x + y = 54 Uppgift nr 2 y = 2x x + y = 12 Uppgift nr 3 y = 3x + 7 4x + y = 35 Uppgift nr 4 y = 4x - 18 3x + y = 38 Uppgift nr 5 2x - 2y = -4 x - 3y = 4 Uppgift

Läs mer

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15.

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15. Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

4Funktioner och algebra

4Funktioner och algebra Funktioner och algebra Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de: känna till begreppet funktion kunna tolka och räkna med enkla funktioner kunna multiplicera in i parentesuttrck kunna förenkla

Läs mer

Övningar - Andragradsekvationer

Övningar - Andragradsekvationer Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN Del I, 10 kortsvarsuppgifter med miniräknare 4

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN Del I, 10 kortsvarsuppgifter med miniräknare 4 freeleaks NpMaB ht000 () Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 000 Del I, 0 kortsvarsuppgifter med miniräknare 4 Del II, 9 uppgifter med miniräknare, fullständiga lösningar 7 Del

Läs mer

Repetition ekvationer - Matematik 1

Repetition ekvationer - Matematik 1 Repetition ekvationer - Matematik 1 Uppgift nr 1 I en 2-barnsfamilj är alla tillsammans 107 år. Sonen är 7 år yngre än dottern. Mamman är 4 år äldre än pappan. Pappan är 4 gånger äldre än dottern. Hur

Läs mer

Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte):

Med ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte): Linjära samband Räta linjens ekvation Förmågan att se, analsera och förstå olika samband är egenskaper som är viktiga att ha i vardagslivet men oundvikliga för kommande studier och arbetsliv. Med ett samband

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90 2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

Statistiska samband: regression och korrelation

Statistiska samband: regression och korrelation Statistiska samband: regression och korrelation Vi ska nu gå igenom något som kallas regressionsanalys och som innebär att man identifierar sambandet mellan en beroende variabel (x) och en oberoende variabel

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1 Tal Räknelagar Prioriteringsregler I uttryck med flera räknesätt beräknas uttrycket i följande ordning: 1. Parenteser 2. Potenser. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: 5 22 1.

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erixon hans heikne Matematik Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur

lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erixon hans heikne Matematik Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erion hans heikne Matematik 5000 Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur NATUR & KULTUR Bo 27 323, 02 54 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, order@nok.se Redaktion:

Läs mer

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek. PASS 10. FUNKTIONER 10.1 Grundbegrepp om funktioner Mamman i den finländska modellfamiljen från pass fyra brukade dammsuga det 100 m 2 stora huset varje lördag. Det tog 30 minuter. Efter att pappan hade

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Uppgift 1. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen. b) Lös olikheten. Rita följande andragradskurvor:

Uppgift 1. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen. b) Lös olikheten. Rita följande andragradskurvor: Tentamen i MATEMATIK, HF 700 9 nov 007 Tid :5-7:5 KLASS: BP 07 Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Miniräknare av vilken tp som helst, en formelsamling och ett bifogat formelblad. Tentamen består av 8

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2 Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=

Läs mer

Linjer och plan (lösningar)

Linjer och plan (lösningar) Linjer och plan (lösningar) 0. Enligt mittpunktsformeln (med O i just origo) OM = ³ OA + OB a) b) ((, 0, ) + (,, )) = (0,, ) µ +, +, z + z 0. Enligt tngdpunktsformeln (med O i just origo) ³ OA + OB + OC

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

Lokala mål i matematik

Lokala mål i matematik Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal

Läs mer

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1. PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än

Läs mer

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?

Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

MATEMATIK 5 veckotimmar

MATEMATIK 5 veckotimmar EUROPEISK STUDENTEXAMEN 2010 MATEMATIK 5 veckotimmar DATUM : 4 Juni 2010 SKRIVNINGSTID : 4 timmar (240 minuter) TILLÅTNA HJÄLPMEDEL : Skolans formelsamling Icke-programmerbar, icke-grafritande räknedosa

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

grafer Centralt innehåll

grafer Centralt innehåll Trigonometri och grafer Centralt innehåll Trigonometriska funktioners grafer och dess egenskaper. Grafiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer. Härledning och användning av deriveringsregler

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext. PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson Potenser. Matematik 1A. Uppgift nr 10 Multiplicera

DOP-matematik Copyright Tord Persson Potenser. Matematik 1A. Uppgift nr 10 Multiplicera Potenser Uppgift nr Skriv 7 7 7 i potensform Uppgift nr 2 Vilket tal är exponent och vilket är bas i potensen 9 6? Uppgift nr 3 Beräkna värdet av potensen (-3) 2 Uppgift nr 4 Skriv talet 4 i potensform

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9 Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9 Matematik Extrauppgifter för skolår 7-9 Pärm med kopieringsunderlag. Fri kopieringsrätt inom utbildningsenheten! Författare: Mikael Sandell Copyright 00 Sandell

Läs mer

LÄXA 3. 7 a) 3 120 b) 231 och 3 120 c) 235 och 3 120

LÄXA 3. 7 a) 3 120 b) 231 och 3 120 c) 235 och 3 120 acit till läorna LÄXA LÄXA a),75 0 b), 0 a) 7, b) 0, a) 0 b) 7 c) 00 00 km/s a), b) a) 900 b) 5, cm a) 50 cm b) 0 cm c) 0,5 cm a),5 b) 0,0 5,05,7,9,5, a) 00 b) 0 c) 79 7 a) b) 55 9,5 TIAN centi = hundradel,

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

1.1 Polynomfunktion s.7-15

1.1 Polynomfunktion s.7-15 1.1 Polynomfunktion Vad är då en funktion? En funktion är en regel i matematiken som beskriver sambandet mellan två storheter. T.ex. Hur många hjul har 3 bilar? 3 4 = 12 Hur många hjul har 4 bilar? 4 4

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna

Läs mer

Funktioner: lösningar

Funktioner: lösningar Funktioner: lösningar 6. Sätt 1 = t 7. Också strängt väande: f (t) = 1 (1 t) = = 1 1+t t = = t t 8. Återigen strängt väande: T.e. a < b g (a) < g(b) f (g (a)) < f (g (b)) a < b g (a) > g(b) f (g (a))

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken X

Sammanfattningar Matematikboken X Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för

Läs mer

Mål. talföljder ~ använda räta linjens ekvation. formel variabel. funktion. värdetabell graf tabell. räta linjens ekvation aritmetisk talföljd

Mål. talföljder ~ använda räta linjens ekvation. formel variabel. funktion. värdetabell graf tabell. räta linjens ekvation aritmetisk talföljd Mål När du har arbetat med det här kapitlet ska du kunna: ~ beskriva begreppen funktion och linjär funktion ~ tolka linjära funktioner grafer och formler med ord, ~ använda formler som beskriver linjära

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ABSOLUTBELOPP Några eempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) c) 5 5 Alltså et av ett tal är lika med själva talet om talet är positivt eller lika med et av är lika med det motsatta talet om är negativt

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13

Tentamen 973G10 Matematik för lärare årskurs 4-6, del2, 15 hp delmoment Geometri 4,5 hp, , kl. 8-13 Kurskod: 9G0 Provkod: STN Tentamen 9G0 Matematik för lärare årskurs -, del, 5 hp delmoment Geometri,5 hp, 0-0-08, kl 8- Tillåtna hjälpmedel : Passare, linjal För varje uppgift ska fullständig lösning med

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel Kapitel.1 101, 10, 10 Eempel som löses i boken. 104, 105, 10, 107, 108, 109 Se facit 110 a) Ledning: Alla punkter med positiva

Läs mer

Exponentialfunktioner och logaritmer

Exponentialfunktioner och logaritmer Eponentialfunktioner och logaritmer Tidigare i kurserna har du gått igenom potenslagarna, hur man räknar med potenser och potensfunktioner av typen y. En potens- funktion är en funktion som innefattar

Läs mer

ALGEBRA OCH FUNKTIONER

ALGEBRA OCH FUNKTIONER ALGEBRA OCH FUNKTIONER Centralt innehåll Hantering av algebraiska uttrck och ekvationer. Generalisering av aritmetikens lagar. Begreppen polnom och rationellt uttrck. Kontinuerlig och diskret funktion.

Läs mer

Facit Läxor. hur många areaenheter som får plats cm 2 cm och 12 4 cm samt 3 cm 16 cm och 6 cm 8 cm.

Facit Läxor. hur många areaenheter som får plats cm 2 cm och 12 4 cm samt 3 cm 16 cm och 6 cm 8 cm. Läa a) b) c) a) 6,8 b) 8, c) 66 a),99,09,,8,8 b) 0,0 Hon får 9 kr tillbaka. a) 00 b) 00 c) 00 6 a) 0 längder b) 7 m c) kr 7 Decimaltecknet skiljer heltalen från decimaltalen. Placeringen avgör om siffran

Läs mer

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p) TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.

Läs mer

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan.

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan. Godisförsäljning För att samla in pengar till en klassresa har Klass 9b på Gotteskolan bestämt sig för att hyra ett bord och sälja godis på Torsbymarten. Det kostar 100 kr att hyra ett bord. De köper in

Läs mer

Lathund, samband & stora tal, åk 8

Lathund, samband & stora tal, åk 8 Lathund, samband & stora tal, åk 8 Den vågräta tallinjen kallas x-axeln och den lodräta tallinjen kallas y-axeln. Punkten där tallinjerna skär varandra kallas origo (0,0). När man beskriver en punkt i

Läs mer

8-5 Ekvationer, fördjupning. Namn:.

8-5 Ekvationer, fördjupning. Namn:. 8-5 Ekvationer, fördjupning. Namn:. Inledning Du har nu lärt dig en hel del om vad en ekvation är och hur man löser ekvationer som innehåller en eller fler x-termer (om vi betecknar den okända med x).

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

En samling funktionspussel för gymnasienivå

En samling funktionspussel för gymnasienivå En samling funktionspussel för gymnasienivå ü Pusslenas idé Det är lätt att snabbt rita många funktionsgrafer med en grafisk räknare, men hur är det med elevernas vana och förmåga att utläsa information

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr. Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel

Läs mer

1.2 Polynomfunktionens tecken s.16-29

1.2 Polynomfunktionens tecken s.16-29 Detta avsnitt handlar om olikheter. < mindre än > större än mindre än eller lika med (< eller =) större än eller lika med (> eller =) Vilka tal finns mellan 2 och 5? Alla tal som är större än 2. Och samtidigt

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:

9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn: 9- Koordinatsystem och funktioner. Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig vad ett koordinatsystem är och vilka egenskaper det har. I ett koordinatsystem kan man representera matematiska funktioner

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaD ht2007 för Ma4 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2007 2 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik

Läs mer

JONAS SJUNNESSON MARTIN HOLMSTRÖM EVA SMEDHAMRE

JONAS SJUNNESSON MARTIN HOLMSTRÖM EVA SMEDHAMRE JONAS SJUNNESSON MARTIN HOLMSTRÖM EVA SMEDHAMRE R40-090 Detta är ett särtrck ur ISBN 978-9-47-0909-8 0 Martin Holmström, Eva Smedhamre, Jonas Sjunnesson och Liber AB Projektledare: Calle Gustavsson Formgivning

Läs mer

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen.

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen. VSTÅNDSERÄKNING I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkter Låt = x, och = x, y, z ) vara två punkter i rummet vstånet mellan och är x) + y y) + z ) = = x z ===================================================

Läs mer

Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p.

Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p. Karlstads universitet Leif Ruckman Summasymbolen. Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p. I stället för att skriva en lång instruktion att vissa värden skall summeras brukar man använda

Läs mer

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson Övning Bråkräkning. Matematik 1. Uppgift nr 14 Addera 9. Uppgift nr 15 Addera 3. Uppgift nr 16 Subtrahera 6 7-1 7

DOP-matematik Copyright Tord Persson Övning Bråkräkning. Matematik 1. Uppgift nr 14 Addera 9. Uppgift nr 15 Addera 3. Uppgift nr 16 Subtrahera 6 7-1 7 Övning Bråkräkning Uppgift nr 1 Vilket av bråken 1 och 1 är Uppgift nr Vilket av bråken 1 och 1 är Uppgift nr Skriv ett annat bråk, som är lika stort som bråket 1. Uppgift nr Förläng bråket med Uppgift

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Utforskande aktivitet med GeoGebra

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Utforskande aktivitet med GeoGebra GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Utforskande aktivitet med GeoGebra GeoGebra 0 Utforskande aktivitet med GeoGebra 1 Börja med att ta bort koordinataxlarna

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Hur länge ska fisken vara i dammen?

Hur länge ska fisken vara i dammen? Hur länge ska fisken vara i dammen? Frågeställning Uppgift 10 fiskodling Uppgiften går ut på att ta reda på hur länge ett stim fisk ska växa upp i en fiskodling för att få den maximala vikten tillsammans.

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer