lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erixon hans heikne Matematik Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur

Transkript

1 lena Alfredsson Kajsa Bråting Patrik erion hans heikne Matematik 5000 Kurs 2b Grön lärobok natur & Kultur

2 NATUR & KULTUR Bo , Stockholm Kundtjänst: Tel , Redaktion: Tel , Order och distribution: Förlagssstem, Bo 30 95, Stockholm Tel , Projektledare: Irene Bonde Tetredaktör: Mats Karlsson/Devella HB Bildredaktör: Erica Högsborn Grafisk form och omslag: Graffoto AB och Åsa Lundbom Laout: Måns Björkman/Tp & Design och Mats Karlsson/Devella HB Sättning: Måns Björkman/Tp & Design och Mats Karlsson/Devella HB Kopieringsförbud! Detta verk är skddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt avtal med Bonus Presskopia och den mcket begränsade rätten till kopiering för privat bruk. Den som brter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. 202 Lena Alfredsson, Lars-Eric Björk, Hans Brolin, Kajsa Bråting, Patrik Erion, Hans Heikne och Natur & Kultur, Stockholm Trckt i Lettland 202 Första utgåvans första trckning ISBN

3 Välkommen till Matematik 5000 Matematik 5000 är en läroboksserie för gmnasieskolan och vuenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning. Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål som beskrivs i den na ämnesplanen. Denna bok, Kurs 2b Grön lärobok, riktar sig till elever som studerar på ekonomi-, estetiska-, humanistiska- eller samhällsvetenskapsprogrammet. Hur är boken upplagd? Teoriavsnitten utgår ofta från konkreta eempel som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken. Teorin avslutas med flera lösta eempel som belser det viktigaste. Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad. Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera undervisningen. De finns i fem olika kategorier: Upptäck, Undersök, Diskutera, Laborera och Modellera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll. I Teman finns teori och uppgifter anpassade till ekonomi-, estetiska-, humanistiska- och samhällsvetenskapsprogrammet och i Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang. På många sidor blandas uppgifter av standardkaraktär med uppgifter som kräver matematisk problemlösning. Varje kapitel avslutas med: En Aktivitet som uppmuntrar till kommunikation: Sant eller falskt? En kort Sammanfattning av kapitlet. Kan du det här? och Diagnos som tillsammans ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande kunskaper. Om en elev behöver repetera delar av kapitlet finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. Repetitionsuppgifterna är teten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt. Två olika varianter av Blandade övningar avslutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Blandade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter. I Svarsdelen finns ledtrådar till många uppgifter. Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, tterligare aktiviteter och övningsuppgifter samt en provbank. Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor. Mer information om läromedlet och digitalt material finns på Lcka till med matematiken! önskar Hans, Kajsa, Lena och Patrik förord 3

4 Innehåll. Algebra och linjära modeller 6 Inledande aktivitet: Positiva och negativa tal 7. Algebra 8 Negativa tal och prioriteringsregler 8 Tal i bråkform Algebraiska uttrck 3 Ekvationer 6 Omskrivning av formler 20.2 Funktioner 2 Koordinatsstem 2 Funktion, formel, värdetabell och graf 22 Aktivitet: Diskutera Graf, formell, tabell och beskrivning 26 Mer om funktioner 28 Grafer med digitala verktg 33.3 Räta linjens ekvation 35 Inledning 35 Aktivitet: Upptäck Torghandel 37 k-värde och m-värde 38 En formel för linjens lutning 4 Aktivitet: Upptäck Vinkelräta linjer 45 Parallella och vinkelräta linjer 46 Räta linjens ekvation 47 Aktivitet: Laborera Trästavar med skruv 50 Linjära modeller 5 Mer om räta linjer 54.4 Linjära ekvationssstem 57 Grafisk lösning 57 Substitutionsmetoden 60 Additionsmetoden 62 Några speciella ekvationssstem 65 Tema: Vinst eller förlust? 66 Tillämpningar och problemlösning 68 Tema: Nu är det NOG 7 Aktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 74 Sammanfattning 75 Kan du det här? 76 Diagnos 77 Blandade övningar A 78 Blandade övningar B 8 2. Algebra och ickelinjära modeller 84 Inledande aktivitet: Olika beräkningar Samma resultat Polnom 86 Vad är ett polnom? 86 Räkna med polnom 87 Aktivitet: Upptäck Kvadreringsreglerna 89 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 90 Faktorisera Andragradsekvationer 95 Enkla andragradsekvationer 95 En lösningsformel 98 Aktivitet: Upptäck Samband mellan rötter och koefficienter 03 Historik: Ekvationer och lösningsformler 04 Olika tper av tal 06 Komplea tal en introduktion 07 Tillämpningar och problemlösning 0 Aktivitet: Undersök Andragradsfunktioner Andragradsfunktioner 4 Andragradsfunktionens graf 4 Andragradsfunktionens största/minsta värde 7 Aktivitet: Undersök Rektanglar med en given omkrets 2 Tillämpningar Potenser och potensekvationer 26 Potenser 26 Potensfunktioner och rationella eponenter Eponentialfunktioner och logaritmer 32 Eponentialfunktioner 32 Aktivitet: Undersök Grafen till = 0 34 Ekvationen 0 = b och logaritmer 35 Ekvationen a = b 38 Tillämpningar och problemlösning 40 Historik: Värdens befolkning 45 Tema: Åldersbestämning med kol-4 46 Mer om grafer 48 Aktivitet: Laborera Termosen 50 Aktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 5 Sammanfattning 2 52 Kan du det här? 2 54 Diagnos 2 55 Blandade övningar kapitel 2 56 Blandade övningar kapitel innehåll

5 3. Geometri 62 Inledande aktivitet: Frhörningar Vinklar 64 Vinklar och vinkelsumma 64 Yttervinkelsatsen 67 Aktivitet: Upptäck Randvinklar 69 Randvinklar och medelpunktsvinklar Likformighet 74 Likformiga månghörningar 74 Historik: Fraktaler 77 Topptriangelsatsen och transversalsatsen 78 Kongruens 82 Area- och volmskala* 85 Aktivitet: Undersök Dnamisk geometri 88 Några bevis med likformighet* Koordinatgeometri 92 Pthagoras sats 92 Avståndsformeln 96 Mittpunktsformeln* 98 Aktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 200 Sammanfattning 3 20 Kan du det här? Diagnos Blandade övningar kapitel Blandade övningar kapitel * Fördjupningsavsnitt 4. Statistik 20 Inledande aktivitet: Gissa längden 2 4. Statistiska metoder 22 Sammanställning och presentation av mätdata 22 Population, stickprov och urvalsmetoder 25 Några felkällor vid statistiska undersökningar 28 Aktivitet: Modellera Ett modellförsök av en väljarundersökning Läges- och spridningsmått 222 Lägesmått 222 Tema: Bäst i test! 227 Några spridningsmått 228 Aktivitet: Undersök Läges- och spridningsmått 233 Standardavvikelse 234 Tema: Hjärtinfarkt och statistik 238 Aktivitet: Laborera Hur lång är en mandel? Normalfördelning 242 Egenskaper hos normalfördelat material 242 Aktivitet: Laborera Finns det några samband i clementiner? Modellering 248 Korrelation 248 Regression 253 Tema: Budgetering och kostnadsanals 258 Aktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 262 Sammanfattning Kan du det här? Diagnos Blandade övningar kapitel Blandade övningar kapitel Repetitionsuppgifter 272 Svar, ledtrådar och lösningar 279 Register 322 innehåll 5

6 ALGEBRA OCH LINJÄRA MODELLER Centralt innehåll Hantering av algebraiska uttrck och ekvationer. Konstruktion av grafer till funktioner samt bestämning av funktionsvärde och nollställe. räta linjens ekvation. begreppet linjärt ekvationssstem. Algebraiska och grafiska metoder för att lösa linjära ekvationssstem. Matematiska problem av betdelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.

7 Inledande aktivitet POSITIVA OCH NEGATIVA TAL Arbeta tillsammans två och två. Skaffa fra papperslappar och skriv talen 2, 3, 5 och 4 på lapparna Placera talen i storleksordning. 2 Beräkna summan av talen. 3 a) Välj två av lapparna och lägg dem så att summan blir så stor som möjligt. + = b) Välj på ntt och lägg två lappar så att differensen blir så stor som möjligt. = c) Välj på ntt och lägg två lappar så att produkten blir så stor som möjligt. = 4 a) Välj två av lapparna och lägg dem så att summan blir så liten som möjligt. + = b) Välj två av lapparna och lägg dem så att produkten blir så liten som möjligt. = 5 Placera ut alla fra talen så att resultatet av beräkningen + = blir så a) stor som möjligt b) liten som möjligt.

8 . Algebra Negativa tal och prioriteringsregler Vi börjar med att repetera beräkningar med negativa tal och prioriteringsreglerna från kurs. Eempel Temperaturen är 3 C och ökar 7 C. Temperaturen är 3 C och minskar 5 C = = 8 ökar 7 C minskar 5 C Eempel 2 Addition och subtraktion ( 200) = = ( 200) = = 700 Två olika tecken intill varandra kan ersättas med ett minustecken. Två lika tecken intill varandra kan ersättas med ett plustecken. Eempel 3 Multiplikation och division 6 ( 3) = = 2 Olika tecken ger ett negativt resultat. 6 ( 3) = = 2 Lika tecken ger ett positivt resultat. Vid beräkningar med flera räknesätt: Prioriteringsregler. Först parenteser 2. Därefter upphöjt till (potenser) 3. Sedan multiplikation och division 4. Sist addition och subtraktion 8. Algebra

9 0 Beräkna utan räknare a) 5 9 c) 25 ( 50) b) d) 6 + ( 9) a) 5 9 = 4 c) 25 ( 50) = = = 25 Tecknen ( ) ersätts med + b) = d) 6 + ( 9) = = = 7 = 6 9 = 7 Tecknen + ( ) ersätts med 02 Beräkna utan räknare a) 5 ( 4) c) ( 3) b) d) 0 ( 3) 2 a) 5 ( 4) = 20 c) ( 3) = = 0 5 = 2 b) = d) 0 ( 3) 2 = 0 ( 2) 2 = = 3 0 = 3 = 0 ( 2) ( 2) = 0 4 = 6 Det är vanligt att det på räknare finns två olika knappar för minustecken. används för subtraktion och ( ) används för negativa tal. 5 8 = ( ) Beräkna med räknare 24 + ( 6) 2 4 På räknaren skriver vi en parentes runt uttrcket i täljaren och uttrcket i nämnaren ( 6) = (24 + ( 6))/( 2 4) = Algebra 9

10 Beräkna utan räknare. 04 a) 5 8 c) 3 2 b) d) a) 7 + ( 3) c) 8 + ( 2) b) 5 ( 4) d) 3 ( 9) 06 a) 4 ( 3) c) ( 7) 6 b) ( 0) ( 5) d) 6 ( 2) 07 a) 5 3 b) 45 5 c) 36/( 6) d) ( 32)/( 8) 3 I Målilla i Småland är det ofta varmt på sommaren. Värmerekordet i Målilla är +38,0 C och köldrekordet är 33,8 C. Hur stor är temperaturdifferensen? 08 a) c) 2 (3 8) b) d) a) 9 ( 6) 5 ( 7) b) ( ) c) 8 ( 4) 7 ( ) d) ( 3) 0 Beräkna med räknare a) 2,97 (,68) c) 3,5 ( 26) b) 3,7 9,6 d) Beräkna med räknare 252 5,7,2 a) c) ,2 3, b) d) 4 3 ( 3) 2 Vilka belopp ska stå i de tomma vita rutorna? Insättning Uttag Behållning Skriv 3 ( 20) som en addition och beräkna summan. 5 Beräkna utan räknare a) 4 ( 5) + 5 b) 6 + ( 6) 6 c) 2 (2 5) 2 d) ( 4 + 3) ( 9) 6 Vilket tal ska stå i den tomma rutan? a) 8 = 30 b) 6 5 = 4 c) 8 35 = 3 7 I en frågesport får du +2 poäng om du svarar rätt men 3 poäng om du svarar fel. Undersök om det är möjligt att du kan ha a) 0 poäng efter att ha svarat på 0 st frågor b) 0 poäng efter att ha svarat på 8 st frågor? 8 Talen, 4, 2, 0, 2, 4,... är jämna. Talen, 3,,, 3, är udda. En kompis hävdar att differensen mellan två udda tal alltid är ett jämnt tal. Har din kompis rätt? Motivera! 0. Algebra

11 Tal i bråkform På British Museum finns ett för matematiken viktigt dokument, Rhindpaprusen. Den skrevs för nästan år sedan och visar bl a hur de gamla egptierna räknade med bråk. Metoderna har sedan dess utvecklats. Vi repeterar här några metoder /regler som du mött tidigare. Eempel Addition eller subtraktion av bråk med samma nämnare Addera /subtrahera täljarna. Nämnaren ändras inte = + 2 = Eempel 2 förlänga förkorta enklaste form Addition eller subtraktion av bråk med olika nämnare Börja med att förlänga bråken till samma nämnare = = = Avsluta med att förkorta så långt som möjligt, dvs skriv bråket i enklaste form = 42/2 60/2 = 2 30 = 2/3 30/3 = 7 0 Eempel 3 Multiplikation av bråk Multiplicera täljarna för sig och nämnarna för sig = = 2 5 Eempel 4 Multiplikation av ett heltal och ett bråk Multiplicera endast täljaren med heltalet = = kan även beräknas med addition: = 6 5 blandad form När täljaren är större än nämnaren kan du svara i blandad form: 6 5 = = 5. Algebra

12 9 Beräkna utan räknare och svara i enklaste form. a) b) c) d) a) = = 4 6 = 4/2 6/2 = 2 3 b) = = = 5 0 = 5/5 0/5 = 2 c) = = = 2 5 d) = = 6 8 = 6/2 8/2 = 3 4 Beräkna utan räknare och svara i enklaste form. 20 a) c) b) d) Visa att 3 8 är större än 3 26 Hur förändras värdet på bråket 4 /5 om du a) multiplicerar täljaren med 2 b) multiplicerar nämnaren med 2? 2 a) b) a) c) d) c) Vilket tal i bråkform ska man a) subtrahera från 8 / för att differensen ska bli b) multiplicera 5/9 med för att produkten ska bli? b) 2 6 d) Skriv i blandad form. a) 4 b) 8 c) Beräkna utan räknare. a) b) c) För flera tusen år sedan räknade man i Egpten nästan bara med bråk där täljaren är. Sådana bråk kallas stambråk. a) 5 /80 kan skrivas som ett stambråk. Vilket? b) 2 /7 kan skrivas som summan av två olika stambråk. Det ena är /4. Vilket är det andra? c) Sju tolftedelar kan skrivas som summan av två olika stambråk. Det ena är /3. Vilket är det andra? 2. Algebra

13 Algebraiska uttrck algebraiskt uttrck Eempel Ett algebraiskt uttrck är ett uttrck som innehåller tal och variabler samt tecken för räkneoperationer. Med räkneoperationer menas här de fra räknesätten, rotutdragning och upphöjande till en potens. 3 5 är ett algebraiskt uttrck med en variabelterm och en konstantterm är ett algebraiskt uttrck med två variabler. En kopp kaffe kostar kr och en bulle kostar 5 kr mer. Ett äpple kostar 2 kr mindre än kaffet kr Anton köper en kopp kaffe, en bulle och ett äpple. Vi skriver ett uttrck för kostnaden: Variabelterm Konstantterm Vi förenklar uttrcket: = = I uttrck med olika slags termer förenklas variabeltermerna för sig och konstanttermerna för sig. Eempel 2 multiplicera in Bea köper två bullar och tre äpplen. Vi skriver ett uttrck för kostnaden: 2 ( + 5) + 3 ( 2) Vi multiplicerar in faktorn 2 och faktorn 3 i respektive parentes och förenklar uttrcket: 2 ( + 5) + 3 ( 2) = = = = En faktor multipliceras med en parentes genom att faktorn multipliceras med varje term i parentesen. a (b + c) = ab + ac. AlgebrA 3

14 Eempel 3 Hur förenklar vi uttrck med parenteser? 5 + ( 8) = = 3 + före parentes: Ta bort paren tesen utan att ändra något. 5 ( 8) = = + 3 före parentes: Ta bort parentesen och ( 5 + ) = + 5 = 5 ändra tecken för alla termer i parentesen. 29 Förenkla a) b) (3 + 5) + (2 + 2) c) ( + 4) (2 + 2) a) = = 4 2 b) (3 + 5) + (2 + 2) = = c) ( + 4) (2 + 2) = = Förenkla a) 8 2(3 + 5) b) 4(a + b) 3(b a) a) 8 2(3 + 5) = = 8 6 b) 4(a + b) 3(b a) = 4a + 4b 3b + 3a = 7a + b 3 Förenkla ( + 5) + (3) 2 ( + 5) + (3) 2 = = = = = = (3) 2 förenklas enligt potenslagen (ab) 2 = a 2 b termer förenklas för sig och -termer för sig. 32 Förenkla a) b) 5 a + 3 a + 4 c) d) Förenkla a) (5 + 2 ) + (2 + ) b) (3 2 ) + (4 2 ) c) 9 (5 + 3) d) 3 (6 4) 4. Algebra

15 34 Vilka uttrck är lika? A 2 B 2 2 C D E + 2 F Multiplicera in och förenkla a) 4( + 2) + 2 c) 2 + 2(5 ) b) 3(2 5) d) 3 + 4(3 5) 36 Förenkla a) b) 3 2(5 + ) +2 c) 5 ( 2a + 3) + 4( a) d) (2 8) 3(4 3) 37 En rektangulär äng ska inhägnas. Långsidan är 30 m längre än kortsidan. Sidornas längder kan skrivas och Skriv ett förenklat uttrck för a) omkretsen b) arean. 38 Förenkla a) b) 4a 5b + a + 6b c) 2a (3b a) d) 5 2(7 ) Förenkla a) ( + 3) 2 b) c) 2 + (2) 2 d) 7 + ( 5) + 40 Förenkla a) ( ) + ( ) b) ( ) ( ) c) (a + 2) + (3 a 3) (2 a + ) d) (b 2) (2 b) ( b 2) 4 När Levi ska förenkla uttrcket 30 ( 6) 3(6 ) har han bråttom och skriver Han gör två fel. Vilka? 42 Figuren visar två identiska rektanglar. a A a A A 2 a + 2 a 2 Skriv likheten A = A + A 2 med algebraiska uttrck som motsvarar respektive area. 43 I en triangel är basen cm. Höjden är 8 cm längre än dubbla basen. a) Skriv ett uttrck för höjden. b) Skriv ett förenklat uttrck för triangelns area. c) Beräkna arean då höjden är 30 cm.. Algebra 5

16 Ekvationer ekvation En ekvation är ett matematiskt påstående som innehåller en likhet. En ekvation innehåller en eller flera obekanta (variabler). Lösningen är de variabelvärden som gör att vänstra ledet (VL) är lika med det högra ledet (HL). 2 5 = 9 är en ekvation med en obekant,. Ekvationens lösning är = 7. + = 0 är en ekvation som innehåller två obekanta, och. Ekvationen har oändligt många lösningar, t e = 2 och = Lös ekvationen a) = 9 b) 2 = 9 a) = = = = 2 3 = 4 b) 2 = = = = 0 2 = Lös ekvationen a) 9 4 = b) 60 4 = 2 5 är den minsta -termen. Subtrahera 5 från båda leden. 4 är den minsta -termen. Addera 4 till båda leden. a) 9 4 = = = = = = 6 4 = 4 b) 60 4 = = = = = = 0 6. Algebra

17 46 Lös ekvationen a) 5 = 2( 3) b) 2(3 2 ) = 9 a) 5 = 2( 3) b) 2(3 2 ) = 9 5 = = = = 9 3 = 6 5 = 5 = 2 = 3 Lös ekvationerna. 47 a) + 8 = 45 b) 29 = 7 c) 7 =9 d) 0,2 = 6 48 a) = 20 b) 5 2 = 23 c) = 30 d) = kr 2 kr 49 a) 06 = b) 5 = 6 2 c) 5 4 = 25 9,5 d) 9 = 3 50 a) 7 = b) 75 = 6 c) 2 6= 2,5 4 d) 7 3 = 5 5 Sonjas hund ökade i vikt med 80 % under första levnadsveckan. Den vägde då 80 g. Hur mcket vägde hunden som nfödd? + 5 kr + 7 kr Bestäm priserna om a) en kaffe och en ostfralla kostar lika mcket som ett glas juice och en havrekaka. b) en kaffe och en havrekaka är 8 kr billigare än en ostfralla och ett glas juice. c) två ostfrallor är 4 kr drare än ett glas juice. 53 Värdet på en aktie sjönk med 5 % till 200 kr under ett år. Hur mcket var aktien värd innan nedgången?. AlgebrA 7

18 54 Lös ekvationen a) 78 = 6,5 a) 78 = 6,5 Multiplicera båda leden med nämnaren,. 78 = 6,5 78 = 6,5 6,5 6,5 = 78 6,5 = 2 b) b) + 5 = = = = 3 7 ( +5) = 3( + 5) 7 = = 5 = 3,75 = 3 ( +5) Multiplicera båda leden med nämnaren, 7. Multiplicera båda leden med nämnaren, ( + 5). 55 Summan av tre på varandra följande hela tal är 36. Vilka är talen? Om vi kallar det minsta talet för, så är de andra andra talen + och + 2. Vi skriver och löser en ekvation. + ( + ) + ( + 2) = = 36 3 = 33 = + = 2 och + 2 = 3 Svar: Talen är, 2 och Lös ekvationen a) 72 5,8 = 24 c) 62 = 4 8 b) 0,30 = d) = Lös ekvationen a) 2 5 = 2 0 b) 5 = 6 c) 3 7 = 6 5 d) 7 2,5 = Lös ekvationen utan räknare. Svara eakt. a) 2 = 6 4 b) 3 = 2 8 c) 6 20 = 2 d) 2 = Lös ekvationen a) 8 (3 + 0) = 5 b) 0 (2 4) + 3 = 6 c) 9(z ) 2(3 z + 4) = 7 d) 2( + ) 5( 3) = 5 8. Algebra

19 60 Visa att k = 3 är lösningen till ekvationen 8,8 = k ( 2,4) +,6 6 Lös ekvationen 62 a) = 8 2 c) = 5 b) 2 4 = + d) + 7 = , 2 4 a) Skriv ett uttrck för figurens omkrets. b) Beräkna figurens omkrets om = 2,5 cm. c) Bestäm om omkretsen är 96 cm. 63 En konsertbiljett kostar 280 kr mer än en biobiljett. Tre konsertbiljetter kostar lika mcket som elva biobiljetter. Hur mcket kostar en biobiljett? 64 Lös ekvationen a) = 2 b) + 0 = Lös ekvationen a) 4 2 = 68 b) 2(4 3) = 8 3 c) 8 ( + 3) = 25 d) 2(7 ) = 0 4( 5) c) + 45, 28 = 0 z 2, 5 d) = z 75, 0 66 Summan av tre tal är 405. Det andra talet är dubbelt så stort som det första talet och det tredje talet är tre gånger så stort som det andra. Vilka är talen?. Algebra 9

20 Omskrivning av formler formel lösa ut En formel beskriver ett samband mellan variabler. Ofta skrivs formeln som en ekvation med en variabel i vänsterledet och ett uttrck med en eller flera variabler i högerledet. Med en formel gör vi ofta en beräkning genom att sätta in variabelvärden i högerledet. Formeln för triangelns area är A = b h, där b är basen och h är höjden. 2 Då vi löser ut en variabel ur en formel använder vi samma metoder som vid ekvationslösning. 67 Lös ut. a) 2 6 = 2 b) = 0 a) 2 6 = 2 Addera 6 till båda leden = = = Dividera båda leden med 2. b) = 0 -termen är negativ. Vi börjar därför med att addera 4 till båda leden = = 4 4 = = = 3 2 Låt vänsterled och högerled bta plats. Dividera båda leden med 4. Lös ut. 68 a) = 3 c) + = 3 b) = 0 d) + = 0 69 a) 2 0 = 0 c) = 0 b) = 0 d) + 2 = 5 70 a) = 0 c) 4 = 0 b) 9 = 3 6 d) 0 5 = 5 7 Multiplicera in och lös sedan ut. a) 3 = 2(2 4) c) ( 5) = 7( 3) b) 7 = 3( 2) d) ( ) = 6( ) 72 Arean av en rektangel, en triangel respektive ett parallelltrapets kan beräknas med formlerna I A = b h II A = b h 2 III h(a + b) A = 2 a) Lös ut h ur de tre formlerna. b) Lös ut b ur de tre formlerna. 73 Kan formeln a b = c skrivas om till b = c a? Motivera ditt svar. 20. Algebra

21 .2 Funktioner Koordinatsstem 20 Pricka in punkterna A = (, 3), B = (, 5), C =(4, 0), och D = (0, 2) i ett koordinatsstem. Vi ritar en horistontell -ael och en vertikal -ael och graderar alarna. Punkten A har -koordinaten och -koordinaten 3. B (, 5) A (, 3) C (4, 0) D (0, 2) 202 Ange koordinaterna för punkterna P, Q, R och S. P Q R S 206 Rita ett koordinatsstem och pricka in tre punkter med a) -koordinaten 3 b) -koordinaten 4 c) -koordinaten 0 d) -koordinaten Pricka in punkterna A (5, 2), B (0, 7), C ( 3, 4) och D ( 6, 0) i ett koordinatsstem. 204 Pricka in punkterna A (5, ), B (5, ), C ( 5, ) och D ( 5, ) i ett koordinatsstem. Vilken figur bildar sträckorna AB, BC, CD och DA? 205 Vilka av punkterna A (2, ), B (3, ), C ( 5, ) och D ( 3, 4) ligger a) ovanför -aeln b) till höger om -aeln? Avläs på linjen i figuren a) -koordinaten i punkten där = b) -koordinaten i punkten där = 0 c) -koordinaten i punkten där = 8 d) -koordinaten i punkten där = 0..2 Funktioner 2

22 Funktion, formel, värdetabell och graf Eempel värdetabell och graf Ett flgplan håller en konstant hastighet av 800 km/h. Efter h har det hunnit km. Vi visar sambandet mellan och i en värdetabell och i en graf. Tiden h Sträckan km km h formel Sambandet kan uttrckas med formeln = 800 där konstanten 800 är flgplanets hastighet i km/h Funktioner

23 variabler Många olika situationer kan beskrivas som ett samband mellan två storheter som varierar, till eempel: Kostnaden, kr, varierar med hur mcket, liter, bensin vi köper. En väande plantas höjd, cm, varierar med tiden, dagar. Storheter som varierar kallas i matematiken för variabler. Om sambandet mellan två variabler och är sådant att varje -värde, enligt någon regel, ger endast ett bestämt -värde, kan vi säga att är en funktion funktion av. Eempel 2 Vi beskriver här en funktionsregel på fra olika sätt.. Med ord: -värdet får du genom att dubbla -värdet och dra bort ett 2. Med en formel: = 2 3. Med en värdetabell: En värdetabell kan du göra själv genom att välja några -värden och beräkna motsvarande -värden med hjälp av formeln. 2 = = = 5 Varje talpar i värdetabellen (, ), (2, 3) och (3, 5) osv motsvarar en punkt i ett koordinatsstem. 4. Med en graf: Om punkterna från värdetabellen ligger på en rät linje kan du sammanbinda dem och förlänga linjen åt båda håll. En linje består av oändligt många punkter. Varje punkt på linjen motsvarar ett talpar (med ett - och ett -värde) som överensstämmer med formeln. Vi kontrollerar: Den röda punkten har koordinaterna (4, 7) = 4 ger i formeln = 2 4 = Funktioner 23

24 208 En funktion beskrivs med formeln = 4 3 a) Beräkna då = 2 b) Bestäm så att = 25 a) = 4 3 b) = 4 3 = 2 ger = 25 ger ekvationen = = 5 25 = 4 3 = 5 28 = 4 = Funktionen = 3 2 är given. a) Ställ upp en värdetabell för = 0,, 2, 3 b) Rita grafen. c) Avläs ur grafen -värdet då = 5 d) Var skär grafen -aeln? e) Ligger punkten (50, 03) på funktionens graf? a) b) = = = = = 3 (0, 3) (, ) (2, ) (3, 3) c) Ur figuren kan vi avläsa att = då = 5. d) Grafen skär -aeln när =,5. Skärningspunktens koordinater är (,5; 0). e) Vi beräknar -värdet då = 50 = = 3 00 = 97 Eftersom punkten (50, 97) ligger på linjen kan inte punkten (50, 03) ligga på linjen. = 50 kan inte ge två olika värden på Funktioner

25 20 En funktion beskrivs av formeln = 3 + Beräkna då a) = 2 b) = 4 c) = 5 2 En funktion beskrivs av formeln = 2 a) Gör en värdetabell där du väljer fra värden på. b) Rita en graf till funktionen. 22 En funktion beskrivs med ord: " -värdet får du genom att dubbla -värdet och lägga till två Beskriv funktionen med a) en formel b) en värdetabell c) en graf Grafen beskriver en funktion. a) Beskriv funktionen med en värdetabell. b) Vilket är -värdet då = 3? c) Vilket är -värdet då = 2? d) Bob säger att funktionen kan beskrivas: -värdet är -värdet minus två Stämmer det? 24 En funktion beskrivs av formeln = 4 4 Vilka värden saknas i tabellen? a) Rita grafen till = 8 2 b) Bestäm så att = 2 c) Vilka koordinater har linjens skärningspunkt med -aeln? d) Vilka koordinater har linjens skärningspunkt med -aeln? 26 En ost kostar 85 kr/kg. Låt vara priset för kg. a) Ställ upp en formel som visar hur beror av. b) Vad är om = 2,5? c) Vad är om = 68? 27 En funktion beskrivs av formeln = a) Ligger någon av punkterna (3, 425) och (5, 625) på funktionens graf? b) Är det sant att -värdet blir dubbelt så stort då ökar från 2 till 6? 28 Julia cklar 5 km på en kvart och fortsätter med samma hastighet. a) Med vilken hastighet cklar hon? Svara i km/h. b) Ställ upp en formel som visar hur sträckan km beror av tiden h. c) Rita en graf. 29 Värdetabellen beskriver en funktion. Ange funktionen med ord och med en formel. a) b) Punkterna ( 2, 4), (0, 0), (4, a) och (b, 8) ligger på en rät linje. Bestäm talen a och b..2 Funktioner 25

26 Aktivitet DISKUTERA Graf, formel, tabell och beskrivning Materiel: Sa, papper och tejp. Arbeta i par eller grupp. Varje rad i tabellen nedan och på nästa sida innehåller fra rutor: En graf 3 En värdetabell 2 En formel 4 En funktionsbeskrivning Tabellen är inte korrekt ordnad radvis. Gör så här: Kopiera tabellen (ev uppförstorad), klipp den i rutor och klistra upp rutorna radvis i rätt ordning. Graf Formel Värdetabell Funktionsbeskrivning = 2 är alltid två = 2 är halva Funktioner

27 Graf Formel Värdetabell Funktionsbeskrivning = 2 är dubbla = 3 3 0,5 är ett mindre än dubbla ,5 2 3,5 5 = är tre gånger så mcket som minus tre = 0,5 är tre minskat med = 2 är kvadraten på Funktioner 27

28 Mer om funktioner Eempel Mikaela har ett litet företag som sr och designar kläder. Hon köper en n smaskin för kr. Mikaela antar att smaskinen minskar i värde med kr per år. En modell för smaskinens värde kr är = där är antal år efter inköpet. Funktionen kan beskrivas på olika sätt. En formel En tabell En graf = kr Belopp Tid år I många tillämpningar och i en del matematiska funktioner måste vi ta hänsn till att alla värden på variablerna inte är tillåtna. definitionsmängd värdemängd En funktions tillåtna -värden kallas funktionens definitionsmängd. De värden på som de tillåtna -värdena ger, kallas funktionens värdemängd. I vårt eempel gäller funktionen bara för -värden mellan 0 och 8 år. Efter 8 år är värdet 0 kr. -värden större än eller lika med 0 och mindre än eller lika med 8 ligger i ett intervall som kan beskrivas med hjälp av olikhetstecken. Funktionens definitionsmängd: 0 8 Definitionsmängden ger värdemängden: smbolen f ( ) Matematikspråket är ett mcket kortfattat och internationellt språk. På detta språk skrivs är en funktion av som = f(). Om vi skriver f(3) så menar vi det -värde som funktionen ger när = 3. f(3) utläses f av 3. Skrivsättet är kort och mcket praktiskt. Har vi flera funktioner kan vi använda g (), h () osv Funktioner

29 Eempel 2 Beräkningar med funktionens formel Funktionen f beskrivs med regeln f () = f (5) är funktionsvärdet ( -värdet) då = 5. f (5) = = 3 Vilket -värde ger funktionsvärdet ( -värdet) 2? f () = 2 Nu måste vi lösa en ekvation = 2 2 = 8 = 9 Kontroll: f(9) = = 2 Eempel 3 Avläsningar i funktionens graf Figuren visar grafen till funktionen = f (). Vi avläser värdet på f (4) som -värdet då = 4. f (4) = 2 Vi avläser värdet på f ( 2) som -värdet då = 2. f ( 2) = Vilket -värde ger f () = 3? Vi avläser -värdet då = 3. = Funktioner 29

30 22 Funktionen f kan beskrivas med formeln f () = 4 Bestäm a) f (7) b) f ( 2) a) f (7) = 4 7 = 3 b) f ( 2) = 4 ( 2) = = 6 Parentes när två tecken står intill varandra. 222 Bestäm så att f () = 23 om f () = f () = 23 ger ekvationen = 23 2 = 6 = Låt f () = 2 2 och bestäm a) f (5) b) f ( 5) a) Vi ersätter i f () med 5 b) Vi ersätter med 5 f (5) = = f ( 5) = 2 ( 5) ( 5) 2 = =0 25 = 5 = 0 25 = 35 Obs! 5 2 = 25 ( 5) 2 = Figuren visar grafen till funktionen = f (). Använd den för att avläsa a) f (4) b) f (0) c) lösningen till ekvationen f () = 0 a) Vi avläser -värdet på grafen där = 4 f (4) = 3 b) Vi avläser -värdet på grafen där = 0. Det är där grafen skär -aeln. f (0) = 5 c) Vi avläser -värdena där = 0. Det är där grafen skär -aeln. = och 2 = 5 = f () Funktioner

31 225 Funktionen f () = Beräkna a) f (4) b) f (0) c) f ( 3) 226 Funktionen f () = 2 Beräkna a) f (5) b) f (0) c) f ( 4) 227 Bestäm så att f () = 8 om a) f () = 5 2 b) f () = Figuren visar grafen till funktionen = f (). Använd den för att avläsa a) f (6) b) f (0) c) lösningen till ekvationen f () = Då Anna sprungit i minuter beskrivs sträckan meter med formeln = 200. Denna formel kan skrivas som f() = 200. a) Vilket värde har f(2)? b) Vilket ger f() = 2 000? c) Tolka svaren i a) och b) med ord. 230 Ge eempel på en funktionsregel f och förklara med hjälp av din regel vad f (3) betder. 23 Låt f ( ) = och bestäm a) f () b) f (3) c) f ( 2) Figuren visar grafen till funktionen = f (). Bestäm med hjälp av grafen a) f (6) 4 2 b) f (0) c) så att f () = d) så att f () = Här är en värdetabell för funktionen = f () a) Bestäm f (2) b) Bestäm så att f () = 2 c) Beräkna f (3) f (2) 234 Beräkna f(5) f(3) om a) f() = b) f() = Figuren visar grafen till funktionen = f ( ). Bestäm med hjälp av grafen a) f (4) b) f (3) f (4) c) lösningen till ekvationen f () = 4 d) lösningen till ekvationen f () = 0.2 Funktioner 3

32 236 En koppargruva beräknas innehålla ca 500 miljoner ton brtbar malm. Man planerar att varje år brta ca 20 miljoner ton malm. a) Ställ upp en funktion som beskriver hur mcket brtbar malm, miljoner ton, som finns kvar efter år. b) Ange funktionens definitionsmängd och värdemängd. 237 I figuren visas graferna till två funktioner f () och g () a) Bestäm f (2) och g (2). b) För vilka är f () = g ()? c) För vilka är f () > g ()? d) För vilka är f () < g ()? 238 Ge eempel på två funktioner för vilka gäller att a) f (4) = 9 b) f ( 2) = g ( ) f ( ) 239 Funktionen g () beskriver Tildas intjänade lön i kr för dagars arbete. Vad betder a) g (8) b) g( 5) 5? 240 Låt f() = 2 och visa att f(3 + 4) inte är lika med f(3) + f (4). 24 Vinkeln är en funktion av vinkeln. a) Ställ upp en formel som visar hur beror av. b) Ange funktionens definitionsmängd och värdemängd. 242 Funktionen f() = 2 + m Bestäm talet m då a) f(3) = 0 c) f( 5) = b) f(5) = 5 d) f( 3) = 3 f(0) 32.2 Funktioner

33 Grafer med digitala verktg Eempel Grafen till f () = 22,4,4 kan vara besvärlig att rita för hand. Vi tar hjälp av en dator med ett matematikprogram. nollställe I den/de punkter där grafen till en funktion skär -aeln är f () = 0. -värdet i skärningspunkten kallas funktionens nollställe. Vi avläser nollstället = 6. grafisk lösning Vi kan grafiskt lösa ekvationen 22,4,4 = 8,4 genom att rita = 22,4,4 och = 8,4 och avläsa -värdet i skärningspunkten. Lösningen är = 0..2 Funktioner 33

34 Eempel 2 Med en grafritande räknare ritar vi grafen till f () = ZERO X = Y = 0. funktionsvärde Vi ser att grafen skär -aeln på två ställen, dvs funktionen har två nollställen. Räknarens program för nollställen ger,24 och 2 3,24 Räknarens program för beräkning av ett funktionsvärde ger -värdet när =,5. f (,5) = 4,75 X =.5 Y = Rita grafen till f () = 8,6 2,4 Avläs a) funktionens nollställe b) funktionsvärdet då = 2 c) funktionsvärdet då = 6 d) lösningen till ekvationen f () = 4 e) lösningen till ekvationen f () = 244 Rita grafen till = Avläs a) funktionens nollställen b) funktionsvärdet då =,6 c) funktionsvärdet då = 3,2 d) lösningen till ekvationen = a) Hur många nollställen har funktionen = i intervallet 5 < < 5? b) Stämmer det att funktionen = 9 2 har nollställena = 3 och 2 = 3? Motivera. 246 Vincent säljer almanackor. Resultatet (i kr) för försäljningen beskrivs av funktionen V() = 26,5 050 där är antalet sålda almanackor. Rita grafen till funktionen. a) Bestäm resultatet då antalet sålda almanackor uppgår till 50. b) Bestäm V(0). c) Förklara hur man grafiskt löser ekvationen V() = 500 d) Bestäm funktionens nollställe. e) Beskriv vad nollstället betder i detta sammanhang. 247 Rita grafen till f () = a) Hur många nollställen har funktionen i intervallet 0 < < 0? b) Bestäm nollställena. c) Avläs f (0,4) d) Lös ekvationen f () = Funktioner

35 .3 Räta linjens ekvation Inledning Här visar vi graferna till funktionerna = 3 = + 2 = 3 2 linjär funktion = k + m Du ser att graferna är räta linjer. En funktion av denna tp kallas därför en linjär funktion. Allmänt gäller att grafen till = k + m, där k och m är konstanter, är en rät linje. Vi avläser värdena på k och m för funktionerna ovan = 3 k = 3 och m = = + 2 k = och m = 2 = 3 2 k = 2 och m = 3 Vi studerar två specialfall.. Formler där = k + m 2. Formler där = k + m och m = 0 och k = 0 = 0,5 = 3 = = = 4 = 2 Graferna till dessa funktioner är linjer som går genom origo. Graferna till dessa funktioner är horisontella linjer. = 4 = = 3 = 0,5 = 2 =.3 RÄTA LINJENS EKVATION 35

36 30 Ange k och m till funktionen a) = 3 b) = 2 c) = 5 a) k = 3, m = b) k = 2, m = 0 c) k = 0, m = Skriv en funktion på formen = k + m då a) m = 20 och k = 0 b) k = 0,5 och m = 0 a) = b) = 0,5 eller = Kostnaden, kr, för att åka tai km kan beskrivas med funktionen = a) Ange och tolka m-värdet. b) Ange och tolka k-värdet. a) m = 55 Den fasta kostnaden är 55 kr. b) k = 25 Den rörliga kostnaden är 25 kr/km. 304 Ange k och m till funktionen a) = c) = 6 + b) = 8 6 d) = Ange k och m till funktionen a) = 4 c) = 3 b) = 0 d) = Skriv en funktion på formen = k + m då a) k = 3 och m = 7 b) k = 0 och m = 2 c) m = 0 och k = 3 d) k = 0,25 och m = 307 Vilken/Vilka av följande funktioner har en graf som går genom origo? A = 8 B = 8 C = 8 D = Höjden, m, på en granplanta år efter planteringen kan beskrivas med funktionen = 0,6 + 0,4 a) Hur hög är plantan 3 år efter plan teringen? b) Ange och tolka funktionens m-värde. c) Ange och tolka funktionens k-värde. d) Efter hur många år är granen 3 m hög? 309 Jonte påstår att uttrcken 3 +2 = 0,75 + 0,5 och = 4 har samma k- och m-värden. Har han rätt? Förklara RÄTA LINJENS EKVATION

37 Aktivitet UPPTÄCK Torghandel Materiel: Färgpennor, linjal Fem kvinnor står på torget och säljer morötter. Tant Grön: Morötterna kostar 3 kr/kg och påsen 2 kr. Tant Röd: Morötterna kostar 5 kr/kg (påsen är gratis). Tant Blå: Morötterna kostar 5 kr/kg och påsen 2 kr. Tant Svart: Morötterna kostar 5 kr/kg och påsen 6 kr. Tant Orange: Morötterna kostar 0 kr/kg och påsen 6 kr. a) Skriv en formel åt Tant Grön som beskriver vad kunderna ska betala. I formeln ska ange vikten i kg och priset i kr. b) Skriv liknande formler åt de andra kvinnorna. 2 Gör en värdetabell till varje formel. Välj -värdena, 2 och 3 kg. 3 a) Rita ett koordinatsstem. Låt 2 cm på -aeln vara kg och cm på -aeln vara 2 kr. b) Rita en grön linje till Tant Gröns formel. Skriv formeln intill linjen. c) Gör på motsvarande sätt för de andra kvinnornas formler. 4 Formlerna följer samma mönster, = k + m a) Vad beskriver k-värdet i formlerna? b) Vilka formler har samma k-värde? Hur kan man se det på linjerna? c) Vilken formel har störst k-värde? Hur kan man se det på linjen? 5 a) Vad beskriver m-värdet i formlerna? b) Vilka formler har samma m-värde? Hur kan man se det på linjerna? c) Vilken formel har m = 0? Hur kan man se det på linjen? 6 En dag kommer det na morotsförsäljare till torget. Använd graferna för att besvara frågorna. kr a) Vilka tar betalt för påsen? b) Vad kostar deras morötter per kg? c) Skriv en formel åt varje n försäljare kg Farbror Ljusblå Farbror Brun Farbror Grå Farbror Lila.3 RÄTA LINJENS EKVATION 37

38 k -värde och m -värde Vi undersöker sambandet mellan värdet på k respektive m och grafens utseende. Eempel Vi ritar grafen till tre funktioner med samma k-värde men med olika m-värde. = + 4 k = och m = 4 = + 2 k = och m = 2 = k = och m = 4 I den punkt där linjen skär -aeln är = 0. 2 m-värdet Om = 0 kan = k + m skrivas = k 0 + m. Vi får = m. m-värdet är detsamma som -värdet där linjen skär -aeln Eempel 2 Vi undersöker hur -värdet ändras då -värdet ökar med för funktioner med olika k-värden. a) = 2 + k = 2 och m = steg åt höger 2 steg uppåt k = Om -värdet ökar med, ökar -värdet med 2. Linjen stiger. b) = k = 3 och m = steg åt höger 3 steg nedåt k = Om -värdet ökar med, minskar -värdet med 3. Linjen faller. k-värdet k-värdet är ett mått på linjens lutning och anger hur mcket linjen ändras (stiger eller faller) för varje enhet vi går framåt i -led RÄTA LINJENS EKVATION

39 k > 0 k < 0 k = 0 Grafen till en funktion = k + m är en rät linje. Sammanfattning m-värdet anger -värdet för linjens skärningspunkt med -aeln. Skärningspunktens koordinater är (0, m ). k-värdet är ett mått på linjens lutning. Det anger hur mcket linjen ändras (stiger eller faller) för varje steg vi går åt höger i -led. 30 Bestäm genom avläsning i figuren, linjens a) m-värde b) k-värde c) ekvation. a) m-värdet avläses som -värdet i skärningspunkten med -aeln. m = 5 b) k-värdet är negativt, eftersom för varje steg vi går åt höger i -led minskar -värdet med. Linjen faller. k = c) k = och m = 5 insatt i ekvationen = k + m ger = + 5 eller = 5 m = Här är en värdetabell till funktionen = k + m a) Bestäm m. b) Bestäm lutningen k. c) Vilken är funktionen? a) Vi avläser m som -värdet då = 0. Vi får m = 4. b) För varje steg åt höger i -led ökar med 3. Vi får k = 3. c) I linjens ekvation = k + m sätter vi in k = 3 och m = 4. Vi får funktionen = RÄTA LINJENS EKVATION 39

40 32 Bestäm linjens a) m-värde b) k-värde c) ekvation. 38 Avgör om grafen till funktionen stiger eller faller när -värdena ökar. a) f() = b) f() = 4 + c) f() = d) f() = 5 33 Bestäm linjens a) m-värde b) k-värde c) ekvation. 39 Linjerna i figuren beskrivs av funktionerna. = 0,5 = + = + 4 = 4 A B C D Vilken formel och graf hör ihop? 34 Här är en värdetabell till funktionen = k + m a) Bestäm m. b) Bestäm lutningen k. c) Vilken är funktionen? 35 En linje går genom punkten (2, 3). Bestäm en annan punkt på linjen om a) k = 5 b) k = c) k = 320 En rät linje kan skrivas = 4 8 a) Vilket värde har där linjen skär -aeln? b) I vilken punkt skär linjen -aeln? 32 Förklara vad det betder för grafen att funktionen = k + m har k = 3 och m = En rät linje går genom punkterna (, ) och (, 3). a) Rita linjen. b) Bestäm linjens ekvation. 36 En linje går genom punkten (, 2). Rita linjen om a) k = b) k = 3 37 Vilken linje har A a) störst k-värde b) minst k-värde c) störst m-värde? B C D 323 Bestäm ekvationen för en linje genom origo och punkten a) (, 3) c) (3, 2) b) (2, 0) d) (, 2) 324 Ge eempel på en rät linje som går genom punkten (3, 5) och som har ett a) positivt k-värde b) negativt k-värde c) k-värde som är noll RÄTA LINJENS EKVATION

41 En formel för linjens lutning Eempel Vi beräknar lutningen för en linje genom punkterna A = (4, ) och B = (6, 5). Hur förändras - och -värdet då vi går från A till B? B (6, 5) Vi kallar förändringen i -led för och förändringen i -led för. Avläsning i figuren ger = 2 och = 4 och kan även bestämmas utan hjälp av figuren. Vi använder då punkternas koordinater. A = (4, ) och B = (6, 5) = 6 4 = 2 = 5 = 4 i och utläses delta. A (4, ) Lutningen k = förändringen i -led förändringen i -led = = 4 2 = 2 Eempel 2 Vi beräknar lutningen för en linje genom punkterna (, 5) och (, 2). Punkt : (, 5) Punkt 2: (, 2), 2, 2 = 2 = ( ) = 2 = 2 = 2 5 = 3 Lutningen k = = 3 2 =,5 Om vi istället väljer Punkt : (, ) = (, 2) och Punkt 2: ( 2, 2 ) = (, 5) så får vi k = = 2 2 = 5 2 = 3 2 =,5 Vi kan alltså börja med vilken punkt vi vill, men vi måste börja med samma punkt i täljaren och nämnaren. riktningskoefficient Eftersom lutningen k anger linjens riktning och är lika med talet (koefficienten) framför, kallas linjens k-värde för riktningskoefficient..3 RÄTA LINJENS EKVATION 4

42 Formeln för k Lutningen för en linje genom punkterna (, ) och ( 2, 2 ) beräknas med formeln förändring i -led k = förändring i -led = = 2 2 (, ) (, ) 2 2 horisontell linje En linje som är parallell med -aeln kallas vågrät eller horisontell. Eftersom = 0 är också k = 0. Linjen i figuren skrivs = 3. ( 2, 3) (2, 3) = 3 vertikal linje En linje som är parallell med -aeln kallas lodrät eller vertikal. Eftersom = 0 är k inte definierat. (Vi kan inte dividera med noll!) En vertikal linje saknar alltså k-värde. Linjen i figuren skrivs = 3. (3, 4) (3, ) = 3 Horisontell linje Vertikal linje 325 Rita en linje som går genom punkten (, 2) och har lutningen k = 2 3 (4, 4) k = = 2 3 Vi börjar med att pricka in punkten (, 2). k = 2 betder att om vi går 3 steg åt 3 höger i -led ( = 3) så ska vi gå 2 steg uppåt i -led ( = 2). Vi kommer till punkten (4, 4) som ligger på linjen. (, 2) = 3 = RÄTA LINJENS EKVATION

43 326 En rät linje går genom punkterna (, 3) och (3, 5). Bestäm linjens riktningskoefficient. Punkt : (, ) = (, 3) Punkt 2: ( 2, 2 ) = (3, 5) Formeln för k ger k = 2 = 5 ( 3) 2 3 ( ) = 8 4 = 2 Svar: Linjens riktningskoefficient är Vi går från punkt A till punkt B på linjen. Bestäm a) b) c) k-värdet. 328 Vi går från punkt A till punkt B på linjen. Bestäm a) b) c) k-värdet. 329 Vi går från punkt ( 2, 3) till (2, 4) på en linje. Bestäm a) b) c) linjens lutning. 330 Bestäm lutningen för en linje genom punkterna a) (3, 6) och (4, ) b) ( 3, 5) och (4, 2) c) (3, ) och (6, ) d) ( 4, ) och (2, 4) 5 5 A B 5 A B Avläs koordinaterna för två punkter på linjen samt beräkna k-värdet. 333 Alicia vill ha långt hår. När hon fller 6 år bestämmer hon sig för att inte klippa sig under ett helt år. Hårets längd, cm, är en linjär funktion av tiden, månader efter födelse dagen. Efter 2 månader är håret 27 cm långt och efter 7 månader 34,5 cm. a) Vilket värde har om = 2? b) Vilket värde har 2 om 2 = 34,5? c) Beräkna och tolka funktionens k-värde. a b 5 c d 33 Rita en linje som går genom punkten (0, 0) och har lutningen a) 2 b) 3/4 c) 3/5.3 RÄTA LINJENS EKVATION

44 334 Linjerna har k-värdena 3, 0, /2, och 5. En linje saknar k-värde. Tilldela varje linje rätt k-värde. c f 339 Bestäm linjens lutning om kvadraten A har arean 25 areaenheter och kvadraten B arean 6 areaenheter. b a d e A B 335 För en funktion vars graf är en rät linje är f (2) = 6 och f (0) = 3 Vilken lutning har linjen? 336 Ligger de tre punkterna på en linje? a) ( 2, ), (, 0) och (2, 2) b) (0, 4), (7, 6) och ( 7, 4) 337 Välj själv två punkter så att linjen genom punkterna får lutningen a) 6 b) Två uthrningsfirmor tar kr för att hra en båt med förare i timmar enligt graferna i figuren. kr För en linjär funktion gäller f (a) = och f (a+2) = 5 Bestäm linjens lutning med formeln för k och visa att det inte spelar någon roll vilken punkt som är den första. 34 En linje går genom punkten (3, 5) och har lutningen a 3 Bestäm a så att linjen även går genom a) punkten (5, a) b) punkten på -aeln där = 4a a 6000 B 4000 A h a) Bestäm k och m för linje A. b) Bestäm ekvationen för linje A. c) Bestäm ekvationen för linje B. d) Hur stor är skillnaden i pris mellan A och B om du hr en båt 7 timmar? 44.3 RÄTA LINJENS EKVATION

45 Aktivitet UPPTÄCK Vinkelräta linjer Linjen L går genom origo och punkten P. Om man vrider den blå figuren 90 moturs runt origo så hamnar den på den gula figuren. A L 2 Q Linjerna L och L 2 är vinkelräta. L a) Bestäm koordinaterna för punkten Q. b) Bestäm lutningen på linjerna L och L 2. c) Beräkna produkten av linjernas k-värden. P (4, 2) 2 a) Rita av figuren till höger i ett koordinatsstem. Rita också den bild du får om figuren roterar 90 moturs runt origo. A b) Bestäm lutningen på de två vinkelräta linjerna. c) Beräkna produkten av linjernas k-värden. 3 Rita av figuren. Linjerna L och L 2 är vinkelräta. Punkterna P och Q har samma avstånd till origo. A L 2 Q a) Bestäm lutningen på linjen L om punkten P har koordinaterna (a, b). b) Bestäm koordinaterna för punkten Q och lutningen på linjen L 2. L P (a, b) c) Beräkna produkten av linjernas k-värden. d) Formulera en slutsats..3 RÄTA LINJENS EKVATION 45

46 Parallella och vinkelräta linjer Eempel Vi ritar graferna till funktioner med samma k-värde. = 2, = 2 2 och = 2 4 visas som blå linjer i figuren. Linjerna är parallella, alla har k = 2. = 2 0,5, = 0,5 och = 0,5 2 visas som röda linjer i figuren. Linjerna är parallella, alla har k = 0,5. De röda och de blå linjerna är vinkelräta mot varandra. Om vi multiplicerar k-värdena får vi k blå k röd = 2 = ( 2 Man kan visa att produkten av k-värdena för vinkelräta linjer alltid är. ( Sammanfattning För två linjer med riktningskoefficienterna k och k 2 gäller: om k = k 2 är linjerna parallella om k k 2 = är linjerna vinkelräta. 342 Vilka linjer är parallella? A = D = + B = 2 E = 5 C = 3 F = Bestäm k så att linjerna = k 4 och = 3 + blir a) parallella b) vinkelräta. 344 Graferna till funktionerna = 0,25 4 och = 4 är parallella. 345 Linjerna i koordinatsstemet är inbördes parallella. a) Ange en ekvation för var och en av linjerna a, b och c. b) Ange ekvationen för en linje som är vinkelrät mot linjerna i figuren och går genom origo. a b c Förklara hur man kan se detta utan att rita graferna. 346 En linje genom punkterna P(0, 2) och Q(a, 0) är parallell med linjen = 2 + Bestäm talet a RÄTA LINJENS EKVATION

47 Räta linjens ekvation Vi har tidigare visat hur du kan beräkna lutningen, k, på en linje om två punkter är kända. m-värdet kan grafiskt avläsas som -värdet i skärningspunkten med -aeln. Men hur beräknar man m-värdet? Eempel En rät linje går genom punkten (3, 7) och har lutningen 2. Vi använder räta linjens ekvation = k + m och sätter in k = 2, = 3 och = 7 7 = m 7 = 6 + m m = Linjens ekvation är = Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkterna (2, 5) och (, ). Formeln för k ger k = ( 5) 2 = 6 3 = 2 Vi använder räta linjens ekvation = k + m och sätter in k = 2, = 2 och = 5 5 = m 5 = 4 + m m = Vi väljer en av punkterna och sätter in koordinaterna. Svar: Linjens ekvation är = Bestäm ekvationen för en linje som är parallell med linjen = och som skär -aeln där = 3. Linjen = 4 +8 har lutningen k = 4. Den sökta linjen har också k = 4 eftersom parallella linjer har samma k-värde. Linjens skärningspunkt med -aeln är (3, 0). Vi sätter in k = 4, = 3 och = 0 i = k + m 0 = m 0 = 2 + m m = 2 Svar: Linjens ekvation är = RÄTA LINJENS EKVATION 47

48 349 En rät linje med lutningen 2 går genom punkten (, 5). a) Rita linjen och avläs m-värdet. b) Beräkna m-värdet med hjälp av formeln = k + m. 350 Bestäm ekvationen för en rät linje som har riktningskoefficienten k = 2 och går genom punkten a) (3, 8) b) (0, 7) 35 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten (5, 4) och har riktningskoefficienten a) k = 3 b) k = Vilken linje tillhör vilken ekvation? Ange de fem paren ekvation linje. a) = 3 d) = 2 b) = 0,5 + 2 e) = 5 c) = + P Q R 354 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten (3, 2) och är parallell med linjen a) = 2 b) = + 7 c) = Bestäm ekvationen för en linje som uppfller följande villkor: a) Lutning 2 och går genom (4, ) b) Lutning 0 och går genom ( 5, 4) c) Lutning saknas och går genom (3, 2) 356 Undersök om någon/några av punkterna A (2, 3) B (4, 4) C (6, 2) eller D = (4, 2) ligger på grafen till a) = 8 c) = 3 b) = d) = f ( ) S T 353 Bestäm ekvationen för linjen som går genom punkterna a) (4, 6) och (2, 2) b) ( 2, ) och (, 5) c) (3, 0 ) och (0, 9) d) ( 3, 2) och ( 2, 4) Figuren visar grafen till en funktion f (). a) Vilken är funktionen f ()? b) När grafen till f () speglas i -aeln bildas en annan funktion, g (). Bestäm g (). c) När grafen till f () speglas i -aeln bildas funktionen h (). Bestäm h () RÄTA LINJENS EKVATION